Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Устойчивые и хаотические движения в динамических системах. В приложении к небесной механике
.pdf
3. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО ТЕОРЕМЫ 5.1 107
дает
k
=(1+A)(1 + A2) ...(1 + A
a
k+1
2
), где k =0, 1,...,
последовательность, которая сходится к хорошо известному произведению
Эйлера
(1 −A)
−1
∞
=
(1 + A
k=0
k
2
).
Конечно, все эти идеи могут быть обобщены на конечномерные и ба-
наховы пространства. Но в следующем параграфе, где представлено доказательство теоремы 5.1, мы вернемся к методу последовательных преобразований из параграфа 2b), так как благодаря ему теория преобразований
дифференциальных уравнений становится особенно удобной для наших исследований.
3. Доказательство теоремы 5.1
a) Аппроксимирующее преобразование
Для того чтобы доказать теорему 5.1, нам нужно решить уравне-
ния (1.18), (1.19) для
u = ξ +
Метод решения вытекает из идеи параграфа 2. Мы решим (1.18), (1.19)
только приближенно и будем надеяться, что ошибка будет уменьшаться после преобразования. Далее мы повторим процесс последовательно и покажем, что композиция этих преобразований действительно сходится.
Чтобы определить аппроксимирующее преобразование, заменим в пра-
0u,0
вой частиˆf(ξ +
v) наˆf(ξ, 0) и ˆg(ξ +0u,0v) на ˆg(ξ, 0). Аналогично заменим
аргументы в правой части (1.19) и опустим все произведения членов
и производные функцийˆf, ˆg, так как они будут вносить только члены квад-
ратичной ошибки. Таким образом, мы определим u, v в (3.1) как решения
систем
0
u +1uη, v = η +0v +1vη. (3.1)
⎧
0
⎨
∂
u −0v =ˆf(ξ, 0),
⎩
⎧
1
⎨
u −1v = −0uξ+ˆfy(ξ,0),
∂
⎩
0
∂
v =ˆg(ξ, 0),
1
∂
v = −0vξ+ˆgy(ξ,0),
1u,1
(3.2)
(3.3)
v
108 ГЛАВА V
где u − ξ, v должны удовлетворять условию периодичности, равно как
и (1.5). Наша первая цель состоит в том, чтобы решить эту систему линейных дифференциальных уравнений в частных производных с постоянными
коэффициентами.
b) Решение линейных уравнений
Мы видим, что оператор ∂ действует покомпонентно в векторно-
матричных уравнениях (3.2), (3.3), и нам достаточно исследовать систему
двух скалярных уравнений
∂α − β = a(ξ),
∂β = b(ξ),
(3.4)
где a, b имеют период 2π по ξ
и справедливы соотношения a(−ξ)=a(ξ),
k
b(−ξ)=−b(ξ), согласно условию обратимости. Мы ищем решения (3.4),
которые также периодичны по ξ
и удовлетворяют соотношениям
k
α(−ξ)=−α(ξ),β(−ξ)=β(ξ). (3.5)
Используя разложение в ряд Фурье и обозначение (2.4), мы видим, что
β =Λb + β
,
0
так как функция b, являясь нечетной, не имеет постоянного члена в своем
ряде Фурье; β
пользоваться для компенсирования постоянных членов в (3.4).Еслиa
постоянный член в ряде Фурье a,томыможемположитьβ
— постоянная, пока еще произвольная, которая будет ис-
0
= −a0,итогда
0
0
получим
α =Λ(a + β)=Λ((a − a
=Λ(a − a
)+Λ2b.
0
)+Λb)=
0
Решение, полученное таким образом, удовлетворяет (3.5) и определено однозначно.
Для последующего изложения важно иметь оценки для этих решений.
С этой целью мы определим для вещественно аналитической функции a(ξ),
заданной в комплексной области |Im ξ
|a|
=sup
r
| r,норму
k
|Im ξk|<r
|a(ξ)|.
—
Мы предполагаем, что b является вещественно аналитической в этой же
области.
3. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО ТЕОРЕМЫ 5.1 109
Лемма 5.2. Если 0 <ρ<r<1, то решение α, β (3.4), (3.5) яв-
ляется вещественно аналитическим в области |Im ξ
свойство
+ |β|ρ
|α|
ρ
где c
— положительная константа, зависящая от γ, τ, n и ν =2(τ + n).
1
c
1
(r − ρ)
(|a|r+ |b|r), (3.6)
ν
| <pи имеет место
k
Доказательство не вызывает затруднений. Для коэффициентов ряда
Фурье a
функции a = a(ξ) легко получить неравенства
j
n
|a
| |a|re
j
−|j|r
, |j| =
|jk|,
k=1
которые выражают экспоненциальное убывание коэффициентов ряда Фурье
вещественно аналитической функции. Следовательно, используя неравенства (1.10), можно оценить ряд малых знаменателей следующим образом:
|Λ(a − a
0)|ρ
j=0
|a|
r
|aj||(j, ω)|−1e
−1
γ
j=0
|j|τe
|j|ρ
−|j|(r−ρ)
.
Легко оценить эту сумму величиной
−τ −n
(r − ρ)
c
1
.
В самом деле, более точные оценки ведут к такому неравенству с показателем −τ (см. [65]). Учитывая, что α содержало Λ
2
, мы получаем (3.6).
Неравенство (3.6) приводит к оценке для решения u, v (3.2), (3.3),
которое мы сейчас выведем. Для этого положим
h(ξ,η)=
f
g
,ˆh =
f − ω −η
=
g
ˆ
f
, (3.7)
ˆg
где f = f(ξ, η), g = g(ξ, η) — векторные функции из (1.1). Определим
норму
=sup|ˆh(ξ,η)|,
|ˆh|
r,s
где точная верхняя грань берется по комплексной области
|Im ξ
| <r, |ηk| <s
k
110 ГЛАВА V
и всем компонентам вектораˆh. Наконец, обозначим через (h)1линейную
часть
(h)
= h(ξ,0) + hη(ξ,0)η. (3.8)
1
Лемма 5.3. Справедливо неравенство
|(h)
где c
=(n +1).
2
Д
ОКАЗАТЕЛЬСТВО. Согласно неравенству Коши, мы имеем
∂
∂η
1|r,s
h(ξ,0)
k
c2|h|
1
s
r,s
|h|
,
r,s
,
следовательно,
|(h)
(1 + n)|h|
1|r,s
r,s
.
Положим
c
1
(r − r)
r,s
, ˆw = w −
в терминах |ˆh|
ρ,s
|ˆh(ξ,0)|
ν
1
r− r
r,s
<r
c
1
(r − r)
ξ
η
r,s
<r
|ˆh(ξ,0)|
ν
(3.9)
. Используя
.
r,s
=
v
ξ +
η +
0
u +1uη
0
v +1vη
w =
u
и оценим для решения (3.2), (3.3) норму | ˆw|
|ˆw(ξ,0)|
r,s
при 0 <r<r. Чтобы оценить первые члены wξ(ξ,0) в правой части (3.3),
воспользуемся неравенством Коши и получим при r
|ˆw
(ξ,0)|
ξ
k
r,s
1
r− r
|ˆw(ξ,0)|
(r − ρ)
= r− r=
c
3
ν+1
Таким образом, взяв, например, r −r
|ˆw
(ξ,0)|
ξ
r,s
и далее, применяя лемму 5.2 к (3.3), получаем
c
4
|ˆw|
ρ,s
(r − ρ)
|(ˆh)1|
λ
r,s
(r − ρ)
1
(r − ρ),мынаходим
3
|ˆh(ξ,0)|
r,s
c
5
|ˆh|
r,s
λ
, (3.10)
3. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО ТЕОРЕМЫ 5.1 111
где
λ =2ν +1=4τ +4n +1 (3.11)
и c
= c4c2, здесь мы использовали лемму 5.3. Это искомая оценка для
5
приближенного преобразования (3.1) в обозначениях (3.9).
c) Итерационный процесс
Теперь мы преобразуем (1.1) с помощью преобразования координат
x = u(ξ,η), y = v(ξ, η), определяемого соотношениями (3.1), (3.2), (3.3),
и покажем, что преобразованная система
˙
ξ = φ(ξ, η)=ω + η +ˆφ, ˙η = ψ(ξ, η)=ˆψ
имеет меньшие члены ошибкиˆφ,ˆψ,чем(1.1), при условии, что область
ограничена подходящим образом.
