Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Устойчивые и хаотические движения в динамических системах. В приложении к небесной механике
.pdf
7. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО ТЕОРЕМЫ 3.7 О ГОМОКЛИНИЧЕСКИХ ТОЧКАХ 157
Данная лемма выражает тот факт, что в достаточно малом квадрате Q
пучок секторов
|η|
y
|ξ|
x
отображается в себя при действии dφ. Аналогично можно показать, что
|ξ|
x
|η|
y
отображается в себя при действии dφ
−1
при условии, что базисные точки
остаются в Q.
Наконец, неравенство |p
| |p| приводит к неравенству |p
1
k+1
| |pk|,
из которого легко можно получить (7.6).
b) Редукция к локальной задаче
Рис. 23
Мы сведем теорему 3.7 к теореме 3.2 и должны будем построить множество вертикальных и горизонтальных полосок, удовлетворяющих условиям i) и iii) главы III, § 3, § 4. С этой целью мы построим четырехугольник
R в гомоклинической точке r, две стороны которого — части W
а другие две стороны могут быть отрезками прямых, параллельных касательным к W
ивыбиратьR на подходящих сторонах W
±
в r. Мы сохраним возможность делать стороны R малыми
p
±
.
p
+
−
, W
p
p
,
158 ГЛАВА VI
Так как r — гомоклиническая точка φ,тотаковыиφk(r) для каждого
целого k. Более того, существуют положительные целые l, m,такие,что
l
φ
(r) ∈ Q, φ−m(r) ∈ Q.
Зафиксируем l, m так, же как и a, для следующей конструкции, которая,
однако, зависит от выбора малого параметра δ:
0 <δ<a.
Пусть, кроме того, b, c выбраны в интервале 0 <b,c<
имеет координаты (0, 2b),аφ
Теперь мы потребуем, чтобы стороны R были выбраны настолько малыми, чтобы образ φ
l
(R) лежал не только в Q,ноив
−m
— координаты (2c, 0).
a
,такчтоφl(r)
2
0 x δ, b y a, (7.7)
−m
(R) —в
а φ
c x a, 0 y δ. (7.8)
±
Если R выбран на подходящих сторонах W
,тоэто,очевидно,возможно,
p
согласно соображениям непрерывности, так как l, m зафиксированы. Образ
= φl(R)
A
0
будет тогда лежать в (7.7), и одна из его сторон будет лежать на x =0,
а смежная сторона будет пересекать x =0трансверсально. Далее будем
уменьшать R, если необходимо, так что обе стороны, смежные с x =0,
можно записать в виде y = h
(x) h1— C1-функция. Аналогично, мы можем
1
предположить, что четырехугольник
= φ−m(R)
A
1
в (7.7) имеет две стороны, представимые в виде x = h
(y),гдеh2— C1-
2
функция.
С помощью выбора R и A
ражение ψ из A
k>0,такое,чтоφ
в A1естественным образом: если q ∈ A0исуществует
0
k
(q) ∈ A1и φ(q), φ2(q),...,φ
, A1мы определим трансверсальное отоб-
0
k−1
(q) ∈ Q, то мы гово-
рим, что q принадлежит D(ψ) и полагаем
ψ(q)=φ
k
(q) ∈ A1,
7. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО ТЕОРЕМЫ 3.7 О ГОМОКЛИНИЧЕСКИХ ТОЧКАХ 159
где k является наименьшим таким k>0. Таким образом, ψ определяется
полностью в терминах отображения (7.2), которое исследовалось в а).
В данных обозначениях отображение˜φ главы III, § 6 выражается как
mψφl
˜
φ = φ
(7.9)
в общей области определения.
с) Построение горизонтальных и вертикальных полосок
Мы утверждаем, что для отображения ψ, определенного на D(ψ) ∈A
область значений ψ(D(ψ)) пересекает A
лосок U
(k =1, 2,...), горизонтальные границы которых имеют вид
k
в бесконечно большом числе по-
1
y = h(x),
,
0
где
dh
dx
δ
, (7.10)
c
если δ достаточно мало; эти полоски, кроме того, соединяют противоположные стороны A
.
1
Для этого достаточно отметить, что при достаточно малом a мы имеем
в Q
1
1
2
λ
x, y1 μ
k
двух кривых y = h1(x), ограничивающих
x
так что образы при действии φ
,прибольшихk будут пересекать область (7.8) по кривой, соединяющей
A
0
x =0и x = a. Таким образом, при больших k области φ
состоять из бесконечно большого числа прямоугольников˜U
противоположные стороны A
.
