Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Устойчивые и хаотические движения в динамических системах. В приложении к небесной механике
.pdf
3. ДРУГИЕ ЗАДАЧИ 7
Его суждение об этом случае неопределенно, он писал: «По-видимому, это
позволит нам сделать вывод, что ряд (2) не сходится. Тем не менее, вышеприведенный аргумент не является достаточным, чтобы установить справедливость вывода со всей строгостью.»
В соответствии с работами Колмогорова и Арнольда, мы знаем, что
на самом деле имеет место обратное и что данные разложения в ряд действительно сходятся и представляют собой решения задачи, по крайней
мере, если соответствующий гессиан не обращается в нуль
*
.Такимобразом, мы можем сказать, что наконец получен положительный ответ на
вопрос, поставленный Вейерштрассом. Более того, ответ не противоречит
теореме Пуанкаре о несуществовании интегралов. Конечно, остается только догадываться, связано ли полученное утверждение каким-либо образом
с подходом Дирихле.
3. Другие задачи
Приведенные результаты, касающиеся квазипериодического решения,
применяются, конечно, не только к задаче N тел, но и к другим классам
дифференциальных уравнений. Как правило, бывает важно, чтобы допускаемые дифференциальные уравнения описывали движения без диссипации,
как в случае движения планет. В общем виде уравнения механики записываются как гамильтоновы системы
∂H
=
˙x
k
, ˙yk= −
∂y
k
где H — функция 2n переменных x
∂H
(k =1, 2, ...,n),
∂x
k
, ...,xn, y1, ...,yn, и уравнения (1.1),
1
очевидно, могут быть переписаны в этом виде. Другой пример допустимых
систем имеет вид
2
d
x
k
= Fk(x),k=1, 2, ...,n,
2
dt
где F
зависит от x =(x1,x2, ...,xn).Еслиx(t) — решение, то x(−t) так-
k
же является решением, и данная система — особый случай так называемых
обратимых систем.
В дальнейшем мы не будем обсуждать технически сложную задачу
N тел, а скорее обратимся к исследованию проблемы устойчивости для типичных модельных задач, таких как гамильтоновы или обратимые системы.
*
Условие (3.10) главы II.
8ГЛАВА I
Мы проиллюстрируем эти задачи с помощью достаточно простых примеров.
i) В механике часто встречается уравнение Дуффинга
¨x + ax + bx
3
= p(t),
где p(t)=p(t +2π) — периодическая силовая функция. Известно, что ес-
ли p =0и a, b — положительные константы, то все решения являются
периодическими с периодом, зависящим от амплитуд. Однако даже если
функция p(t) такая, что величина max
|p(t)| > 0 мала, определить, являют-
t
ся ли все решения ограниченными — непростая тонкая задача. Обоснование
того факта, что это действительно так, вытекает из рассматриваемой тео-
*
рии
. В этом случае свободные колебания и возмущающий член приводят
к возникновению в задаче проблемы малых знаменателей.
Аналогичная задача — периодически возбуждаемый нелинейный маятник — относится к той же категории.
ii) Рассмотрим геометрическую задачу на плоскости
**
.ПустьΓ —замкнутая ориентированная гладкая выпуклая кривая с положительной кривизной. Определим отображение φ во внешней относительно кривой Γ об-
ласти E, проводя из произвольной точки p ∈ E касательную к Γ ипродолжая ее до такой точки q, что расстояния от точки касания до p и q равны.
Для того чтобы избавить конструкцию от неоднозначности, выберем одну
из двух возможных касательных в соответствии с ориентацией Γ. Полагая
φ(p)=q, мы определяем отображение φ множества E на себя. Если Γ два-
жды непрерывно дифференцируема, то φ — диффеоморфизм E на себя и,
как легко показать, сохраняет элемент площади на плоскости.
Исследуем итерации φ
=2, 3,.... Аналогично, обозначим через φ
ачерезφ
через φ
множество {φ
−k
— k-ую итерацию обратного отображения, а также обозначим
0
тождественное отображение. Для любой точки p ∈ E мы назовем
k
(p),k =0, ±1, ±2,...} орбитой, проходящей через p.Та-
кая орбита получается повторением построения касательных (см. рис. 1).
