Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Устойчивые и хаотические движения в динамических системах. В приложении к небесной механике
.pdf
2. НОРМАЛЬНЫЕ ФОРМЫ ДЛЯ ГАМИЛЬТОНОВЫХ И ОБРАТИМЫХ СИСТЕМ 27
шем (2.2) ввиде
z = w(ζ),
где w состоит из 2n формальных степенных рядов по ζ
,...,ζ2nбез посто-
1
янных членов, удовлетворяющих формальным тождествам (2.3). Согласно
стандартным результатам теории преобразований, новая система задается
гамильтонианом
Γ(ζ)=H (w(ζ)),
полученным при преобразовании H. Сейчас мы получим преобразование
этого вида, упрощающее гамильтониан, то есть нормальную форму.
Теорема 2.4 (Дж. Д. Биркгоф [4]). Если H — формальный веще-
ственный степенной ряд без постоянных и линейных членов, содержащий
квадратичные члены вида (2.4),гдеα
,...,αn— чисто мнимые и раци-
1,α2
онально независимые числа, то существует такое формальное вещественное каноническое преобразование z = w(ζ),что
H(w(ζ)) = Γ(ξ
является степенным рядом по ξ
2
+ η
1
1
2
2
+ η
.
k
k
,...,ξ
2
2
+ η
)
n
n
2
Доказательство этой теоремы можно найти в [8]. Если бы ряды H, w,
а следовательно, и Γ сходились, то мы без труда смогли бы проинтегрировать полученную гамильтонову систему: обозначая производную Γ по
аргументу ξ
2
2
+ η
k
символом Γk, мы получаем
k
∂Γ
∂ξ
k
=2ξkΓk,
∂Γ
∂η
k
=2ηkΓk,
и, следовательно, преобразованная система имела бы вид
˙
=2ηkΓk, ˙ηk= −2ξkΓk. (2.5)
ξ
k
2
Отсюда следует, что (ξ
+ η
2
1
, ··· ,ξ
2
2
+ η
, мы также имеем
n
n
2
+ η
)·=0,итаккакΓ и Γkзависят только от ξ
k
k
d
Γk=0,иΓkмогут рассматриваться
dt
2
1
как вещественные постоянные. Таким образом, интегрирование (2.5) даст
нам
где «частоты» 2Γ
ξ
+ iηk= e
k
зависят от «амплитуд» ξ
k
−2itΓ
k
(ξk(0) + iηk(0)),
2
(0) + η
l
2
(0) (l =1, ··· ,n).Под-
l
ставляя полученный результат в (2.2),мыполучимx, y как квазипериодиче-
ские функции, и в этом случае устойчивость была бы также гарантирована.
+
28 ГЛАВА II
b) Вопрос о сходимости
Приведенные выше рассуждения подразумевают сходимость ряда, входящего в преобразование z = w(ζ). Дальнейшие затруднения теоремы 2.4 заключаются в предположении, что α
как множество вещественных n-векторов, которые рационально зависимы,
плотно в R
n
, хотя и имеет меру нуль. Ясно, что эта ситуация аналогич-
рационально независимы, так
k
на случаю голоморфной системы, рассмотренной в параграфе 1, и можно
ожидать, что ответ на вопрос о сходимости будет аналогичным. Однако,
согласно результату Зигеля, в общем случае имеет место расходимость вышеприведенного ряда! Мы рассмотрим конкретную ситуацию только для
n =2, предполагая, что гамильтониан имеет вид
H = F + G,
2
где F — фиксированный вещественный полином от p
2
= x
2
+ y
степени s 2, например, такой как (2.4),тогдакак
2
2
= x
1
1
+ y
2
и p2=
1
G =
|ν|+|μ|2s
gνμxνyμ,
— вещественно аналитическая функция, где ν =(ν
ν
ν
1
2
x
= x
. Таким образом, F — фиксированный гамильтониан в нормальной
1
2
форме, для которого мы предполагаем, что отношение α
),μ=(μ1,μ2),xν=
1,ν2
иррациональ-
1/α2
но и
α
1Fp
− α2F
2
≡ 0.
p
1
Второе слагаемое изменяется, и мы можем предположить, что коэффициенты ограничены
| < 1. (2.6)
|g
νμ
Теорема 2.5 (Зигель [56]). Существует бесконечно много степенных
рядов Φ
(l =1, 2,...) с коэффициентами gνμ, абсолютно сходящихся при
l
условии (2.6), таких, что преобразование, приводящее гамильтониан H
к нормальной форме, сходится только в том случае, если справедливо Φ
=0для бесконечного числа значений l. Φ
аналитически независимы.
l
l
Теорема ясно указывает на расходимость в общем случае. Более того, совершенно не важно в данном случае, может иррациональное число
α
аппроксимироваться достаточно хорошо рациональным числом или
1/α2
нет, в отличие от теоремы 2.2.
