Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Сопротивление материалов. Дополнительные главы. Учебное пособие.pdf
Однако при
u
1
l
<<
i
ε
2
ii
u
cos
l
ε≈ ⋅ α
3
i
i
Pl
u
А E cos
⋅
≈
⋅⋅ α
∑
2
i
i
3
i
i
P cos
N
cos
⋅α
≈
α
∑
, ограничившись первым членом ряда Маклорена
для
, с высокой степенью точности (более 0,2 %) получаем
,
откуда
,
а усилия в стержнях
.
Метод позволил понизить порядок задачи с 5-го до 1-го.
Отметим, что при численном решении задачи линеаризация функции
деформаций не обязательна.
ВОПРОСЫ ПО ТЕМЕ 2
1. Дайте определение стержневой системы.
2. Что такое узел?
3. Сколько условий требуется для решения состоящей из n стержней
системы дифференциальных уравнений, описывающих стержневую систему?
4. Что такое граничные условия?
5. Что такое условия сопряжения стержней?
6. Перечислите методы решения стержневых систем.
7. В чём суть метода сил при решении стержневых конструкций?
8. В чём суть метода перемещений при решении стержневых кон-
струкций?
9. Какие перемещения возникают в стержневых системах?
21
Тема 3. ЗАДАЧИ ДИНАМИКИ
dN(z)
q(z),
dz
dw(z) N(z)
.
dz E A(z)
= −
=
⋅
Запасы прочности, принятые в машиностроении, во многом опреде-
ляются не погрешностями моделирования и расчётов, а неточностью
определения фактических нагрузок. Основная погрешность возникает при
не учёте динамической составляющей – переменной во времени части поверхностных и объёмных сил.
В настоящем разделе рассмотрим задачи динамики и принципы рас-
чётов применительно к расчёту стержней и стержневых систем.
МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ И РЕШАЕМЫЕ ЗАДАЧИ
Учёт динамики приводит к тому, что все параметры являются функ-
циями не только координат, но и времени. Кроме граничных условий, для
решения необходимо знать ещё и начальные условия, т. е. начальные положение, скорость, ускорение и другие динамические параметры. Порядок
системы разрешающих дифференциальных уравнений увеличивается,
обыкновенные дифференциальные уравнения преобразуются в уравнения
в частных производных. Аналитическое решение задачи становится практически невозможным, да и численное существенно усложняется как по
алгоритмам решения, так и по необходимым ресурсам.
Рассмотрим несколько примеров простых динамических моделей, для
которых известно аналитическое решение.
РАСТЯЖЕНИЕ-СЖАТИЕ ПРЯМОГО СТЕРЖНЯ
В статике задача сводится к решению системы двух обыкновенных
линейных дифференциальных уравнений [10]:
22
В динамике две неизвестные функции N и w, кроме координаты z, за-
q(z)
2
2
w(z,t)
A
t
∂
−ρ⋅ ⋅
∂
2
2
dN(z) N(z,t) w(z,t)
q(z) A q(z,t),
dz z
t
dw(z) N(z) w(z,t) N(z,t)
.
dz EA z EA
∂∂
=− ⇒ −ρ⋅ ⋅ =−
∂
∂
∂
=⇒=
⋅∂ ⋅
w(z 0,t) 0, N(z l,t) 0= = = =
l
V
t = 0
висят от времени t, а к действующим силам (внешним погонным нагрузкам
) необходимо добавить погонные силы инерции
,
где ρ – плотность материала стержня. Математическая модель преобразуется в систему дифференциальных уравнений в частных производных
(7)
Граничные и начальные условия определяются конкретной задачей.
Например, стержень летит со скоростью V и ударяется о неподвижную
преграду (рис. 8).
Рис. 8. К решению динамической задачи
на растяжение-сжатие
Выберем за начало отсчета (t = 0) момент касания преграды.
Граничные условия:
, т. е. всё время ка-
сания стержня жёсткой преграды левый конец неподвижен, а на правом
нет силы.
23
Начальные условия:
w(z,t 0)
w(z,t 0) 0, V
t
∂=
= = = −
∂
N(z 0,t) 0= ≤
N0=
0
tt=
N(z 0,t) 0, N(z l, t) 0= = = =
0
w(z,t 0) w(z,t t ),= = =
0
w(z,t t )
w(z,t 0)
tt
∂=
∂=
=
∂∂
A const=
y
dQ
q
dz
= −
x
dM
Q,
dz
=
x
x
dM
dz EJ
φ
=
dv
dz
= −ϕ
, т. е. в момент
касания преграды стержень не деформирован, а скорость всех его точек
равна скорости полёта до касания.