1
1
2
y,
k
(A0) ∩ A1будут
, соединяющих
k
Чтобы получить дополнительную информацию о производных граничной кривой, применим вышеприведенную лемму к касательным векторам
граничных кривых y = h
0 x
δ, y0 b, то мы можем гарантировать выполнение условия
0
(x) множества A0.ТаккаквA0мы имеем
1
|
y
k
x
k
b
δ
|ξk|
|ξ
|
0
k
спра-
δ
|ξ
|,
k
c
|η
0
для данных касательных векторов, которое, очевидно, справедливо, если δ
достаточно мало. Таким образом, из (7.5) следует, что для образа dφ
ведливо
|η
|
k
160 ГЛАВА VI
где мы использовали тот факт, что (xk,yk) лежит в (7.8). Но из этого следует (7.10).
С помощью аналогичного исследования можно установить, что прооб-
−1
разы ψ
производные
(˜Uk)=˜Vkявляются вертикальными полосками в A0, для которых
dx
двух граничных кривых могут быть проконтролированы,
dy
подобно тому, как в (7.10) (см. рис. 24). По определению мы имеем
)=˜Uk. (7.11)
ψ(˜V
k
Полагая
= φm(˜Uk),Vk= φ−l(˜Vk),
U
k
мы получаем аналогичное множество полосок в R, которые, согласно (7.11)
и (7.9), удовлетворяют соотношению
˜
)=φmψ(˜Vk)=Uk.
φ(V
k
Они играют роль горизонтальных и вертикальных полосок из главы III, § 3
и § 4, и рассуждения предыдущего параграфа переносятся на этот случай.
В частности, направление касательных к границам U
±
направлений касательных к W
в r не больше, чем на δ
p
, Vkотличаются от
k
1
3
при малом δ.Таким образом, условие Липшица для этих кривых легко проверяется. Более
того, оценки (7.5), (7.6) приводят к условиям (4.3), (4.4), (4.5) главы III,
§ 4. Этих замечаний вполне достаточно, так как дальнейшие детали очевидны.
8. Несуществование интегралов
Приведем доказательство теоремы 3.10. С этой целью мы предположим, что φ — диффеоморфизм, удовлетворяющий условиям i) и iii) главы III, §§ 3, 4. Используя данные обозначения, мы видим, что φ имеет инвариантное множество I, на котором φ эквивалентно сдвигу σ.Придополнительных гипотезах (4.14) главы III, из теоремы 3.4 следует, что точки I
выступают как точки пересечения множества горизонтальных и вертикальных кривых U (s), V (s), которые являются непрерывно дифференцируемыми.
Предположим теперь, что f — непрерывная функция на I, удовлетворяющая условию
f(φ(p)) = f (p).
8. НЕСУЩЕСТВОВАНИЕ ИНТЕГРАЛОВ 161
Рис. 24
Так как I содержит плотную орбиту, скажем φ
k
f(φ
(p0)) = f(p0)
(k)
(p0), то мы имеем
и, вследствие непрерывности,
f(q)=f(p
) для всех q ∈ I,
0
то есть f постоянна на I. Чтобы построить такую орбиту, нужно только
сформировать последовательность, содержащую все блоки последовательностей. Это возможно, так как множество таких блоков счетно.
Пусть теперь функция f ∈ C
1
(Q) и удовлетворяет условию f (φ(p)) =
= f(p) на I.Тогда
∂f
∂f
=
∂x
Действительно, если p
∗
реме 3.4, p
∗
V (s
). Модифицируя левый хвост последовательности s∗,мыможемвы-
лежит на горизонтальной кривой U (s∗) и вертикальной кривой
∗
= τ(s∗) — произвольная точка на I, то, по тео-
брать последовательность точек q
Таким образом, если параметризовать U (s
разить производную D
∗
) в p∗как предел отношения приращений f в p∗и qν.Таккакf(p)=
к U (s
),то
= f(q
ν
f по направлению функции f вдоль касательной
1
D
=0 на I. (8.1)
∂y
∈ U (s∗) ∩ I, q = p∗,сходящихсякp∗.
ν
f =0 в p∗.
1
∗
) спомощьюx,мысможемвы-
162 ГЛАВА VI
По тем же причинам производная D2f по направлению вдоль касательной
∗
к V (s
) обращается в нуль. Так как эти направления линейно независимы,
то мы приходим к (8.1).
Если f ∈ C
∞
(Q), то мы можем повторить рассуждения и прийти к выводу, что все производные f обращаются в нуль на I. Таким образом, если f — вещественно аналитическая функция, то она тождественно обращается в нуль.