Как представляется, этот результат говорит, что нормальная форма из
теоремы 2.4 довольно бесполезна. Конечно, с помощью усечения рядов
=
2. НОРМАЛЬНЫЕ ФОРМЫ ДЛЯ ГАМИЛЬТОНОВЫХ И ОБРАТИМЫХ СИСТЕМ 29
можно получить, по крайней мере, хорошую аппроксимацию решений тригонометрическими суммами. Позднее мы увидим, что нормальная форма
оказывается очень полезной при исследовании вопроса об устойчивости
*
с) Обратимые системы
Мы хотим обсудить нормальную форму для другого класса дифференциальных уравнений, обратимых систем, к которым также относится задача
N тел. Для следующего определения мотивом служит пример системы второго порядка
= Qk(q)(k =1,...,m), (2.7)
¨q
k
которая обладает следующим свойством: если q(t)=(q
(t),...,qm(t)) яв-
1
ляется решением, то и функция q(−t) также является решением.
В более общем виде мы рассмотрим систему первого порядка
˙x = f (x),
где x и f — n-векторы. Мы полагаем, что существует такое линейное отражение R пространства R
n
,что
2
= I (2.8)
R
и
f(Rx)=−Rf (x). (2.9)
Таким образом, если x(t) является решением, то и Rx(−t) также является
решением. При выполнении этих условий мы будем называть рассматриваемую систему обратимой. Полагая n =2m и
x =
q
,Rx=
˙q
q
,
−˙q
мы видим, что (2.7) соответствует обратимой системе первого порядка.
Рассмотрим обратимую систему вблизи равновесия, скажем x =0,
и начнем с нормальной формы для линеаризованной системы
.
˙x = Ax (2.10)
в предположении устойчивости. Согласно (2.8), R обладает только соб-
ственными значениями +1 и −1,ипустьd
соответствующих собственных подпространств, так что d
обозначают размерности
+,d−
+ d−= n.Из
+
условия (2.9) следует
AR = −RA. (2.11)
*
Для общего ознакомления с нормальными формами дифференциальных уравнений см.
Бруно [57].
30 ГЛАВА II
Легко показать, что
rank(A) 2min(d
и для того чтобы матрица A не была вырожденной, мы должны предполо-
*
жить
,чтоn четное и
= d−=
d
+
+,d−
n
.
2
),
Из (2.11) мы видим, что вместе с каждым α в набор собственных значений
матрицы A также входит −α, так что устойчивость в будущем линейной
системы может иметь место только в том случае, когда все собственные
значения чисто мнимые. Мы предполагаем, что все собственные значения
различны. С помощью элементарных рассуждений легко убедиться, что при
сделанных предположениях можно найти координаты u
(k =1,...,m),
k,vk
такие, что (2.10) принимает вид
= −βkvk,
˙u
где α
= iβk,и
k
k
=+βkuk,
˙v
k
(k =1,...,m),
R :(u, v) → (u, −v).
Вводя комплексные координаты z
= uk+ ivk, мы можем записать линей-
k
ную систему в виде
˙z
k
= αkz
и R : z → ¯z. (2.12)
k
Используя это упрощение, рассмотрим обратимую систему вида
˙z = f(z, ¯z), (2.13)
где f — векторозначный степенной ряд по z
, ¯zk, удовлетворяющий, соглас-
k
но (2.9),условию
f(¯z, z)=−f(z, ¯z)(2.14)
и, согласно (2.12),условию
∂f
|
= diag(α1,α2,...,αn); ¯αk= −αk. (2.15)
z=0
∂z
Мы видим, что класс обратимых дифференциальных уравнений переходит в себя под действием псевдогруппы преобразований координат, которые коммутируют с R. Именно на эту группу преобразований заменяются
*
Действительно, следующие результаты могут быть обобщены на случай d+= d−,ноони
принимают при этом несколько более сложный вид
3. ИНВАРИАНТНЫЕ МНОГООБРАЗИЯ 31
ранее использовавшиеся канонические преобразования, и снова нам требуется найти нормальную форму для (2.13).
