Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Устойчивые и хаотические движения в динамических системах. В приложении к небесной механике
.pdf
ПРЕДИСЛОВИЕ xi
«Устойчивая» тема возникла в небесной механике много лет назад,
в попытках Лапласа, Лагранжа, Пуассона и других математиков доказать
устойчивость Солнечной системы при возмущениях. Это, в конечном итоге,
привело к созданию метода нормальных форм, также развитому Пуанкаре,
в котором последовательные (нелинейные) замены координат использовались для почленного упрощения аналитической функции Гамильтона, выраженной в виде степенного ряда. Если просто пренебречь членами высшего
порядка, то динамическое поведение вблизи эллиптических неподвижных
точек типичных (невырожденных) гамильтоновых систем оказывается квазипериодическим: по существу, мы имеем множество нелинейных нормальных мод, составляющих поток на инвариантном торе. Формально система представляется вполне интегрируемой и представимой в координатах
действие-угол, причем все действия под действием потока остаются постоянными. Однако работа Пуанкаре показала, что формальный ряд, в виде которого представляется решение, в определенных случаях оказывается
расходящимся.
Таким образом, трудность заключается в доказательстве того, что при
подходящих условиях сходимость действительно имеет место для класса
квазипериодических решений с достаточно иррациональными отношениями частот, в случае которых в самом деле можно пренебречь членами высшего порядка. Эти результаты были получены В. И. Арнольдом и Ю. Мозером в двух независимых сериях работ 1962–63 гг. [L, M], последовавших
за развитием и анонсированием А. Н. Колмогоровым основных идей, содержащихся в его лекции, прочитанной на Международном конгрессе математиков в Амстердаме [N]. (В работе рассказана также интересная история,
касающаяся исследований Мозера, его интереса к данной тематике, который впервые зажегся, когда его попросили резюмировать сообщение Колмогорова для журнала Mathematical Reviews. Однако он оказался не в состоянии представить всю информацию в деталях, и это, очевидно, побудило его начать работать над проблемой самостоятельно: см. [D].) Материал о нормальных формах, версия теоремы Колмогорова–Арнольда–Мозера
о сохранении инвариантных торов (теорема 2.9) и теорема Мозера для закручивающих сохраняющих площадь отображений составляют содержание
главы II данной книги; технические детали, касающиеся малых знаменателей, представлены в главе V.
Структура книги следующая: глава I является введением в небесную
механику и задачу устойчивости, в ней приведены некоторые мотивирующие примеры, а в главе IV представлены краткие заключительные замечания. Эта глава заканчивается рассмотрением системы Ферми–Паста–Улама
и нескольких вполне интегрируемых дифференциальных уравнений в част-
xii ПРЕДИСЛОВИЕ
ных производных, включая уравнение Кортевега–де Фриза. Мозер отмечает,
что «вопрос, можно ли некоторые результаты для случая конечного числа
степеней свободы перенести на дифференциальные уравнения в частных
производных. . . кажется, скорее, умозрительным. . . » Впоследствии Мозер
сам сделал значительный вклад в решение поставленного вопроса, и в наши дни эта область исследования остается жизненно важной. Это, однако,
уже другая история. (Статья о жизни и математическом вкладе Мозера, написанная его бывшими коллегами и студентами, представлена в [O].)
Незадолго до своей преждевременной смерти в декабре 1999 г. Юрген
Мозер одобрил переиздание этой книги, ставшей подобающим памятником выдающемуся математику и педагогу. По прошествии 30 лет лекции
Мозера все еще остаются одним из лучших способов проникнуть в захватывающие миры порядка и хаоса в динамике.
Филип Дж. Холмс
Университет Принстона
Осень 2000
Литература
[A] К. Зигель, Ю. Мозер, Лекции по небесной механике,Регулярнаяихао-
тическая механика, Ижевск, 2001.
[B] А. Пуанкаре, (Избранные труды) О проблеме трех тел и об уравнени-
ях динамики, М.: Наука, 1971–1974.
