Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Устойчивые и хаотические движения в динамических системах. В приложении к небесной механике
.pdf
3. ИНВАРИАНТНЫЕ МНОГООБРАЗИЯ 37
ной системы, заданной гамильтонианом H0(y), и предположим, что возмущенная система задается гамильтонианом
H(x, y, μ)=H
(y)+μH1(x, y)+..., (3.8)
0
где μ —малыйпараметр,H — вещественно аналитическая функция 2n +
+1переменных. Кроме того, мы требуем, чтобы гамильтониан H имел
период 2π по x
,...,xn. Таким образом, при μ =02n-мерное фазовое
1,x2
пространство расслаивается на n-параметрическое семейство инвариантных торов y
= ck(k =1,...,n), на которых поток задается следующим
k
образом:
(c)
∂H
˙x
k
0
=
∂y
.
k
Что происходит с этим расслоением при малых значениях μ? Оказывается,
что торы, для которых частоты
(c)
∂H
ω
k
0
=
∂y
k
(3.9)
не только рационально независимы, но и удовлетворяют с некоторыми положительными постоянными γ,τ неравенствам
n
для всех целых j
|
jkωk| γ|j|
k=1
при условии |j| =|jk| 1, сохраняются при воз-
k
−τ
(3.10)
мущении на малые значения μ. Это утверждение является содержанием
следующей теоремы.
Теорема 2.7 (Колмогоров–Арнольд [59], [6]). Пусть Y — открытое
множество в R
n
, и пусть H(x, y, μ) — вещественно аналитическая функция переменных x, y, μ при всех вещественных x, y ∈ Y вблизи μ =0.Кроме
того, предполагается, что H имеет период 2π по x
,...,xnи H0=
1,x2
= H (x, y, 0) не зависит от x.Выберемточкуc так, что частоты (3.9)
удовлетворяют (3.10), а гессиан
2
H
∂
0
l
(3.11)
det
∂yk∂y
не обращается в нуль при y = c. Тогда при достаточно малых |μ| существует инвариантный тор
x = θ + u(θ, μ),
y = c + v(θ, μ),
(3.12)
38 ГЛАВА II
где u(θ, μ),v(θ, μ) — вещественно аналитические функции μ, θ =(θ1,...,θn)
имеют период 2π по θ
,...,θnи обращаются в нуль при μ =0.Более
1,θ2
того, поток на торе задается уравнением
˙
θ
= ωk, (k =1,...,n). (3.13)
k
Это уравнение определяет подсистему системы, заданной гамильтонианом (3.8),и(3.12) определяет вложение тора.
Можно было бы ожидать, что такое продолжение имеет место для всех
торов невозмущенного семейства. Однако это не так; уже Пуанкаре было
известно, что те торы y = c, для которых ω
— целые кратные некото-
k
рого положительного числа, и, следовательно, состоят из периодических
решений, разрушаются при малых возмущениях и, вообще говоря, только
конечное число периодических решений будет сохраняться при малых значениях |μ|. Таким образом, условие вида (3.10), исключающее рациональную зависимость частот, существенно. Конечно, кажется маловероятным,
что такое соотношение можно обеспечить при возмущении. Следовательно, важно отметить, что в теореме утверждается, что частоты ω
остаются
k
независимыми от μ и поэтому все соотношения (3.10) действительно сохраняются. То, что это возможно, есть следствие условия (3.11).
На самом деле, можно доказать более сильное утверждение, чем теорема 2.7. Оказывается, что дифференциальная форма
n
dyk∧dxkобраща-
k=1
ется в нуль тождественно на торах (3.12); многообразия, обладающие этим
свойством и имеющие максимальную размерность, называют лагранжевыми многообразиями. Если мы представим этот тор в явном виде
y
= gk(x, μ),
k
то получим, что
n
k,l=1
g
dxk∧ dxl=
kx
l
k<l
(g
kx
l
− g
lx
k
) dxkdxl=0.
Следовательно, существует функция S(x, μ), такая, что g
задается следующим образом
y
= S
k
где градиент S имеет период 2π по x
(x, μ), (3.14)
x
k
,...,xn.
