Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Устойчивые и хаотические движения в динамических системах. В приложении к небесной механике
.pdf
4. ОБОБЩЕНИЯ 117
Примерами служат классы обратимых и гамильтоновых векторных полей.
В более общем виде, обозначим через K класс векторных полей, определенных, скажем, на открытом подмножестве евклидова пространства. Важно,
чтобы этот класс K сохранялся под действием достаточно широкой группы преобразований координат. Если L — алгебра Ли этой группы, то мы
потребуем, чтобы
[K, L] ⊂K, (4.1)
то есть чтобы коммутатор [K, L]=KL − LK снова принадлежал K,если
K ∈K, L ∈L. В наших примерах K представлено векторными полями,
коммутирующими с отражением ρ в первом случае и каноническими векторными полями — во втором случае.
Не вдаваясь в детали количественных ограничений [99], мы опишем
формальные алгебраические условия, при которых применим метод, описанный в предыдущем параграфе, и проиллюстрируем их несколькими примерами.
Выделим элемент K
гообразием. K
представляет собой невозмущенное векторное поле, и нам
0
нужно наложить некоторые условия на K
из K, который обладает инвариантным подмно-
0
, чтобы успешно применить тео-
0
рию возмущений. Для этого мы обозначим класс линеаризованных дифференциальных операторов, определенных на нормальном расслоении инвариантного многообразия, через (K)
линейное подпространство (K)
. Далее, предположим, M — некоторое
1
со следующим свойством: если M —неко-
1
торый элемент из M, достаточно близкий к нулю, то
+ M =(K)1, (4.2)
где ad
(ad
K0+ML)1
обозначает оператор, переводящий L в XL − LX.Еслиэтиусло-
X
вия усилить некоторыми количественными ограничениями по соответствующим нормам, то мы получим, что для любого K,достаточноблизкого
,существуетэлементg группы G =expL, порожденной L,гдеg бли-
к K
0
зок к тождественному элементу, и элемент M
∗
(K))1= K0+ M0, (4.3)
(g
∗
где g
(K) обозначает векторное поле в K, полученное из K спомо-
∈M,такчто
0
щью преобразования g. Рассмотрение линеаризованных векторных полей
(K)
∈K1необходимо, так как нам нужна быстрая сходимость прибли-
1
жения, для которой, в свою очередь, требуется, чтобы мы контролировали
линеаризованные векторные поля во время итерационного процесса.
Не стремясь довести эти идеи до строгости, проиллюстрируем их на
нескольких примерах. Во-первых, очевидно, что они тесно связаны с понятием алгебры Ли. Если K = L — конечномерная алгебра Ли, то M играет
118 ГЛАВА V
роль подалгебры Картана, а K0— регулярного элемента. Случай K = L
лучше всего проиллюстрировать ситуацией, в которой
K представляется эрмитовыми матрицами размера n ×n,
L — алгеброй Ли антиэрмитовых матриц размера n × n,
M — диагональными матрицами
и K
задается диагональной матрицей с различными собственными значе-
0
ниями. Тогда, игнорируя процесс линеаризации ()
, мы видим, что усло-
1
вия (4.1), (4.2) легко проверяются и (4.3) соответствует тому факту, что
эрмитова матрица, близкая к K
рицей U в диагональную матрицу вблизи K
, может быть преобразована унитарной мат-
0
. Этот элементарный факт не
0
требует сложных инструментов, но наши задачи связаны с алгебрами Ли
бесконечных размерностей.
Чтобы обратиться к теореме 2.9, доказанной в параграфе 3, в данном
контексте, положим
K = {K =
L = {L =
k=1
n
k=1
uk∂
x
x
+ gk∂
k
+ vk∂
k
; f (−x, y)=f (x, y),g(−x, y)=−g(x, y)},
y
k
; u(−x, y)=−u(x, y),v(−x, y)=v(x, y)} ,
y
k
n
fx∂
M =(0),
и
K
где ω
(K)
коэффициенты f
,...,ωnудовлетворяют условию (1.10).ЭлементыK множества
1,ω2
имеют тот же самый вид, что и элементы K, но имеют линейные по y
1
, gk. Более того, предполагается, что коэффициенты f, g,
k
u, v — вещественно аналитические и имеют период 2π по x
n
=
0
(ωk+ yk)∂
k=1
,
x
k
. Тогда усло-
k
вия (4.1) и (4.2) выполнены; фактически, (4.2) соответствует разрешимости
систем (3.2), (3.3). Группа G, порожденная L, состоит из преобразований
координат, коммутирующих с отражением (x, y) → (−x, y), и теорема 2.9,
по существу, соответствует формуле (4.3). Эта задача довольно проста, так
как мы имеем M =(0).
