Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Сопротивление материалов. Дополнительные главы. Учебное пособие.pdf
Представим решение в виде
w(z,t) Z(z) T(t)= ⋅
22
22
d Z(z) d T(t)
T(t) Z(z) 0
E
dz dt
ρ
⋅ −⋅ ⋅ =
2 22
2
22
1 d T(t) a d Z(z)
T(t) Z(z)
dt dz
⋅ = ⋅ = −ω
2
ω
2
E
a =
ρ
w(z a t)+⋅
2
2
2
d T(t)
T(t) 0
dt
+ω ⋅ =
22
22
d Z(z)
Z(z) 0
dz a
ω
+⋅ =
и подставим в однородное уравнение. Получим
и после преобразования (разделения переменных)
,
поскольку функции разных независимых переменных могут быть равны
только в случае их равенства константе. Эта константа обозначена
и выбрана отрицательной, так как решение должно удовлетворять граничным условиям1. Также введено обозначение
.
Как известно из физики [11], a– скорость распространения упругих
волн в стержне. В этом нетрудно убедиться, так как
удовлетво-
ряет однородному уравнению.
Система распадается на два обыкновенных дифференциальных урав-
нения:
1
При выборе положительной константы удовлетворить условиям на правом конце не удаётся.
и
,
61
решение которых
T(t) A sin t B cos t= ⋅ ω⋅ + ⋅ ω
Z(z) C sin z D cos z
aa
ωω
= ⋅ ⋅+ ⋅ ⋅
w dZ(0)
N(0,t) E A 0 0 C 0
z dz
∂
=⋅⋅ =→ =→=
∂
n
w(l,t) 0 Z(l) 0 cos l 0
a
(2n 1) E
l (2n 1) ,
a 2 2l
ω
= → = → ⋅= →
ω π π⋅ −
→ ⋅ = ⋅ − →ω = ⋅
⋅ρ
n
n nn n
n1
w(z,t) [cos z] (A sin t B cos t)
a
∞
=
ω
= ⋅ ⋅ ω+ ⋅ ω
∑
z
l
V
,
должно удовлетворять граничным и начальным условиям задачи. Например, после удара стержня о стенку (рис. 29) граничные условия:
,
откуда из основного свойства линейных уравнений – сумма решений есть
решение – получаем
.
Рис. 29. Удар стержня о стенку
62
Частоты собственных колебаний определены
n
(2n 1)
a
2l
π⋅ −
ω= ⋅
⋅
n
A
n
B
n
n
nn
n1
w(z,t 0) 0 T(0) 0 B 0,
w
ω
(z,t 0) V [cos z] A ω V.
ta
∞
=
==→ =→=
∂
==→ ⋅⋅=
∑
∂
n
A
i
cos z
a
ω
{ }
ll
in i
nn
n1
0o
[cos z] [cos z] A dz [cos z] V dz
aa a
∞
=
ωω ω
⋅ ⋅ ⋅ω ⋅ = ⋅ ⋅
∑
∫∫
nn
l
A
2
⋅ω ⋅
in≠
l
in
0
[cos z] [cos z] dz 0
aa
ωω
⋅ ⋅=
∫
in=
l
2
n
0
l
[cos z] dz
a2
ω
⋅=
∫
.
Для нахождения амплитуд
,
должны выполнять начальные
условия:
Для определения
применим приём, приведший к разработке рядов
Фурье. Умножим обе части последнего выражения на
грируем по длине стержня
и проинте-
. (21)
Сумма интегралов в левой части (21) равна
элементарных преобразований легко убедиться, что
при
а
при
.
63
, так как после
,
Только при
in=
l
2
/
ll
in in
1
ω ω ω +ω ω −ω
n1
n
aV
( 1)
+
⋅
−⋅
ω
n1 n1
n
2 22
n
2aV 8Vl
A ( 1) ( 1)
l a (2 n 1)
++
⋅⋅ ⋅ ⋅
=−⋅ =−⋅
ω⋅ π⋅ ⋅ ⋅ +
n1
n
n
22
n1
8Vl 1
w(z, t) ( 1) cos z sin t
a
a (2 n 1)
∞
+
=
⋅⋅ ω
= ⋅ − ⋅ ⋅ ⋅ω
∑
π⋅ ⋅ +
n1
n
n
2
n1
dw(z,t) 4 V 1
(z, t) E ( 1) sin z sin t
dz (2 n 1) a
a
∞
+
=
ω
⋅
σ =⋅ = ⋅ − ⋅ ⋅ ⋅ω
∑
⋅+
π⋅
, раскрывая неопределённость типа 0/0, получаем
в остальных случаях синус аргумента, пропорционального π, равен нулю.
,
[cos z] [cos z] dz [cos z cos z] dz
∫∫
00
1a a
=⋅ ⋅ +⋅ =
2a a
1 a (n i 1) a (n i)
=⋅ ⋅ +⋅
2l l
i n in nn
⋅ ⋅=⋅ + ⋅=
aa2 a a
ω +ω ω −ω
[ sin z sin z]
ω+ω ω−ω
in in
in nn
π⋅ + − π⋅ −
[ sin z sin z] .