1
k
= S
,итор
x
k
3. ИНВАРИАНТНЫЕ МНОГООБРАЗИЯ 39
Тот факт, что (3.14) представляет собой инвариантный тор, эквивалентен условию
˙y
=
S
k
l
xkx
˙xl,
l
или тождеству
∂H
−
=S
∂x
k
xkx
l
∂H
∂y
,
l
или утверждению, что
H(x, S
,μ)=c(μ)
x
не зависит от x. Таким образом, в теореме утверждается, на самом деле, разрешимость уравнения Гамильтона–Якоби посредством функции S,
градиент которой имеет период 2π по x
,...,xnпри малых значени-
1,x2
ях |μ|. Мы обсудили решение уравнения Гамильтона–Якоби (3.7) взависимости от n параметров p
,...,pnдля преобразования возмущенной си-
1
стемы в интегрируемую и увидели, что в общем случае это невозможно.
Но для некоторых значений p, которые соответствуют частотам ω,удовлетворяющим (3.10), такое решение действительно существует и приводит
к возникновению инвариантного тора (3.12). Это в точности позволяет ответить на вопросы, поставленные Вейерштрассом, когда он выразил сомнение по поводу того, что теорема Пуанкаре о несуществовании интегралов
в конце концов влечет несуществование квазипериодических решений (см.
обсуждение в главе I).
Укажем еще одно замечание к фундаментальной теореме 2.7: данная
теорема не только гарантирует существование одного тора для каждого малого значения μ, но также говорит о множестве торов, соответствующих
различным выборам ω. Так как дополнение множества ω, удовлетворяющих (3.10) с некоторыми γ, τ, имеет меру нуль, то можно было бы предположить, что такие торы исключают только множество меры нуль. Однако
это не так, поскольку торы существуют только при условии |μ| μ
где μ
зависит от γ. Тем не менее, можно доказать следующее утверждение
0
(см. [59]).
Мы рассмотрели приведенную систему в области T
n
×Y ,гдеTnобо-
0
(γ),
значает тор, заданный (x, y) сусловиемy = const. Мы можем предположить, что Y имеет компактное замыкание, в противном случае рассмотрим
соответствующее подмножество. Пусть теперь ε — заданное положительное число, тогда существует такое μ
=
(μ) ⊂ T
n
× Y , покрытое инвариантными торами, удовлетворяет
= μ1(ε) > 0,чтопри|μ| <μ
1
1
условию
n
m((T
× Y ) −) <εm(Tn× Y ),
40 ГЛАВА II
где m обозначает меру Лебега на Tn× Y . Таким образом, большинство
решений в этом множестве — квазипериодические.
Хотя эта теорема непосредственно не применима к задаче о равновесии § 2, ее идеи могут быть взяты за основу, и мы получим следующий результат относительно проблемы устойчивости. Используя обозначения § 2,
предположим, что
n
jkαk=0 для 0 < |j| 4(3.15)
k=1
при всех целых j
с вышеуказанным ограничением. Тогда нормальная фор-
k
ма теоремы 2.4 может быть получена, по крайней мере, до членов четвертого порядка, и преобразованный гамильтониан Γ=Γ(ξ, η) примет вид
n
Γ=
iαkpk+βklpkpl+ O5,
k=1
где
1
2
p
=
(ξ
k
2
— степенной ряд, содержащий члены только порядка 5.
и O
5
k
+ η
2
)
k
Теорема 2.8. Пусть функция H(x, y) — вещественно аналитическая
в начале координат, и пусть ее первые производные обращаются в нуль
в этой точке. Если, далее, имеет место (3.15) и
det(β
) =0, (3.16)
kl
то для любого ε>0 существует окрестность U = U (ε) начала координат, содержащая такое множество=(δ) квазипериодических решений, что
m(U −) <εm(U ).
Таким образом, при выполнении конечного числа условий (3.15),
(3.16) мы имеем устойчивость ослабленного типа. За исключением малой
доли, все решения окрестности U остаются в ней. Примеры показывают,
что исключенное множество убегающих решений может быть непустым.
Однако важный пункт этой теоремы заключается в том, что ослабленный тип устойчивости требует выполнения только конечного числа
условий и не требует рациональной независимости собственных значений.
