Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Устойчивые и хаотические движения в динамических системах. В приложении к небесной механике
.pdf
6. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО ЛЕММЫ 5 ГЛА ВЫ III 147
а соответствующие линеаризованные дифференциальные уравнения
˙p = F
p + Fvq + Ftτ,
u
˙q = G
p + Gvq + Gtτ,
u
˙τ =0.
Дифференцируя, мы видим, что
(6.7)
p =
ξ
2√x
,q=
η
2√y
являются решениями (6.7),если(x, y) — решения (2.10),аξ, η — решения (6.1). Следовательно, наши соотношения (6.4), (6.5) превращаются
в соотношения
|q(t)| θ|p(t)|,τ(t)=0, (6.8)
при условии, что они справедливы в начальном положении и имеет место
неравенство
)| |p(t0)|. (6.9)
|p(t
1
Очевидно, что эти соотношения намного проще, и мы проверим их, используя предположение (6.3).
Предположим, что (6.8) имеет место при t = t
2p2
ние θ
(t) −q2(t), которое положительно при t = t0. Для того чтобы пока-
зать, что это неравенство имеет место при всех t на интервале t
, и рассмотрим выраже-
0
t t1,
0
очевидно, достаточно показать, что
d
2p2
(θ
(t) −q2(t)) 0, (6.10)
когда θ
dt
2p2
(t) − q2(t) обращается в нуль. Тогда это выражение не может
изменить свой знак. Используя (6.7) и τ =0,находим
1
d
2p2
(θ
− q2)=θ2(Fup2+ Fvpq) − Gupq − Gvq2,
иеслиθ
2
dt
2p2
= q2, то мы получаем
1
2
dt
и, с учетом (6.6),
2(u2
= q
2(u2
= q
d
2p2
(θ
− q2)=q2(Fu± (θFv− θ−1Gu) −Gv)
+ v2)2{7u2+ v2± (θ + θ−1)6uv + u2+7v2+ O4},
+ v2)2{8(u2+ v2) ±(θ + θ−1)6uv + O4}.
148 ГЛАВА VI
Действительно, квадратичная форма в скобках положительно определена,
если
θ + θ
и это, безусловно, справедливо для
достаточно малым, то член ошибки O
<
3
1
<θ<1. Если значение a выбрать
2
будет подавлен. Это означает, что
4
8
−1
мы доказали (6.10), а следовательно, и (6.8).
Чтобы доказать (6.9), мы воспользуемся предположением (6.8),иполучим из (6.7)
p ˙p =(F
− θ|Fv|)p2
u
2
+ v2)2{7u2+ v2− θ 6uv + O4}p2,
(u
причем квадратичная форма справа положительно определена, если θ<
Таким образом, при выполнении (6.3) мы получаем, что при достаточно
малом значении a справедливо неравенство p ˙p 0, что приводит после
интегрирования к (6.9), и, таким образом, лемма 2 доказана.
В последующем константа α в (5.6) будет зафиксирована в интервале
1
0 <α<
, (6.11)
3
а a будет выбрана таким образом, чтобы предыдущие оценки оставались
справедливыми; что касается δ в (5.3), то мы будем рассматривать эту величину как малый параметр из интервала 0 <δ<aи выберем позднее.
b) Семейство клиньев
Чтобы интерпретировать результат приведенной выше леммы, мы
ограничим начальные значения x
в (5.2) и выберем t
ресекает A
(a) или, согласно (5.6),—A1(δ
1
как первое время >t0, для которого это решение пе-
1
решения (6.1) вдоль такого решения x(t), y(t) при t
чим начальные условия ξ
, η0, τ0клином W0, порожденный соотношением
0
, y0, t0решения (2.10) кольцом A0(δ)
0
1−2α)*
. Далее мы рассмотрим
t t1. Мы ограни-
0
|η| θ
a
|ξ|,τ=0
x
0
7
.
9
*
Как и в (5.9), мы полагаем, что δ выбирается настолько малым, что выполняется нера-
венство δ
1−2α
<a.
6. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО ЛЕММЫ 5 ГЛА ВЫ III 149
и вектором, заданным начальными условиями,
ξ = f
тривиального решения. Другими словами, вектор (ξ
жит W
, если он может быть записан в виде
0
где λ — некоторое действительное число, ξ
ству
= f(x0,a,t0),η= g0= g(x0,a,t0),τ=1
0
0,η0,τ0
= ξ∗+ λf0,η0= η∗+ λg0,τ0= λ, (6.12)
ξ
0
∗
,аη∗удовлетворяют неравен-
) принадле-
|η
∗
| θ
a
|ξ∗|. (6.13)
x
0
Заметим, что (6.13) описывает сектор (6.4) рассмотренной выше леммы
при t = t
клин W
. Согласно лемме, поток (6.1) переводит такой клин W0вдругой
0
, порожденный сектором
1
y
1
|ξ|
a
и вектором ξ = f
|η| θ
= f (a, y1,t1), η = g1= g(a, y1,t1), τ =1.Таким
1
образом, для того чтобы получить утверждение об отображении dψ,мы
должны просто пересечь клинья W
, соответственно. Обозначим касательные плоскости к Ajчерез T (Aj)
A
1
, W1касательными плоскостями к A0,
0
(j =0, 1), тогда получим, что dψ отображает сектор
W
∩ T (A0) в W1∩ T (A1),
0
и остается только определить эти сектора.
