Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Устойчивые и хаотические движения в динамических системах. В приложении к небесной механике
.pdf
4. АЛЬТЕРНАТИВНЫЕ УСЛОВИЯ ДЛЯ C1-ОТОБРАЖЕНИЙ 67
+
−
L
, L
меняются непрерывно с точкой p ∈ I, и линейные расслоения L
p
p
инвариантны относительно φ,тоесть
±
±
dφL
= L
p
, (4.9)
φ(p)
а кроме того, для некоторой константы λ>1 инормы|ζ| =max(|ξ|, |η|)
мы имеем
|dφ(ζ)| λ|ζ| для ζ ∈ L
−1
(ζ)| λ|ζ| для ζ ∈ L
|dφ
+
,
p
−
.
p
(4.10)
Запишем якобиан dφ вточкеp
f
xfy
gxg
=
y
ab
cd
,
ипустьΔ=ad −bc.
1
−1
Теорема 3.3. Если Δ, Δ
ство.
Д
ОКАЗАТЕЛЬСТВО. Построим линейное расслоение L
пу сжатия. Для этого мы рассмотрим произвольное линейное расслоение
в S
+
+
=(S
).ПредставимL+=(L
p
η = α
μ−2,тоI — гиперболическое множе-
2
+
+
) ввиде
p
ξ с |αp| μ,
p
по принци-
±
p
где α
— непрерывная функция p ∈ I. Если мы подвергнем это линейное
p
расслоение отображению φ,тополучим
∗
η
1
= α
φ(p)
ξ1,
причем
c + dα
α
∗
φ(p)
=
a + bα
p
p
Из нашего предположения (4.4) следует, что α
и что, согласно (4.5), |a + bα
расслоение, а β
∗
— его образ, то мы имеем
p
|α
∗
φ(p)
− β
∗
φ(p)
| μ−1.Еслиβpзадает второе линейное
p
|
|a + bαp||a + bβp|
μ
|Δ|
2
|Δ||αp− βp|
. (4.11)
∗
определено при |αp| μ
φ(p)
− βp|
|α
p
1
|α
− βp|,
p
2
68 ГЛАВА III
итаккакI инвариантно относительно φ,то
sup
I
|α
∗
p
− β
1
∗
sup
|
p
|αp− βp|. (4.12)
2
I
Таким образом, если мы определим отображение Φ как
(ΦL)
= dφL
p
для любого линейного расслоения L
ме sup
+
S
p
обозначим символом L
= L
|αp− βp|. Значит, согласно принципу сжимающих отображений,
p∈I
содержит единственное непрерывное линейное расслоение, которое мы
+
, инвариантное относительно Φ,тоестьΦL
+
. Аналогично можно построить L
p
p
p
φ−1(p)
+
в S
на I,тоΦ — сжатие в нор-
p
−
−
в S
p
.
p
Чтобы проверить второе свойство, заметим, что при η = α
| μ, мы имеем
|α
p
|ξ
| = |a + bαp||ξ| μ−1|ξ|,
1
так что можно взять λ = μ
−1
в (4.10). Аналогично проводится доказатель-
(4.13)
+
p
ξ,где
p
ство для вертикальной компоненты. Теорема 3.3 доказана.
d) Действительно, можно доказать утверждение более сильное, чем
теорема 3.3. Напомним, что точки I могут рассматриваться как пересечения горизонтальной кривой U(s), определяемой (3.14), с вертикальной кривой V (s), см. (3.12). Здесь U (s) задается последовательностью s
а V (s) — последовательностью s
0,s−1,s−2
,.... Мы утверждаем следую-
1,s2
,...,
щее.
Теорема 3.4. При выполнении предположений i) и iii) с константой
=
0 <μ
1
min(|Δ|
2
1/2
, |Δ|
−1/2
)(4.14)
U(s), V (s) — непрерывно дифференцируемые кривые, касательные к кото-
рым в точках I совпадают с линиями гиперболической структуры.
ОКАЗАТЕЛЬСТВО. Достаточно доказать это для горизонтальных кри-
Д
вых U (s). Обозначим множество всех этих горизонтальных кривых как
U =
и докажем сначала, что
φ
U(s)
s
−1
(U) ⊂ U. (4.15)
4. АЛЬТЕРНАТИВНЫЕ УСЛОВИЯ ДЛЯ C1-ОТОБРАЖЕНИЙ 69
Действительно, согласно (3.13), мы имеем
U(s)=U
таким образом, применяя φ
−1
φ
(U(s)) = V
−1
∩ φ(U(σ(s))),
s
1
, получаем
∩ U(σ(s)) ⊂ U (σ(s)),
s
1
что доказывает наше утверждение (4.15).