3. ИНВАРИАНТНЫЕ МНОГООБРАЗИЯ 41
Усл ов ие (3.16) ограничивает нелинейные члены и позволяет нам эффективно устранить условие (3.15) для |j| > 4. Более того, поток, обладающий
таким положением равновесия, не является эргодическим, так как инвариантное множество Σ и имеет положительную меру.
Сказанное выше может быть обобщено на случай, когда члены не четвертого, а некоторого четного порядка в гамильтониане являются невырожденными. Также возможно отказаться от условий, накладываемых на функции, и рассматривать не класс вещественно аналитических функций, а потребовать, чтобы H принадлежал C
l
,гдеl — достаточно большое. В [60]
было показано, что условие l>2n +2является достаточным, и даже достаточно выполнения того условия, что производные до порядка 2n +2
непрерывны по Гельдеру.
e) Обратимые системы
Существует аналогичное теореме 2.7 утверждение для класса обратимых систем. Так как доказательство в этом случае технически в чем-то
проще, мы представим его в главе V взамен доказательства для случая гамильтоновой системы. Хотя идеи здесь, по сути, те же самые.
Рассмотрим систему
˙x = f(x, y, μ),
˙y = g(x, y, μ),
где x,y — n-векторы, f, g — вещественно аналитические функции периода
2π по x
,...,xnи
1
f(x, y, 0) = F (y),g(x, y, 0) = G(y)
не зависят от x. Обратимый характер системы выражается следующим образом:
f(−x, y, μ)=f (x, y, μ),g(−x, y, μ)=−g(x, y, μ).
В частности, отсюда следует, что G(y)=0, и система при μ =0допускает
инвариантные торы y = c спотоком
˙x = F (c).
Требуя, чтобы определитель якобиана F
тируем, что можно выбрать c таким образом, что частоты ω
не обращался в нуль, мы гаран-
y
= Fk(c) удо-
k
влетворяют (3.10).
Теорема 2.9. При вышеуказанных условиях, если
∂F
k
det
=0 на y = c,
∂y
l
42 ГЛАВА II
то существует инвариантный тор
x = θ + u(θ, μ),
y = c + v(θ, μ),
где u(θ, μ),v(θ, μ) — вещественно аналитические функции с периодом 2π
по θ
,...,θn, обращающиеся в нуль при μ =0, с потоком
1,θ2
˙
θ
= ωk.
k
Из обратимого характера системы дополнительно следует
u(−θ, μ)=−u(θ, μ),v(−θ, μ)=v(θ, μ).
Имеется аналогия с теоремой 2.8: если в системе (2.13) чисто мнимые
собственные значения α
,...,αnудовлетворяют (3.15),тонормальная
1,α2
форма может быть получена до членов порядка 4. В обозначениях предыдущего параграфа мы имеем
n
(p)=αk+ i
Φ
k
βklpl,pk= |ζk|
l=1
2
и (βkl) — вещественная симметричная матрица. Если эта матрица невырожденна, то мы имеем такое же утверждение об ослабленной устойчивости,
как в теореме 2.8.
4. Теорема о закручивании
a) Отображение кольца
Этот параграф посвящен некоторым результатам о сохраняющих площадь отображениях на плоскости. Мы обсудим ряд теорем, до некоторой
степени аналогичных теоремам предыдущего параграфа, но результаты этого параграфа обладают тем преимуществом, что они более доступны для
геометрической интерпретации.
Существует хорошо известная и тесная связь между потоками и отображениями. Например, если мы рассматриваем поток на m-мерном фазовом
пространстве вблизи периодической орбиты, то можно поставить в соответствие этому потоку отображение (m−1)-мерной окрестности неподвижной
точки этого отображения. Для этого мы просто пересекаем периодическую
4. ТЕОРЕМА О ЗАКРУЧИВАНИИ 43
орбиту трансверсально некоторым многообразием σ размерности (m − 1)
и определяем отображение φ, следуя по орбите, начинающейся в точке
на σ, до следующего пересечения с σ сбольшимt. Для этого отображения точка пересечения многообразия σ и периодической орбиты является
неподвижной, и отображение, очевидно, корректно определено вблизи этой
неподвижной точки.
Для гамильтоновых систем с двумя степенями свободы (m =4)на
поверхности фиксированной энергии конструкция такого же типа приводит
к отображению плоской области, сохраняющему элемент площади (см. [8]).
