Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Сопротивление материалов. Дополнительные главы. Учебное пособие.pdf
4. Полусферическая оболочка-резервуар, заполненная жидкостью удель-
m
tm
mm
, z R R cos ;
p (R z) R cos ; R;
sin sin , cos cos ;
dz R sin d .
θ =π−ϕ = − ⋅ ϕ
=γ⋅ − =γ⋅ ⋅ ϕ ρ =ρ =
θ= ϕ θ=− ϕ
= ⋅ ϕ⋅ ϕ
m
.σ
0
m
2
23
2
1
σ ( ) γ R cos R ( cos ) R sin d
2 t R sin
γ R (1 cos )
.
3 t sin
ϕ
ϕ= ⋅ ⋅⋅ ϕ⋅⋅− ϕ⋅⋅ ϕ⋅ϕ=
∫
⋅⋅ ⋅ ϕ
⋅ ⋅− ϕ
=
⋅⋅ ϕ
23
tm
2
p R R 1 cos
(3 cos )
t 3t
sin
⋅ γ⋅ − ϕ
σ = −σ = ⋅ ⋅ ϕ−
⋅
ϕ
m
σ
t
σ
m
σ
2
экв
2R
3t
⋅γ⋅
σ=
⋅
2
экв
R
2t
γ⋅
σ=
⋅
R.
γ⋅
tm
RR
(H z) , z
t 2t
σ =γ⋅ − ⋅ σ =γ⋅ ⋅
⋅
z R H z φ
R
p
m
θ
ным весом γ
Подставляем в выражение для
Для упрощения вычислений находим
напряжения в нижней части, где Рд = 0, т. е.
изменяем направление интегрирования
Из уравнения Лапласа
Значения
всегда положительны. Значения
.
при φ = 0 положи-
тельны и равны
, а при φ = π/2 – отрицательны (верхнее «кольцо» сжи-
мается под тяжестью жидкости). При этом эквивалентные напряжения
максимальны и равны
такое же, как в сфере под давлением
. В нижней точке
5. Цилиндрическая оболочка-резервуар, заполненная жидкостью удель-
ным весом γ
Оба напряжения положительны. Максимумы
наблюдаются в противоположных точках по z.
91
, т. е.
.
Поэтому опасные эквивалентные напряжения равны максимуму из
tm
,σσ
2
HR
3
= ⋅
и зависят от величины Н.
При равных объёмах сферического и цилиндрического резервуаров
. Максимальные эквивалентные напряжения равны.
При относительно большой толщине оболочки изгибающими моментами в сечении нельзя пренебречь. Моментную теорию осесимметричных
оболочек рассмотрим на примере расчёта круглых осесимметричных пла-
стин частного случая оболочек.
ВОПРОСЫ ПО ТЕМЕ 8
1. Дайте определение оболочки.
2. Что такое осесимметричная оболочка?
3. По какой формуле определяются меридиальные напряжения в сре-
динной поверхности?
4. Запишите уравнение Лапласа.
5. Чему равны радиусы кривизны в цилиндрическом и меридиальном
сечении для шаровой оболочки радиусом R?
6. Чему равны радиусы кривизны в цилиндрическом и меридиальном
(осевом) сечении для цилиндрической оболочки радиусом R с днищами?
7. Чему равны радиусы кривизны в цилиндрическом и меридиальном
(осевом) сечении для заполненной жидкостью оболочки-резервуара, радиусом R и высотой Н?
8. Запишите условие прочности для шаровой оболочки радиусом R.
9. Запишите условие прочности для цилиндрической оболочки радиу-
сом R с днищами.
ки-резервуара, радиусом R и высотой Н.
10. Запишите условие прочности для заполненной жидкостью оболоч-
92
Тема 9. КРУГЛЫЕ ПЛАСТИНЫ. МОМЕНТНАЯ ТЕОРИЯ
z
σ
p(r)
R
r
p
w(r)
ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ И ПАРАМЕТРЫ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ МОДЕЛИ
Примеры круглых пластин: плоское днище цилиндрического сосуда
или резервуара, толстая мембрана, цилиндрические упругие элементы,
клапаны.
Задачу удобно решать в цилиндрических координатах, направив ось z
по нормали к срединной поверхности, ось r – по радиусу, поместив начало
координат в центре пластины. Перемещение по нормали к срединной поверхности – w(r) (рис. 40). Гипотеза Бернулли здесь формулируется так:
нормаль к срединной поверхности остаётся прямой. Угол поворота нормали в радиальной плоскости – θ(r). Нагрузка симметрична относительно
оси пластины – qz(r) = p(r). Напряжения по нормали к срединной поверхности
малы (порядка давления p) и ими можно пренебречь.
