Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Сопротивление материалов. Дополнительные главы. Учебное пособие.pdf
22
r t rr
d
r d 2 dr ( d ) (r dr) d r d dr 0
2
ϕ
−σ⋅⋅ϕ− ⋅σ⋅ ⋅ +σ+σ ⋅ + ⋅ϕ+ρ⋅Ω⋅ ⋅ϕ⋅ =
22
t rr
dr r d dr r dr 0−σ⋅+⋅σ+σ⋅+ρ⋅Ω⋅⋅=
( )
rt
d
22
r σ σ ρΩ r
dr
⋅ − =−⋅ ⋅
r
rr
dd
(r ) r
dr dr
σ
⋅σ =σ + ⋅
r
du
ε,
dr
=
t
2 (r dr) 2 r
2r
⋅π⋅ + − ⋅π⋅
ε=
⋅π⋅
r
dr
r
σr+dσ
σ
r
σ
σ
t
u+du
u
dφ
ϕ⋅⋅⋅Ω⋅ρ ddrr
22
t
r
Рис. 31. Элементарный элемент трубы под действием напряжений
Условие равновесия выделенного элемента (толщиной единица)
после преобразований и пренебрежения бесконечно малыми второго порядка
приводит к уравнению равновесия
. (22)
В уравнении (22) учтено, что
.
Деформации связаны с перемещением следующими соотношениями:
(23)
71
и после преобразования
t
u
ε
r
=
( )
r rt
1
ε σ μσ
E
= ⋅ −⋅
( )
t tr
1
ε σ μσ
E
= ⋅ −⋅
. (24)
Замыкают систему пяти разрешающих уравнений с пятью неизвестными физические уравнения (закон Гука):
, (25)
. (26)
С точки зрения математики (так как три уравнения алгебраические)
имеем систему двух дифференциальных уравнений первого порядка. Математическая модель задачи становится полной, если добавить в неё два
граничных условия.
Сначала рассмотрим аналитические решения.
ТОЛСТОСТЕННЫЕ ТРУБЫ
Для трубы, нагруженной наружным давлением рb и внутренним ра,
при Ω = 0 система однородна и граничные условия следующие:
при r = a; σr = –pa, (27)
при r = b; σr = –pb, (28)
где а, b – внутренний и наружный радиусы трубы (рис. 32).
72
t
r
t
d
d(r )
(1 ) r 0
dr dr
σ
⋅σ
+µ ⋅σ + ⋅ =µ⋅ =
t
d
dr
σ
( )
r
drσ
dr
⋅
2
t
r
2
d
d (r )
dr
dr
σ
⋅σ
=
( )
2
r
rr
2
drσ
r
dr
d(r ) d (r )
(1 ) r
dr
dr
⋅
+σ
⋅σ ⋅σ
+µ ⋅ + ⋅ =µ⋅
2
rr
2
d (r ) d
0
dr
dr
⋅σ σ
+=
a
b
p
b
p
a
Рис. 32. Поперечное сечение рассматриваемой трубы
Поскольку граничные условия содержат только информацию о σr, то
при решении системы уравнений (22)–(26) σt удобно исключить. После
преобразований
.
Исключим из последнего уравнения σt и
с помощью (22), т. е.
учитывая, что
σt =
,
,
получаем
.
После алгебраических преобразований имеем линейное однородное
дифференциальное уравнение второго порядка с переменными коэффициентами:
.
73
Аналитическое решение такого типа уравнений в общем виде неиз-
2
2
d (x y) dy
0)
dx
dx
⋅
+=
(
)
r
1
drσ
C
r
dr
⋅
+σ =
( )
r1
r
σ
1d
r C
r dr
⋅
⋅=
2
2
12
1 r2r
2
r CC
Cr C
22
r
⋅ = σ + ⇒σ = −
r
2
B
σA .
r
= +
( )
tr
d
σ rσ
dr
= ⋅
t
2
B
σA
r
= −
( )
1 μ
(1 μ) 1
u Ar B
E Er
+
−
= ⋅ ⋅− ⋅
вестно. Данное конкретное уравнение типа (
решил Ла-
ме, именем которого оно и названо.
Проинтегрировав один раз, получим:
.
Свернув выражение в левой части (это и предложил Ляме), запишем
уравнение в виде
.
Проинтегрировав ещё один раз
и заменив произвольные постоянные, получим
(29)
Из (22) сразу находим
и
, (30)
а из (30), (24) и (26) определяем выражение для радиальных перемещений
74
. (31)
Подставляем (29) и (30) в граничные условия (27), (28) и получаем
a
2
В
p А,
а
−=+
b
2
В
p А
b
−=+
22
аb
22
p а pb
А
b а
⋅−⋅
=
⋅
( )
22
аb
22
аb p p
В
b а
−⋅ ⋅ −
=
−
22
22
ab аb
r,t
22 2 22
pa pb p p
аb
σ
b а r bа
⋅−⋅ −
⋅
= ⋅
−−
( )
22
22
а b аb
22 22
1 μ
p а pb p p
1 μ аb
ur
E Еr
b а bа
+
⋅−⋅ −
−⋅
= ⋅ ⋅+ ⋅ ⋅
−−
22
r,t a
22 2
ab
σp 1
ba r
=
−
.
Решаем полученную систему уравнений относительно постоянных
интегрирования А и В. Получаем
,
.