Можно модифицировать рассматриваемую ситуацию, заметив, что са-
ми частоты ω
не обязаны оставаться фиксированными, достаточно лишь
k
потребовать, чтобы их отношения сохранялись. Это приводит к результату, подобному тому, который дает теорема 2.9, с заменой условия (1.8) на
следующее
det
F
ω
ω
y
T
=0. (4.4)
0
Конечно, тогда частоты полученных решений будут только пропорциональны ω. Для доказательства этого утверждения сведем задачу к F(y)=ω+Ay
4. ОБОБЩЕНИЯ 119
и возьмем K, L, как и раньше, но будем допускать в M векторные поля вида
где λ, m
— константы. Сравнение постоянных членов в (4.2) ведет к раз-
kl
M =
n
(λωk+ mklyl)∂
k=1
,
x
k
решимости уравнения
Ac + ωλ = b
для n-вектора c искаляраλ. Требование (c, ω)=0ведет к условию (4.4).
Наконец, для доказательства теоремы 2.8 можно использовать те же
самые рассуждения. В этом случае K состоит из гамильтоновых векторных
полей
с гамильтонианом, периодичным по x
K =
n
k=1
(H
∂
− H
∂
y
x
k
k
,...,xn, тогда как для гамильтоно-
1
)
x
y
k
k
вых векторных полей мы берем
n
L =
где только выражение W −
стантах c
,...,cn.Элементы(K)1—теэлементыK ∈K, для которых H
1,c2
k=1
(W
∂
− W
∂
y
x
k
k
n
ckxkпериодично при подходящих кон-
k=1
),
x
y
k
k
содержит y в степени не больше, чем два. Далее, мы возьмем
K
n
=
0
k=1
n
+
ω
k
l=1
akly
,
∂
l
x
k
где A =(a
) — симметричная матрица, а элементы M задаются формулой
kl
n
M =
k,l=1
mklyl∂
,mkl= mlk. (4.5)
x
k
Таким образом, в гамильтоновом случае матрица A не может оставаться
постоянной при возмущении, если мы работаем с каноническими преобразованиями координат. Но можно заметить, что M обращается в нуль на
y =0и, следовательно, M не оказывает влияния на инвариантность многообразия y =0относительно K
или K0+ M.
0
120 ГЛАВА V
b) Инвариантные торы малой размерности
До сих пор мы рассматривали, главным образом, инвариантные то-
ры размерности, которая составляет половину размерности фазового пространства. Возникает вопрос, можно ли расширить теорию возмущений на
другие размерности. Мы ограничимся рассмотрением гамильтоновых систем и обсудим результат, полученный С. Графом [100], согласно которому
существует такая теория возмущений для инвариантных торов размерности 2 r n,где2n — размерность фазового пространства. Однако если
r<n, то теория применима только к неустойчивым торам.
Чтобы сформулировать результат, предположим, что 2n-мерное фазо-
вое пространство описывается переменными
x =(x
,...,xr),y=(y1,...,yr),p=(p1,...,ps),q=(q1,...,qs),
1
где r + s = n, и инвариантная два-форма имеет вид
r
dxρ∧ dyρ+
ρ=1
s
dpσ∧ dqσ. (4.6)
σ=1
Мы полагаем, что гамильтониан
H = H
+ μH1+ ... (4.7)
0
является вещественно аналитическим по всем переменным и 2π-периодическим по x
(ρ =1,...,r),атакжеH0имеет вид
ρ
H
= F(y)+G(y, p,q),
0
где
G(y,0, 0) = 0,G
(y,0, 0) = 0,Gq(y,0, 0) = 0.
p
Тогда при μ =0мы имеем инвариантные торы
y = c, p =0=q,
на которых поток задается уравнением
˙x = F
(c).
y
Задача состоит в том, чтобы исследовать продолжение такого тора для малых μ.
