Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Устойчивые и хаотические движения в динамических системах. В приложении к небесной механике
.pdf
5. ОГРАНИЧЕННАЯ ЗАДАЧА ТРЕХ ТЕЛ 77
Рис. 11
центральную линию Σ
линию Σ
,то
1
,аξ1— ортогональная проекция ζ1на центральную
0
−1/3
|ξ
| δ
1
|ξ0|.
Данный случай описывает рис. 12. Проиллюстрируем значимость этой
леммы, рассмотрев образ кривой γ в D
тому, как в лемме 4. Так как γ дифференцируема вплоть до границы, ее
касательная будет лежать в Σ
dφ(γ) будет лежать в Σ
при достаточно малом δ. Следовательно,
0
, то есть направление dφ(γ) отклоняется от бли-
1
жайшей касательной не больше, чем на δ
φ(γ) стремится к ∂D
тельной к ∂D
.
0
, а ее направление стремится к направлению каса-
0
,примыкающейк∂D0,подобно
0
β/3
. Это показывает, что кривая
e) Сдвиг как подсистема φ
Приведенные леммы будут доказаны в главе VI. С помощью этих лемм
мы можем доказать следующую теорему.
Теорема 3.6 . Для отображения φ на D
(определенном для огра-
0
ниченной задачи трех тел в § 5c) сдвиг ¯σ на D(¯σ) ⊂¯S (см. § 3) является
подсистемой. Более того, существует гиперболическое инвариантное множество I, гомеоморфное S, на котором φ топологически эквивалентно σ.
Чтобы доказать этот результат, рассмотрим симметричную компоненту R области
(δ) ∩ D1(δ),
D
0
содержащую в ее замыкании точку P линии симметрии. При достаточно
малом δ эта область ограничена четырьмя дифференцируемыми кривыми,
которые мы будем называть сторонами. По сути, R будетигратьрольквадрата из § 3, и мы будем проверять условия i) и iii) из § 3 и § 4, из которых
следует утверждение.
78 ГЛАВА III
Рис. 12
Рис. 13
В связи с этим заметим, что две стороны R —этокривые,примыкающие к ∂D
азначит,иобразR при отображении φ, стремятся к ∂D
некасательно. Следовательно, согласно лемме 4, кривые образа,
0
по спирали. Таким
1
образом, φ(R) и R пересекаются в бесконечном числе компонент, как видно
5. ОГРАНИЧЕННАЯ ЗАДАЧА ТРЕХ ТЕЛ 79
на рис. 13. Кроме, возможно, конечного числа этих компонент, они будут
связывать противоположные стороны R. Деление на конечное число компонент φ(R) ∩R мы будем обозначать по порядку U
1,U2,U3
,....Аналогично
положим
V
k
= ρU
(k =1, 2,...).
k
Это компоненты множества
−1
(R) ∩ R = φ−1ρ(R) ∩ ρR=ρ(φ(R) ∩R).
φ
Действительно, можно показать, что
φ(V
)=U
k
(k =1, 2,...),
k
для этого можно использовать (5.3) в конце этого параграфа. Из построения
ясно, что V
(рис. 14). Чтобы проверить, что Uk, Vkудовлетворяют свойствам го-
и U
k
(k =1,...) — непересекающиеся замкнутые множества, как
k
ризонтальных и вертикальных полосок в § 3, мы отобразим R вквадратQ.
Так как стороны R имеют длину δ, то этого можно добиться с помощью
отображения, которое отличается от линейного на O(δ) в C
показать, что V
рить, что границы V
которых близко к направлению касательной к ∂D
является прямым следствием леммы 5, которая говорит, что угол между
этими направлениями меньше, чем δ
соответствуют вертикальным полоскам, достаточно прове-
k
, лежащие внутри R, имеют касательные, направление
k
1/3
+ O(δ) 2δ
в P . Это, в свою очередь,
1
1
-норме. Чтобы
1/3
.АналогичноиU
могут рассматриваться как горизонтальные полоски, определенные в § 3.
