Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Устойчивые и хаотические движения в динамических системах. В приложении к небесной механике
.pdf
4. ОБОБЩЕНИЯ 127
с константой
c
=max{c1(1 + 4A2)|A|−1; c1+2|A|}.
2
Далее мы потребуем, чтобы неравенства
|y
| <ε
k
, |zk| < 2|A|ε
k+1
k
(4.14)
имели место при всех k 1, если они справедливы при k =0. Соглас-
но (4.13), мы получаем при k 1
2
ε
k
εkε
k−1
= c
−1
2
ε
k+1
,
соотношение, которое, согласно (4.13), имеет место также и для k =0.
Если (4.14) имеет место при некотором k 0,тоиз(4.12) мы заключаем
|z
k+1
| |A|ε
|A| +
+ c1(1 + 4A2)ε
k+1
c
1
(1 + 4A2)ε
c
2
Здесь мы использовали определение c
. Таким образом, мы проверили вто-
2
2
k
k+1
2|A|ε
k+1
.
рое соотношение (4.14) для k +1.Аналогичноиз(4.11) мы получаем
|y
k+1
| 2|A|εkε
(2|A| + c
k+1
1
) εkε
+ c1ε
k+1
2
k+1
c2εkε
= ε
k+1
k+2
,
что доказывает первое соотношение (4.14) для k +1на месте k.
Легко исследовать поведение последовательности ε
. Действительно,
k
можно видеть, что
−1
α
ε
= c
k
ϑ
2
k
;0<ϑ<1
— решение, если
α
где мы выбираем α
= α
k+2
= α1=1. Эти числа ведут себя асимптотически как
0
k+1
+ αk,
геометрическая прогрессия
5+1
2
k
.
√
α
∼ c
k
3
Этот факт показывает, что показателем сходимости является κ =
1
(√5+1).
2
128 ГЛАВА V
b) Усовершенствованный метод Хэлда
Если заменить рекурсивные формулы (2.15) на
= xk− akf(xk),
x
k+1
= ak+ ak(1 −f(x
a
k+1
изменяя только аргумент в f
, то в результате мы получим квадратичную
k+1)ak
),
сходимость. Это замечание было сделано О. Х. Хэлдом.
Чтобы доказать это утверждение, мы будем использовать такие же обозначения, как и выше, и отметим, что (4.11) остается справедливым без
изменений. Но оценка для |z
| улучшится, так как в этом случае
k+1
z
k+1
=(1−a
k+1
f(x
)) = (1 −akf(x
k+1
k+1
Оценим
1 −a
f(x
k
)=zk− ak(f(x
k+1
− akf(y
= z
k
= O(|y
| + |zk|).
k
) − f(xk)) =
k+1
− yk)=
k+1
Следовательно, (4.12) заменяется на
k+1
| c
y
4
|z
2
2
+ z
k
.
k
Объединяя (4.11) с этим соотношением, мы имеем для δ
неравенство
δ
k+1
c5δ
2
при k =0, 1,...,
k
которое делает квадратичную сходимость очевидной.
))2.
k
=y
2
2
+ z
k
k
ГЛАВА VI
Доказательства и детали для главы III
1. Краткое содержание
В следующих шести параграфах мы приведем некоторые детали доказательств теорем 3.5 и 3.6 главы III. Как уже было отмечено в этой главе, рассматриваемая модель исследовалась Ситниковым, однако результаты, описанные здесь, в основном, получены Алексеевым. Но приведенный
здесь метод доказательства является новым. Следующее описание основано на методе, предложенном Р.Макгихи, следуя которому мы находим
гиперболическую периодическую орбиту на бесконечности. Из этой орбиты берут начало два инвариантных многообразия, которые пересекаются
в некоторой гомоклинической точке. Таким образом, ситуация, в сущности,
близка к случаю гомоклинической точки, однако существуют технические
различия, так как периодическая орбита на бесконечности является гиперболической только в вырожденном смысле. Выбор сечения, которое определяет отображение, будет также отличаться от соответствующего выбора вблизи гомоклинической точки. Тем не менее, идея описания периодической орбиты на бесконечности способствует геометрической интуиции,
а координаты, введенные Макгихи, упрощают вычисления.
Отметим некоторые детали: малость эксцентриситета ε не существенна при доказательстве в целом, за исключением леммы 3, где проверяется
тот факт, что угол пересечения границ не является нулевым. Но так как этот
угол представляет собой вещественно аналитическую функцию ε в интер-
вале 0 <ε<1, то он может обращаться в нуль только на дискретном
множестве значений ε. Исключая данное дискретное множество, все результаты имеют место для 0 <ε<1.