[C] Barrow-Green, J., Poincare and the Three Body Problem, American
Mathematical Society and London Mathematical Society, AMS Press,
Providence, RI, 1997.
[D] Ф.Диаку, Ф.Холмс, Небесные встерчи. Истоки хаоса и устойчиво-
сти, Регулярная и хаотическая механика, Ижевск, 2004.
[E] А.Пуанкаре, (Избранные труды) Новые методы небесной механики,
М.: Наука, 1971–1974.
[F] А. Пуанкаре, Лекции по небесной механике, М.: Наука, 1965.
[G] Д. Биркгоф, Динамические системы, Удмуртский университет,
Ижевск, 1999.
[H] А. А. Андронов, Л. С. Понтрягин, Грубые системы, ДАН СССР, 14
(1937) 247.
ПРЕДИСЛОВИЕ xiii
[I] С. Смейл, Дифференцируемые динамические системы,Усп.мат.наук
25 (1) (1970) 113–185.
[J] Smale, S., Diffeomorphisms with many periodic points, In Differentiable
and Combinatorial Topology, S. S. Cairns (ed.), pp. 63–80, Princeton
University Press, Princeton, NJ, 1965.
[K] В.К.Мельников, Об устойчивости центра при периодических по вре-
мени возмущениях, Тр. Моск. мат. о-ва, 12 (1963) 1–57.
[L] В. И. Арнольд, Доказательство теоремы А.Н.Колмогорова о сохране-
нии условно-периодических движений при малом изменении функции
Гамильтона, Усп. мат. наук 18 (5) (1963) 9–36.
[M] Ю. Мозер, О кривых, инвариантных при отображениях кольца, сохра-
няющих площадь, Математика, 1962, Т. 6, № 5, 51–67.
[N] А. Н. Колмогоров, Общая теория динамических систем и классическая
механика, Международный математический конгресс в Амстердаме.–
М.: Физматгиз, 196, 187–208.
[O] Mather, J. N., McKean, H. P., Nirenberg, L., and Rabinowitz, P. H., Jiirgen
K. Moser (1928–1999), Notices of the Amer. Math. Soc. 47 (11) (2000)
1392–1405.
ГЛАВА I
Введение
1. Задача устойчивости
а) Задача N тел
Небесная механика является областью знаний с чрезвычайно длинной
и разнообразной историей, и, очевидно, невозможно дать обзор этой области в небольшом объеме. Поэтому основной нашей задачей является только описание некоторых достижений в этой области за последние несколько
десятилетий, и даже здесь мы будем весьма избирательны. В очень упрощенном виде можно описать цель небесной механики как исследование
решений системы дифференциальных уравнений, а именно задачи N тел,
связанной с движением N материальных точек в трехмерном простран-
стве, притягивающих друг друга согласно закону Ньютона. Если обозначить N трехмерных векторов, описывающих положение N материальных
точек с положительными массами m
система дифференциальных уравнений имеет хорошо известный вид
,черезxk, k =1, 2,...,N,тоэта
k
где
и |x
d2x
m
k
dt
| обозначает евклидово расстояние. Хотя при N =2решения этой
k−xl
k
2
U =
∂U
=
,k=1, 2, ...,N, (1.1)
∂x
k
1k<lN
mkm
l
|xk− xl|
, (1.2)
задачи можно выписать явно, в случае N 3 очень мало что известно,
несмотря на усилия многих астрономов и математиков, которые активно
занимались задачей N тел в связи с ее важностью для астрономии.