Параметры задачи:
Рис. 40. Схема нагружения
− w(r), перемещение срединной поверхности по оси z;
−
, давление на пластину;
− Q(r), поперечная сила в радиальной плоскости на единицу длины
дуги;
93
−
r
M (r)
t
M (r)
r
(r,z)σ
t
(r,z)σ
r
(r,z)ε
r
(r)ε
dw w dφ
z·θ
θ+dθ
θ
z z t dr
z·d
ϕ⋅+⋅+ d)drr()dMM(
rr
ϕ⋅⋅
drM
r
drM
t
⋅
drM
⋅
ϕ⋅+
⋅+ d)drr
()
dQQ
(
ϕ⋅⋅ drQ
drdrp ⋅ϕ⋅⋅
длины дуги;
, изгибающий момент в радиальной плоскости на единицу
−
, изгибающий момент в тангенциальной плоскости (касатель-
ной к окружности радиусом r) на единицу длины дуги;
−
−
−
−
, нормальное напряжение в радиальной плоскости;
, нормальное напряжение в тангенциальной плоскости;
, линейная деформация в радиальной плоскости;
, линейная деформация в тангенциальной плоскости.
В перечне не представлены касательные напряжения и поперечные
силы в тангенциальной плоскости, так как отсутствуют угловые деформации вследствие симметрии задачи. Касательными напряжениями в радиальной плоскости пренебрегаем как малыми в сравнении с нормальными
напряжениями (как и в стержнях).
Срединную поверхность считаем не растяжимой. Граничные условия
обеспечивают свободу перемещений в радиальном направлении. Все необходимые иллюстрации приведены на рис. 41.
Рис. 41. К математической модели круглых пластин
94
МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ
dw
dr
= −θ
r
zd
dr
⋅θ
ε=
2 (r z) 2 r
2r
⋅π⋅ +θ⋅ − ⋅π⋅
⋅π⋅
t
z
r
θ
ε= ⋅
z
σ
r r tt t r
11
(),()
EE
ε = ⋅ σ −µ⋅σ ε = ⋅ σ −µ⋅σ
r r tt t r
22
EE
(), ()
11
σ = ⋅ ε +µ⋅ε σ = ⋅ ε +µ⋅ε
−µ −µ
r
2
Ez d
( ),
dr r
1
⋅ θθ
σ = ⋅ +µ⋅
−µ
t
2
Ez d
()
dr r
1
⋅ θθ
σ = ⋅ µ⋅ +
−µ
1. Геометрические соотношения
С учётом малости углов поворота θ
, (36)
, (37)
, (38)
т. е.
ε
t
.
2. Физические зависимости
Принятые оси – главные, одно из главных напряжений
шем закон Гука в главных осях
Решим систему относительно напряжений:
= 0. Запи-
.
и подставим в (37), (38). Получаем
95
(39)
. (40)
3. Уравнения равновесия
(Q dQ) (r dr) d Q r d p(r) d dr 0+ ⋅ + ⋅ϕ− ⋅⋅ϕ− ⋅ϕ⋅ =
d
(Q r) r p(r)
dr
⋅=⋅
rr r t
dr
(M dM ) (r dr) d M r d p(r) r dr d M dr d
2
(Q dQ) (r dr) d dr 0,
+ ⋅ + ⋅ϕ− ⋅⋅ϕ− ⋅⋅ ⋅ϕ⋅ − ⋅ ⋅ϕ+
+ + ⋅ + ⋅ ϕ⋅ =
tr
d
M (r M ) Q r
dr
−⋅=⋅
t
2
rr
t
2
M rd rd zdz,
−
⋅⋅φ=⋅φ⋅ σ⋅⋅
∫
t
2
tt
t
2
M dr dr z dz,
−
⋅ = ⋅ σ⋅ ⋅
∫
Составим два уравнения равновесия (остальные тождественно удо-
влетворяются из-за симметрии задачи). Сумма проекций всех сил на ось z
,
откуда
. (41)
Сумма моментов всех сил относительно касательной к дуге радиуса r
в срединной поверхности
откуда, пренебрегая величинами высшего порядка малости, получим
. (42)
4. Связь внутренних сил и напряжений
Интегрируя внутренние силы от напряжений и приравнивая их рав-
нодействующим моментам, получаем
96
т. е.
t
2
rr
t
2
M z dz,
−
= σ⋅ ⋅
∫
t
2
tt
t
2
M z dz
−
= σ⋅ ⋅
∫
3
r
2
Et d d
M ()D(),
dr r dr r
12 (1 )
⋅ θθ θθ
= ⋅ +µ⋅ = ⋅ +µ⋅
⋅ −µ
3
t
2
Et d d
M ()D()
dr r dr r
12 (1 )
⋅ θθ θθ
= ⋅ µ⋅ + = ⋅ µ⋅ +
⋅ −µ
3
2
Et
D
12 (1 )
⋅
=
⋅ −µ
r
r
3
12 M
z,
t
⋅
σ= ⋅
t
t
3
12 M
z
t
⋅
σ= ⋅
ddrθ
2
tr
M M (1 ) D .
r
θ
=µ⋅ + −µ ⋅ ⋅
(43)
. (44)
Получены девять уравнений, связывающих девять неизвестных параметров. Порядок системы дифференциальных уравнений – пятый. Однако
после алгебраических преобразований его можно понизить до четвёртого.