Решение при таких условиях справедливо, пока сохраняется контакт
со стенкой, т. е. пока левый конец сжат,
После выполнения условия
в момент
.
начинается свобод-
ный полёт стержня, и условия задачи меняются.
Граничные условия:
, т. е. концы
стержня не нагружены.
Начальные условия:
т. е. начальными условиями являются распределения перемещений и скоростей в момент отрыва.
Трудности извлечения информации из такой модели очевидны.
При
алгоритм аналитического решения предложен Фурье.
,
ИЗГИБ ПРЯМОГО СТЕРЖНЯ
В статике задача сводится к решению системы обыкновенных линей-
ных дифференциальных уравнений 4-го порядка [10]
,
,
.
24
В динамике к действующим силам
y
q (z)
2
2
v(z,t)
A
t
∂
−ρ⋅ ⋅
∂
2
yy
2
dQ(z) Q(z,t) v(z,t)
q (z) A q (z,t)
dz z
t
∂∂
=− ⇒ −ρ⋅ ⋅ = −
∂
∂
xx
dM (z) M (z,t)
Q(z) Q(z,t),
dz z
∂
=⇒=
∂
xx
xx
M (z) M (z,t)
d (z) (z,t)
dz EJ z EJ
ϕ ∂ϕ
=⇒=
⋅∂⋅
dv(z) v(z,t)
(z) (z,t)
dz z
∂
= −ϕ ⇒ = −ϕ
∂
c
v (z)
z
с
v (z)
(8)
гонные силы инерции
и математическая модель преобразуется к виду
необходимо добавить по-
,
,
,
.
Пример граничных и начальных условий рассмотрим на задаче о сво-
бодных колебаниях шарнирной балки (рис. 9), возбуждённых начальным
статическим прогибом
и последующим мгновенным освобождением
стержня в момент времени t = 0 от сил, удерживающих прогиб (например,
стержень изогнут некоторым грузом, и груз мгновенно убирается).
Рис. 9. К решению динамической задачи на изгиб
25
Граничные условия: момент и прогиб на каждом конце в любой мо-
v(z 0,t) M(z 0,t) 0,
v(z l,t) M(z l,t) 0.
= = = =
= = = =
c
v(z,t 0)
v(z,t 0) v (z), 0
t
∂=
= = =
∂
мент времени равны нулю, т. е.
Начальные условия: в начальный момент прогиб всех точек равен
статическому прогибу, а скорость равна нулю:
.
Решение подобных задач в некоторых случаях возможно по методу
Фурье.
Очевидно, что задача о динамике плоского изгиба и растяжения пря-
мого стержня при малых перемещениях будет существенно сложнее
и может быть решена только численно. Поэтому на практике ограничиваются решением некоторых частных задач в приближённой постановке,
а неточности учитываются коэффициентами запаса. Перечислим эти основные задачи.
1. Определение (оценка) частот собственных колебаний. Важность
этой задачи ясна из известного явления резонанса.
2. Оценка динамических добавок к статическим нагрузкам. Прак-
тически вычисляются коэффициенты (их называют динамическими коэф-
фициентами, или коэффициентами динамичности), на которые нужно
умножить статические нагрузки, чтобы учесть динамические составляющие. Часто в этой части ограничиваются коэффициентами динамичности
при ударе.
3. Исследование амплитудно-частотных характеристик (АЧХ)
и решение задач виброзащиты. Здесь решается задача выбора параметров системы, чтобы избежать больших динамических составляющих
26
нагрузки при вибрациях основания, на который закреплен объект, или
lA mρ⋅ ⋅ <<
вибраций, источником которых является движение самого объекта. Типичные задачи – выбор параметров подвески автомобиля, жесткости бампера, уравновешение механизма (подробно в курсе ТММ) и т. д.
Основная трудность в динамических задачах – это необходимость
решать дифференциальные уравнения в частных производных, упростить
эту задачу можно двумя способами:
1) разделением переменных в дифференциальных уравнениях и пере-
ходом к решению системы обыкновенных уравнений. В этом суть метода
Фурье. Мы его рассмотрим далее. К сожалению, метод удаётся реализовать только в немногих частных случаях;
2) переходом к конечномассовым моделям.
