Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Сопротивление материалов. Дополнительные главы. Учебное пособие.pdf
Теорема может непосредственно использоваться для вычисления пе-
1 X1 Y1 к1
N ,M ,M ,M
1
X X X1
Y Y Y1
к к к1
N N N Q,
M M M Q,
M M M Q,
M M M Q.
=+⋅
=+⋅
=+⋅
=+⋅
1 X X1 Y Y1
к к1
z
XY
NN M M M M M M
( ) dz
EA EJ EJ GJ
ρ
⋅⋅ ⋅ ⋅
δ= + + + ⋅
∫
⋅⋅ ⋅ ⋅
ремещений. Однако в расчётах стержней удобнее применять её модификацию – интеграл Мора.
Приложим к стержню единичную обобщённую силу в направлении
искомого перемещения. Тогда в стержне помимо внутренних сил от
внешних нагрузок добавятся внутренние силы
от Q = 1.
И в силу линейности задачи получаем
Подставляя в (75) и вычисляя δ, с помощью теоремы Кастилиано
при Q = 0 получаем
.
миналось выше, эффективен при раскрытии статической неопределимости
в стержневых системах. Интеграл Мора позволяет искать перемещения
в конкретной точке стержня и в конкретном направлении без анализа
функций перемещений в целом.
Рассмотрим в качестве примера плоскую задачу. Принципиально так
же решается и объёмная.
Пусть тело разбито на конечные элементы, перемещения и деформации точек которых приближённо описываются функциями от координат
Это выражение называют интегралом Мора, который, как уже упо-
ВЫЧИСЛЕНИЕ ЛОКАЛЬНОЙ МАТРИЦЫ ЖЁСТКОСТИ
КОНЕЧНОГО ЭЛЕМЕНТА В МКЭ
121
и перемещений узлов
jj
u ,v
jj
u ,v
jj jj xj j yj j
j
W(u ,v ) U(u ,v ) (P u P v )
= − ⋅+⋅
∑
jj
u ,v
j j xj j yj j
j
dU(u ,v ) (P du P dv ) 0− ⋅ +⋅ =
∑
jj
xj xuj j xuj j
о
j
jj
yj yvj j yvj j
о
j
U(u ,v )
P (KuKv),
u
U(u ,v )
P (KvKv).
v
∂
= = ⋅+ ⋅
∑
∂
∂
= = ⋅+ ⋅
∑
∂
jj j
А[x , y ,Q ]
xj yj
P ,P
. При этом функции построены так, что при
деформации элементов выполняется требование неразрывности тела. Если
элемент ограничен ломаной, то, очевидно, функции линейны относительно перемещений узлов. Уравнение (76) будет второго порядка относительно
. Уравнение (73) для элемента принимает вид
.
Условие стационарности линейно относительно
.
Расписав полный дифференциал от потенциальной энергии и прирав-
няв сомножители перед приращениями перемещений, получим формулы
для вычисления элементов локальной матрицы жёсткости:
Составлением уравнений равновесия узлов с учётом граничных усло-
вий формируется разрешающая система линейных уравнений для нахождения перемещений узлов с матрицей
определяет функции перемещений, по которым вычисляются напряжения
и деформации. При этом вычислены и силы в узлах
ПРИБЛИЖЁННОЕ ВЫЧИСЛЕНИЕ КРИТИЧЕСКИХ НАГРУЗОК ПО ЭЙЛЕРУ
По Эйлеру критической считается такая нагрузка, при которой воз-
можна бифуркация – две и более форм равновесия. Переход от одной
формы к другой в пределе происходит без внешнего возмущения.
. Решение системы
.
122
Таким образом, условие существования нетривиального решения
WUП0=+=
k
P
k
U(z) P w(z a) 0−⋅ ==
2
ll
2
X
X
00
X
1M 1
U dz (E J (v '') dz
2 EJ 2
=⋅ ⋅=⋅ ⋅⋅ ⋅
∫∫
⋅
aa
2
00
1
w(z a) (1 cos v ') dz (v') dz
2
== − ⋅=⋅ ⋅
∫∫
l
2
X
0
k
a
2
0
(E J (v '') dz
P
(v') dz
⋅⋅ ⋅
∫
=
⋅
∫
v(z)
k
P
v(z)
k
λ
jk jk k xj kj yj kj
j
U(u ,v ) (P u P v ) 0−λ ⋅ ⋅ + ⋅ =
∑
.
Например, для стержня, сжатого силой Р в точке с координатой z = a,
её критическое значение
должно соответствовать условию
.
В случае потери устойчивости изгибом в одной из главных плоскостей, пренебрегая работой продольных сил, получаем
,
.
Следовательно,
.