Наконец, проверим условие iii) из § 4. С этой целью мы используем
расслоения Σ
секторы в Σ
В самом деле, согласно лемме 3, границы ∂D
трансверсально, и так как секторы в Σ
образующих угол <δ
но содержат секторы Σ
с касательной к ∂D
отображает Σ
ду, что dφ отображает S
−1
(R)∩R мы имеем, согласно лемме 5 и соотношению симметрии (5.2),
в φ
и таким образом Σ
⊂ Σ
β/3
(δ
0
, Σ
(j =0, 1) леммы 5 и отметим, что на R ⊂ D0(δ) ∩D1(δ)
j
j
1/3
(δ
) содержатся в Σ
1
1/3
в P . Таким образом, dφ, ограниченное на R ∩φ−1(R),
1
в Σ1⊂ Σ
0
−1
(p) ∈φ−1(R) ⊂ φ−1(D1(δ)) ⊂ D0(δβ),
φ
(δ
0
+O(δ) с касательной к ∂D0в P , то они определен, все линии которых образуют угол δ
1
. Аналогично рассуждая, мы приходим к выво-
0
+
=Σ1(δ
β/3
) отображается в Σ1(δ
1/3
(δ
),еслиδ>0 достаточно мало.
0
содержат все линии кроме линий,
0
1/3
) в себя. Действительно, для точки p
, ∂D1пересекаются в P
0
1/3
1/3
),ивR Σ1(δ
+ O(δ)
1/3
) ⊂
) согласно предыдущему рассуждению (рис. 15). Тогда, снова
k
80 ГЛАВА III
Рис. 14
применяя dφ, мы видим, что dφ отображает S+=Σ1(δ
мое на φ
ограниченное на
−1
(R) ∩ R, в себя, что мы и хотели показать. Таким образом, S+,
∞
1/3
), рассматривае-
Vk⊂ φ−1(R) ∩ R,
k=1
удовлетворяет нашей гипотезе в iii). Аналогично, множество
−
=Σ0(δ
S
+
полученное из S
жается в себя под действием dφ
проекций на центральную линию показывает, что условие iii) § 4 действительно выполнено при μ = cδ
∂D
и ∂D−пересекаются в P .
+
с помощью отражения, ограниченного на
−1
1/3
,гдеc>0 зависит от угла, под котором
Это доказывает, что теорема 3.2 применима с постоянной μ = cδ
1/3
),
∞
Uk,отобра-
k=1
. Оставшееся утверждение о растяжении
1/3
исдвигσ на бесконечном множестве символов может быть вложен как
подсистема φ. Следуя § 4, мы можем также получить сдвиг ¯σ компактного
,
5. ОГРАНИЧЕННАЯ ЗАДАЧА ТРЕХ ТЕЛ 81
Рис. 15
пространства последовательностей¯S как подсистему φ, доказывая теорему 3.6.
f) Следствия
Чтобы увидеть, что теорема 3.5 является следствием теоремы 3.6, мы
должны заметить только, что множества V
описывают начальные положе-
k
ния таких орбит, для которых время возврата в z =0имеет вид
t
− t1=2π(k + c + υ),
1
где c — фиксированная константа, зависящая только от δ,иυ лежит в интервале 0 υ<1. Легко пояснить геометрическое описание, приведенное
выше.
Таким образом, мы видим, что последовательность s ∈ S соответствует орбите, для которой целая часть [t
k−tk−1
ливается как произвольная последовательность s
/2π] времени возврата устанав-
+[c].Последовательность
k
вида
s =(...,s
−1,s0,s1
,...,s
соответствует орбите, которая при t →∞уходит на бесконечность, и, фактически, для соответствующей точки p ∈ ¯τ(s) мы имеем φ
λ−1
, ∞)
λ−1
(p) ∈ ∂D0,
82 ГЛАВА III
так что p не лежит в области φλ. Если последовательность ограничена при
k 0, то можно легко показать, что соответствующее решение z(t) ограничено при t 0. Таким образом, мы нашли орбиту, ограниченную при t 0,
но уходящую на бесконечность при t → +∞, то есть убегающую орбиту.
В таком случае решение z(−t) — захваченная орбита.
На основе рассуждений, аналогичных рассуждениям теоремы Пуанкаре о возвращении [8], [64], [88], можно показать, что множества орбит,
убегающих при t → +∞ и t →−∞, отличаются только на множество меры
Лебега нуль. Таким образом, в частности, множество захваченных орбит —
множество меры нуль, но, как показывает вышеприведенный результат, это
множество не является пустым [87].
Существование бесконечного числа гиперболических периодических
орбит также следует немедленно, так как любая периодическая последовательность s ∈ S соответствует периодической точке p = τ(s) для φ;таким
образом, p — начальная точка периодической орбиты. Так как τ(S) — гиперболическое множество, то все его периодические точки гиперболические.
