Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Устойчивые и хаотические движения в динамических системах. В приложении к небесной механике
.pdf
3. СДВИГ КАК ПОДСИСТЕМА 57
или
p ∈
+∞
k=−∞
φk(V
). (2.3)
s
k
Таким образом мы получаем отображение из I в пространство последовательностей S. При соответствующих условиях мы покажем, что это отображение имеет обратное τ : S → I, то есть для любой последовательности
s ∈ S найдется p ∈ P с вышеуказанным свойством, и что τ — гомеомор-
физм. Из определения τ очевидно следует, что
−k(φ−1
то есть τ
φ
−1
φ|Iτ = σ, откуда видно, что φ|Iтопологически эквивалентно σ.
(p)) ∈ V
s
k+1
,
В следующем параграфе мы сформулируем эти утверждения строго.
Если φ — топологическое отображение топологического пространства T всебя,ψ — второе такое отображение пространства S всебя,то
мы назовем последнюю подсистемой первой, если существует гомеоморфизм τ из S в τ(S) ⊂ T ,такой,что
φτ = τψ. (2.4)
Наша цель состоит в том, чтобы показать, что сдвиг σ — подсистема отображения φ. Этот факт отражает статистическое поведение φ:еслииизвестно, в какие полоски V
попадают φk(p) при |k| <K,невозможно
s
k
предсказать последующее поведение орбиты, причем неважно, насколько
велико K. Фактически, числа s
могут быть выбраны совершенно незави-
k
симо из A = {1, 2}.
Конечно, можно установить другие факты о φ. Например, существование бесконечного числа периодических точек немедленно следует из того,
что σ — подсистема φ, и, более того, периодические точки плотны в I.
3. Сдвиг как подсистема
a) Для того чтобы сформулировать вышеприведенное утверждение более строго, введем некоторые понятия. Пусть дано число μ на интервале
0 <μ<1, мы назовем кривую y = u(x) горизонтальной кривой, если
0 u(x) 1 при 0 x 1 и
) −u(x2)| μ|x1− x2| в 0 x1 x2 1. (3.1)
|u(x
1
Если u
(x), u2(x) определяют две горизонтальные кривые и если
1
0 u
(x) <u2(x) 1,
1
58 ГЛАВА III
то мы назовем множество
U = {(x, y)|0 x 1; u
(x) y u2(x)}
1
горизонтальной полоской и обозначим символом U = U(μ) совокупность
всех горизонтальных полосок. Наконец,
d(U)= max
(u2(x) − u1(x)) (3.2)
0x1
будем называть диаметром U (см. рис. 5).
Рис. 5
Аналогично опишем вертикальную кривую x = v(y), где для 0 y 1
0 v(y) 1, |v(y
) −v(y2)| μ|y1− y2| в 0 y1 y2 1. (3.3)
1
Вертикальная полоска V задается двумя вертикальными кривыми. Приведенные выше определения переносятся на этот случай, если поменять ролями x и y. Множество всех вертикальных полосок будем обозначать B =
= B(μ);числоμ (0 <μ<1) будет все время фиксированным.
b) Далее нам понадобятся некоторые элементарные факты, касающиеся таких полосок.
Лемма 1. Если U
женных горизонтальных полосок U
(1)⊃U(2)⊃U(3)
(k)
⊃ ... — последовательность вло-
∈U (k =1, 2,...) иеслиd(U
(k)
) → 0
3. СДВИГ КАК ПОДСИСТЕМА 59
при k →∞,то
∞
k=1
(k)
U
определяет горизонтальную кривую.
Доказательство этой леммы легко получить, используя свойство компактности семейства горизонтальных кривых. Аналогичное утверждение
имеет место, конечно, и для вложенных последовательностей в B.
Лемма 2. Горизонтальная кривая y = u(x) и вертикальная кривая
x = v(y) пересекаются ровно в одной точке.