Периодическая орбита определяется точкой p, для которой φ
k
отображения φ,гдеφ1= φ, φk= φ
−1
отображение, обратное к φ,
k−1
◦φ, k =
n
(p)=p при
некотором положительном числе n — периоде. Такой орбите соответствует
замкнутый многоугольник.
*
Недавно Г. Моррис установил ограниченность решений при a =0без ограничения мало-
сти на p(t). Его доказательство также опирается на теорему 2.11.
**
Эта задача была предложена Б. Г.Нейманом приблизительно в 1960 г. См. также:
P. C. Hammer, Unsolved Problems, Proc. Symp. Pure Math. vol. VII, Convexity, Am. Math. Soc.
1963.
3. ДРУГИЕ ЗАДАЧИ 9
Задача состоит в том, чтобы определить, является ли каждая орбита
ограниченной. Если граничная кривая Γ — окружность или эллипс, то образы точки будут лежать на аналогичной окружности или эллипсе, и тогда
ответ на наш вопрос, очевидно, утвердительный. Но для произвольной выпуклой кривой рассматриваемая задача вовсе не является тривиальной, так
как она также содержит трудности малых знаменателей. Как следствие теоремы 2.11, приведенной ниже, можно показать, что каждая орбита действительно ограничена, если Γ шесть раз непрерывно дифференцируема. Справедливо также утверждение, что существует много орбит, точки которых
плотны на C
1
-кривой, но, вообще говоря, не все орбиты обязаны лежать на
таких кривых. Эта простая геометрическая задача наглядно иллюстрирует многие обсуждаемые здесь явления и вопросы. Например, существование бесконечного числа периодических орбит является следствием теоремы
Биркгофа 2.10 о неподвижной точке
**
.
Рис. 1
iii) Пусть βk, k =1, 2, ...,n, n 2 — положительные числа. Рассмот-
рим систему дифференциальных уравнений
2
y
d
k
2
+ β
yk= Qk(y),k=1, 2, ...,n,
k
2
dt
**
Это связано с теоремой Понселе о замыкании в геометрии.
10 ГЛАВА I
где Qk(y) — гладкие функции, обращающиеся в нуль вместе с их первыми производными, если y =(y
положение равновесия, и если бы все Q
описывали бы n гармонических осцилляторов. Q
, ...,yn) — нуль. Таким образом, y =0—
1
были равны нулю, то уравнения
k
могут рассматриваться
k
как слабые связывающие силы вблизи y =0, тогда возникает вопрос об
устойчивости положения равновесия. Хотя эта система, вообще говоря, не
гамильтонова, методы главы II применимы к этому случаю. Можно допустить, что Q
зависят периодически от независимой переменной t; в про-
k
стейшем случае это приводит к уравнению
+ β2y = Q(t, y),
y
для которого вопрос об устойчивости не тривиален, но разрешим методами
главы II, § 4.
iv) В работе [25] Улама была предложена следующая задача из области
механики. Частица движется перпендикулярно между двумя плоскостями,
одна плоскость стационарна, а другая периодически осциллирует вдоль ее
нормали. Частица упруго отражается от двух стенок. Можно сравнить ситуацию с игроком, бьющим баскетбольный мяч о пол, но его рука двигается
периодически независимо от мяча, а также в нашей задаче не учитывается
гравитация.
Задача состоит в том, чтобы описать движение частицы в течение длительного промежутка времени. Возможна ли следующая ситуация: скажем,
частица получает все большую энергию за счет периодического возбуждения, и в результате ее скорость становится сколь угодно велика через достаточно большой промежуток времени? Если частота колебаний ω
значительна по сравнению с частотой ω
частицы, то периоды между уда-
P
W
стенки
рами частицы о стенку достаточно случайны. Это позволяет ожидать, что
скорость частицы через большой промежуток времени станет совершенно
неопределенной по отношению к начальной скорости. Действительно, оказывается, что скорость остается ограниченной, и этот факт является следствием теоремы 2.11, так что отношение ω
P/ωW
также остается ограниченным. Однако если это отношение достаточно мало, то движение очень
неустойчиво, как было показано при численном исследовании [26]. При
больших значениях отношения частот можно обнаружить множество квазипериодических движений.