В § 7 мы обсудим теорему 3.7 о вложении сдвига вблизи гомоклинической точки. В большинстве трактовок этого вопроса используется теорема Хартмана; она утверждает, что отображение вблизи гиперболической
неподвижной точки является линейным в подходящих координатах. Однако, вообще говоря, преобразование систем координат является лишь гомео-
130 ГЛАВА VI
морфизмом и может рассматриваться в классе C1только при дополнительных условиях, наложенных на собственные значения (см. Хартмана [51],
стр. 245–246). На самом деле использование линеаризующего преобразования не является необходимым, как будет показано в § 7. Наконец, в § 8 мы
обсудим несуществование вещественно аналитических интегралов вблизи
гомоклинической точки и покажем, в частности, что ограниченная задача
трех тел не допускает существование такого интеграла.
2. Поведение вблизи бесконечности
a) Решения, описывающие убегающие траектории
Исследуемые дифференциальные уравнения имеют вид
¨z +
где
1
r =
2
— вещественно аналитическая функция переменных ε и t, удовлетворяющая
соотношению
r(t +2π)=r(t)=r(−t). (2.3)
Рассмотрим решения приведенного выше дифференциального уравнения с начальными данными
z
=0, (2.1)
3
(z2+ r2)
2
(1 −ε cos t)+O(ε
2
)(2.2)
)=0, ˙z(t0) > 0(2.4)
z(t
0
иобозначимчерезt
)=0, если оно существует; в противном случае, положим t1= ∞.
z(t
1
Мы рассматриваем начальные значения (˙z(t
ординат на плоскости R
наименьшее число >t0, для которого выполняется
1
),t0) вкачествеполярныхко-
2
, t0задает угол, а ˙z(t0) 0 — радиус. В соответ-
0
ствии с главой III, обозначим множество точек на плоскости, для которых
< ∞, с добавлением точки (0,t0),какD0. Таким образом, множество D
t
1
представляет собой начальные значения для орбит, которые возвращаются
в z =0.Очевидно,D
Вернемся к исследованию дополнения D
удовлетворяющее (2.4),ипустьt
образом, z монотонно возрастает при t>t
—открытоемножество.
0
= ∞,тогда ˙z(t) > 0 при t>t0.Таким
1
.Пустьz(t) — решение (2.1),
0
, и мы получаем из (2.1)
0
z(t) →∞,t→∞.
0
2. ПОВЕДЕНИЕ ВБЛИЗИ БЕСКОНЕЧНОСТИ 131
Так как, согласно (2.1), ¨z(t) < 0 при t>t0, то функция ˙z>0 монотонно
убывает и существует предел
˙z(∞) = lim
t→∞
˙z(t) 0.
Как правило, мы называем орбиту гиперболической, если ˙z(∞) > 0,ипа-
раболической, если ˙z(∞)=0. Но чтобы избежать путаницы с понятием
гиперболических неподвижных точек или гиперболических периодических
орбит, мы не будем использовать данные термины. Нашей целью является описание асимптотического поведения z(t) вдвухслучаях ˙z(∞)=0
и ˙z(∞) > 0.
b) Преобразование Макгихи
Применим преобразование координат, следуя Макгихи,
2
z =
, ˙z = −p, dt =4q−3ds (2.5)
2
q
для 0 <q<∞,такчтопределq → 0 соответствует z →∞. Дифференци-
альное уравнение (2.1) принимает вид
3
−
2
dq
ds
= p,
dp
= q1+
ds
4
q
2
r
4
,
dt
ds
4
=
. (2.6)
3
q
Если бы мы пренебрегли зависимостью r от t, то мы могли бы рассматривать p = q =0как гиперболическую точку дифференциального уравнения,
для которой устойчивое и неустойчивое многообразия задаются соотношениями q = ±p + ..., двумя степенными рядами по p. Однако, так как r —
периодическая функция t, мы можем рассмотреть p = q =0как периодическую орбиту, через которую проходят два инвариантных многообразия
q = χ(p, t)=p(1 + a
p4+ a7(t)p7+ ...)
4
и
q = χ(−p, −t),
где χ имеет период 2π по t и является вещественно аналитической функцией при 0 <p<aдля некоторого положительного числа a.Приp =0
можно только утверждать, что χ принадлежит C
∞
.