Такие отображения проявляют большинство интересных особенностей потока; например, периодические орбиты соответствуют неподвижным точкам некоторых итераций φ, устойчивость периодической орбиты эквивалентна устойчивости соответствующей периодической точки φ ит.д.
Сохраняющие площадь отображения на плоскости исследовались
в значительной степени Биркгофом [62], и мы начнем с представляющей
большой интерес теоремы о неподвижной точке, которая была сформулирована Пуанкаре и затем доказана Биркгофом [61]. Эта теорема связана
с сохраняющим площадь отображением, определенным и взаимно-однозначным на кольце
A : a r b, 0 <a<b, (4.1)
заданном уравнениями
r
= f(r, θ),θ1= θ + g(r, θ), (4.2)
1
где r, θ — полярные координаты точки и r
— полярные координаты об-
1,θ1
раза при отображении φ. Более того, мы полагаем, что f,g являются непрерывными функциями с периодом 2π по θ, сохраняющими площади
1
2
r
2
dθ. (4.3)
Теорема 2.10. Пусть φ — сохраняющее площадь отображение, ко-
торое переводит гомеоморфно кольцо (4.1) в себя, и при этом границы
r = a, r = b отображаются в противоположных направлениях, то есть
g(a, θ)g(b, θ) < 0.
*
Тогда φ обладает по крайней мере одной неподвижной точкой внутри кольца.
*
На самом деле φ определяет g в (4.2) только с точностью до аддитивного целого, кратного
2π, и это условие связано с некоторым таким выбором.
44 ГЛАВА II
Следует отметить, что это утверждение не является справедливым без
выполнения свойства сохранения площади и, следовательно, не является чисто топологическим утверждением. Существуют другие аналогичные
теоремы о неподвижной точке: например, непрерывное сохраняющее площадь отображение открытого диска в себя обладает внутренней неподвижной точкой; очевидно, это не верно без свойства сохранения площади.
Применяя теорему 2.10 к итерациям φ
p
(p =1, 2,...) отображения φ,
можно сразу найти бесконечно много периодических точек, которые являются неподвижными точками итераций φ. Исторически к этой теореме
стали проявлять интерес с тех пор, как такое отображение кольца было
построено для ограниченной задачи трех тел, что, таким образом, немедленно обеспечивало наличие бесконечного числа периодических решений
для этой задачи.
b) Инвариантные кривые
Для исследования устойчивости более важно найти инвариантные кривые, разделяющие граничные окружности. Существование таких кривых
может быть установлено до настоящего момента только для малых возмущений так называемых закручивающих отображений
r
= r,
1
= θ + α(r),
θ
1
(4.4)
которые, очевидно, сохраняют площадь (4.3). Далее требуется наложить
более строгие условия дифференцируемости. Такое закручивающее отображение поворачивает каждую окружность r = c на угол α(c), который,
вообще говоря, зависит от c.
Чтобы сформулировать нашу теорему существования, введем для
функции h ∈ C
Теорема 2.11. Пусть α(r) ∈ C
l
(A) норму
|h|
=sup
l
m+nl,A
∂
∂rm∂θ
l
и |α(r)| ν>0 в a r b для
m+n
h
.
n
некоторого l при условии
l 5, (4.5)
и пусть ε — положительное число. Тогда существует такое δ, зависящее
от ε, l, α(r), что любое сохраняющее площадь отображение (4.2) A в R
с f, g ∈ Clи
|f − r|
*
Здесь не требуется, чтобы это отображение сохраняло границы.
+ |g − α(r)|l<νδ
l
2*
4. ТЕОРЕМА О ЗАКРУЧИВАНИИ 45
обладает инвариантной кривой вида
r = c + u(ξ),θ= ξ + v(ξ)(4.6)
в A,гдеu, v — непрерывно дифференцируемые функции периода 2π,удо-
влетворяющие неравенству
|u|
+ |v|1<ε,
1
и c — постоянная на промежутке a<c<b. Более того, отображение,
индуцированное на этой кривой, задается как
ξ → ξ + ω,
где ω несоизмеримо с 2π и удовлетворяет бесконечному числу условий
p
ω
|
−
q
2π
| γq
−τ
с некоторыми положительными γ, τ для всех целых q>0,p.Всущности,
каждый выбор ω в области значений α(r), удовлетворяющий вышеприведенным неравенствам, приводит к такой инвариантной кривой.