4. ОБОБЩЕНИЯ 121
Теорема 5.2. Если, в ранее введенных обозначениях, выполнено усло-
вие
det(F
и матрица
) =0 при p = q =0
yy
G
qp
−Gpp−G
G
qq
pq
при p = q =0и y из некоторого открытого множества не имеет собственных значений на мнимой оси, то система, задаваемая (4.6), (4.7),содержит инвариантные подмногообразия, представляющие собой r-мерные
торы. Действительно, поток ˙x
= ωρ(ρ =1,...,r) счастотами,удо-
ρ
влетворяющими условию типа (1.10), может быть аналитически вложен
в качестве подсистемы.
Этот результат может быть применен к задаче равновесия гамильтоно-
вой системы, когда 2r пары собственных значений ±α
,...,±αrявляются
1
чисто мнимыми, а оставшиеся 2n −2r собственных значения не лежат на
мнимой оси. Полагая
r
jραρ=0 при 1 |j| 4
ρ=1
и налагая условие невырожденности на нелинейные члены, можно найти
квазипериодические решения с r независимыми частотами для этой системы вблизи положения равновесия.
Так как эти инвариантные торы неустойчивы, то можно исследо-
вать поведение многообразий W
±
асимптотических решений, стремящихся к этим торам при t →±∞. Оказывается, что они также являются
вещественно аналитическими многообразиями размерности n иявляются
лагранжевыми многообразиями в том смысле, что (4.6) обращается в нуль
на их касательном пространстве.
Доказательство теоремы 5.2 может быть проведено на основе рассуждений параграфа 4a). Невозмущенный гамильтониан можно привести к виду
1
F =(ω, y)+
(Ay, y)+(Bp,q),
2
где A, B — постоянные матрицы, A — матрица размера r ×r, B —матрица размера s × s и, согласно нашим предположениям, матрица A —невырожденная, а B имеет собственные значения, лежащие в правой полуплоскости.
122 ГЛАВА V
Для K, L мы снова возьмем гамильтоновы векторные поля, рассмотренные ранее в § 4a), и
K
r
=
F
0
ρ=1
∂
y
ρ
s
+
(F
∂
− F
∂
x
ρ
σ=1
q
p
σ
σ
) ,
p
q
σ
σ
тогда как M состоит из векторных полей
M =
r
ρ=1
Φ
∂
− Φ
y
x
ρ
ρ
∂
x
y
ρ
s
+
(Φ
∂
− Φ
∂
q
ρ
σ=1
p
σ
σ
)
p
q
σ
σ
с гамильтонианами вида
1
Φ=
(ˆAy, y)+(ˆB(x)p, q),
2
гдеˆB(x) — матрица, зависящая периодически от x,аˆA — постоянная матрица.
Новая особенность состоит в том, что K
+ M уже не имеет постоян-
0
ных коэффициентов, и проверка условия (4.2) требует решения дифференциальных уравнений в частных производных первого порядка с переменными коэффициентами, что возможно, если собственные значения B лежат
в правой полуплоскости.
c) Дифференцируемый случай
Приведенный метод был описан лишь для случая вещественно аналитических функций. Он может быть обобщен на дифференцируемые достаточное число раз функции, но в этом случае выкладки становятся более
сложными. Чтобы начать, нам нужно большое число производных, это становится ясно при рассмотрения оператора (2.4). Можно показать, что при
условии (1.10) Λ отображает C
l
C
при l =[l]+α (0 α<1) служит для обозначения класса функций,
l
непрерывно в Cm,еслиl>τ+ m.Здесь
производные порядка [l] которых непрерывны по Гельдеру с показателем α.
Конечно, решение уравнений типа (3.2), (3.3) приводит к потерям произ-
водных большего, но конечного порядка.