Существование периодических орбит следует также из геометрических соображений. Пусть γ — дуга линии симметрии, которая лежит в R
(диагональ R,проходящаячерезP ). Это дуга, примыкающая к ∂D
следовательно, по лемме 4, образ φ(γ) стремится к ∂D
φ(γ) и γ имеют бесконечно много точек p
эти точки таким образом, что p
вать по γ из конечной точки в D
∞
pk= γ ∩φ−1(γ) инвариантно относительно φ,таккак
k=1
φ(γ ∩φ
−1
(γ)) = φ(γ) ∩ γ = ρφ−1(γ) ∩γ = φ−1(γ) ∩γ,
где мы использовали, что φ = ρφ
— первая точка пересечения, если следо-
1
, p2—втораяточка,итакдалее.Ясно,что
0
−1
ρ и ργ = γ . Из рассмотрения порядка
пересечения. Мы расположим
k
по спирали. Значит,
1
в P и,
0
пересечения следует, что
φ(p
)=pk, (5.3)
k
то есть p
что они соответствуют последовательностям констант s
образуют бесконечное множество неподвижных точек φ.Ясно,
k
= m при доста-
a
точно большом m.
В своей статье [33] Ситников обнаружил класс решений, бесконечно
осциллирующих и неограниченных. Для задачи двух тел (или для настоящей задачи при ε =0) такие решения, очевидно, невозможны, так как все
осциллирующие орбиты ограничены. Существование неограниченных осциллирующих решений с бесконечным числом нулей следует из наличия
неограниченной последовательности s ∈ S.
6. ГОМОКЛИНИЧЕСКИЕ ТОЧКИ 83
Заметим, что отображение φ, определенное в c), допускает применение
теоремы 2.11, которая гарантирует существование инвариантных кривых
в 0 <v r
при r0< 2,если|ε| <ε0(r0) достаточно мало. Соответ-
0
ствующие решения тогда ограничены при всех вещественных значениях t,
тогда как явление статистического поведения, обсуждаемого в этом параграфе, имеет место вблизи критической скорости v =2, когда влияние
возмущения очень велико. С другой стороны, мы увидим в следующем параграфе (теорема 3.9), что это явление, вообще говоря, имеет место также
для инвариантной кривой в каждой окрестности эллиптической неподвижной точки, такой как v =0. Хотя это утверждение справедливо в общем
для вещественно аналитических сохраняющих площадь отображений, еще
не было подтверждено, что отображение φ, соответствующее ограниченной
задаче трех тел, принадлежит этому типичному множеству отображений.
6. Гомоклинические точки
a) Приложение к ограниченной задаче трех тел может создать впечатление, что наличие сдвига σ как подсистемы является достаточно редким
явлением. На самом же деле верно противоположное утверждение, что мы
и хотим сейчас показать. Мы ограничимся обсуждением диффеоморфизмов
на плоскости, так как они тесно связаны с дифференциальными уравнениями в трехмерном пространстве.
Пусть p, q — две различные неподвижные точки такого диффеоморфизма φ и r = p, q — такая точка, что φ
и
k
φ
(r) → p для k →−∞,
k
(r) → q для k → +∞.
φ
Вэтомслучаеr называется гетероклинической точкой. В более общем случае, мы называем точку гетероклинической, если φ
периодической орбите {p, φ(p),...,φ
{q, φ(q),...,φ
m
(q)=q} при k → +∞. Если эти периодические орбиты
совпадают, то мы говорим о гомоклинической точке.
В случае, когда p, q — гиперболические неподвижные точки, то есть
dφ имеет вещественные собственные значения λ
неравенству 0 < |λ
| < 1 < |λ2|,точки,стремящиесякp при итерации,
1
лежат на инвариантной кривой W
−
ки лежат на гладкой кривой W
. В этом случае гетероклинические точки,
p
соответствующие p, q, лежат на пересечении W
требуется, чтобы эти кривые пересекались трансверсально.
k
(r) определено для всех целых k
k
m
(p)=p} при k →−∞и к другой
+
, проходящей через p, а убегающие точ-
p
(r) стремится к одной
, λ2, удовлетворяющие
1
−
+
∩ W
p
−{p, q}.Обычно
q
84 ГЛАВА III
В дальнейшем мы рассмотрим гомоклиническую точку, соответствующую гиперболической неподвижной точке p отображения φ,такую,что
−
W
p
атакжевсеточкиφ
+
и W
пересекаются трансверсально в некоторой точке r = p.Тогдаr,
p
k
(r) — гомоклинические точки (рис. 16).