Литература
[1] Alekseev V. M., Sur l’allure finale du mouvement dans le probl`eme des
trois corps, Actes du Congres Int. des Math. 1970, vol.2, 893–907,
Gauthiers-Villars, Paris, 1971.
[2] Арнольд В. И., Малые знаменатели и проблема устойчивости дви-
жения в классической и небесной механике, Успехи математических
наук т.XVII, вып.6 (114), с. 91–192, 1963.
[3] Арнольд В. И., Авец А., Эргодические проблемы классической меха-
ники, пер. с англ. и фр. А. В. Борисов, Ижевск, Ижевская респ. тип.,
1999.
[4] Биркгоф Д., Динамические системы, Удмуртский университет,
Ижевск, 1999.
[5] Hagihara Y., Celestial Mechanics, M. I. T. Press, vols. I–V, 1970ff.
[6] Колмогоров А.Н., Общая теория динамических систем и классиче-
ская механика, Международный математический конгресс в Амстер-
даме.–М.: Физматгиз, 1961, 187–208.
[7] Мозер Ю., Лекции о гамильтоновых системах, М.: Мир, 1973.
[8] Зигель К., Мозер Ю., Лекции по небесной механике,Регулярнаяиха-
отическая механика, Ижевск, 2001.
[9] Sternberg S., Celestial Mechanics, vols. I, II, New York, 1969.
[10] Себехей В., Теория орбит. Ограниченная задача трех тел,М.:Наука,
1982.
[11] Уинтнер А., Аналитические основы небесной механики,М.:Наука,
1967.
Глава I
[12] Poincar´eH.,Sur la Stabilit´eduSyst`eme Solaire, Ouvres t. 8, pp. 538–547.
[13] Klein F., Sommerfeld A.,¨Uber die Theorie des Kreisels, Teubner, 1921,
in particular, the discussion on stability and Laplace’s stability proof of
the planetary system on p. 342ff.
164 ЛИТЕРАТУРА
[14] Mittag-Leffler G., Zur Biographie von Weierstrass, Acta Math. 35, 29–
65, 1912, in particular, letter of Feb. 2, 1889, pp. 55–58 and letter to
S. Kovalevski, 1878, p. 30.
[15] Weierstrass K. T. W.,¨Uber das Problem der St ¨orungen in der Astronomie,
Vorlesung, gehalten im mathematischen Seminar der Universit¨at, Berlin,
Wintersemester, 1880–81 (manuscript available at Mittag-Leffler Institute,
Djursholm).
[16] Brouwer D., Woerkom A. J.J., The secular variations of the orbital
elements of the principal elements, Astr. papers, Am. Ephemeris and
Nautical Almanac 13, pt. II, Washington, 1950, 81–107.
[17] Goldreich P., An explanation of the frequent occurrence of commensurable
mean motions in the solar system, Monthly Notices Roy. Astr. Soc. 130,
159–181 (1965).
[18] Молчанов А. М., О резонансной структуре Солнечной системы,Со-
временные проблемы небесной механики и астродинамики, М., 1973,
С. 32–42.
[19] Backus G. E., Critique of "The Resonant Structure of the Solar System"by
A. M. Molchanov, Icarus 11, 88–92 (1969).
[20] Henon M., A comment on "The Resonant Structure of the Solar System"by
A. M. Molchanov, Icarus 11, 93–94 (1969).
[21] Molchanov A. M., Resonances in Complex Systems: A reply to Critiques,
Icarus 11, 95–103 (1969).
[22] Арнольд В. И. О классической теории возмущений и проблеме устой-
чивости планетных систем, ДАН СССР, 1962, т. 145, с. 487–490.
[23] Пуанкаре А., О проблеме трех тел и об уравнениях динамики,Из-
бранные труды. Т. 2, М.: Наука, 1972
[24] Пуанкаре А., Новые методы небесной механики, Избр. труды, т. 1–2,
М.: Наука, 1971–72.
[25] Ulam S. M., Proc. 4th Berkeley Symposium on Math. Statist, and
Probability, Berkeley Univ. Cal. Press, 3, p. 315 (1960).
[26] BRAHIC A., Numerical study of a simple dynamical system, Astron. and
Astrophys. 12, 98–110 (1971).
[27] Braun M., Particle Motion in a Magnetic Field, Journ. Diff. Eq. 8, 294–
332 (1970).
ЛИТЕРАТУРА 165
[28] Braun M., Structural stability and the St ¨ormer problem, Ind. Univ.