Чтобы избежать вопросов о сходимости, мы, во-первых, рассмотрим
компоненты f (z, ¯z) как формальные степенные ряды и допустим преобра-
зования координат
z = u(ζ,¯ζ)=ζ + ..., (2.16)
компоненты которых — формальные степенные ряды; с тем, чтобы эти формальные преобразования коммутировали с R,мыпотребуем
u(¯ζ,ζ)=
u(ζ,¯ζ). (2.17)
Аналогично теореме 2.4 имеет место следующее утверждение.
Теорема 2.6. Если система (2.13) удовлетворяет (2.14), (2.15) иесли
собственные значения α
в (2.15) рационально независимы, то существу-
k
ет формальное преобразование координат (2.16),удовлетворяющее(2.17),
такое, что (2.13) преобразуется в
˙
= ζkΦk, (2.18)
ζ
k
где Φ
ζ
1
= αk+ ... — формальные степенные ряды по m произведениям
k
¯
,...,ζ
ζ
1
¯
с чисто мнимыми коэффициентами.
ζ
m
m
Доказательство получается на основании сравнения коэффициентов
и здесь будет опущено. Важно, что Φ
— чисто мнимые величины, что явля-
k
ется следствием условия (2.14). Это подразумевает следующее: по крайней
мере, если мы предполагаем, что все ряды сходятся, для любого решения
¯
выражение ζ
задаются выражениями
где аргументами Φ
чисто мнимые, мы снова приходим к квазипериодическим решениям, не
Φ
k
не зависит от t, следовательно, и˙Φl=0, так что решения
ζ
k
k
tΦ
(t)=e
ζ
k
являются |ζ1(0)|2,...,|ζm(0)|2. Таким образом, так как
k
k
ζk(0),
рассматривая вопрос о сходимости. Можно ожидать, что для данной задачи
расходимость является типичным случаем подобно тому, как в теореме 2.5,
хотя, насколько мне известно, такой факт не установлен.
3. Инвариантные многообразия
а) Мотивация
В двух предыдущих параграфах мы нашли нормальные формы для
систем дифференциальных уравнений в случае голоморфных и гамильтоновых систем. В обоих случаях мы пришли к требованию рациональной
32 ГЛАВА II
независимости собственных значений, что является причиной возникновения проблемы малых знаменателей, то есть проблемы сходимости. Мы
узнали также, что для голоморфных систем, вообще говоря, имеет место
сходимость, тогда как для гамильтоновых систем характерна расходимость.
Эти утверждения ясно показывают затруднения, уже описанные в главе I.
В связи с существованием требования рациональной независимости собственных значений, множество допустимых систем не является открытым
в рассматриваемом классе. В результате мы приходим к вопросу, как преодолеть эти препятствия, которые находятся в противоречии с физической
интуицией.
Основная идея состоит в том, чтобы отказаться от описания всех решений вблизи положения равновесия, а исследовать решения только на некоторых инвариантных подмногообразиях. В связи с этим напомним о нелинейной нормальной форме (2.5) теоремы 2.4. В случае сходимости рас-
сматриваемых рядов система (2.5) описывает колебание с частотами 2Γ
= iα
+ .... Таким образом, если мы ограничимся исследованием тора
k
2
2
+ η
ξ
= ck,c=(c1,c2,...,cn)
k
k
=
k
с достаточно малыми положительными c
вообще говоря, отличаться от iα
висимыми, даже если α
не являются таковыми, при условии, что c выбра-
k
и вполне могут быть рационально неза-
k
но соответствующим образом. При этом требуется, чтобы частоты 2Γ
изменялись при варьировании c
,...,cn, то есть чтобы частоты изменя-
1
, то эти частоты 2Γk(c) будут,
k
k
(c)
лись вместе с амплитудами, что типично для нелинейных задач. В этом
отношении задачи § 1 отличаются от задач § 2, так как в § 1 рассматриваются только линейные нормальные формы. Нелинейные члены в нормальной
форме § 2 существенны и, в некотором смысле, они дают стабилизирующий
эффект.