Из (4.15) ясно, что отображение Φ, которое определяет (4.13), применимо к линейным расслоениям на U, а не только на I. В самом деле,
свойство сжатия (4.12) также имеет место, если заменить I на U. Доказа-
тельство в этом случае аналогичное.
Для доказательства нашей теоремы поставим в соответствие каждой
точке p ∈ U множество T
две различные точки q
→ p. Более строго, пусть точка p =(x∗,y∗) лежит на горизонтальной
q
1,q2
кривой y = u(x) ипустьT
ν
= x
— две последовательности, стремящиеся к x∗, для которых этот
ν
где x
предел существует. Согласно (3.1), мы имеем |α
предельных линий секущих, проходящих через
p
, q2на одной горизонтальной кривой U (s) с p при
1
обозначает множество линий η = αpξ,где
p
)
ν
, (4.16)
ν
| μ,имножествоαpпри
p
α
p
= lim
ν→∞
u(xν) − u(x
xν− x
фиксированном p замкнуто. Пусть
ω(T
)=maxαp− min αp 2μ,
p
где максимум и минимум берутся по всему множеству (4.16). Таким образом, из равенства ω(T
)=0следует, что y = u(x) имеет касательную
p
в p, и так как мы взяли две произвольные последовательности в (4.16), то
условие ω(T
)=0при всех p ∈ U (s) эквивалентно утверждению, что U(s)
p
непрерывно дифференцируемо.
Заметим, что отображение T =(T
) на U инвариантно относительно
p
отображения Φ, определенного в (4.13), то есть
ΦT
= Tp,
p
как видно из теоремы о среднем. Согласно свойству сжатия, мы имеем
1
)=ω(ΦTp)
ω(T
p
2
ω(T
),
p
70 ГЛАВА III
таким образом, ω(Tp)=0, что доказывает, что горизонтальные кривые лежат в C
Так как T
1
и Tpсостоит из единственной линии, касательной линии U (s) в p.
инвариантно относительно Φ, как и линейное расслоение L
p
+
p
(p ∈ I ) гиперболической структуры, то две линии совпадают, что доказывает теорему 3.4.
Вэтойсвязи,еслиφ лежит в C
∞
,тоикривыеU (s), V (s) лежат в C∞,
и если отображение φ вещественно аналитическое, то и U (s), V (s) вещественно аналитические. Следует отметить, что это свойство имеет место
без предположения гладкости граничных кривых U
a
, Va.
e) Замечания
Нашей целью будет проверка условий i) и iii) для отображения, свя-
занного с заданной системой дифференциальных уравнений, в частности,
с задачей трех тел. В связи с этим важно заметить, что условия должны
быть проверены только для φ без его итераций, тогда как теорема 3.1 имеет
значение для всех итераций φ.
С этим фактом тесно связано следующее замечание. Описанный выше
гомеоморфизм τ зависит непрерывно от диффеоморфизма φ,еслиэтидиффеоморфизмы рассматриваются в C
1
-топологии. Это частный случай теоремы Аносова о структурной устойчивости так называемых У-систем, диффеоморфизмов компактного многообразия на себя, обладающих гиперболической структурой на всем многообразии, а не только на подмножестве.
5. Ограниченная задача трех тел
a) Формулировка
Мы подошли к приложению полученных выше результатов к ограниченной задаче трех тел. Конфигурация, исследованная Ситниковым, следующая. Мы имеем две материальные точки равной массы m
движущиеся по закону притяжения Ньютона по эллиптическим орбитам,
тогда как центр масс остается в состоянии покоя. Рассмотрим третью материальную точку нулевой массы m
=0, движущуюся по линии L, перпен-
3
дикулярной плоскости движения s первых двух материальных точек и про-
ходящей через центр масс. Так как m
=0, третья точка не влияет на
3
движение первых двух материальных точек, а из симметрии расположения
ясно, что третья материальная точка будет оставаться на линии L (рис. 7).
Задача состоит в том, чтобы описать движение третьей материальной точки, которая испытывает периодическое воздействие двух первых.
Нормируем время таким образом, что период планет равен 2π, единицу
массы таким образом, что общая масса равна единице, то есть m
= m2> 0,
1
= m2=
1
5. ОГРАНИЧЕННАЯ ЗАДАЧА ТРЕХ ТЕЛ 71
Рис. 7
1
=
, и единицу длины таким образом, что гравитационная постоянная рав-
2
на единице. Пусть z — координата, описывающая положение третьей материальной точки на L,такчтоz =0соответствует центру масс, t — параметр
времени. Тогда дифференциальное уравнение примет вид
2
d
dt
z
2
= −
z
2
+ r2(t)
z
, (5.1)
3/2
где r(t)=r(t +2π) > 0 — расстояние от одной из планет до центра масс,
четная функция переменной t. Обозначая эксцентриситет через ε иучитывая принятую нормировку, можно найти при малом значении ε>0
r(t)=
1
(1 −ε cos t)+O(ε
2
2
).