Math. J. 20, 469–497 (1970).
[29] Биллингслей П., Эргодическая теория и информация,М.:Мир,
(1969).
[30] Аносов Д. В., Синай Я. Г., Некоторые гладкие эргодические системы,
Успехи математических наук, 1967, т. 22, в. 5 (137).
[31] Fermi E., Beweis, dass ein mechanisches Normalsystem im allgemeinen
quasi-ergodisch ist., Phys. Z. 24, 261–264 (1923).
[32] Birkhoff G. D., On the periodic motions of dynamical systems, Acta Math.
50, 359–379 (1927), esp. footnotes on p. 379.
[33] Ситников К., Существование осциллирующих движений в задаче
трех тел, Доклады АН СССР, 1960, т. 133, no. 2, c. 303–306
[34] Алексеев В. М., Квазислучайные динамические системы I, II, III, Ма-
тематический сборник, т. 76, no. 1(1968), с. 72–134, т. 77, no. 4(1968),
с. 545–601, т. 78, no. 1(1969), с. 3–50.
[35] Алексеев В. М., Матем. заметки, 1969, 6:4, 489–498.
[36] Смейл С., Топология и механика, УМН, 27:2(164) (1972), 77–133.
[37] Easton R., Some Topology of the 3-Body Problem, Journ. Diff. Eq. 10,
371–377 (1971).
[38] Weinstein A., Symplectic manifolds and their Lagrangean submanifolds,
Adv. Math. 3, 329–349 (1971).
[39] Weinstein A., Lagrangean submanifolds and Hamiltonian systems, Ann.
of Math., 98:377–410, 1973.
[40] Arnold V., Sur une propri´et´e topologique des applications globalement
canoniques de la m´ecanique classique, Compt. Rend. Acad. Sci., Paris,
261, 3719–3722 (1965).
[41] Harris S. R., Periodic Solutions of Arbitrarily Long Periods in
Hamiltonian Systems, Journ. Diff. Eq. 4, 131–141 (1968).
[42] Robinson R. C., Generic properties of conservative systems I, II, Am. J.
Math. 92, 562–603, 897–906 (1970).
[43] Синай Я. Г., Динамические системы со счетнократным лебеговским
спектром I, Изв. АН СССР. Сер. матем., 1961, 25:6, 899–924, II, Изв.
АН СССР. Сер. матем., 1966, 30:1, 15–68.
166 ЛИТЕРАТУРА
[44] Ornstein D.S., Some new results in the Kolmogorov Sinai theory of
entropy and ergodic theory, Bull. A. M. S. 77, 878–890 (1971).
Глава II
[45] Ляпунов А. М., Общая задача об устойчивости движения,—М.–Л.:
Гостехиздат, 1950.
[46] Бохнер С., Мартин У. Т., Функции многих комплексных переменных,
М., Издательство Академии наук СССР, 1951.
[47] Siegel C. L.,¨Uber die analytische Normalform analytischer Differential-
gleichungen in der N¨ahe einer Gleichgewichtsl¨osung, Nachr. Akad. Wiss.
G¨ottingen, Math. Phys. Kl., 21–30, 1952.
[48] Siegel C. L., Iteration of analytic functions, Am. Math. 43, 607–612
(1942).
[49] Poincar´eH.,Th`ese, 1879, Oeuvres 1, Paris, 1928.
[50] Sternberg S., The structure of local homeomorphisms II, III, Am. J. Math.
80, 623–632 (1958); 81, 578–604 (1959).
[51] Хартман Ф., Обыкновенные дифференциальные уравнения,—М.:
Мир, 1970.
[52] Pugh С. С., On a theorem of P. Hartman, Am. J. Math. 91, 363–367
(1969).
[53] Bellman R., The iteration of power series in two variables, Duke Math. J.
19, 339–347 (1952).
[54] Nelson E., Topics in Dynamics I: Flows, Math. Notes, Princeton
University Press, 1969.
[55] Sternberg S., Infinite dimensional Lie groups and formal aspects of
dynamical systems, Journ. Math. Mech., 10, 451–474 (1961).
[56] Зигель К. Л., О существовании нормальной формы аналитических
дифференциальных уравнений Гамильтона, Математика. Период, сб.
перев. ин. статей, — 1961, т. 5, М.: 2, 129–156.
[57] Брюно А. Д., Аналитическая форма дифференциальных уравнений,
Труды Московского математического общества, 1971, 25, 119–262.
[58] Голдстейн Г., Классическая механика, М.: Наука, 1975.
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]