Реальная система с распределённой массой представляется как совокупность сосредоточенных масс, соединённых упругими элементами, т. е.
модель физически, а не математически переводится в систему обыкновенных дифференциальных уравнений. С увеличением количества масс задача стремится к точному решению. Фактически этим же приемом численно
решаются системы уравнений в частных производных – методом конеч-
ных разностей. Отличие только в степени дискретизации задачи. Типичный пример: основные агрегаты автомобиля считаются абсолютно жесткими, соединенными между собой упруго (пружинами) или упругопластически (амортизаторы, крепление двигателя к кузову).
КОНЕЧНОМАССОВЫЕ МОДЕЛИ
Рассмотрим сущность конечномассового подхода на примерах.
(рис. 10). Масса гвоздя много меньше массы молотка (
и ею можно пренебречь.
Пример 1. Удар молотком по лёгкому стержню (гвоздю).
Задача динамики возникает в момент касания молотком гвоздя
)
27
1l
w(P 1) l l
E EA
σ⋅
δ= = =ε⋅= ⋅=
⋅
P=1
l
V
A
m
m
AEl⋅
=δ
w(P=1)
Рис. 10. Схема нагружения к примеру 1
Тогда гвоздь заменяем в пределах закона Гука упругим элементом,
податливость которого
.
Здесь и далее под податливостью понимаем перемещение от силы, равной единице. В нашем примере при сжатии стержня это δ = w(P = 1). То есть
в качестве модели можем рассматривать сосредоточенную массу m, закрепленную на пружине податливостью δ, которая может перемещаться только
в горизонтальном направлении. Такая модель называется одномассовой,
а точнее, моделью с одной степенью свободы.
Податливость всегда может быть определена методами сопротивле-
ния материалов как линейное или угловое перемещение в заданном
направлении от силы или момента, равного единице. Здесь чаще всего целесообразно применить метод Мора – Верещагина, так как нас интересует
только перемещение конкретной точки (точек), а не вся функция перемещений V(z) или w(z).
28
Пример 2. Динамика промежуточного вала коробки передач (рис. 11).
ij
δ
Р=1
m
1
Р=1
11
δ
21
δ
12
δ
22
δ
m1 m
2
m
2
Пусть на валу размещено два зубчатых колеса, массы которых m1
и m2 велики, по сравнению с массой вала, и последней можно пренебречь.
Рис. 11. К решению примера 2
Инерцией от поворота пренебрегаем ввиду малости момента инерции
массы.
Система в такой постановке имеет две степени свободы, перемещения
по которым характеризуются четырьмя податливостями –
– перемеще-
ниями в i-м направлении от единичной силы, приложенной в j-м направлении упругого элемента – стержня. Если учитывать инерцию поворота
масс, то система будет иметь четыре степени свободы, т. е. прикладывая
силы, нужно ещё определять углы поворота масс и прикладывать моменты, измеряя при этом перемещения и углы поворота масс. Кроме того,
в качестве мер инерции, кроме масс, нужно ввести моменты инерции масс.
Если в задачах не удается пренебречь массой упругого элемента,
то и его разбиваем на несколько масс (конечных элементов), и порядок
системы повышается.
Ограничимся рассмотрением алгоритмов расчёта простейшего случая –
одномассовой системы.
29
ВОПРОСЫ ПО ТЕМЕ 3
1. Перечислите три основные задачи динамики.
2. В чём разница между граничными и начальными условиями?
3. Запишите выражение для погонных сил инерции, которое необхо-
димо добавить к действующим силам в задаче динамики при растяжениисжатии стержня.
4. Запишите выражение для погонных сил инерции, которое необхо-
димо добавить к действующим силам в задаче динамики при изгибе.
5. Что такое коэффициент запаса?
6. В чём суть динамической задачи по определению частот собствен-
ных колебаний?
7. В чём суть динамической задачи по оценке динамических добавок
к статическим нагрузкам?
8. В чём суть динамической задачи по исследованию амплитудно-
частотных характеристик (АЧХ)?
9. Как в динамических задачах решаются дифференциальные уравне-
ния в частных производных?
10. В чём суть конечномассового подхода?
30