ОКАЗАТЕЛЬСТВО. Точка пересечения (x, y) соответствует нулю
Д
функции x − v(u(x)) и y = u(x). Так как, согласно (3.1), (3.3), при
0 x
1<x2
2
< 1, то функция x −v(u(x)) строго возрастающая. Так как это выра-
и μ
1 мы имеем
|v(u(x
)) −v(u(x2))| μ|u(x1) − u(x2)| μ2|x1− x2|
1
жение 0 при x =0и 0 при x =1, то существует ровно один нуль, что
доказывает утверждение.
Согласно лемме 2, мы получаем отображение пространства пар кривых
(одной горизонтальной и одной вертикальной) в Q, присваивая паре (u, v)
точку пересечения, скажем z =(x, y). Это отображение непрерывно по
Липшицу относительно норм
||u|| + ||v|| =max
0x1
|u(x)| +max
0y1
|v(y)|
и
|z| = |x| + |y|.
Действительно, если z
(j =1, 2) соответствуют (uj,vj), j =1, 2,томы
j
имеем
|z
− z1| (1 − μ)−1(||u2− u1|| + ||v2− v1||). (3.4)
2
В самом деле, так как x
= vj(yj), то мы имеем, согласно (3.3),
j
− x1| |v2(y2) −v1(y2)| + |v1(y2) −v1(y1)| ||v2− v1|| + μ|y2− y1|.
|x
2
Аналогично, из (3.1) получаем
− y1| ||u2− u1|| + μ|x2− x1|;
|y
2
сложение этих неравенств приводит к оценке (3.4), так как 0 <μ<1.
60 ГЛАВА III
c) Мы приходим к формулировке предположений для отображения φ,
определенного на Q.
i) Пусть A —множество{1, 2,...,N},гдеN<∞,илимножество
положительных целых чисел, если N = ∞;предположим,чтоU
, Vaпри
a
a ∈ A заданы как непересекающиеся горизонтальные и, соответственно,
вертикальные полоски в Q. Отображение φ переводит V
в U
,тоесть
a
)=Ua,a∈ A. (3.5)
φ(V
a
Более того, требуется, чтобы вертикальные границы V
вертикальные границы U
горизонтальных границ при отображении φ.
ii) Если V — вертикальная полоска в
. Аналогично должно иметь место соответствие
a
Va, то для любого a ∈ A
a∈A
−1
(V ) ∩Va=˜V
φ
a
гомеоморфно
a
отображались на
a
(3.6)
— вертикальная полоска (в частности, это множество не пусто), и для некоторого фиксированного значения ν, 0 <ν<1,мытребуем
d(˜V
) νd(Va). (3.7)
a
Аналогично, если U — горизонтальная полоска в
*
φ(U) ∩ U
a
=˜U
a
Ua,то
a∈A
(3.8)
— горизонтальная полоска и
d(˜U
) νd(Ua). (3.9)
a
Теорема 3.1. Если φ — гомеоморфизм, удовлетворяющий гипоте-
зам i) и ii) относительно горизонтальных и вертикальных полосок U
a,Va
(a ∈ A),тосдвигσ последовательностей из элементов A является подсистемой φ. То есть существует гомеоморфизм τ из S в Q, такой, что
φτ = τσ.
В частности, если N<∞,тоτ(S) — замкнутое и инвариантное мно-
жество в Q, которое, подобно S, является канторовым множеством.
*
Через φ(U ) обозначен образ U ∩
a∈A
Va.
3. СДВИГ КАК ПОДСИСТЕМА 61
d) Доказательство. Для того чтобы исследовать множество точек
p ∈ Q, для которых φ
−k
(p) ∈ V
(k =0, ±1, ±2,...), мы определим по
s
k
индукции для n 1 множества
V
s0s−1...s
−n
∩φ−1(V
s
0
s−1...s
)(3.10)
−n
= V
и убедимся, используя предположение ii), в том, что они являются вертикальными полосками. Также, согласно этому предположению, диаметр
) ν
n
(3.11)
полоски V
V
s0s−1...s
−n
V
s0s−1...s
d(V
s0s−1...s
s0s−1...s
) νd(V
−n
стремится к нулю при n →∞. Из определения
−n
s−1...s
) νnd(V
−n
s
−n
можно видеть, что они соответствуют множествам
= {p ∈ Q, φk(p) ∈ V
−n
= {p ∈ Q, φ
−k
(p) ∈ V
(k =0, 1,...,n)} =
s
−k
(k =0, −1,...,−n)},
s
k
и, следовательно,
V
s0s−1...s
−n
⊂ V
s0s−1...s
−n+1
.