На ранних этапах развития небесной механики ее задачи были чисто
практическими — вычислить орбиты планет и предсказать эфемериды на
достаточно большой промежуток времени. Для этих целей требовался математический аппарат, который представлял собой, главным образом, то,
2ГЛАВА I
что в наше время относится к области численных методов. Конечно, эти
задачи до сих пор занимают важное место, и теперь они решаются с помощью вычислительной техники. Однако математические трудности, возникающие в этой области, способствовали все более глубокому исследованию основных теоретических проблем, что привело к развитию нового
математического аппарата. Основное влияние в этом направлении оказал
Пуанкаре, который предложил ряд новых идей и направлений, таких как качественная теория дифференциальных уравнений, исследование топологии
изоэнергетического многообразия; он же сформулировал и доказал теоремы
о неподвижной точке, что позволило устанавливать существование периодических решений. В этой связи можно напомнить, что теорема о неподвижной точке П. Боля и Пуанкаре также возникла в этой области, которой
Боль посвятил всю свою математическую жизнь. Как следствие, в начале этого века более фундаментальные теоретические вопросы привлекли
внимание математиков, таких как Боль, Ляпунов, Зундман, Черри, а в более позднее время Зигеля, Колмогорова, Арнольда и других. Предлагаемые
лекции будут посвящены только достижениям последних лет, в основном,
недавним результатам, полученным для задачи устойчивости (глава II), и,
с другой стороны, для тех случаев, когда поведение орбит оказывается достаточно неустойчивым или хаотическим (глава III).
б) Задача устойчивости
Существует много различных формулировок задачи устойчивости, что
объясняет наличие такого большого количества доказательств устойчивости солнечной системы, например, доказательство Лапласа, Лагранжа,
Пуассона и др. [12], [13]. Отметим, достаточно неформально, некоторые основные вопросы: если посмотреть на дифференциальные уравнения (1.1)
и (1.2), можно заметить, что они определены только для |x
(k<l) и, если r
= |xk− xl| стремится к нулю, то мы говорим о столк-
kl
− xl| =0
k
новении. Таким образом, система дифференциальных уравнений второго
порядка определена на дополнении к
1
N(N − 1) гиперплоскостей xk= x
2
(k<l) в 3N -мерном евклидовом пространстве. Основная проблема со-
стоит в исследовании поведения решений на бесконечном промежутке времени. Существуют ли решения, которые описывают движение без столкновений и не уходящее на бесконечность? Существуют ли решения, для
которых
max
k<l
(rkl,r
−1
kl
)
ограничено для всех t? Можно получить ответы на эти вопросы благодаря построению периодических решений. Но являются ли такие решения
l
1. ЗАДАЧА УСТОЙЧИВОСТИ 3
особыми или они образуют открытое множество (или, по крайней мере,
множество положительной меры) в фазовом пространстве? Поставленные
вопросы возникли в результате наблюдений в астрономии, хотя необходимо
учитывать, что наблюдения покрывают конечный и весьма ограниченный
промежуток времени и что в представленной выше формулировке всеми
другими возможными силами, включая релятивистские эффекты, пренебрегают, и в действительности задача рассматривается как математическая
идеализация.
Как правило, задачу N тел рассматривают только в случае, когда N −1
отношений масс, то есть m
, k =1, 2, ...,N − 1,малы,этотакна-
k/mN
зываемая планетная модель. Проводя нормировку по отношению к массе Солнца, то есть полагая m
массы m
ние (1.1) на m
, ...,m
1
как малые параметры. Если разделить k-тое уравне-
N−1
и устремить к пределу mk→ 0 для k =1, 2, ...,N − 1,
k
=1, в дальнейшем мы будем трактовать
N
дифференциальные уравнения распадутся, что интуитивно понятно, в результате они будут описывать N −1 задач двух тел для N −1 планет. Если
мы выберем центр масс в состоянии покоя и будем рассматривать для N −
− 1 планет эллиптические орбиты с частотами ω
то есть с периодами 2π/ω
, мы получим решение, которое, вообще говоря,
k
(k =1, 2, ...,N − 1),
k
является не периодическим, а квазипериодическим. Здесь мы будем называть вектор-функцию квазипериодической, если ее компоненты могут быть
представлены в виде ряда
j
cje
i(j,ω)t
, (1.3)
где ω =(ω
ние проводится по всем векторам j =(j
тами. Мы полагаем, что ряд
, ...,ωS) имеет действительные компоненты и суммирова-
1,ω2
, ...,jS) с целыми компонен-
1,j2
|
|c
j
сходится. В нашем случае мы имеем S = N −1, и возникает вопрос, можно
ли найти такие квазипериодические решения для малых, но положительных
значений m
(k =1, 2, ...,N − 1) при исследовании планетных задач.