Для простоты обозначений мы объединим n-векторы ξ, η и будем рас-
сматривать 2n-вектор ζ,аφ, ψ объединим в χ. Запишем новую систему
ввиде
˙
ζ = χ(
ζ)=
ω + η
0
+ˆχ. (3.12)
Лемма 5.4. Пусть 0 <α<1,аβ, λ задаются, как в (1.11), (3.11)
соответственно. Предположим
1
1−α
0 <ρ<r<1, 0 < 2σ<s<(r − ρ)
< 1(3.13)
и с константой c
из (3.10)
5
2c
sα< (r − ρ)λ. (3.14)
5
Если система (1.1) удовлетворяет условию
|ˆh|
r,s
<s
(3.15)
1+α
вобозначениях(3.7), то построенное выше преобразование переводит (1.1) в (3.12), причем
|ˆχ|
ρ,σ<c6
s
1+α
(r − ρ)
−λsα
+
2
σ
. (3.16)
s
Более того, в обозначениях (3.9) мы имеем
|ˆw|
ρ,σ<c5
(r − ρ)−λs
1+α
. (3.17)
112 ГЛАВА V
Мы отложим доказательство этой леммы и покажем сначала, что она
приводит к доказательству теоремы 5.1. Для этого выберем σ так, что
1+α
2c
(r − ρ)−λsα=
6
σ
,
s
или
σ = c
Мы можем сделать c
σ
что величина
может быть сделана малой. Таким образом, мы видим,
s
(r − ρ)
7
больше, и это, согласно (3.18) и (3.14), означает,
5
λ
−
1+α
α
1+
1+α
s
,c7=(2c6)
1
1+α
. (3.18)
что (3.16) принимает вид
|ˆχ|
ρ,σ
<s
<s
1+α
1+α
1+α
1
σ
s
2
1
σ
s
2
1+α
+ c
+
6
1
2
2
σ
<
s
1+α
σ
s
= σ
1+α
при условии, что σ выбирается, как в (3.18),иc5достаточно велико. Эта
оценка имеет тот же вид, что и (3.15) и, следовательно, хорошо подходит
для итерационного процесса.
Чтобы выполнить такую итерацию, определим две последовательности
, skсоотношениями
r
k
r
=
k
= c7(rk− r
k+1
1
2
⎧
⎪
⎪
⎨
⎪
⎪
⎩
s
, s0будут выбраны позднее.
где r
0
Из рекурсивной формулы для s
если s
достаточно мало. В действительности, из (3.19) следует
0
1
+
,
r
0
k
2
λ
1+
k+1
−
1+α
)
1+α
s
k
мы видим, что skстремятся к нулю,
k
(k =0, 1,...), (3.19)
α
,
или
λ
−
1+α
k+1
c
k+1
8
c
r
k+1
8
0
r
s
k+1
λ
−
α
r
s
0
α
1+
1+α
s
−
0
,
k
α
1+
λ
α
1+α
s
k
.
3. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО ТЕОРЕМЫ 5.1 113
Отсюда следует, что skстремится к нулю, если
λ
−
α
r
s
0
0
(3.20)
достаточно мало. Это следует из того факта, что последовательность ε
k
определенная соотношением
k+1
ε
= c
k+1
сходится к нулю при достаточно малом положительном числе ε
8
κ
ε
,κ>1,
k
. Действи-
0
тельно, если мы положим
pk+q
= c
δ
k
8
εk,p=
1
κ −1
,q=
κ
(κ − 1)
,
2
то рекурсивное соотношение примет вид
δ
k+1
что стремится к нулю, если 0 δ
0
−q
<c
. Ясно, что сходимость имеет показатель κ =1+
8
ε
Отметим также, что все условия (3.13), (3.14) имеют место для r = r
σ = r
, s = sk, σ = s
k+1
, k =0, 1,...,если(3.20) выбрано достаточно
k+1
κ
= δ
,
k
< 1, следовательно, εk→ 0,если
0
α
1+α
3
<
2
k
малым.
Чтобы доказать теорему 5.1, мы положим
s
= δ, r0= δ
0
и заметим, что мы имеем неравенство β<
β
α
всилу(1.11), (3.11),следо-
λ
(3.21)
вательно, значение (3.20) можетбытьсделаномалымзасчетвыборамалого δ.Выбравr
и лемму 5.4 с r = r
, s0, мы применим преобразование, построенное выше,
0
, s = s0, ρ = r1, σ = s1, в результате получим но-
0
вую систему с меньшей ошибкой. Мы повторим эту процедуру и получим
последовательность преобразований и последовательность систем дифференциальных уравнений. Для уравнений, которые мы записываем в виде
,
.
,
мы получаем
|ˆχ
˙
ζ
(k)
(k)
= χ
|
rk,s
(k)(ζ(k)
k
<s
1+α
k
),
,
114 ГЛАВА V
следовательно, согласно неравенству Коши,
(ξ,0)| <s
|ˆχ
(k)η
α
.
k
Теперь становится ясно, что функция χ
иееη-производные при η =0
(k)
сходятся к нулю при k →∞, что приводит к (1.13). Мы видим, что диа-
пазон η сжимается к нулю при k →∞и полученные оценки для lim
k→∞
χ
(k)
имеют место только при η =0.
Для завершения доказательства теоремы 5.1 нам нужно показать, что
композиция бесконечного числа преобразований координат сходится. Таким образом мы получим требуемое в теореме преобразование. Сходимость
такого составного преобразования легко получить из (3.17),выбравr =
= r
как r
, ρ = r
k
− r
k
, s = sk.Таккакskстремится к нулю очень быстро, тогда
k+1
стремится к нулю только геометрически, правая часть также
k+1
уменьшается быстро, и композиция таких отображений сходится вместе с
r
их η-производными при η =0в области |Im ξ
линейно по η, мы получаем, фактически, сходимость в |η
найти оценки
|ˆw|
r
s
0
0
,
2
2
<c9r
−λ
0
s
1+α
0
=(c9r
0
| <
k
. Так как отображение
2
| <
k
−λ
α
s
)s0.
0
0
s
0
иможем
2
Выражение в скобках может быть сделано, как выражение в (3.20),сколь
угодно малым, за счет уменьшения δ,итаккакs
= δ, мы получаем нера-
0
венство (1.14).
d) Доказательство леммы 5.4
Чтобы оценить ошибку ˆχ в преобразованном уравнении, перепишем
определяющие уравнения (3.2), (3.3) преобразованного уравнения в более
компактном виде. Используя обозначения из (3.7), (3.8), (3.9),мыможем
объединить (3.2), (3.3) иполучим
∂ ˆw −
ˆv
0
(ξ,0)η +(ˆh)1. (3.22)
=ˆw
ξ
С другой стороны, формула преобразования (1.16) принимает вид
χ = h(w),
w
ζ
или, при
χ =
ω + η
0
+ˆχ, w = ζ +ˆw, h =
ω + y
0
+ˆh,
3. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО ТЕОРЕМЫ 5.1 115
вид
w
ˆχ + ∂ ˆw −
ζ
ˆv
0
= −ˆw
η +ˆh(w).
ξ
Вычитая (3.22) из полученного выражения, мы находим
w
ˆχ = −(ˆwξ− ˆwξ(ξ,0))η +ˆh(w) − (ˆh)1. (3.23)
ζ
Эти уравнения будут использоваться для оценки ˆχ.