Доказательства существования этих многообразий могут быть сведены
к доказательству существования инвариантных кривых для соответствующего отображения, идущих из t =0в t =2π. Это вырожденная неподвиж-
ная точка, так как оба собственных значения якобиана равны единице, но
132 ГЛАВА VI
доказательства существования инвариантных кривых могут быть расширены и на этот случай, как показано в работах [101], [102]. Здесь мы лишь
укажем, что разложение χ может быть получено с помощью сравнения коэффициентов после того, как существование будет уже установлено, и тогда
можно найти
a
=
4
1
32π
2π
r2(t) dt,
0
хотя этот результат не будет использоваться в дальнейшем. Далее, так
как (2.5) переводит отражение (z, ˙z, t) → (z, −˙z, −t) в
(q, p, t) → (q, −p, −t), (2.7)
то достаточно установить существование одного инвариантного многообразия.
Чтобы преобразовать инвариантное многообразие в координатных
плоскостях, положим
⎧
⎪
⎨
⎪
⎩
1
x =
(q − χ(−p, −t)) =
4
1
(q − χ(p, t)) =
y =
4
1
(q + p)+ ...,
4
1
(q − p)+ ...
4
и получим дифференциальные уравнения
⎧
dx
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎨
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎩
ds
dy
ds
dt
ds
= x(1 + O
= −y(1 + O
1
=
{(x + y)
2
),
4
),
4
3
+ O4}−1=4q−3.
(2.8)
Здесь O
кую, что λ
обозначает функцию f = f (x, y, t) в C∞спериодом2π по t,та-
n
−n
f(λx, λy, t) ограничена равномерно по t при λ → 0,гдеλ про-
бегает положительные числа. Рассматриваемое дифференциальное уравнение ограничено на область
q =2(x + y)+O
> 0(2.9)
4
и q =0соответствует z = ∞.
2. ПОВЕДЕНИЕ ВБЛИЗИ БЕСКОНЕЧНОСТИ 133
с) Орбиты в окрестности сингулярности
Для обсуждения поведения орбит в окрестности x = y =0,мыисклю-
чим переменную s и запишем
3
˙x = f (x, y, t)=x(2(x + y)
˙y = g(x, y, t)=y(−2(x + y)
+ O4),
3
+ O4).
(2.10)
Так как отражение (2.7) преобразовывается в (x, y, t) → (y, x,−t),томы
имеем
−g(x, y, t)=f (y, x, −t).
Лемма 1. Пусть x(t), y(t) при t t
— решение в (2.9) ивдоста-
0
точно малой окрестности |x|, |y| <a. Такое решение имеет в качестве
предельной точки x = y =0, если и только если x(t
)=0.Болеетого,все
0
такие решения на x =0стремятся к началу координат.
Д
ОКАЗАТЕЛЬСТВО.Приx =0
f(x, y, t)
x
3
q
=
(1 + O
4
в достаточно малой окрестности. Тогда, если x(t
1
˙x
x
3
q
, (2.11)
8
4
3
q
)
> 0
8
) =0, то мы имеем
0
пока x(t) =0. Мы заключаем, что
|x(t)| |x(t
)| > 0 при t>t
0
0
и такие решения не могут иметь предельную точку в начале координат.
С другой стороны, если x(t
)=0,тоx(t)=0при t>t0, и дифферен-
0
циальное уравнение сводится к
˙y = g(0,y,t)=y(−2y
3
+ O4) −y4,
если a достаточно мало. Интегрируя, мы получаем
1
y(t) y
{1+y
0
3
(t − t0)}
0
−
3
→ 0 при t →∞,
что и доказывает наше утверждение.
При помощи этого результата становится легко представить локальное
поведение решения в окрестности x = y =0в области (2.9). Из леммы 1
134 ГЛАВА VI
следует, что только решения, стремящиеся к началу координат, лежат на
x =0. Если первоначально x(t
) > 0,тоx(t) x(t0). Мы утверждаем, что
0
все эти решения должны покинуть нашу окрестность. Действительно, если
)=y0 0,тоy(t) 0 при t>t0и
y(t
0
q(x, y, t)=2(x + y)+O
ииз(2.11) видно, что справедливо неравенство ˙x
вает, что x покидает нашу окрестность. Если, с другой стороны, y
y(t) < 0 при t>t
и q>q
˙x
при t>t0. Таким образом, согласно (2.11), мы имеем неравенство
0
1
3
xq
, которое показывает, что решение покидает нашу окрестность.
0
8
.Тогдаиз(2.6) мы имеем
0
dt
3
q
=
p =
4
dq
С другой стороны, если x(t
2x + O4(x) x x0,
4
1
4
x
, которое показы-
0
8
3
q
(x − y + ...) > 0
2
) < 0, то решение стремится к определен-
0
< 0,то
0
ной точке на q =0при t →∞.Отметим,чтоx монотонно убывает; то
же самое справедливо и для y(t), так что обе переменные x, y стремятся
кпределу,таккакx, y ограничены снизу. Из дифференциальных уравнений
ясно, что эта предельная точка лежит на q =0.