k
Поставленный вопрос для таких квазипериодических решений возник
очень давно. В письме к С. Ковалевской в 1878 г. (см. [14], с. 30) Вейерштрасс писал, что он может формально построить такие решения в виде
рядов, но установить их сходимость он не в состоянии. Проблема сходимости рядов связана с наличием пресловутых малых знаменателей. Грубо
говоря, затруднения состоят в следующем: аналитический формализм на-
4ГЛАВА I
рушается, если частоты ωkрационально зависимы, так как выражения
jkω
k
входят в знаменатель коэффициентов c
полагать, что ω
рационально не зависимы, но тогда выражения (1.4) как
k
k
. Следовательно, мы вынуждены
j
(1.4)
угодно близко подходят к нулю, и именно это является причиной появления термина «малые знаменатели». Так как выражения (1.4) входят в коэффициенты очень сложным образом, сходимость ряда становится очень
неопределенной. Это привело к тому, что некоторые ученые засомневались
в устойчивости Солнечной системы. В дальнейшем ситуация еще более
усложнилась, так как из исследования резонансных явлений выяснилось,
что можно построить неустойчивые системы для рационально зависимых
частот, как в случае с Сатурном и Юпитером, где отношение частот равно
2/5. В результате, некоторые ученые стали предполагать, что рациональная
зависимость частот связана с вопросом об устойчивости Солнечной системы, что абсурдно с физической точки зрения, так как любое множество
частот может быть аппроксимировано рационально зависимыми частотами.
Это запутанное состояние дел иллюстрируется следующим комментарием Вейерштрасса в лекциях, прочитанных в Берлине в 1880–81 гг. [15]:
«. . . Таким образом, мы видим, что устойчивость не может зависеть ни
от рациональности, ни от иррациональности некоторых чисел. Если быть
точным, эта ошибка была допущена Био. С тех пор как появилось это заблуждение, оно распространялось посредством лекций по всем учебным
заведениям мира. Он сказал, что незначительное изменение в расстоянии
между Сатурном и Юпитером было бы достаточным для того, чтобы самая
странная из всех планет в нашей Солнечной системе покинула бы ее навсегда. Однако он забыл упомянуть, что Юпитер также мог бы вырваться,
и это, несомненно, значительно упростило бы исследования астрономов,
так как Юпитер — именно та планета, которая вызывает наибольшее возмущение».
С другой стороны, существует несколько конфигураций в Солнечной
системе, в которых частоты рационально зависимы. Мы уже упоминали
о таком явлении для Сатурна и Юпитера; отношение частот Урана и Нептуна близко к 2, а для Юпитера, Марса и Земли выражение
− 8ωM+4ω
3ω
J
E
приблизительно равно нулю. Для трех галилеевых лун Юпитера имеет место соотношение
ω
− 3ωII+2ω
I
III
∼ 0
2. ИСТОРИЧЕСКИЕ КОММЕНТАРИИ 5
с высокой степенью точности. Нам приходится периодически сталкиваться
со следующим вопросом: могут эти явления рассматриваться как статистически случайные или нет (см., например, [16]–[21]), так как для девяти вещественных чисел всегда можно подобрать с определенной степенью
точности некоторое число рациональных соотношений. Для астероидов, однако, рациональное соотношение с малыми целыми числами между их частотами и частотами Юпитера представляется исключительным явлением.
Представленные различные наблюдения и умозрительные построения
приводят к вполне естественному желанию иметь полную теорему о существовании квазипериодических решений для задачи N тел.