Существует ряд других ситуаций, к которым представленная теория
может быть применима. Например, движение заряженной частицы в электромагнитном поле, которое может быть описано гамильтоновой системой,
а также задача Штермера, то есть частный случай движения заряженной
4. НЕУСТОЙЧИВОЕ И СТАТИСТИЧЕСКОЕ ПОВЕДЕНИЕ 11
частицы в магнитном поле диполя, как, например, в поле Земли. Штермер и другие ученые исследовали орбиты в задаче с помощью численных
подсчетов. Недавно М. Браун [27], [28] установил существование квазипериодических решений в задаче Штермера, в случае которых частица осциллирует вокруг линий поля и между областями вблизи северного и южного
полюсов.
Другой интересный пример в механике — движение гироскопа или вращающегося волчка, а также проблема устойчивости такого движения [59].
4. Неустойчивое и статистическое поведение
а) Эргодическая теория
До сих пор мы описывали устойчивое поведение решений системы
дифференциальных уравнений. Однако в статистической механике исследуется другая ситуация, когда влияние начальных величин стирается через длительный промежуток времени. В частности, если рассматривать газ
в емкости как большое число частиц, взаимодействующих по определенному закону, можно ожидать, что после достаточно длительного времени
положения частиц совершенно не связаны с начальными условиями. Различные математические понятия, описывающие такое хаотическое поведение, вводятся в эргодической теории, где исследуется группа сохраняющих
меру преобразований φ
t
◦ φs. Эта группа преобразований может быть задана потоком, опреде-
= φ
ленным в силу системы дифференциальных уравнений. В случае гамильтоновых систем свойство сохранения меры является следствием теоремы
Лиувилля.
Аналогично можно рассмотреть дискретную группу сохраняющих меру преобразований φ
случае группа задается отображением φ = φ
вперед и назад.
Согласно эргодической теореме (см., например, [29]), эргодичность
подразумевает, что решения в среднем проводят в множестве A настолько
много времени, насколько велика мера множества A. То есть если полное
пространство имеет меру 1 иеслиT
вмножествеA за время 0 t T ,то
t
(−∞ <t<∞), удовлетворяющих условию φ
n
(n =0, ±1, ±2,...) на пространстве с мерой. В этом
A
1
посредством его применения
— время пребывания решения φt(p)
t+s
=
T
A
→ m(A) при T →∞
T
для почти всех p. В частности, если пространство с мерой имеет такую топологию, что открытые множества имеют положительную меру, то отсюда
12 ГЛАВА I
следует, что для эргодического потока почти все орбиты плотны во всем
пространстве. Такой поток называется транзитивным. Простой пример —
это так называемый поток Кронекера
dθ
k
= ω
,k=1, 2, ...,s, (4.1)
dt
k
на торе, где θ
отождествляются по mod 2π,аω1,ω2, ...,ωs— рационально
k
независимые действительные числа. Следствием теоремы Кронекера является утверждение, что любое решение этой системы плотно на торе тогда
и только тогда, когда ω
, ...,ωsнесоизмеримы. Ясно, что плотность
1,ω2
орбиты в фазовом пространстве препятствует устойчивости, которая требует, чтобы некоторые орбиты были ограничены в открытом подмножестве
фазового пространства, поэтому можно рассматривать эргодичность или
транзитивность как понятия, противоположные устойчивости.
Идеи статистической механики, которые основаны на эргодичности
рассматриваемого потока, наводят на мысль, что задача N тел может быть
не устойчивой и даже являться эргодической на некоторой поверхности,
определяемой известными интегралами, — по крайней мере, если число частиц очень большое. Однако это не верно для планетного движения, что
является следствием теоремы Арнольда, упоминавшейся в параграфе 1, так
как множество положительной меры квазипериодических решений н совместимо с эргодичностью. Тем не менее, существуют классы решений, поведение которых совершенно случайно, как мы увидим далее.
b) Геодезический поток
Возникает вопрос, являются ли эргодичность и транзитивность типичными явлениями для гамильтоновых систем дифференциальных уравнений. Например, могут ли свойства эргодичности или транзитивности хотябы сохраняться при возмущении потока? Пример потока Кронекера показывает, что это не обязательно, так как транзитивность потока связана
снесоизмеримостьюω
. С другой стороны, существуют системы, в кото-
k
рых транзитивность потока сохраняется при его возмущении. Такие потоки
исследовались Аносовым [30] и характеризуются следующим свойством:
сколь угодно близкие орбиты расходятся друг от друга с экспоненциальной
скоростью. Эти системы обладают тем свойством, что все системы в C
окрестности данной имеют одну и ту же структуру орбит. То есть существует гомеоморфизм фазового пространства, отображающий орбиты потока первой системы в орбиты потока возмущенной системы. Поток с таким
свойством называется структурно устойчивым. В частности, если струк-
1
-
4. НЕУСТОЙЧИВОЕ И СТАТИСТИЧЕСКОЕ ПОВЕДЕНИЕ 13
турно устойчивая система транзитивна, то таковыми являются все близкие
системы.