Подобрав приближённо
находим приближённо
. Если
тическая нагрузка найдена точно. Однако приближённое значение всегда
больше точного, так как потенциальная энергия «неправильного» изгиба
больше реальной.
В МКЭ задача определения критических нагрузок и соответствующих
им форм деформаций формулируется аналогично: найти перемещения
узлов и такие числа
, при которых
имеет нетривиальное решение.
, удовлетворяющее граничным условиям,
стремится к точному решению, кри-
(77)
123
Сначала задаётся некоторое значение нагрузки Q0 и вычисляются
P ,P
k
λ
k
λ
k
Qλ⋅
xj yj
. При этом перемещения узлов удовлетворяют граничным условиям.
Затем известными численными методами находятся собственные числа
матрицы (77), а значит, и
Каждому значению
.
в однородной системе (77) соответствует своё
соотношение перемещений узлов, т. е. форм возможной потери устойчивости. Значения критических нагрузок
. Как видно, алгоритм иден-
тичен аналитическому решению задачи устойчивости энергетическим методом. Однако точность высока, так как функции перемещений соответствуют граничным условиям в большом количестве точек, а сами функции
описываются достаточно длинными рядами.
ВОПРОСЫ ПО ТЕМЕ 11
1. На чём базируется энергетический метод решения задачи опреде-
ления параметров напряжённо-деформированного состояния?
2. Чему равна полная потенциальная энергия системы?
3. Что такое потенциальная энергия упругой деформации?
4. Запишите формулу, по которой определяется потенциальная энер-
гия упругой деформации.
5. Что позволяет определить теорема Кастилиано?
6. Что рассчитывают с помощью интеграла Мора?
7. Запишите формулы для вычисления элементов локальной матрицы
жёсткости.
8. Что такое бифуркация?
9. По какой формуле приближённым методом определяется критиче-
ская сила?
124
Тема 12. РАСЧЁТЫ НА ВЫНОСЛИВОСТЬ
Диаграмма растяжения стали
0
50
100
150
200
250
300
350
400
450
500
0,00 0,03 0,06
0,09 0,12 0,15
0,18 0,21 0,24
ε [%]
σ [МПа]
σB σ
σ
σ
Р ω L
max
3
PL
σ
π d /32
⋅
=
⋅
d
а
б
ОБЩИЕ ПОЛОЖЕНИЯ
Разрушение элементов конструкций, испытывающих n циклов нагру-
жения переменными по величине и по знаку нагрузками, наблюдается при
максимальных напряжениях σ
, значительно меньших предела прочно-
max
сти σВ и предела текучести σТ материала (рис. 47).
T
ПЦ
переменного цикла нагружения
макс
Рис. 47. Значения максимальных напряжений:
Ошибочное представление о природе такого разрушения как о резуль-
тате изменения структуры металла породило термин «усталость». Предположение основывалось на исследовании излома (рис. 48), возникающего при потере выносливости.
растут, а стенки их при переменных нагрузках сминаются, образуя сглаженную поверхность I, ошибочно принимавшуюся ранее за зону пластической деформации.
Разрушение начинается с образования трещин, которые постепенно
а – на диаграмме условных напряжений;
б – в ходе испытаний на выносливость
125
n −
min
max
σ
rσ=
I
II
б
а
Рис. 48. Изображение излома:
а – фото; б – схема:
I – зона усталости, зона пластического разрушения;
II – зона хрупкого разрушения
Рост трещин вызывает ослабление сечения и, как следствие, внезап-
ный излом с зернистой поверхностью, характерной для хрупкого разрушения. Этот факт уже пояснялся ранее.
ХАРАКТЕРИСТИКИ ЦИКЛА НАГРУЖЕНИЯ
Циклические нагрузки испытывают многие элементы конструкций:
валы и оси, детали исполнительных механизмов, детали поршневой группы двигателя, подвеска и корпус автомобиля, корпус летательного аппарата и т. п.
В первом приближении ограничимся описанием и исследованием
стационарных циклических нагрузок, параметры которых постоянны
вплоть до разрушения.
Циклические нагрузки характеризуются следующими параметрами
(рис. 49):
Т – период изменения нагрузки;
число циклов действия данной переменной нагрузки;
N – число циклов действия данной переменной нагрузки на момент
разрушения;
σ
– наибольшее напряжение цикла;
max
σ
– наименьшее напряжение цикла;
min
– коэффициент асимметрии цикла;
126
( )
а max min
1
σ σσ
2
=⋅−
– амплитуда цикла;
( )
m max min
1
σ σσ
2
=⋅+
m
σ
min
σ
max
σ
a
σ
T
τσ,
t
– среднее напряжение цикла.
Рис. 49. Характеристики цикла нагружения
Аналогично описываются параметры цикла касательных напряжений.
