Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Сопротивление материалов. Дополнительные главы. Учебное пособие.pdf
Внешняя безобидность концентрации напряжений в малой зоне об-
к
p
к
p
1
11
1 μ 1μВ
u Ас
ЕЕ
с
−+
= ⋅ ⋅− ⋅
2 22
11к
22 22
с ас
А p ; В p
к
са са
⋅
=−⋅ =⋅
−−
к
p
( )
2
22
1 μ
1 μ В
u Ас ,
Е Ес
+
−
= ⋅ ⋅− ⋅
манчива. Разрушение в этой зоне увеличивает её размеры, как и степень
концентрации напряжений (острая трещина вместо закругленной).
При последующем нагружении зона концентрации напряжений снова увеличивается и так до полного разрушения.
Процессы усталостного разрушения и выносливости будут рассмот-
рены ниже.
ДАВЛЕНИЕ ПРИ ЗАПРЕССОВКЕ КРУГЛЫХ ДЕТАЛЕЙ
Пусть есть две трубы:
1) с внутренним радиусом а и внешним с +∆;
2) с внутренним радиусом с и внешним b.
После запрессовки первой трубы во вторую возникает контактное
давление
Внутренняя труба сжата давлением
. Определим величину этого давления.
. При этом её наружный радиус
уменьшается (u1 < 0):
,
где
.
Внешняя труба растягивается давлением
. Ее внутренний радиус
увеличивается
81
где
2 22
2 к 2к
22 22
с св
А p ; В p .
b с bс
⋅
= =−⋅
−−
( )
( )
( )
( )
( ) ( )
322
2 1 21 к
22 22
2 сbа
1 μ
1 μ
Δ А Ас ВВ p
Е Ес
Еb с с а
⋅⋅ −
+
−
= ⋅ − ⋅− ⋅ − = ⋅
⋅
⋅−⋅−
(
) ( )
22 22
к
3 22
b с са
Е
Δ
p
2 с bа
−⋅−
= ⋅
⋅−
'
r
σ
2
22
t
r
2
d
d (r )
(3 ) r
dr
dr
σ
⋅σ
+ =− +µ ⋅ρ⋅Ω ⋅
Поскольку
u2 – u1 = ∆,
после подстановки выражений для u1 и u
2
.
Откуда
.
После определения контактного давления расчёт напряжений в со-
прягаемых деталях не представляет труда. Например, при оптимальной
запрессовке (задача Саверина) прочность трубы (ствола орудия) увеличивается вдвое.
РАСЧЁТ БЫСТРОВРАЩАЮЩИХСЯ ДИСКОВ
Найдем частное решение
системы (22)–(26). Повторив преобразо-
вания, аналогичные проведенным для однородной системы, приходим
к уравнению
82
. (33)
Частное решение ищем в виде правой части:
' 22
r
krσ = ⋅ρ⋅Ω ⋅
3
k
8
+µ
=−⋅
22
r
2
B
3
σA r
8
r
+µ
= + − ⋅ρ⋅Ω ⋅
t
2
B
13
22
σA r
8
r
+ ⋅µ
= − − ⋅ρ⋅Ω ⋅
rr
13
22
Ab
8
r 0, B 0; r b, 0
+ ⋅µ
= ⋅ρ⋅Ω ⋅= σ≠∞ ⇒ = = σ= ⇒
r
3
222
σ (b r )
8
+µ
= ⋅ρ⋅Ω ⋅ −
t
3 13
22 2
σ (b r )
83
+µ + ⋅µ
= ⋅ρ⋅Ω ⋅ −
+µ
ставляя его в (33), после элементарных преобразований получаем
Сумма общего решения однородного уравнения и частного решения
уравнения с правой частью даёт
. (34)
. Под-
Подставив (34) в (22), находим
. (35)
Для диска, выполненного за одно с валом, имеем граничные условия
(рис. 38, а):
Следовательно,
,
.
.
83
Для диска, свободно посаженного на вал, имеем граничные условия
rr
ra,0;rb,0= σ= = σ=
22
22 22
r
2
3 ab
σ (b a r )
8
r
+µ ⋅
= ⋅ρ⋅Ω ⋅ + − −
22
222 2
t
2
3 a b 13
σ (b a r )
83
r
+µ ⋅ + ⋅µ
= ⋅ρ⋅Ω ⋅ + + −
+µ
t t(r)=
t
r
σ
t
σ
r
σ
t
σ
а
б
(рис. 38, б):
.
Рис. 38. Распределение напряжений при различных исполнениях:
а – диск, выполненный за одно с валом; б – диск, свободно посаженный на вал
После решения соответствующей системы алгебраических уравнений
относительно А и В и подстановки в (34), (35), получаем
,
.
Характер распределения напряжений в диске представлен на рис. 38.
Наиболее нагружен материал в центре диска. Поэтому в реальных конструкциях делают толщину диска t переменной и уменьшающейся к его
периферии.