Понятие систем Аносова происходит из модели геодезического потока
на двумерном компактном многообразии с отрицательной кривизной. Эти
геодезические могут также рассматриваться как орбиты материальной точки, двигающейся по многообразию при отсутствии дополнительных сил.
Скорость рассматриваемой точки, естественно, постоянна и может быть
нормирована так, чтобы она была равна 1. Таким образом, мы можем взять
трехмерное единичное касательное расслоение многообразия как фазовое
пространство потока. Как было показано Хедлундом и Хопфом (см. [88]),
этот поток на самом деле эргодический, что означает, что почти каждая
орбита плотна в трехмерном фазовом пространстве.
Приведенные примеры наводят на мысль о том, что эргодическое поведение является типичным для гамильтоновых потоков и устойчивость может оказаться исключительным явлением. Такая точка зрения была высказана несколькими авторами, мы здесь ссылаемся на статью Э. Ферми [31],
который в свое время интересовался статистической механикой и пытался
доказать, что гамильтонова система с n степенями свободы на некотором
компактном энергетическом многообразии, вообще говоря, транзитивна на
(2n − 1)-мерном многообразии. Биркгоф также, по-видимому, имел аналогичную точку зрения, как можно видеть из некоторых высказываний в его
работах, например [32].
То, что эта точка зрения ошибочна, является следствием теорем существования квазипериодических решений, которые будут представлены
в главе II. В настоящее время известно, что наличие единственного положения равновесия, которое устойчиво в линейном приближении и для
которого нелинейные члены невырожденны, предполагает существование
нетривиальных инвариантных множеств (см. теорему 2.8); таким образом,
эргодичность нарушается. То же самое справедливо, если существует периодическая орбита, которая является устойчивой в линейном приближении
и невырожденной. В настоящее время тот факт, что транзитивность также нарушается, может быть установлен только для двух степеней свободы,
и вопрос, является ли это утверждение справедливым для большего числа
степеней свободы, остается открытым.
Сравнивая ситуацию с геодезическим потоком на двумерном компактном многообразии, мы видим из хорошо известных уравнений Якоби, что
при отрицательной кривизне все периодические решения неустойчивы и,
следовательно, нет противоречия с нашим предыдущим замечанием. Если, однако, кривизна положительна, то устойчивые периодические решения
могут существовать. Например, любое многообразие, близкое к трехосному
14 ГЛАВА I
эллипсоиду, обладает таким свойством, и геодезический поток в этом случае не является ни эргодическим, ни транзитивным. Однако многие задачи
в приложениях не демонстрируют такого сильно неустойчивого поведения,
как в случае многообразий отрицательной кривизны, когда все периодические орбиты неустойчивы, и важно понимать существенную особенность
потока в том случае, когда устойчивые периодические орбиты также присутствуют. Этому посвящена глава III, в которой мы покажем, что квазипериодическое поведение на множестве положительной меры (устойчивое
поведение) и транзитивность на других множествах, которые являются континуумами (неустойчивое поведение) сосуществуют бок о бок (см. теорему 3.9). В частности, мы обсудим замечательный пример, исследованный
Ситниковым [33] и позднее Алексеевым [34, 35], о движении в ограниченной задаче трех тел, в которой континуум таких решений, названных
Алексеевым квазислучайными, может быть непосредственно обнаружен
(см. главу III, § 5).
с) Подсистемы, сдвиг последовательностей
Так как решения с различным поведением существуют одновременно, то становится важно для аналитического и концептуального описания
различать их и исследовать поток на инвариантных подмножествах и инвариантных многообразиях. С этой целью мы введем понятие подпотока
t
потока φt.Еслиφt— гладкий поток на многообразии M и ψt—другой
ψ
поток на многообразии N , то мы будем называть ψ
t
, если существует гладкое вложение w : N → MNв M , переводящее
φ
поток ψ
t
в ограничение φtна w(N). Это понятие иллюстрируется квазипе-
t
подсистемой потока
риодическими решениями, введенными ранее. Они могут рассматриваться
как вложение потока Кронекера в заданную систему.