Рис. 16
Понятие и терминология гомоклинических и гетероклинических решений восходит к работе А. Пуанкаре [90, № 397], который указал на сложность потока вблизи таких орбит. В работе Дж. Д. Биркгофа [89] также исследовалось значение этого понятия. Здесь мы хотим подчеркнуть, что наличие гомоклинической точки, соответствующей гиперболической точке p,
для которой W
−
+
и W
p
пересекаются трансверсально в исследуемой точке,
p
подразумевает, что сдвиг на бесконечном наборе символов является подсистемой данного отображения. Это наблюдение было сделано Смейлом [80],
по крайней мере, в отношении вложения сдвига на конечном наборе символов. Обобщение сдвига на последовательностях с бесконечным набором
символов и ¯σ из § 3 я изучал у Ч. Конли. Однако следует сказать, что эти
идеи, менее детальные и строгие, были уже описаны Биркгофом в большой
публикации [89, стр. 184] 1935 г., в которой также было приведено понятие
последовательностей символов. Действительно, наша иллюстрация близка
идеям Биркгофа, но мы предоставим также некоторые необходимые оценки. Одной из причин для выбора такого представления является заметное
сходство с представлением предыдущего параграфа. В сущности, оказывается, что точка P пересечения ∂D
в лемме 2 § 5, играет роль гомоклинической точки, которая соответству-
D
1
, ∂D1, граничных кривых областей D0,
0
ет неустойчивой периодической орбите на бесконечности. Более точно это
будет показано в главе VI, где мы увидим также, что эта периодическая
орбита на бесконечности не является строго гиперболической, а является
6. ГОМОКЛИНИЧЕСКИЕ ТОЧКИ 85
вырожденной. Оставляя в стороне технические различия, можно сказать,
что геометрическая интерпретация совершенно аналогична обсуждаемой
картине вблизи гомоклинической точки.
b) Трансверсальное отображение˜φ
Построим вблизи гомоклинической точки r маленький четырехугольник R, две стороны которого составляют части W
быть прямыми, параллельными касательным к W
Положим для точки qk= k(q) — наименьшее положительное целое, при
котором φ
k
(q) ∈ R, если оно существует. Обозначая множество q ∈ R,для
+
−
, W
p
+
p
,адругиемогут
p
−
, W
в r (см. рис. 17).
p
которого такое k>0 существует, символом D(˜φ),положим
˜
φ(q)=φ
k
(q) для q ∈ D(˜φ).
Мы будем называть˜φ трансверсальным отображением φ для R.Конечно,
нужно проверить, что D(˜φ) не пусто. Мы покажем даже больше с помощью
следующей теоремы.
∞
Теорема 3.7. Если C
ской точкой r, в которой кривые W
-диффеоморфизм φ обладает гомоклиниче-
p
+
−
, W
, проходящие через гипербо-
p
лическую неподвижную точку p, пересекаются трансверсально, то в любой окрестности r трансверсальное отображение˜φ четырехугольника об-
ладает инвариантным подмножеством I, гомеоморфным множеству S
(пространству последовательностей на N = ∞ символов, определенному
в §1b) относительно гомеоморфизма τ : S → I,такчто
˜
φτ = τσ.
Более того, τ может быть продолжено до отображения ¯τ :¯S →¯I (вобо-
значениях §3) такого, что
˜
φ¯τ =¯τ ¯σ,
если обе части ограничены на D(¯σ).
Теорема очень похожа на утверждение Смейла: в любой окрестности
гомоклинической орбиты существует инвариантное множество I
торой фиксированной степени, скажем φ
гомеоморфно сдвигу последовательностей σ на двух- или, в общем слу-
I
2
, отображения φ,такое,чтоφна
для неко-
2
чае, на N<∞-символьном множестве. Несущественное отличие приведенного утверждения от теоремы 3.7 состоит в том, что˜φ задается не как
фиксированная степень отображения φ, и, с другой стороны, в теореме 3.7
допускается случай N = ∞.
86 ГЛАВА III
Рис. 17
Идеи доказательства теоремы 3.7 очень похожи на те, что используются в § 5 при проверке условий i) и iii) § 3 и § 4; см. главу VI, § 7. Здесь
мы хотим указать на то, что полученный выше результат подразумевает
существование многих других гомоклинических и гетероклинических точек. Действительно, все последовательности¯S, заканчивающиеся с обеих
сторон символом ∞ (см. § 3), соответствуют гомоклиническим точкам, принадлежащим p. Так как эти последовательности плотны в¯S,мыприходим
к следующей теореме.
Теорема 3.8. При выполнении условий теоремы 3.7 гомоклинические
точки, соответствующие p,плотнывI.
Этот результат указывает на сложную природу множества пересечения
W
+
p
−
и W
, которую можно видеть на рис. 17. Другие гомоклинические
p
точки получаются, если брать последовательности, для которых хвостовые части являются периодическими с одинаковым повторяющимся блоком
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]