b) Подсистемы
Если f — векторное поле на многообразии M и φ — векторное поле на
другом многообразии N , то мы назовем φ подсистемой f , если i) существует вложение w : N → M многообразия N в многообразие M , переводящее
φ в f , ограниченное на w(N ). В координатном виде, если
˙z = f(z),
˙
ζ = φ(ζ)(3.1)
описывают векторные поля и
z = w(ζ)
3. ИНВАРИАНТНЫЕ МНОГООБРАЗИЯ 33
— вложение, то должна иметь место система дифференциальных уравнений
в частных производных
∂w
φk= f(w).
∂ζ
k
k
Геометрически это значит, что N — подмногообразие, состоящее из решений, то есть N — «инвариантное (относительно потока, задаваемого f)
многообразие», и φ описывает векторное поле f , ограниченное на N ,всоответствующих координатах. Обычно мы будем требовать, чтобы N было
компактным многообразием.
В качестве тривиального примера рассмотрим периодическое решение, которое приводит к возникновению некоторой подсистемы. Запишем
периодическое решение (3.1) ввиде
z = p(ωt),
где положительное число ω выбирается таким образом, что 2π —наименьший период p(ζ);здесьζ — скалярная переменная. Так как (3.1) не зависит
от t,такжеиp(ω(t − t
)) является решением, и мы можем рассмотреть
0
z = p(ζ)
как вложение окружности, параметризованной ζ(mod 2π),исоответствующая подсистема есть просто
˙
ζ = ω.
В более общем виде, если
z = p(ζ
,...,ζs)(3.2)
1
является вложением s-мерного тора, параметризованного ζ =
=(ζ
,...,ζs)(mod 2π),тосистема
1,ζ2
˙
ζ
= ωσ, (σ =1, 2,...,s)(3.3)
σ
дает нам семейство квазипериодических решений. Мы можем предполагать, что ω
,...,ωsрационально независимы, в этом случае они называют-
1
ся частотным базисом квазипериодических решений.
Геометрически (3.2) представляет собой вложение тора, и (3.3) есть
поток на торе. Если ω
,...,ωsрационально независимы, то каждая орбита
1
34 ГЛАВА II
этого потока плотна на торе и тор может рассматриваться как замыкание
любой орбиты, лежащей на нем.
Например, в случае сходимости нормальной формы (2.5) мы можем
рассматривать ξ
2
2
+η
= ck(k =1, 2,...,n) с ck> 0 как инвариантный тор,
k
k
и
ξ
=√ckcos ζk,ηk=√cksin ζ
k
k
представляет собой вложение тора, а
˙
ζ = −2Γ
(c)
k
— соответствующую подсистему.
Далее мы будем исследовать теорию возмущений таких подсистем и
продемонстрируем условия, при которых инвариантные подмногообразия
сохраняются при возмущении векторного поля. Мы хотим подчеркнуть,
что возмущения векторных полей должны быть ограничены на подкласс
векторных полей, таких как гамильтоновы или обратимые системы, а для
возмущений общего вида теории возмущений не существуют. Это отражает
тот факт, что диссипация системы разрушает квазипериодическое решение.
Прежде чем описывать такую теорию возмущений, введем класс интегрируемых гамильтоновых систем, которые представляют собой невозмущенные системы.
с) Интегрируемые системы
Гамильтонова система (3.1) называется интегрируемой, если можно
ввести координаты p =(p
,...,pn),q =(q1,...,qn) при помощи канони-
1
ческого преобразования
z = w(p,q)(3.4)
так, что w имеет период 2π по переменным q
,...,qn, а гамильтониан
1,q2
H = H(p), описывающий данную систему, не зависит от q. Тогда система
принимает простой вид
= H
Таким образом, p
˙q
k
постоянны вдоль каждого решения, то есть pk— «инте-
k
, ˙pk= −H
p
k
=0. (3.5)
q
k
гралы», и система (3.5) легко разрешима
= H
q
k
(c)t + qk(0),pk= ck,
p
k
что оправдывает термин «интегрируемая» система.