С учетом предположения (3.15), из неравенства (3.10) мы получа-
ем (3.17), и, согласно оценке Коши,
|ˆw
ζ|ρ,σ<c5
так как, согласно (3.13), r −ρ>s
1−α
неравенства, согласно (3.14), меньше
(r − ρ)
−λsα
,
>s>s−σ. Правая часть последнего
1
, и, следовательно, wξ= I +ˆw
2
имеет обратное отображение с нормой < 2. Таким образом, из (3.23) мы
заключаем
< 2|(ˆwξ− ˆwξ(ξ,0))η|
|ˆχ|
ρ,σ
+2|ˆh(w) − (ˆh)1(w)|
ρ,σ
+2|(ˆh)
+
ρ,σ
(w) − (ˆh)1(ζ)|
1
. (3.24)
ρ,σ
Оценим три члена в отдельности. Используя оценку Коши, находим
1+α
−λ−1s2+α
σ
s − σ
. (3.25)
2
,
|(ˆw
ξ
Если 0 <σ
− ˆwξ(ξ,0))η|
<s, то мы имеем
|ˆh − (ˆh)
ρ,σ
1|ρ,σ
| ˆw
1
2
|
σ2 c10(r − ρ)
ξ
ρ,σ
η
|ˆh
yy|ρ,σ
σ2<s
ζ
итаккакv(ξ, η)=η +ˆv лежит в
|y| <σ+ c
мы возьмем для σ
(r − ρ)−λs
5
правую часть последнего соотношения. Тогда мы полу-
чим
|ˆh(w) − (ˆh)
1+α
s
c
11
(w)|
1
σ
+ c
s
ρ,σ
(r −ρ)−λs
5
α
1+α
при |Im ξk| <ρ, |ηk| <σ,
2
c11s
1+α
2
σ
2
+2[c5(r − ρ)−λsα]
s
2
,
116 ГЛАВА V
и так как, согласно (3.14), выражение в квадратных скобках < 1,мыувеличиваем правую часть, опуская квадрат, и с учетом (3.18) получаем
|ˆh(w) − (ˆh)
(w)|
1
ρ,σ
c12s
1+α
(r − ρ)
−λsα
+
2
σ
.
s
Наконец,
(w) − (ˆh)1(ζ)|
|(ˆh)
1
max |ˆhz||ˆw|
ρ,σ
+max|ˆhxy||ˆw|
ρ,σ
ρ,σ
|v|
ρ,σ
.
В этом соотношении мы оценим v спомощью(3.13), (3.14)
|v|
<σ+ c5(r − σ)
ρ,σ
−λsα
s
<σ+
1
s<s.
2
Кроме того, из (3.13) следует неравенство s<r− ρ, которое используется
в оценке
α
1+α
+
.
s
r − ρ
c
(r − ρ)−λs
5
1+α
s
|(ˆh)
(w) − (ˆh)1(ζ)|
1
sαc5(r − ρ)−λs
ρ,σ
α
2s
c5(r − ρ)−λs
1+α
Мы можем видеть, что член в правой части уже присутствовал в предыдущей оценке. Более того, выражение в правой части (3.25) ограничено этим
членом, так как, согласно (3.13), s
1−α
<r−ρ. Таким образом, объединяя
эти оценки, мы получаем для (3.24)
|ˆχ|
с новой константой c
1+α
ρ,σ<c6
s
, что и является содержанием (3.16). Это завершает
6
(r − ρ)
−λsα
+
2
σ
s
доказательство леммы 5.4, а значит, и теоремы 5.1.
4. Обобщения
a) Связь с алгебрами Ли
Доказательство параграфа 3 было проведено для обратимых систем,
однако, как было отмечено, методы можно обобщить на более общие случаи. Для утверждения о том, что компактные инвариантные многообразия,
или их подсистемы, сохраняются, необходимо, вообще говоря, чтобы класс
дифференциальных уравнений был соответствующим образом ограничен.
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]