Таким образом, орбиты с x(t
орбитам (эллиптического типа), орбиты с x(t
ным нулем скорости (параболический тип) и орбиты с x(t
) > 0 соответствуют возвращающимся
0
)=0убегают с фиксирован-
0
) < 0 соответ-
0
ствуют убегающим орбитам с положительной скоростью на бесконечности
(гиперболического типа), см. рис. 19. Можно использовать приведенные
выше формулы, чтобы определить асимптотическое поведение убегающих
траекторий: если x(t
к уравнению
)=0,тоx(t)=0при t>t0,тогда(2.10) сводится
0
˙y = −2y
4
+ O(y5)
и после интегрирования получим
2
−
3
при t → +∞.
y =(6t)
1
−
3
+ Ot
Возвращаясь к переменным q, p, получаем
q =2(x + y)+ ... =2y + ... =2(6t)
−
1
3
1+Ot
1
−
3
,
2. ПОВЕДЕНИЕ ВБЛИЗИ БЕСКОНЕЧНОСТИ 135
Рис. 19
p =2(x − y) − ... = −2y − ... = −2(6t)
1
−
3
1+Ot
1
−
3
и, наконец,
⎧
⎪
⎪
⎪
⎪
⎨
⎪
⎪
⎪
⎪
⎩
−2
z =2q
˙z = −p =2(6t)
1
=
2
(6t)
−
2
3
1
3
1+Ot
1+Ot
1
−
3
,
1
−
3
.
Для гиперболического случая мы имеем ˙z(t) → ˙z(∞) > 0,приэтомлегко
проверить, что
z(t)= ˙z(∞)t +const+O(t
˙z(t)= ˙z(∞)+O(t
−1
−1
),
)
при t →∞.
136 ГЛАВА VI
3. Доказательство лемм 1 и 2 главы III
а) Мы воспользуемся обозначениями главы III, § 5с), будем описывать
решения их начальными данными t = t
смотрим v
начальных значений v0, t0, для которых существует следующий нуль
D
0
z(t) при t
, t0как полярные координаты на плоскости z =0.Множество
0
, является открытым множеством. Дополнение состоит из
1>t0
решений z(t), которые монотонно удаляются при t →∞. Мы разделили
эти решения на два типа с |˙z(∞)| =0(параболический) и с |˙z(∞)| > 0 (ги-
перболический). Легко видеть, что последний тип соответствует открытому
множеству на плоскости t
, v0. Наконец, покажем, что параболические ор-
0
биты соответствуют простой замкнутой кривой, которая, согласно теореме
Жордана о кривых, делит плоскость на две составляющие: внутреннюю
часть, соответствующую D
, и внешнюю, соответствующую гиперболиче-
0
ским орбитам.
b) Чтобы показать, что параболические орбиты, убегающие при t →∞
с ˙z(∞)=0, пересекают z-плоскость по простой замкнутой кривой, доста-
точно лишь заметить, что в координатах x, y предыдущего параграфа эти
орбиты характеризуются x =0, y>0 с произвольным t. В частности,
плоскость y = a>0 пересекается трансверсально этими орбитами по
кривой x =0, t произвольно. Так как t — угловая переменная, мы имеем
простую замкнутую кривую, вещественно аналитическую по переменным
x, y, t. Мы получаем искомую кривую в плоскости z =0, подвергая опи-
санную выше кривую отображению, которое переводит точки вдоль решения с поверхности y = a на z =0в обратном времени. Так как орбиты пересекают эти поверхности трансверсально, ясно, что это отображение
(x, t) → (˙z
) является вещественно аналитическим по x в окрестности 0.
0,t0
Согласно теореме единственности решений дифференциальных уравнений,
это отображение — диффеоморфизм, и (x, t +2π) переходит в (˙z
если (x, t) → (˙z
). Это показывает, что семейство орбит, параболических
0,t0
при t →∞, пересекает z =0по простой замкнутой вещественно аналити-
ческой кривой ∂D
, внутренняя часть которой D0соответствует начальным
0
данным орбит, возвращающихся к z =0при увеличении t. Таким образом,
— область определения отображения φ главы III, § 5с). Орбиты с на-
D
0
чальными значениями, лежащими вне D
выходящие из ∂D
, — параболические, а другие — гиперболические. Это
0
доказывает лемму 1 главы III, § 5с).
с) Чтобы представить отображение φ аналитически, положим (v
полярные координаты точки в D
0
, v0= |˙z(t0)|,гдеz(t0)=0, и рас-
0
, являются убегающими, орбиты,
0
и
0,t0
+2π),
0,t0
) —
z = z(t; v
0,t0
)
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]