Нужно иметь в виду, что это определение зависит от выбора координат; приведенные выше канонические координаты мы будем называть
3. ИНВАРИАНТНЫЕ МНОГООБРАЗИЯ 35
«нормальными координатами» или, иногда, переменными действие и угол.
В процессе развития данной области механики предполагалось, что разрешить динамическую систему — значит найти нормальные координаты, считая, что их существование гарантировано. Теория Гамильтона–Якоби была,
в действительности, придумана именно для этой цели. Чтобы увидеть эту
связь, запишем z =(x, y),x=(x
,...,xn),y =(y1,...,yn) в (3.4) и
1
y = u(p, q),
x = v(p, q),
(3.6)
при этом канонический характер означает, что
n
dyk∧ dxk=
k=1
n
dpk∧ dqk.
k=1
Существует стандартная интерпретация такого канонического преобразования в терминах производящей функции. Полагая, что второе уравнение в (3.6) может быть разрешено относительно q, в терминах независимых
переменных p, x уравнение (3.6) принимает вид
∂S
=
q
k
,yk=
∂p
k
∂S
∂x
,
k
где S, производящая функция, зависит от p и x.Обратно,любаятакаяфункция S порождает каноническое преобразование при условии, что x, y можно выразить через p, q.ЕслиG(x, y) — гамильтониан для (3.1) и H (p, q) —
гамильтониан в переменных p, q, то мы имеем
G(x, S
)=H(p, Sp).
x
Для того чтобы p, q были нормальными координатами, H должен быть
независимым от q,тоесть
G(x, S
)=H(p). (3.7)
x
Таким образом, поиск нормальных координат тесно связан с поиском решения S приведенного выше уравнения Гамильтона–Якоби, где функция S
должна зависеть от n параметров p
,...,pn,такчтоdet Sxp=0. Хоро-
1,p2
шо известно, что такое решение уравнения Гамильтона–Якоби всегда существует локально. Этот факт говорит о том, что локально, вблизи несингулярной точки, все гамильтоновы векторные поля эквивалентны с точностью
36 ГЛАВА II
до канонической замены координат, и локально все гамильтоновы системы
обладают n линейно независимыми интегралами в инволюции. Но вопрос
о поиске нормальных координат является глобальным, так как они должны
описывать окрестность тора. С этой целью мы должны накладывать условия периодичности на S, которые мы здесь не формулируем, поскольку
вернемся к ним в пункте d).
С помощью описанного метода было решено множество задач. Якоби обнаружил, например, что геодезический поток на эллипсоиде с тремя
различными главными осями интегрируем; в этом случае нормальные координаты связаны с линиями кривизны. Другим примером является плоское
движение материальной точки под воздействием гравитационного притяжения двух неподвижных массивных точек, задача, восходящая к работам Эйлера. Хотя последняя задача кажется очень близкой к ограниченной задаче
трех тел, поиск нормальных координат в последней не увенчался успехом.
На самом деле, оказывается, данная задача не интегрируема, это утверждение восходит еще к Пуанкаре.
Еще один пример интегрируемой системы дается посредством нормальной формы (2.5) теоремы 2.4, если имеет место сходимость. Действительно, если положить
iq
ξ
+ iηk=2pke
k
k
в (2.5),тоpk,qk— нормальные координаты. Теорема 2.5 может быть интерпретирована как следующее утверждение: вообще говоря, гамильтоновы системы вблизи положения равновесия не интегрируемы, то есть такие
нормальные координаты, в общем, не существуют.
Более простой пример интегрируемой системы — задача двух тел и,
аналогично, задача N тел (1.1) в предельном случае, когда m
= ...= m
=0. Таким образом, задача о движении планет может рассмат-
N
= m3=
2
риваться как возмущение интегрируемой системы.
Стоит отметить, что даже квантовая теория Н. Бора базировалась на
понятии переменных действие-угол [58], поскольку квантование Бора ограничивало значения переменных действия целыми кратными постоянной
Планка. Для атома водорода, модель которого основана на задаче двух тел,
это приводит к правильным энергетическим уровням, но даже для неинтегрируемой задачи трех тел этот подход оказывается неудачен и может дать,
самое большее, асимптотические результаты.
d) Возмущение интегрируемых систем
Теперь мы рассмотрим малое возмущение интегрируемой системы.
Пусть x
(k =1, 2,...,n) — нормальные координаты для невозмущен-
k,yk
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]