Таким образом, по лемме 1, пересечение
∞
V (s)=
n=0
V
s0s−1...s
= {p ∈ Q, φ−k(p) ∈V
−n
(k =0, −1,...)} (3.12)
s
k
определяет вертикальную кривую, зависящую от левой половины последовательности s.
Аналогично мы определим по индукции для n 2 множества
= U
U
s1s2...s
n
s
1
∩φ(U
которые, согласно предположению ii), являются вложенными горизонтальными полосками, диаметры которых могут быть оценены величиной ν
Таким образом, так как φ(V
∞
U(s)=
n=1
U
s1s2...s
)=U
s
k
= {p ∈ Q, φ
n
= {p ∈ Q, φ
,
s
k
−k+1
−k
(p) ∈ V
), (3.13)
s2...s
n
(p) ∈ U
s
k
,k 1}
s
k
,k 1} =
n−1
(3.14)
— горизонтальная кривая, зависящая от правой половины s. По лемме 2,
пересечение
−k
∈ V
V (s) ∩ U (s)={p ∈ Q|φ
(k =0, ±1, ±2,...)} (3.15)
s
k
.
62 ГЛАВА III
определяет ровно одну точку в Q. Определим теперь отображение τ из S
в Q, ставя в соответствие последовательности s =(...,s
−1,s0
; s1,...) ∈ S
указанную точку V (s) ∩ U (s).
Из построения ясно, что если τ (s)=p, то сдвинутая последовательность σ(s) отображается в τσ(s)=φ(p), следовательно,
τσ = φτ.
Остается показать, что отображение τ непрерывно, инъективно и его обратное также непрерывно.
Непрерывность τ немедленно следует из построения: если s и s
дают по их k-м компонентам при |k| <n,тообразыτ, τ(s
вертикальной полоске V
Из условий d(V
s0s1...s
n
|τ(s) − τ(s
s0s1...s
) νn, d(U
и одной горизонтальной полоске U
n
s1...s
)| (1 − μ)−1(νn+ ν
) ν
n
n−1
следует, что
n−1
),
) лежат в одной
совпа-
s1...s
n
что доказывает непрерывность τ.
Тот факт, что полоски V
не пересекаются, сразу приводит к тому, что
a
τ инъективно. Очевидно, что образ τ — это в точности множество
+∞
φk(W ) если W =
k=−∞
и, следовательно, он является компактным подмножеством Q,еслиN<∞.
Так как τ инъективно, мы делаем вывод, что τ
Va,
a∈A
−1
непрерывно в случае
N<∞. На самом деле, то же самое справедливо при N = ∞,номы
опустим здесь доказательство. Таким образом, теорема 3.1 доказана.
e) В случае N = ∞множество S и, следовательно, τ(S) не компактны.
Мы обсудим компактификацию S, которая нам понадобится позднее. Будем
предполагать, что A = {1, 2,...} и V
личивается с ростом a. Аналогично будем предполагать, что U
.Тогдаясно,чтоVaстремится к вертикальной кривой V∞, которая,
над U
a
упорядочено так, что абсцисса уве-
a
a+1
лежит
как мы можем считать, совпадает с x =1; аналогично мы считаем, что пре-
дел U
стем,чтоφ, в общем, не определено на V
горизонтальных кривых есть y =1. Затруднения возникают в связи
∞
и φ−1не определено на U∞.По
∞
этой причине компактификация τ (S) уже не будет являться инвариантным
относительно φ множеством.