Задачи решены для дисков постоянной толщины. При
решается численно. Подробности – в учебниках и специальных курсах.
система
84
Как видно, аналитические решения достаточно громоздки. Численное
r t rr
22
d 2 S(r) dS(r)
r d S(r) 2 dr ( d ) (r dr) d (S(r)
22
2 S(r) dS(r)
dS(r)) r d dr 0.
2
ϕ⋅ +
−σ ⋅ ⋅ ϕ⋅ − ⋅σ ⋅ ⋅ ⋅ + σ + σ ⋅ + ⋅ ϕ⋅ +
⋅+
+ +ρ⋅Ω ⋅ ⋅ ϕ⋅ ⋅ =
r
tr r
2
d
1 dS(r) 1 dS(r)
( (S(r) ) (S(r) dS(r)))
dr S(r) dS(r) 2 r dr
dS(r)
r (S(r) ).
2
σ
= ⋅ σ ⋅ + −σ ⋅ + ⋅ −σ ⋅ −
+
− ρ⋅Ω ⋅ ⋅ +
2
r
tr
d1
() r
dr r
σ
= σ −σ ⋅ −ρ⋅Ω ⋅
tr
Eu
r
⋅
σ = +µ⋅σ
rt
du 1
()
dr E
= σ −µ⋅σ
решение существенно проще и достаточно универсально.
ЧИСЛЕННОЕ РЕШЕНИЕ ИНТЕГРИРОВАНИЕМ
Исключая деформации, представим математическую модель (22)–(26)
и для переменной толщины S(r) в виде, удобном для интегрирования.
Условие равновесия выделенного элемента:
После преобразований получаем
В частном случае при S(r) = 1:
,
,
.
85
Для интегрирования методом Эйлера имеем
2
r,i+1 r,i t,i r,i i i
σ = σ + ((σ σ )/r ρ Ω r ) Δr,− −⋅ ⋅ ⋅
i+1 i r,i t,i
1
u = u + (σ μ σ ) Δr,
E
−⋅ ⋅
i
t,i r,i
i
E u
σ = + μ σ .
r
⋅
⋅
r,i 1 r,i t,i i i
ii
2
r,i i i i r,i i i i i
Δr dS
σ σ [((σ (S(r ) (r ) Δr)
dS
2 dr
S(r ) (r ) Δr
dr
dS dS dS
σ (S(r ) (r ) Δr))/r σ (r ) ρ Ω r (S(r ) (r ) Δr))].
dr dr dr
+
=+ ⋅ ⋅ + ⋅−
⋅
+⋅
−⋅+ ⋅ −⋅ −⋅⋅⋅+ ⋅
i
S(r )
ra r b
(r a) p , u(r a) var, (r b) pσ==− == σ==−
ra
(r a) p , u(r a) var, u(r b) 0σ==− == ==
Интегрирование при соответствующих граничных условиях даст ре-
зультат аналогичный рассмотренному выше при расчёте стержней.
Для дисков переменной толщины S(r) первое уравнение имеет вид
Вид функции
можно задавать полиномом, например второго
порядка, коэффициенты которого искать в MS Ecxel, задавая условия минимума массы, прочности и т. д.
Граничные условия:
− для трубы, нагруженной известным внутренним и внешним давле-
нием
;
− для трубы в жёсткой стенке, нагруженной известным внутренним
давлением
;
86
– для диска, свободно насаженного на вал
rr
(r a) 0, u(r a) var, (r b) 0σ== == σ==
rr
(r a) var, u(r a) 0, (r b) 0,σ== == σ==
tr
(r a) (r a)σ==σ=
− для диска, выполненного заодно с валом
;
ограничение:
.
Примеры решения этих задач рассматриваются на практических заня-
тиях, а также сравниваются с аналитическими решениями. Погрешность
расчёта эквивалентного напряжения не превышает 3 %.
ВОПРОСЫ ПО ТЕМЕ 7
1. Как формулируется задача Ляме?
2. От какой координаты зависят все функции в математической моде-
ли толстостенных труб?
3. Как связаны деформации и перемещения в математической модели
симметричных толстостенных труб?
4. Запишите выражения закона Гука для толстостенных труб.
5. Как выглядит условие прочности при расчёте труб?
6. Что такое коэффициент концентрации напряжений?
7. Как изменяется значение коэффициента концентрации напряжений
при переходе от круглого отверстия к эллиптическому?
8. Запишите формулу расчёта давления, необходимого при запрессов-
ке круглых деталей.
9. В чём разница в распределении напряжений в дисках, выполненных
за одно с валом и свободно посаженных на вал?
10. В чём особенность математической модели для труб переменной
толщины?