Если применяется итерационный метод, то возникают затруднения,
и без мер предосторожности можно потерять дифференцируемость после
конечного числа шагов. Можно избежать такой потери, аппроксимируя рассматриваемые функции более гладкими и проводя тщательный контроль
над ошибкой. Пример такого приближения использовался в параграфе 2,
когда мы заменялиˆf(ξ) наˆf
(ξ) (см. (2.9)), так как, на самом деле, этот
1
4. ОБОБЩЕНИЯ 123
метод также подразумевает потерю производных. Для доказательства дифференцируемого аналога теоремы 2.9, например, требуется более точный
метод приближения, основная характеристика которого заключается в том,
что более гладкие функции аппроксимируются более точно. Примером служит усечение ряда Фурье. В аналитическом случае роль усечения играет
сжатие комплексной области.
Мы не будем описывать здесь метод в дифференцируемом случае, отсылая читателя к работам [63], [66]. Укажем только, что теоремы существования требуют определенного минимального порядка дифференцируемости, см. результат Такенса [67], на который мы ссылались в главе II. Рюсман
успешно провел доказательство такого типа с очень мягкими требованиями
дифференцируемости [65]. В [60] было показано, что теорема 2.8 может
быть установлена в классе гамильтонианов из C
зультат был получен с допущением элементов вида (4.5),где,однако,m
l
,гдеl>2τ +2.Этотре-
kl
периодические функции x. Это означает, в сущности, что мы не настаиваем
на том, что коэффициенты для линеаризованных векторных полей постоянны. В то время, как решить уравнения, представленные (4.2), становится
труднее, это также приводит к более мягким допущениям.
d) Уравнения в частных производных третьего порядка
Мы упоминали, что описанный метод опирается в основном на теорию преобразований. Чтобы показать важность этого для решения проблемы малых знаменателей, мы сравним два дифференциальных уравнения
в частных производных
—
ω
1ux
+ ω2u
1
+ μa(x)u = g(x)(mod const) (4.8)
x
2
и
ω
1ux1x1x
+ ω2u
1
+ μa(x)u = g(x)(mod const), (4.9)
x2x2x
2
где предполагается, что все функции являются вещественно аналитическими с периодом 2π по x
, x2,исправедливо
1
a(−x)=−a(x). (4.10)
В правой части допускаются произвольные аддитивные постоянные, которые при μ =0соответствуют обращению в нуль среднего значения правой
части. Предполагается, что отношение ω
является иррациональным,
1/ω2
а также требуется выполнение условия (1.10). Таким образом, приведенные
уравнения разрешимы при μ =0согласно нашим предыдущим исследованиям, так как по формуле (1.10) мы имеем
3
|j
1
ω1+ j
3
ω2| γ(|j
2
3
| + |j2|3)−τ γ|j|−τ.
1
124 ГЛАВА V
Но, в то время как (4.8) допускает решение при всех достаточно малых μ,
вслучае(4.9) наши методы не работают, как мы покажем позднее. Разница состоит в том, что дифференциальный оператор частной производной
первого порядка в (4.8) допускает применение теории преобразований, но
в случае уравнения третьего порядка (4.9) это не так.
В обоих случаях мы сталкиваемся с проблемой малых знаменателей
и собственных значений линейных операторов в левой части в нуле, и проблема состоит в том, что нуль не является собственным значением при
малых величинах μ.Для(4.8) это так, поскольку спектр не зависит от μ.
Полагая ∂ = ω
1∂x
+ ω2∂
1
,мырешим
x
2
∂b = a(x),
где b(x) — четная функция со средним значением 0. Тогда для любой вещественно аналитической периодической функции v(x) мы имеем
(∂ + μa)(e
−μb
что приводит к задаче обращения ∂ . Также можно видеть, что v → e
v)=e
−μb
∂v,
−μb
преобразовывает ∂ + μa в
μb
e
(∂ + μa)e
−μb
= ∂,
так что спектр не зависит от μ даже без наложения на μ условия малости.
Таким образом, (4.8) может быть легко решено. В действительности,
это же справедливо и для
(I∂ + μA(x))u = g(x)(mod const),
где u, g — m-векторы, A(x)=−A(−x), I — матрицы размера m × m, I
— единичная матрица. Приведенный выше прием с экспонентами не годится, если A(x) не коммутирует для различных величин x, но итерационный
процесс преобразований, уменьшающий размер A(x), действительно удается провести в этом случае. Существует обратимая матрица U (x),удовлетворяющая условию
(∂ + μA)U =0,
так что
−1
U
(∂ + μA)U = ∂.