Можно выразить этот результат следующим образом: поворот ξ → ξ +
+ω окружности является вложенным посредством (4.6) как подсистема на-
шего отображения. И снова можно видеть, что свойство сохранения площади существенно для этой теоремы. Приведенное утверждение гарантирует,
что два кольца, на которые A разделено кривой, являются инвариантными
множествами, и, следовательно, эти отображения определенно не эргодические. Это противоречит знаменитой теореме Окстоби и Улама (для ссылок
см. [64]), которая утверждает, что среди сохраняющих площадь гомеоморфизмов диска — измеренного в топологии, связанной с максимальной нормой — эргодические отображения относятся ко второй категории Бэра, то
есть являются типичными. Из вышеприведенной теоремы следует, что это
не верно в C
l
-топологии, если l 5; тот факт, что отображение определяется в кольце, в связи с этим скорее не относится к делу, как мы увидим
позже.
Усл ов ие (4.5), конечно, не точное. Сперва эта теорема была доказана
для l 333 [63], затем усовершенствована Рюссманом, l 5,и,фактически, если воспользоваться доводами работ [65], [60], достаточно использовать условие l>3,гдеC
l
для нецелого l = m + μ,гдеm —целое,
а 0 μ<1, означает, что m-е производные непрерывны по Гельдеру с показателем Гельдера μ,и|h|
обозначает соответствующую норму Гельдера.
l
46 ГЛАВА II
Получающиеся кривые по-прежнему имеют непрерывные производные, то
есть, они непрерывны по Гельдеру. Можно выдвинуть гипотезу, что при
l>2 также возможно получить существование непрерывных инвариант-
ных кривых, однако это не доказано. С другой стороны, Ф. Такенсом [67]
было показано, что при l =1утверждение теоремы не верно, это можно продемонстрировать с помощью построения последовательности итераций, которые подходят близко так же к r = a,какикr = b.Таким
образом, l должно быть выбрано большим, чем 1; это явление, возможно,
связано с теоремой Данжуа [68] об отображениях окружности, для которой
требуется, чтобы отображение имело первые производные с ограниченной
вариацией, и которая, однако, не верна для C
1
-отображений.
В самом деле, вышеприведенная теорема обеспечивает бесконечное
число инвариантных кривых, и можно показать, что множество таких инвариантных кривых не включает только множество сколь угодно малой меры, если δ берется достаточно малым. Этот факт имеет удивительное следствие, что замыкание периодических точек — множество положительной
меры, так как можно показать на основе теорем 2.10 и 2.11, что замыкание
периодических точек такого типа отображения содержит множество этих
инвариантных кривых.
c) Эллиптические неподвижные точки
Приведенная выше теорема может применяться к огромному количеству задач. Мы кратко изложим несколько таких приложений и сошлемся
на [8], где приводится детальная трактовка результатов.
Рассмотрим достаточно большое число раз дифференцируемое сохраняющее площадь отображение φ на плоскости и исследуем φ вокрестности неподвижной точки. Неподвижные точки классифицируются в соответствии с собственным значениям λ
якобиана отображения dφ,вычис-
1,λ2
ленными в данной точке. Так как определитель якобиана равен единице, то
λ
=1, и так как отображение вещественное, то мы имеем¯λ1= λ1,¯λ2=
1λ2
или¯λ1= λ2= λ
= λ
2
тогда как в первом случае λ
−1
. Таким образом, во втором случае |λ1| =1,
1
вещественные. Если предположить, что
1,λ2
собственные значения различны, то мы говорим, что в первом случае двух
вещественных собственных значений = ±1 неподвижная точка является
гиперболической, а во втором случае, где |λ
| =1,λ2=¯λ1= ±1, — эллип-
1
тической. Наконец, особый случай двух равных значений ±1 называется
параболическим.
Природа вещественно аналитического отображения вблизи неподвижных точек обсуждалась в большой статье Дж. Д. Биркгофа [62], который
построил нормальные формы для такого отображения, аналогичные фор-
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]