Для точки (ξ
0,η0,τ0
должны взять λ = −η
ξ
= ξ∗− η∗g
0
∗
, η∗удовлетворяют (6.13). Мы слегка уменьшим этот сектор и потре-
где ξ
) в W0∩T (A0) мы имеем η0=0и, следовательно,
−1
∗
g
в (6.12), задавая
0
−1
f0,η0=0,τ0= −η∗g
0
−1
, (6.14)
0
буем, чтобы он содержал сектор
x
0
μ
| |ξ0|,η0=0, где μ0= f0+ |g0|θ
0|τ0
−1
. (6.15)
a
Действительно, (6.15) сучетом(6.14) приводит к соотношению
μ
|η∗| = μ0|τ0g0| |ξ0||g0| |ξ∗||g0| + |η∗|f
0
0
150 ГЛАВА VI
и, так как μ0>f0,отсюдаследует
|
|g
∗
|η
|
0
μ0− f
|ξ∗| = θ
0
a
|ξ∗|,
x
0
что совпадает с (6.13). Таким образом, (6.15) содержится в W
Аналогично, легко проверить, что W
ξ
=0, |η1| μ1|ξ1|, (6.16)
1
где
μ
= |f1|θ
1
∩ T (A1) содержится в секторе
1
y
1
+ |g1|, (6.17)
x
1
∩ T (A0).
0
иотсюдаследует,чтоdψ переводит сектор (6.15) в (6.16).
Введем некоторые обозначения:
S
(μ0): μ0|τ0| |ξ0|,
0
S
): |η1| μ1|τ1|,
1(μ1
так что dψ отображает S
в (6.15), (6.17). Отметим, что секторы S
личением μ
,тогдакакS1(μ1) становятся больше с увеличением μ1,следо-
0
(μ0) в S1(μ1),еслиμ0, μ1выбираются, как
0
(μ0) становятся меньше с уве-
0
вательно, приведенное выше утверждение остается справедливым, если обе
величины μ
, c2, зависящих от a, α, но не от решения или δ, мы находим из (5.9),
c
1
, μ1увеличиваются. Для некоторых положительных констант
0
(2.10), (6.15) и (6.17)
1
(1−2α)
2
1
2
δ
c
1
2
(1−2α)
,
. (6.18)
тогда
μ
c
0
dψ : S
√
δ, μ1 c2δ
1
√
(c
δ) → S
1
0
Аналогично, оценка (6.5) приводит к неравенству
1
−
−1
2
δ
|ξ0| (6.19)
3
для векторов (ξ
, 0,τ0) ∈ S
0
же функцию, что и c
|τ
| c
1
√
(c
δ),гдеc3— постоянная, выполняющая ту
1
0
, c2выше. Действительно, если (ξ0,η0,τ0) ∈ T (A0)
1
6. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО ЛЕММЫ 5 ГЛА ВЫ III 151
записать в виде (6.12),гдесейчасη0=0, то мы имеем, согласно (6.14),
1
∗
| |ξ0|−|τ0|f01 −c
|ξ
−1
1
−
2
δ
f
0
1
|ξ
|
|ξ
0
|
0
2
при достаточно малом δ,таккакf
Если мы запишем образ вектора (ξ
нии dψ ввиде(ξ
0=ξ
= ξ
1
1,η1,τ1
) с ξ1=0и положим, аналогично (6.12),
∗
+ λ1f1,η1= η
1
= O(δ).
0
0,η0,τ0
∗
1
),гдеη0=0, при отображе-
+ λ1g1,τ1= λ1, (6.20)
то мы имеем, согласно (6.5) в лемме 2
1
2
a
∗
|
|ξ
1
δ
|ξ∗|
1
2
1
2
a
|ξ0|
δ
и, согласно (6.20),
1
a
−4
1
2
δ
так как 0 <f
−1
1
∗
|ξ
| (2a)
1
| = f
|τ
1
< (2a)4. Таким образом, мы проверили (6.19),гдеc3=25a
1
На рис. 21 мы отметили «широкий» сектор S
Ясно, что кривая γ, t
= t0(x0), дифференцируемая на отрезке 0 x0 δ,
0
2
|ξ0| = c
1
−
−1
2
δ
|ξ0|,
3
и «узкий» сектор S1.