С другой стороны, этот подход не применим к (4.9), можно предска-
зать, что (4.9) не удастся разрешить для всех достаточно малых величин μ.
v
4. ОБОБЩЕНИЯ 125
Действительно, оператор в левой части (4.9) имеет точечный спектр, плотный на мнимой оси, и, если эти собственные значения изменяются с μ,то
можно ожидать, что при достаточно малых μ некоторое собственное значение будет проходить через нуль. На самом деле, мы не знаем, как устроен
спектр этого оператора при μ =0, но, если формально перейти к теории
возмущений, то, скажем, для
a(x)=sin(m, x)=sin(x
+ x2),m=(1, 1),
1
можно найти для собственных значений
возмущение в виде
λ(j)=i(j
λ = λ(j)+μ
3
1
3
ω1+ j
2
2
q + O(μ3),
ω2)
где
q = −
3
(j, ω)(λ(j + m) − λ(j))
2
−1
(λ(j −m) − λ(j))−1.
Так как q не обращается в нуль, вообще говоря, можно ожидать, что спектр
при возмущении изменится и, таким образом, нарушит разрешимость (4.9).
Однако приведенный аргумент не убеждает нас окончательно, так как теория возмущений для (4.9) не применима и существует вероятность, что
спектр является непрерывным.
В любом случае, (4.9) представляет собой уравнение, которое нельзя
исследовать с помощью нашего метода. Основная разница состоит в том,
что спектр (4.8),дажеприμ =0, является аддитивной группой, порож-
денной только двумя элементами, тогда как оператор третьего порядка не
имеет такой жесткой структуры спектра.
A. Приложение к главе V
a) Скорость сходимости для метода § 2b)
В этом параграфе мы хотим исследовать скорость сходимости для метода нахождения корня функции, который обсуждался в § 2c). Мы определим только показатель сходимости и не будем вычислять коэффициенты
в явном виде.
Вернемся к формуле (2.15), которая определяет две последовательно-
, ak,такиечтоxk→ α, ak→ f
сти x
k
условиях малости. Введем величины
−1
(α),гдеf (α)=0при подходящих
y
= xk− α, zk=1−f(xk)ak,
k
126 ГЛАВА V
которые стремятся к нулю. Если использовать разложение в ряд Тейлора
функции f в x
, то можно найти
k
0=f(α)=f (x
) −f(xk)yk+ O(y
k
2
),
k
так что, используя первое уравнение (2.15),мынаходим
y
= yk− ak(f(xk)yk+ O(y
k+1
=(1− a
= z
f(xk))yk+ O(y
k
+ O(y
kyk
или для достаточно малой величины |y
| |zkyk| + c1|yk|2. (4.11)
|y
k+1
Чтобы оценить z
1 −a
, выпишем второе уравнение (2.15) ввиде
k+1
f(xk)=(1−akf(xk))2= z
k+1
2
)
k
| + |zk|
k
2
k
2
k
)) =
)=
2
.
k
Таким образом,
2
=
k
2
,
k
. Так как спра-
k+1
где f
рядка y
= −a
z
k+1
= −a
вычисляется в промежуточной точке. Если пренебречь членами по-
2
2
+ z
, то, согласно (4.11),мыможемотброситьy
k
k
k+1
k+1
(f(x
f(y
) −f(xk)) + z
k+1
− yk)+z
k+1
ведливо
= ak(2 −f(xk)ak)=
a
k+1
−1
(α)+O(|yk| + |zk|),
= f
мы найдем
z
= Ayk+ O(y
k+1
с промежуточной точкой α
|z
k+1
2
2
+ z
),A=
k
k
∗
,или
| |A||yk| + c1(y
2
k
(α∗
)
f
f(α)
2
+ z
). (4.12)
k
Чтобы исследовать скорость сходимости (4.11), (4.12), рассмотрим последовательность ε
0,ε1,ε2
,... положительных, монотонно убывающих чи-
сел, удовлетворяющих
ε
k+2
ε
= c2εkε
c2ε
1
2
0
при k =0, 1, 2,...,
k+1
(4.13)
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]