Интегрируем (43), (44), после подстановки в них (39), (40) получаем
Величина
называется цилиндрической жёсткостью и ча-
сто встречается в теории пластин и оболочек.
Сравнивая (39), (40) с (45), (46), получаем
(45)
. (46)
(47)
. (48)
Кроме того, из (45), (46), исключая
, получаем
97
Подведём итоги. Для описания задачи достаточно решить систему че-
dw
,
dr
= −θ
r
dM
dr D r
θθ
= −µ⋅
2
r
tr r
dM 1 1
(M M ) Q ((1 ) D M (1 )) Q
dr r r r
θ
= − − = −µ ⋅ ⋅ − ⋅ −µ ⋅ −
dQ Q
p(r)
dr r
= −
Схема
Граничное условие
r 0 0, Q 0; r R 0, w 0= ⇒θ= = = ⇒θ= =
r
r 0 0, Q 0; r R w 0, M 0= ⇒θ= = = ⇒ = =
rr
r a M 0, Q 0; r R w 0, M 0=⇒ = = =⇒= =
r
pa
r a 0, Q ; r R w 0, M 0
2
= ⇒θ= = = ⇒ = =
r
r a w 0, o; r R w 0, M 0=⇒=θ= =⇒= =
R
a a a
тырёх линейных дифференциальных уравнений с переменными коэффициентами при соответствующих граничных условиях:
(49)
, (50)
, (51)
.
Некоторые примеры граничных условий приведены в табл. 5:
Таблица 5
98
Численное интегрирование системы не представляет проблем и ана-
d1d
dr r dr D
θ
2
1
C1
С r [r Q dr] dr
r rD
θ= ⋅ + − ⋅ ⋅ ⋅ ⋅
∫∫
⋅
2
p r pr
Q(r)
2r 2
⋅π⋅ ⋅
= =
⋅π
2
2
1
C pr
Сr
r 16 D
⋅
θ= ⋅ + −
⋅
2
r0 0 C 0
= ⇒θ= ⇒ =
2
1
pR
rR 0 C
16 D
⋅
= ⇒θ= ⇒ =
⋅
22
p
r (R r )
16 D
θ= ⋅ ⋅ −
⋅
логично рассмотренному выше для стержней.
АНАЛИТИЧЕСКОЕ РЕШЕНИЕ
Если задача статически определима, т. е. функция Q(r) известна, то
из (42) с учётом (45), (46) получаем уравнение типа Ламе
[ ( r)]
⋅ θ⋅ = −
,
после интеграции которого имеем
.
Такой же результат получаем, дифференцируя (50) с учётом (51)
и (45).
В качестве примера рассмотрим задачу расчёта плоского днища цилиндрической оболочки (схема в первом примере граничных условий).
Здесь:
,
,
,
,
.
99
Подставляя в (45), (46), находим
22
p
16
= ⋅ ⋅+µ− ⋅+⋅µ
22
r
3
22
t
3
3pz
σ [R (1 μ) r (3 μ)],
4t
3pz
σ [R (1 μ) r (1 3 μ)].
4t
⋅⋅
= ⋅ ⋅+ −⋅+
⋅
⋅⋅
= ⋅ ⋅+ −⋅+⋅
⋅
rR=
z t/2= −
22 2
r 1t 32 экв
22 2
3R 3 R 3R
p , p , 0, p
4t 4t 4t
⋅ ⋅µ⋅ ⋅
σ= ⋅=σ σ= ⋅=σ σ= σ = ⋅
⋅⋅ ⋅
3R
4t
⋅
w(R) 0=
2 22
p
w (R r )
64 D
= ⋅−
⋅
M [R (1 ) r (3 )],
= ⋅ ⋅ +µ − ⋅ +µ
r
16
M [R (1 ) r (1 3 )].
t
Подставляем в (47), (48), получаем
p
В месте сопряжения с оболочкой
22
при
получаем
.
Сравнивая с напряжениями в оболочке, получаем, что напряжения
в свободном днище в
ют сферические или полусферические днища.
В заключение определим перемещения. Подставляя полученное вы-
ражение для θ в (49), интегрируя, с учётом граничного условия
получаем
Напомним, что расчёт проведён в предположении свободного закреп-
ления пластины в направлении радиуса.
больше. Именно поэтому в сосудах использу-
,
.
100