Эта задача была решена только в последнее десятилетие. Удачное решение задачи о сходимости, связанной с малыми знаменателями, было получено благодаря Зигелю, Колмогорову, Арнольду и другим авторам. Их работы позволяют применить полученные результаты к другим классам дифференциальных уравнений, описывающих такие системы как голоморфные
или гамильтоновы (глава II). Но, что касается планетной модели, эти методы приводят к тому результату, что при достаточно малых значениях
m
1,m2
, ...,m
действительно существуют квазипериодические реше-
N−1
ния с S =3(N −1) рационально независимыми частотами. Более того, эти
орбиты образуют множество положительной меры в фазовом пространстве.
Теорема Арнольда [22] дает ответы на давние вопросы и устанавливает
не только существование квазипериодических решений в задаче N тел, но
также показывает, что эти решения не являются особыми в смысле меры
Лебега. Это обусловливает множество положительной меры строгих решений, исключающих столкновения и удаление на бесконечность на любых
временных промежутках. Этот результат можно рассматривать как утверждение об устойчивости орбит, хотя множество полученных таким образом
орбит, близких к круговым и имеющих наклонение, приближенно равное
нулю, не является открытым, а образует сложное канторово множество.
2. Исторические комментарии
На этой стадии нашего описания естественно привести некоторые исторические замечания. Интересную информацию о задаче существования
квазипериодических решений можно найти в письмах Вейерштрасса, опубликованных в журнале Act. Math. 35, 1911, с. 29–65. Как уже было сказано,
Вейерштрасс имел огромный интерес к проблеме построения таких решений для задачи N тел и он хорошо владел методами формального разложе-
ния их в ряд, как он писал в письме к С. Ковалевской. Он пытался доказать
6ГЛАВА I
сходимость рядов, которые содержат вышеупомянутые малые знаменатели. Его надежда на преодоление затруднений в доказательстве основывалась в значительной степени на замечании, сделанном Дирихле Кронекеру
в 1858 г., о том, что он нашел метод для удачной аппроксимации решений задачи N тел. Так как вскоре после этих событий Дирихле умер, о его
идеях не осталось письменных заметок. Вейерштрасс, по-видимому, интерпретировал это замечание в том смысле, что вышеупомянутые разложения
в ряд действительно являются сходящимися. Позднее он предложил эту задачу Миттаг-Леффлеру в качестве вопроса, за решение которого полагалась
премия, учрежденная шведским королем (см. [14]). Вейерштрасс прочитал
и оценил важность известной статьи А. Пуанкаре [23], которому была присуждена премия. Действительно, в статье не было представлено решение
поставленной задачи, но она поражала богатством новых идей. Однако, что
касается рассматриваемой проблемы, Пуанкаре вызвался доказать, что задача трех тел не обладает никакими другими интегралами кроме десяти
уже известных и функций этих интегралов. Он отметил, что это подразумевает несуществование квазипериодических решений, что противоречило
предположениям Вейерштрасса. Однако Вейерштрасс не был убежден и не
принял эту точку зрения:
«Nun habe ich noch ein Desiderium, wor¨uber ich selbst an P. schreiben
werde.
P. behauptet, dass aus der Nichtexistenz mehrerer eindeutigen (analytischen)
Integrale bei einem dynamischen Probleme nothwendig die Unm¨oglichkeit folge,
das Problem durch Reihen von der Form
C
νν...
cos
(νat+ νat+ ...)
sin
zu l¨osen. Diese Behauptung, die von fundamentaler Bedeutung ist, wird ohne
Beweis ausgesprochen».
*
Свои более поздние представления по этому вопросы Пуанкаре обсуждает очень осторожно. Наиболее важным в этой связи является параграф 149 его Новых методов II [24], где он обсуждает возможность сходимости или расходимости разложений в ряд для случая выбранных соответствующим образом фиксированных частот (независящих от параметра μ).
*
Есть и еще одна важная вещь, о которой я сам напишу П[уанкаре].
П[уанкаре] утверждает, что из несуществования других однозначных (аналитических) интегралов в динамической задаче с необходимостью следует невозможность решить эту задачу
разложением в ряды вида
Это утверждение, имеющее фундаментальное значение, было высказано без доказательств.
C
νν...
cos
(νat+ νat+ ...).
sin
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]