Полученные результаты удобно представить в следующем виде:
, (32)
.
Воспользуемся полученными формулами для практических расчётов.
РАСЧЁТ ТРУБ НА СТАТИЧЕСКУЮ ПРОЧНОСТЬ
Пренебрегая атмосферным давлением, считаем pb = 0. Тогда
.
Поскольку b > r, то σr < 0, σt > 0 (рис. 33). Третье главное напряжение
равно нулю, значит σ1 = σt; σ3 = σr и условие прочности [14]:
σt – σr ≤ [σ]
75
реализуется в любой точке трубы, если
[ ]
22
а
222
экв
ab
σ 2p σ
(b a ) r
⋅
= ≤
−⋅
[ ]
22
a
2
ba
p
2
b
−
≤⋅
σ
[ ]
a
t
p
b
σ⋅
≤
σ
экв
b
a
.
Это означает, что опасная точка лежит на внутренней поверхности
трубы (r = а), что окончательно даёт
.
Рис. 33. К определению напряжения
по сечению трубы
Эта формула для тонкостенных труб толщиной t из-за
(b2 – a2) = (b – a) · (b + a) ≈ t · 2b
приобретает вид
,
что можно было получить и из условия примерно равномерного распределения σt по сечению
pa · 2b · l = 2[σ] · t · l.
76
Заметим, что увеличение толщины трубы мало меняет допускаемое
[
]
p
a
2
≤
σ
К
σ
bat= +
2
экв
22
экв
К (r b) К
a
K
(r a)
b (1 t / a )
σσ
σ
⋅σ =
=⋅=
σ=
+
2
К (1 t / a )
σ
≤+
К 1, 82
σ
=
t / a 0,34
≥
К 1, 05 a / t
σ
= ⋅
t / a 0,35≥
2
0,145 a / (1 t / a)ρ≥ ⋅ +
К 0,45 a /
σ
= ⋅ρ
давление. Даже если а << b, то
,
что является пределом достижимого давления (без предварительного
напряжения).
Оценим влияние на прочность трубы дополнительных элементов на
её поверхности, таких как фланцы, приваренные детали и др. Отношение
эквивалентных напряжений на наружной и внутренней поверхностях
с учётом коэффициента концентрации на наружной поверхности
и
мало только для толстостенных труб и при незначительной концентрации
напряжений. Концентрацию напряжений можно не учитывать, если
.
Примеры:
• жёсткий фланец даёт
, и его влияние на прочности можно
не учитывать только при
;
• при заглушке трубы сферическим днищем с радиусом кривизны 2а
, и его можно не учитывать при
• при заглушке трубы полусферическим днищем (рис. 34) с радиусом
перехода
для каких угодно тонких труб.
77
;
, и оно вполне реализуется
22
r,t b
22 2
ba
p (1 )
ba r
σ=−⋅ ⋅
−
R
ρ
а
Заглушка
Труба
рb
полусферическая
Рис. 34. Труба с полусферическим днищем
ИЛЛЮСТРАЦИЯ ЯВЛЕНИЯ КОНЦЕНТРАЦИИ НАПРЯЖЕНИЙ
Рассмотрим задачу о внешнем сжатии диска без отверстия (а = 0)
и диска с бесконечно малым отверстием (а →0) в центре (рис. 35).
Рис. 35. Схема сжатия диска
Для цилиндра под внешним давлением (рa = 0) напряжения по (32)
будут равны
.
78
При а = 0, σ
b
P (1 1)−
2
экв t b
2
a
p (1 )
r
σ = −σ = ⋅ +
= –рb условие прочности (при σ1 = 0, σ2 = σ3 = –pb)
r,t
pb ≤ [σ].
Если а ≠ 0 и а → 0, в точке r = a имеем σ
r,t
=
, т. е. условие
прочности
2pb ≤ [σ].
Следовательно, микроскопическое отверстие вдвое увеличивает опас-
ность напряженного состояния. Заметим, что
,
и уже на расстоянии 4а концентрация напряжений составляет менее 7 %,
что подтверждает справедливость принципа Сен-Венана [1], согласно которому способ приложения нагрузки в зоне её действия существенно сказывается только на расстоянии порядка размера этой зоны.
Например, действие сосредоточенной силы или некоторой погонной
нагрузки, ей статически равной, не меняет напряжённого состояния на
расстоянии в 2–3 размера зоны. Изменение эквивалентных напряжений от
радиуса представлено на рис. 36.
Результат имеет общее значение. Например, действие сосредоточен-
ной силы или некоторой погонной нагрузки, ей статически равной, не меняет напряжённого состояния на расстоянии в 2–3 размера зоны.
Применительно к трубам размер дефекта на поверхности не должен
превышать t/4 при достаточно плавном переходе к основной поверхности.
Точные расчёты коэффициентов концентрации ведутся численными
методами и проверяются экспериментально.
79
Kϭ = 3
Kϭ = 5,57
σ
Рис. 36. Иллюстрация распределения эквивалентных напряжений
вблизи отверстия
Для примера приведём ещё два результата аналитического расчёта
коэффициента концентрации Kϭ (рис. 37):
1) вблизи малого круглого отверстия в растягиваемом стержне пря-
моугольного сечения при Kϭ = 3;
2) при бесконечно узком эллиптическом отверстии (модель трещины)
Kϭ = 5,57.
Рис. 37. Схема к расчёту коэффициента
концентрации напряжений
80