0
отображается в кривую, которая стремится по спирали к границе y
=0на A
в S
0
образа будет лежать в S
.Болеетого,прималомδ касательный вектор к γ попадет
1
1
2
δ
c
и, следовательно, согласно (6.18), касательный вектор кривой
1
1
1
−α
2
δ
c
2
. Отсюда видно, что и касательная
7
2
.
=
1
кривой-образа стремится к касательной y
Из (6.19) мы можем получить нижнюю оценку для производной T
=0при x0→ 0.
1
x
времени T (x0,t0)=t1− t0. С этой целью рассмотрим кривую γ : t0=
=const, которая отображается в t
как касательная к γ лежит в S
= t0+ T(x0,t0), y1= y1(x0,t0).Так
1
1
2
δ
c
0
1
при 0 <x
δ, то мы заключаем
0
0
152 ГЛАВА VI
Рис. 21
из (6.19),что
∂T
=
∂x
0
∂t
∂x
1
c
0
−1
3
1
−
2
δ
при 0 <x0 δ,
следовательно,
Эта оценка показывает, что также
→ 0.ДлясамогоT это уже было показано в (5.10). Однако следует
x
0
∂T
c
∂x
0
∂x
1
−
2
−1
x
.
0
3
∂T
стремится к бесконечности при
0
сказать, что приведенная оценка очень грубая и даже не отражает верный
показатель, хотя эти оценки достаточны для наших рассуждений.
с) Завершение доказательства леммы 5
Чтобы закончить доказательство леммы 5, мы должны лишь перевести
оценки (6.18), (6.19) для ψ ваналогичныеоценкидляφ, используя (5.5).
Здесь мы снова отметим, что φ
тельности, вещественно аналитические) вплоть до границы A
, φ−в (5.5) дифференцируемы (в действи-
+
(δ), A1(δ).
0
6. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО ЛЕММЫ 5 ГЛА ВЫ III 153
Следовательно, существуют постоянные c4, c5, зависящие от производных
φ
, φ−,такие,что
+
φ
−(A0
(δ)) ⊃ D0(c
−1
4
δ)
и
: A1(δ) → D1(c5δ).
φ
+
Таким образом, полагая δ
точно малом δ
0
φ : D0(δ0) → D1(c5(c4δ0)
−1
= c
0
δ, мы заключаем из (5.6),чтопридоста-
4
1−2α
) ⊂ D1(δ
β
),
0
если мы возьмем β =1− 3α, которое является положительным, соглас-
но (6.11). Это доказывает первое утверждение леммы 5, если мы заменим
на δ.
δ
0
Рис. 22
Далее ясно, что dφ−отображает касательный вектор в направлении
вточкеp ∈ A0(δ) в вектор в точке φ−(p) ∈ D0, направление которого
t
0
отличается от направления касательного вектора к ∂D
ближайшей к φ
должны аппроксимировать φ
зом, в обозначениях Σ
граничной точке, на величину O(δ). Для этого мы просто
−
, Σ1главы III, § 5d) и S
0
линейным по x0отображением. Таким обра-
−
, S1предыдущего параграфа,
0
вточкеq ∈ ∂D0,
0
мы имеем
dφ
1
2
δ
S
−
c
1
0
⊃ Σ
1
2
δ
c
5
0
0
⊃ Σ
1
3
δ
0
0
154 ГЛАВА VI
с достаточно малой константой δ0= c
φ
дает
+
1
−α
2
δ
c
2
1
(1 − 3α) >
2
dφ :Σ
0
так как
получаем
dφ
+
1
− α>
2
S
1
−1
δ. Аналогичное рассмотрение для
4
⎛
⎝
c
1
→ Σ
δ
6
0
1
⊂ Σ
1
β. Комбинируя эти оценки с (6.18),мы
3
1
3
δ
0
⎛
⎝
⎞
1
−α
2
⎠
⎞
β
3
⎠
δ
,
0
⊂ Σ
⎛
⎞
β
3
⎝
⎠
δ
1
,
0
что доказывает второе утверждение леммы 5.
Наконец, последнее утверждение следует очевидным образом из (6.19)
и того наблюдения, что дополнительные константы, появляющиеся из различных проекций, исчезают, так как мы уменьшили показатель
1
до
. Таким образом, лемма 5 полностью доказана.
3
1
в (6.19)
2
Заметим следующее: очевидно, не важно, что мы использовали ортогональные проекции в лемме 5, можно было бы с тем же успехом заменить
рассматриваемые проекции на проекции вдоль направлений, трансверсальных к касательным к ∂D
метрики.