87
Тема 8. ОБОЛОЧКИ. БЕЗМОМЕНТНАЯ ТЕОРИЯ
22
r,t a
22 2
ab
σp 1
ba r
=
−
( )
( )
( )
22
r,t
22 2 2
a (R t / 2) R
σ
р 11 р 11 p 11
2t
b a (R t / 2) (R - t / 2)
−
≈⋅ =⋅ ≈⋅
⋅
− +−
r
0σ≈
t
R
p
t
σ= ⋅
t
ρ
m
ρ
tm
R,ρ= ρ =∞
ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ И МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ
Оболочка – деталь, у которой один размер (толщина t) меньше двух
других. Примеры: тонкостенная труба, сосуд или резервуар, ведро, корпус
ракеты.
Примером точного решения является задача Ламе для трубы. Пренебрегая толщиной, получаем приближённое решение для напряжений
в срединной поверхности радиусом r = R:
→
→
.
Таким образом, напряжениями
по нормали к поверхности
можно пренебречь в сравнении с нормальными напряжениями
в срединной поверхности. Напряжения в сечении ввиду малости t постоянны, т. е. в сечениях не возникают изгибающие моменты (безмоментная
теория). Расчёт при таких допущениях, обобщённый для осесиметричных
оболочек, предложен Лапласом. Рассмотрим его подробно.
Осесимметричная оболочка – симметрична относительно оси как
геометрически, так и по характеру приложения внешней нагрузки – давления. Например, боковая поверхность ведра, стоящего на плоскости, осесимметрична, а когда его поднимают за дужку – не осесимметрична.
Срединная поверхность имеет два радиуса кривизны:
ческом сечении и
у трубы
в меридиональном (осевом) сечении. Например,
. Схема нагружения для бесконечно малого эле-
мента, выделенного двумя осевыми и двумя цилиндрическими сечениями,
представлена на рис. 39.
88
в цилиндри-
t
m
mmtt mtt tmm
d
d
p d d2 td 2t d 0
22
θ
θ
⋅ρ ⋅ θ ⋅ρ ⋅ θ − ⋅σ ⋅ ⋅ρ ⋅ θ ⋅ − ⋅σ ⋅ ⋅ρ ⋅ θ ⋅ =
t
m
mt
p
t
σ
σ
+=
ρρ
mm t m
H
д tm
z
m
sin (z) 2 t (z) sin (z)
dz
Р p(z) cos (z) 2 (z) sin (z)
sin (z)
σ⋅θ ⋅⋅π⋅⋅ρ ⋅θ =
= + ⋅ θ ⋅ ⋅π⋅ρ ⋅ θ ⋅
∫
θ
H
д
m tm
2
z
tm
Р
1
(z) [ p(z) (z) cos (z) dz]
2 t (z) sin (z)
σ = ⋅ + ⋅ρ ⋅ θ ⋅
∫
π
⋅ ⋅ρ ⋅ θ
z
m
ρ
t
σ
m
σ
m
σ
t
σ
p
ν
m
dθ
t
dθ
t
ρ
t
H
)
z(
p
m
σ
)z(
m
θ
)z(tρ
Р
д
Рис. 39. Схема нагружения оболочки для составления математической модели
Составим уравнение равновесия сил вдоль нормали ν (рис. 39):
.
После преобразования получаем уравнение Лапласа [1]:
.
Второе уравнение – равновесие сил в направлении оси можно полу-
чить, проектируя силы в цилиндрическом сечении на ось оболочки с учётом силы Рд на днище (рис. 39):
.
После преобразования
.
89
Типы оболочек для определения напряжений
mm m t
12 3 экв
R
R; p ;
2t
R RR
p , 0; p ; [ ] p .
2t 2t 2t
ρ=ρ= σ=σ=⋅
⋅
σ=σ = ⋅ σ = σ = ⋅ σ≥ ⋅
⋅⋅
mt t
2
m дm
12 3
экв
R
; R; p ;
t
P
R
, Р p R, p ;
2 2 Rt 2t
RR
p , p 0;
t 2t
RR
p;[]p.
tt
∂
ρ =∞ ρ= σ= ⋅
π
θ = = ⋅π⋅ σ = = ⋅
⋅π⋅ ⋅ ⋅
σ= ⋅ σ = ⋅ σ=
⋅
σ = ⋅ σ≥ ⋅
mt
tmдm
1 23
экв
; R; p (H z);
RP
p; ,Р Р; ;
t 2 2 Rt
RP
(H z) , 0, ;
t 2 Rt
RP
(H z) ;
t 2 Rt
RP
[] H .
t 2 Rt
ρ =∞ ρ = =γ⋅ −
π
σ= ⋅ θ = =− σ =−
⋅π⋅ ⋅
σ =γ⋅ − ⋅ σ = σ =−
⋅π⋅ ⋅
σ =γ⋅ − ⋅ +
⋅π⋅ ⋅
σ ≥γ⋅ ⋅ +
⋅π⋅ ⋅
R
R
z H Р
1. Шаровая оболочка радиусом R при постоянном давлении
2. Цилиндрическая оболочка радиусом R с днищами при постоянном
давлении
3. Оболочка-резервуар радиусом R и высотой Н, заполненная жидко-
стью удельным весом γ
90