Установить то, что все решения с малым значением |z| + |˙z| при t =0
остаются ограниченными при всех вещественных t — уже нетривиальная
72 ГЛАВА III
задача. Это действительно так, что следует из утверждений главы II. С другой стороны, если скорость ˙z(0) очень велика, решение будет стремиться
к бесконечности. Мы будем исследовать решения вблизи критической скорости отрыва и покажем, что существует множество орбит, которым можно
поставить в соответствие последовательности целых чисел.
b) Чтобы сформулировать результат, рассмотрим решение z(t) сбесконечным числом нулей t
ветствии с их величиной, t
(k =0, ±1, ±2,...), которые упорядочены в соот-
k
k<tk+1
s
, z(tk)=0. Введем целые числа
2π
− t
k
,
t
k+1
=
k
которые оценивают число полных оборотов планет между двумя нулями
z(t). Таким образом, мы можем поставить в соответствие каждому тако-
му решению бесконечную в обе стороны последовательность целых чисел.
Основной результат можно сформулировать как обратное утверждение.
Теорема 3.5. При достаточно малом значении эксцентриситета
ε>0 существует целое m = m(ε), такое, что каждая последователь-
ность s, в которой s
m, соответствует решению описанного выше
k
дифференциального уравнения.
Тот факт, что s
могут быть выбраны совершенно независимо, кажется
k
поразительным. Если, например, выбрать неограниченную последовательность, то соответствующее решение будет неограниченным, но при этом
иметь бесконечно много нулей. Впервые такие решения исследовались Ситниковым. Но приведенная теорема позволяет найти также бесконечно много периодических орбит за счет выбора периодических последовательностей. Конечно, чтобы сделать это заключение, необходимо знать больше
о соответствии между последовательностями и решениями дифференциального уравнения, о котором говорится в теореме.
В самом деле, утверждение теоремы можно уточнить. Во-первых, можно допустить также полубесконечные или конечные последовательности,
уходящие на ∞, которые мы рассматривали в предыдущем параграфе. Соответствующее решение, как и следовало ожидать, будет убегать после последнего пересечения с z =0, если последовательность обрывается спра-
ва. Последовательности, обрывающиеся слева, соответствуют захваченной
орбите, приходящей из ∞ и затем совершающей бесконечно много колебаний.
Во-вторых, предположение о малости ε не является существенным, так
как утверждение остается справедливым при всех 0 <ε<1 за исключени-
5. ОГРАНИЧЕННАЯ ЗАДАЧА ТРЕХ ТЕЛ 73
ем дискретного множества особых значений. Можно было бы даже допустить, что значение m
мало и положительно, как рассматривал Алексеев.
3
Наконец, мы должны указать топологический характер соответствия
между последовательностями и орбитами. Как это сделать, станет ясно из
геометрической интерпретации, приведенной ниже.
c) Редукция к отображению
Опишем любое решение z(t) =0(5.1), задав скорость ˙z
где z(t
)=0.Отметим,чтотакойнульz(t) всегда существует. В противном
0
ивремяt0,
0
случае мы можем предположить, что z(t) > 0 при всех t,следовательно,
¨z<0,тоестьz(t) вогнутая при всех вещественных t и положительна,
что невозможно. Если далее z(t
)=0, то мы имеем ˙z(t) =0,кромекак
0
вслучаеz(t) ≡ 0, согласно теореме единственности.
Таким образом, мы можем описать произвольную орбиту, задавая
(mod2π) и ˙z(t0). Так как дифференциальное уравнение инвариантно от-
t
0
носительно отражения z →−z, нам не нужно делать различия между поло-
жительными и отрицательными значениями z,имыположимv
Значение v
=0соответствует тривиальному решению. Следовательно, по-
0
= |˙z(t0)|.
0
скольку t входит в дифференциальное уравнение с периодом 2π, мы интерпретируем t
, v0как полярные координаты на плоскости, v0— радиус, t0—
0
угловая переменная.
Теперь мы определим отображение φ на части этой плоскости, следуя
вдоль решения с начальными условиями
z(t
)=0; ˙z(t0)=v
0
0
до следующего нуля, скажем t1>t0,еслионсуществует,иположимv1=
= |˙z(t
)|. Тогда отображение φ переводит (v0,t0) в (v1,t1). Возникает во-
1
прос, где определено φ. В главе V мы докажем следующую лемму.
Лемма 1. Существует вещественно аналитическая простая замкнутая кривая в R
ние φ.Для(v
2
, во внутренней части D0которой определено отображе-
) вне D0соответствующие решения уходят на бесконеч-
0,t0
ность.
Из того факта, что дифференциальные уравнения инвариантны относительно отражения (z,t) → (z, − t), можно легко сделать следующий вывод:
при отражении
ρ :(v, t) → (v, −t)
мы имеем
−1
φ
= ρ−1φρ.