В зависимости от значения коэффициента r различают:
а) симметричный цикл r = –1, σ
max
= –σ
= σa, σm = 0, характерный для
min
вращающихся элементов, воспринимающих поперечную нагрузку (рис. 50);
б) пульсационный цикл r =0, σ
= 0 или σ
max
= 0, σm = σа =maxσ/2 .
min
Такое нагружение воспринимают зубья шестерни при передаче постоянного крутящего момента.
Коэффициент асимметрии цикла существенно влияет на сопротивление
материала переменным нагрузкам. Статическое нагружение может быть
предоставлено частным случаем переменного цикла, когда r =+1, т. е.
σ
max
= σ
min
= σ
, σа = 0.
m
Экспериментально установлено, что для металлов при обычной ско-
рости нагружения (значительно меньше скорости распространения звука
в металле ≈ 5000 м/с) закон изменения напряжений в цикле не влияет на
результаты испытаний.
КРИВЫЕ УСТАЛОСТИ
127
σ
Кривая, построенная при фиксированном r, обычно имеет асимптоту –
r
σ
r1= −
r0=
r
σ
4
10<
σ
N
σ
Эксп. точка
Кривая усталости
α
lg
lgσ
lgσ
lgN
lgN
lgN
предел выносливости
при
, реже при
Для экспериментального определения
. Стандартные испытания чаще всего проводятся
.
проводятся опыты со стан-
дартными образцами диаметром 5–10 мм. Испытывают серию одинаковых
образцов (не менее 10 шт.) при заданном r и различных σ
фик зависимости σ
max
r
(N) – кривую усталости (кривую Велера) (рис. 50).
max
и строят гра-
max
Рис. 50. Кривая Велера
При напряжениях, превышающих σТ, для разрушения бывает доста-
точно N
циклов (малоцикловая усталость). При меньших напряже-
ниях кривые усталости близки к экспоненте и в логарифмических или полулогарифмических осях имеют вид, близкий к ломаной (рис. 51).
max
r
б
Рис. 51. Кривая усталости в логарифмической шкале
128
Нормальный разброс экспериментальных точек по оси циклов
r
σ
б
r
lg N lg N
tg m
lg lg
−
α= =
σ− σ
m
б
r
Ν
σ
lg lg
σΝ
=
mm
r б
σΝσΝ const⋅= ⋅ =
нагружения составляет до 20 %.
Для сталей за предел выносливости
чение σ
, которое 3–5 образцов подряд выдержали, не разрушившись,
max
принимают наибольшее зна-
≈ 107…108 циклов. Это число циклов называть базовым Nб. Обычно σ–1 >
> σr > σ0.
Для материалов, не имеющих предела выносливости, базовое число
принимают более высоким ≈ 108 (для цветных металлов и сплавов, некоторых легированных сталей, подвергнутых закалке).
Примерное значение σ–1:
– для углеродистой стали σ–1 ≈ 0,43 σВ;
– легированной стали σ–1 ≈ 0,35 σВ + 120 МПа;
– серого чугуна σ–1 ≈ 0,45 σВ;
– цветных металлов σ–1 ≈ (0,25–0,5) σВ.
Значения пределов выносливости σ–1, σ0 (для r = 0 , r = –1) приводятся
в справочниках.
В двойных логарифмических осях для наклонной ветви кривой Велера
,
откуда
.
Для определённого материала и значения r
. (78)
Коэффициент m с ростом прочности материала растёт и зависит от r:
при r = 0, m ≈ 6; при r = –1, m ≈ 10.
129
Выражение (78) позволяет вести расчеты на ограниченную выносли-
m
r
NN( )
δ
σ
= ⋅
σ
(
) ( )
22
2
3
1 2 12
PE R R /R R⋅± ⋅
3
C
Np=
вость при стационарном циклическом нагружении и оценивать расчётную
долговечность N при заданном максимальном напряжении цикла σ
.
Например, для контакта шара радиусом R1 и внутреннего кольца R
в подшипнике напряжение σ пропорционально кубическому корню из радиальной силы P и по Герцу
σ = 0,388
.
Для подшипниковой стали m = 9, и расчётная долговечность шарикового подшипника рассчитывается по формуле
.
Значение С для конкретного типоразмера подшипника определяется
2
экспериментально и приводится в справочных данных. Подробнее об этом
можно узнать в курсе «Детали машин».
Большое практическое значение имеет знание таких допустимых ком-
бинаций σа, σm (или σ
когда σ < σr. Совокупность соответствующих граничных значений σа, σ
называют кривой выносливости. Кривая выносливости строится в координатах σа – σ m (рис. 52).
КРИВЫЕ ВЫНОСЛИВОСТИ
, r), когда материал не разрушается при Ν→∞, т. е.
max
130
m