На рисунке приведен схематичный вид многообразий W
или ∂D1. Это равнозначно введению другой
0
+
, W−орбит,
которые являются параболическими при t → +∞ и t →−∞, соответствен-
но. Данные многообразия — двумерные многообразия в трехмерном фазовом пространстве. Как показывает локальное исследование в § 2, многообразия W
+
, W−пересекаются на бесконечности по замкнутой кривой Γ,
которую мы рассматриваем как аналог гиперболической периодической орбиты. Но вблизи Γ эти многообразия не имеют других точек пересечения.
С другой стороны, W
, соответственно, которые пересекаются, в частности, в точке P,игра-
∂D
1
+
, W−пересекают плоскость z =0по кривым ∂D0,
ющей роль гомоклинической точки.
7. Доказательство теоремы 3.7 о гомоклинических точках
а) Локальное исследование гиперболической точки
Доказательство теоремы 3.7 проводится совершенно аналогично дока-
зательству теоремы для ограниченной задачи трех тел. Мы начнем с ло-
7. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО ТЕОРЕМЫ 3.7 О ГОМОКЛИНИЧЕСКИХ ТОЧКАХ 155
кального исследования диффеоморфизма φ вблизи гиперболической неподвижной точки p. Предположим, что собственные значения якобиана в p —
λ, μ,где
0 <μ<1 <λ. (7.1)
+
−
, W
Хорошо известно, что инвариантные кривые W
1
-кривые; действительно, они являются C∞-кривыми, если отображение
C
φ из C
C
∞
, и аналитическими, если φ аналитическое. Оставаясь в классе
-отображений, мы можем ввести локальные координаты, такие, что p
p
, выходящие из p —
p
соответствует x = y =0, а инвариантные кривые — координатным осям.
Обозначая образ точки x, y при действии φ через (x
= f(x, y),
x
1
= g(x, y)
y
1
), мы получаем
1,y1
(7.2)
в окрестности x = y =0,здесьf, g непрерывно дифференцируемы в этой
окрестности и
f(0,y)=g(x, 0) = 0,
f
(0, 0) = λ, gy(0, 0) = μ.
x
(7.3)
Первое равенство (7.3) выражает просто тот факт, что x =0, y =0— ин-
вариантные относительно φ кривые. Ограничимся рассмотрением квадрата
Q :0 x a, 0 y a, (7.4)
где a выбрано достаточно малым. Далее мы будем писать x
y, а образ этой точки при действии φ
k
будем обозначать xk, yk.
, y0вместо x,
0
Поставим в соответствие отображению φ линеаризованное отображе-
ние dφ, заданное следующим образом:
ξ
= fxξ + fyη,
1
η
= gxξ + gyη.
1
k
Образ точки при действии dφ
мы обозначим ξk, ηk.
Лемма. При достаточно малом a>0 и для любой последовательно-
сти итераций (x
) (k =0, 1, ...,n)внутриQ неравенство
k,yk
y
0
|ξ0|
x
0
влечет
|
|η
0
y
|η
|
k
k
|ξk| при k =1, 2, ...,n. (7.5)
x
k
156 ГЛАВА VI
Более того, в этих предположениях мы имеем
x
|ξ
|
k
В доказательстве мы используем такой же прием как и в § 6. Мы вве-
дем координаты u, v спомощьюформулx = u
k
|ξ0|. (7.6)
x
0
2
, y = v2, так что наше
отображение принимает вид
= F(u, v),v1= G(u,v)
u
1
a. Более того, согласно (7.3),
для 0 u, v
√
F (0,v)=G(u, 0) = 0,
F
(0, 0) =√λ, Gv(0, 0) =√μ,
u
*
здесь F, G непрерывно дифференцируемы, если f , g ∈ C
. Записывая
линеаризованное отображение в виде
p
= Fup + Fvq,
1
= Gup + Gvq,
q
1
мы имеем при |q| |p|
|p
| (√λ − O(a))|p|,
1
|q
| (√μ + O(a))|p|,
1
следовательно, если a достаточно мало, то
|q
| |p1|, |p1| |p0|.
1
В более общем виде, мы заключаем
|q
| |pk| при k =0, 1, ...,n,
k
если это соотношение имеет место при k =0и при условии, что точки
) (k =0, 1, ...,n) остаются в области 0 u, v √a. Дифференци-
(u
k,vk
рование x = u
2
, y = v2показывает, что это приемлемо для
ξ
p
k
k
=
2√x
,qk=
k
η
2√y
k
,
k
в результате мы приходим к утверждению леммы.
*
В этом месте мы используем тот факт, что φ — C-диффеоморфизм, это предположение
может быть заменено более мягким. Работая с модулем непрерывности f
расширить это доказательство на C
1
-отображения.
, fy, gx, gy,можно
x
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]