Более того, справедливы следующие утверждения.
74 ГЛАВА III
Лемма 2. φ отображает D0на область D1= φ(D0), которая совпадает с отраженной областью D
= ρ(D0).Болеетого,φ сохраняет
1
элемент площади vdvdt,и
−1
= ρ−1φρ. (5.2)
φ
Лемма 3. Если ε достаточно мало и положительно, то D
и граничные кривые ∂D
, ∂D1пересекаются на линии симметрии в точке
0
= D1,
0
P некасательно (рис. 8).
Рис. 8
Разница между областью определения и областью значений является
ключевым свойством для дальнейшего исследования. При ε =0это явле-
ние не наблюдается, поскольку в этом случае как D
,такиD1являются
0
тождественными дисками радиуса 2.
d) Действительно, при ε =0мы имеем r =
уравнение допускает интеграл энергии
1
2
˙z
2
1
−
√
z2+ r
= c, где r =
2
1
, и дифференциальное
2
1
,
2
и c не зависит от t и −2.Приc<0 приведенное соотношение определяет
замкнутые кривые на плоскости z, ˙z, тогда как при c 0 эти кривые рас-
тягиваются до бесконечности. При c<0 кривая пересекает z =0в ˙z = v,
причем
2
v
=2(c +
1
)=2(c +2)< 4,
r
так что ограниченные решения лежат в диске v<2.
5. ОГРАНИЧЕННАЯ ЗАДАЧА ТРЕХ ТЕЛ 75
Чтобы описать отображение φ при ε =0, заметим, что, согласно энер-
гетическому соотношению,
v
= v0при v0< 2,
1
и время возврата t
Более того, при v
0
= T(v0) является функцией v0, независящей от t0.
1−t0
→ 2 время T будет стремиться к бесконечности. Таким
образом, отображение имеет вид
v
= v0,
1
= t0+ T (v0),
t
1
что означает, что концентрические окружности v
ются на угол T (v
), который стремится к ∞ при стремлении v0к2.Итак,
0
=const< 2 поворачива-
0
образ любого радиуса — кривая, бесконечно закручивающаяся по спирали
вокруг начала координат при приближении к границе (см. рис. 9). Аналогичное свойство имеет место при ε>0 (см. рис. 10).
Лемма 4. Пусть γ : v
такая, что γ пересекает ∂D
ствующей λ =0,тогдакакγ −p лежит в D
φ(γ):v
приближается к границе ∂D
= v0(λ), t0= t0(λ)(0 λ 1) — C1-дуга,
0
некасательно в конечной точке p, соответ-
0
= v1(λ),t1= t1(λ)
1
по спирали, то есть t1(λ) →∞при λ → 0
1
. Тогда кривая
0
(рис. 10).
Перед тем как связать эту задачу со сдвигом последовательности, рассмотренном в § 4, нам нужно сформулировать еще одну техническую лемму
о существовании расслоения секторов вблизи границы ∂D
но малого δ>0 определим D
которых до ∂D
меньше, чем δ.Таккак∂D0непрерывно дифференциру-
0
ема, мы можем связать с каждой точкой p ∈ D
шую точку q ∈ ∂D
В D
(δ) мы определим два расслоения секторов: расслоение Σ0=
0
1/3
(δ
=Σ
) ставит в соответствие каждой точке p ∈ D0(δ) множество ли-
0
при условии, что δ достаточно мало.
0
ний, которые образуют угол δ
лельно касательной к ∂D
ставит в соответствие каждой точке множество линий, дополняющих множество Σ
секторов на D
(рис. 11). Аналогично, Σ1, Σ
0
, полученные, например, отражением ρ из Σ0, Σ
1
(δ) как множество точек в D0, расстояние от
0
(δ) единственную ближай-
0
1/3
с линией, проходящей через p парал-
вточкеq,точкена∂D0,ближайшейкp. Σ
0
— соответствующие расслоения
1
.Длядостаточ-
0
.
0
0
76 ГЛАВА III
Рис. 9
Рис. 10
Лемма 5. Существует β, 0 <β<1, такое, что при достаточно ма-
лом δ отображение φ переводит D
dφ отображения φ переводит расслоение Σ
Более того, если ζ0∈ Σ
*
Так как лемма имеет место при всех малых δ, то мы можем полагать, что аргумент Σ
Σ
вточкеpν∈ Dν(ν =1, 2) является корнем третьей степени из расстояния от pνдо ∂Dν.
1
, ζ1= dφ(ζ0) и ξ0— ортогональная проекция ζ0на
0
(δ) в D1(δβ), при этом дифференциал
0
0
=Σ
1/3
(δ
0
) в Σ1=Σ1(δ
β/3).*
,
0
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]