Аналогично можно рассмотреть только непрерывные вложения w континуума N в M для непрерывных подпотоков и, наконец, расширить понятие подпотока на дискретный случай группы отображений φ
n
(n =
=0, ±1, ±2,...). Чтобы описать случайное поведение отображения, мы
будем вкладывать как его подсистему так называемый сдвиг последовательностей σ:еслиA — конечное или бесконечное множество элементов
a ∈ A, то мы введем топологическое пространство S, элементы которого
s — бесконечные в обе стороны последовательности
элементов s
элемента s, s
s =(...,s
из A. Топология на S определяется таким образом, что два
k
близки, если sk= s
; s1,s2,...)
−1,s0
при |k| <Kдля некоторого большого
k
числа K. На этом топологическом пространстве мы рассматриваем гомео-
5. ПЛАН 15
морфизм σ, определяемый выражением σ(s)k= s
, который сдвигает
k−1
последовательность на один шаг вправо.
Этот сдвиг последовательностей — модель «квазислучайного» поведения в последующем, и мы будем топологически вкладывать его в отображение, связанное с ограниченной задачей трех тел. Вложения сдвига последовательностей σ, которые мы будем обсуждать, также сохраняются при
возмущениях системы, и следует отметить здесь, что допускаются все C
возмущения, а не только консервативные. Это не так в случае с квазипериодическими решениями, которые, вообще говоря, сохранялись бы только
в том случае, если ближайшие потоки ограничивались бы гамильтоновыми
системами. Таким образом, квазислучайные решения оказываются более
«устойчивыми при возмущениях», чем квазипериодические решения.
5. План
В следующей главе II мы обсудим теоремы существования квазипериодических решений и некоторые приложения в небесной механике. В главе III мы обратимся к статистическому поведению решений, здесь центральную роль играют работы Ситникова и Алексеева по ограниченной
задаче трех тел.
После некоторых заключительных замечаний в главе IV мы приведем
в последних двух главах ряд доказательств. Глава V содержит доказательство сходимости для типичной проблемы малых знаменателей и обсуждение его метода, а также несколько обобщений теорем главы II. Аналогично,
глава VI содержит доказательства теорем главы III, в частности, полное доказательство результата Алексеева, гласящего, что можно непрерывно вложить сдвиг последовательностей в отображение, естественно полученного
из ограниченной задачи трех тел, и доказательство несуществования интеграла для этой задачи. Таким образом, главы II и V, а также главы III и VI
связаны друг с другом.
В книгу не включены некоторые результаты, полученные за последнее время. Например, работа Смейла [36] по топологии многообразия, полученного при фиксировании интегралов энергии и момента количества
движения в задаче N тел, дает возможность доказать существование автомодельных решений. Существует аналогичное исследование, проведенное
Истоном [37].
Мы также опустили различные методы нахождения периодических решений, в которых используются теория Морса и другие топологические
подходы (см. [40], [41]). Мы ссылаемся здесь на недавнюю интересную
1
-
16 ГЛАВА I
статью А. Вейнстейна [38], [39]. Исследование общих свойств гамильтоновых систем проведено С. Робинсоном [42].
Задачи небесной механики перекрываются с большим числом задач
других областей исследований. В частности, небесная механика связана
с эргодической теорией, в которой достигнуты значительные успехи. Мы
упоминали работу Аносова [30] и должны добавить работу Синая [43], которая более тесно связана со статистической механикой. В связи с метрической эквивалентностью сдвигов Бернулли отметим замечательную работу
Орнстейна [44], в которой показано, что сдвиги Бернулли с точки зрения
теории меры могут быть классифицированы с помощью энтропии, понятия, введенного ранее Колмогоровым. Но эти результаты уводят нас от исследования поставленных задач, и, собственно, сдвиги Бернулли, в смысле
теории меры, насколько мне известно, не встречаются в небесной механике.
Хочу выразить благодарность Ч. Конли, чьи идеи и предложения были включены в текст, в основном в главу VI. Я также признателен ему
и Е. Цендеру за внимательное прочтение рукописи и снабжение ее ценными замечаниями.
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]