Для того чтобы ввести компактификацию¯S множества S,мыбудем
допускать элементы следующего типа: пусть κ, λ — целые числа, удовлетворяющие неравенствам κ 0, λ 1,положим
s =(∞,s
κ+1
,...,s
, ∞); sk∈ A, (3.16)
λ−1
.
4. АЛЬТЕРНАТИВНЫЕ УСЛОВИЯ ДЛЯ C1-ОТОБРАЖЕНИЙ 63
где κ =0, λ =1, соответствует символическому элементу (∞, ∞).Если
κ = −∞, λ =+∞, то мы отождествляем указанные последовательности
сэлементамивS. Мы также допускаем полубесконечные последовательности κ = −∞, λ<∞ или κ>−∞, λ = ∞. Эти последовательности
образуют элементы пространства¯S ⊃ S. Введем в качестве окрестности
элемента
∗
s
=(...s
∗
−1
,s
∗
,...,s
0
∗
λ−1
, ∞),
где κ = −∞, λ<∞,множествоs со свойством
∗
s
= s
k
s
λ
при − K k<λ,
k
K,
где K =1, 2, 3,.... Определяя аналогично окрестности для других типов,
мы получим топологию на¯S, тем самым расширяя топологию S,вкоторой¯S компактно.
Сдвиг σ уже не определен на всем S.Мыпродолжимσ до отображения ¯σ, которое является сдвигом, формально определенным, как и раньше,
в области
D(¯σ)={s ∈¯S,s
= ∞}.
0
Тогда область значений R(¯σ) отображения ¯σ есть множество
R(¯σ)={s ∈¯S,s
= ∞}.
1
Нетрудно расширить гомеоморфизм τ теоремы 3.1 до гомеоморфизма
¯τ множества¯S в Q так, что
¯τ ¯σ = φ¯τ |
D(¯σ)
.
Множество ¯τ(¯S) компактно, но уже не инвариантно относительно φ.Новые состояния (3.16) соответствуют решениям, которые «убегают» в положительном или отрицательном времени.
4. Альтернативные условия для C1-отображений
a) Приведенные условия, в частности ii), все еще трудны для проверки, и мы заменим ii) другим условием для случая, когда отображение φ
непрерывно дифференцируемо. Представим φ в координатном виде
x
= f(x0,y0),
1
= g(x0,y0),
y
1
(4.1)
64 ГЛАВА III
где (x1,y1) —образточки(x0,y0). Далее мы поставим в соответствие
данному отображению дифференциал dφ, переводящий касательный вектор (ξ
) вточке(x, y) ввектор(ξ1,η1) вточке(x1,y1),где
0η0
ξ
= fxξ0+ fyη0,
1
η
= gxξ0+ gyη0.
1
(4.2)
Заменим теперь ii) из параграфа 3 следующим предположением:
iii) Для некоторого μ, 0 <μ<1, расслоение секторов
+
: |η| μ|ξ|, (4.3)
S
определенное на
Va, отображается в себя под действием dφ,тоесть
a∈A
+
dφ(S
) ⊂ S+. (4.4)
Более того, если вектор (ξ
Аналогично, расслоение, определенное на
отображается в себя под действием dφ
более того, если вектор (ξ
) ∈S+и (ξ1,η1) — его образ, то
0,η0
|ξ
| μ−1|ξ0|. (4.5)
1
Ua,
a∈A
−
: |ξ| μ|η|, (4.6)
S
−1
,тоесть
−1(S−
dφ
) ∈ S−и (ξ0,η0) — его прообраз, то
1,η1
|η
) ⊂ S−;(4.7)
| μ−1|η1|. (4.8)
0
b) Условие iii) выражает неустойчивость отображения при итерации,
так как горизонтальные компоненты касательного вектора увеличиваются
по крайней мере в μ
компонента — в μ
−n
раз под действием dφnпри n 1, а вертикальная
−n
раз под действием dφ−n.
Теорема 3.2. Если φ — непрерывно дифференцируемое отображе-
ние, удовлетворяющее условию i) предыдущего параграфа и только что
сформулированному условию iii) с константой 0 <μ<
1
, то условие ii)
2
4. АЛЬТЕРНАТИВНЫЕ УСЛОВИЯ ДЛЯ C1-ОТОБРАЖЕНИЙ 65
выполняется с константой ν = μ(1−μ)−1и, следовательно, имеют место
утверждения теоремы 3.1.
Д
ОКАЗАТЕЛЬСТВО. Достаточно показать, что ii) — следствие i) и iii).
Пусть γ —вертикальнаякриваявполоскеV
дую горизонтальную кривую и, в частности, границы U
ˆγ = γ ∩U
соединяет горизонтальные границы φ
Мы хотим показать, что φ
соединяет горизонтальные границы Ua, следовательно, φ−1(ˆγ)
a
−1
(ˆγ)=φ−1(γ) ∩Va—вертикальнаякривая(см.
−1
рис. 6). Для этого заметим, что γ — вертикальная кривая, скажем x = v(y),
удовлетворяющая неравенству |v(y
) − v(y2)| μ|y1− y2|.Таккакdφ
1
(b ∈ A). Она пересекает каж-
b
. Таким образом,
a
(Ua)=Va,тоестьy =0и y =1.
−1
отображает S−в S−, мы получаем, применяя теорему о среднем, что для
любых двух точек (x
Это неравенство показывает, что φ
), (x4,y4) ∈φ−1(ˆγ) справедливо неравенство
3,y3
|x
− x4| μ|y3− y4|.
3
−1
(ˆγ) — график функции x = w(y),опре-
деленной на отрезке 0 y 1 и удовлетворяющей неравенству
) − w(y4)| μ|y3− y4|.
|w(y
3
Рис. 6
Применим это замечание к границам V ⊂ Vb, в результате придем
к заключению, что прообразˆV = V ∩ U
−1
(ˆV ) является вертикальной полоской.
= φ
и, следовательно, φ−1(V ) ∩Va=
a
Во-вторых, проверим утверждение о диаметре при 0 <μ<
ношение
ν =
μ
1 −μ
< 1.
1
исоот-
2
66 ГЛАВА III
С этой целью предположим, что p1, p2—дветочкинадвухвертикальных
−1
границах φ
ипредположимтакже,чтоp
параллельна оси x и, следовательно, ˙p ∈ S
(ˆV ),такие,что
d(φ
p(t)=(1− t)p
−1
(ˆV )) = |p1− p2|,
, p2имеют равные y-координаты. Тогда кривая
1
1
+ tp
2
(0 t 1)
+
. В результате получим, что
кривая
z(t)=φ(p(t))
имеет касательную
˙z = dφ ˙p ∈ S
+
согласно предположению iii). Приведенные рассуждения показывают, что
z(0), z(1) лежат на горизонтальной кривой, а именно, на кривой, полученной продолжением z(t) горизонтальными отрезками. Таким образом, точки
(z(0),z(1)) лежат на одной горизонтальной кривой у двух вертикальных
линий на расстоянии d(ˆV ). Из (3.4) мы заключаем, что
−1
|z(0) −z(1)| (1 −μ)
d(ˆV ).
Наконец, записывая z(t)=(x(t),y(t)), получаем, согласно второму пред-
положению iii), что
|˙x| μ
−1
|˙p| > 0,
тогда ˙x не меняет знак и
1
|p
− p2| =
1
|˙p|dt μ
0
что доказывает (3.7) с константой ν = μ(1 − μ)
1
|˙x|dt = μ|x(1) − x(0)|
0
μ|z(1) − z(0)| μ(1 − μ)
−1
.
−1
d(ˆV ),
c) Гиперболическая структура инвариантного множества
1
ВслучаеC
-отображения можно дополнительно проверить, что инвариантное множество I = τ (S) является гиперболическим. Это означает,
что каждой точке p ∈ I можно поставить в соответствие две линейно независимые линии L
+
−
, L
p
в касательном пространстве в точке p,такие,что
p
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]