ω+ω ω−ω
l
0
l
0
Интеграл в правой части (21) равен
.
Окончательно из (21) получаем
.
Соответственно перемещения определяются по формуле
а напряжения по формуле
,
.
64
Максимальные напряжения при ударе о жёсткую стенку упругого
z l,
=
t a/l=
n1
max
n1
4V 1 4V 1 1 1 V
(z, t) E ( 1) E (1 ...) E
a (2 n 1) a 3 5 7 a
∞
+
=
⋅⋅
σ =⋅⋅−⋅ =⋅⋅−+−=⋅
∑
π⋅ ⋅ + π⋅
д
l V m Al2EA V
, P V V AE 2
2EA l a
ρ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅
δ= = = ⋅ = ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅
⋅ ⋅ ω⋅δ δ
д
Р
V
2E
Aa
σ= = ⋅ ⋅
41 %
≈
1
1 2EA 2 2 2
a a 0,9
m l Al l 2l
⋅⋅ π
ω= = = ⋅= ⋅ ⋅≈ ⋅ω
δ⋅ ⋅ρ⋅ ⋅ π ⋅
стержня, летящего со скоростью V (см. рис. 29), получим при координате
в момент времени
, т. е.
Это точное решение. Для сравнения в одномассовой системе получа-
ем при массе, сосредоточенной в центре стержня,
,
.
,
и расчёт по одномассовой схеме дает запас
.
В качестве спецзадания предлагается провести расчёт по двухмассо-
вой схеме. В этом случае запас будет меньше, но будет.
Частота собственных колебаний в одномассовой постановке
,
т. е. меньше точного решения. Подтверждается закономерность, подмеченная при сравнении одномассовой и двухмассовой моделей.
Расчёт удара по конечномассовой схеме всегда даёт запас, но тем
меньше, чем выше порядок системы, а частоты приближаются к точным
по мере повышения числа степеней свободы.
65
ЧАСТОТЫ СОБСТВЕННЫХ ПОПЕРЕЧНЫХ КОЛЕБАНИЙ ОДНОРОДНОГО СТЕРЖНЯ
42
42
XX
v(z,t) A v(z,t) q(z,t)
EJ EJ
zt
∂ ρ⋅ ∂
+⋅ =
⋅⋅
∂∂
v(z,t) Z(z) T(t)= ⋅
42
42
X
d Z(z) A d T(t)
T(t) Z(z) 0
EJ
dz dt
ρ⋅
⋅ + ⋅⋅ =
⋅
2 24
2
24
1 d T(t) d Z(z)
T(t) Z(z)
dt dz
λ
−⋅ = ⋅ =ω
2
X
A
EJ
ρ⋅
λ=
⋅
2
2
2
d T(t)
T(t) 0
dt
+ω ⋅ =
42
dz
+⋅ =
λ
Система (8) после последовательного дифференцирования по z и под-
становок даёт
.
Уравнение линейно. Рассмотрим только собственные колебания.
Представим решение в виде
и подставим в однородное уравнение. Получим
и после преобразования (разделения переменных)
Введём обозначение
. Система распадётся на два обыкно-
венных дифференциальных уравнения
.
решение которых
и
66
d Z(z)
42
ω
Z(z) 0
,
T(t) A sin t B cos t= ⋅ ω⋅ + ⋅ ω
,
1 2 34
Z(z) C sin z C cos z C sh z C ch z
ω ωωω
= ⋅ ⋅+ ⋅ ⋅+ ⋅ ⋅+ ⋅ ⋅
λ λλλ
n
ω
22
22
dZ dZ
Z(0) (0) 0, Z(l) (l) 0
dt dt
= = = =
0101
00
2sin l sh l 0
sin l cos l sh l ch l
sin l cos l sh l ch l
ωω
−
λλ
ωω
= ⋅=
ω ω ωω
⋅ ⋅ ⋅⋅
λλ
λ λ λλ
ω ω ω ωω ωωω
− ⋅− ⋅ ⋅ ⋅
λ λ λ λλ λλλ
2
2 22
XX
n
23
EJ EJ
nn
A
l ml
π⋅ ⋅
ω = ⋅ = ⋅π
ρ⋅
⋅
должно удовлетворять граничным и начальным условиям задачи.
Определим частоты собственных колебаний стержня. Для этого доста-
точно учесть граничные условия, приравнять нулю определитель полученной системы линейных уравнений относительно С1…С4 и, решив аналитически или численно полученное трансцендентное уравнение, определить
Например, для шарнирно опертого однородного стержня получаем
и
Откуда
.
.
.
КРИТИЧЕСКИЕ ОБОРОТЫ ВАЛОВ
поперечных колебаний вала, возможен резонанс из-за периодического воздействия центробежных сил от неуравновешенных масс. Неуравновешен-
При скорости вращения, совпадающей с одной из частот собственных
67
ность может быть конструктивная или вследствие изгиба валов под нагруз-
3
1
X
ml
EJ
⋅
ω⋅
⋅
3
2
X
ml
EJ
⋅
ω⋅
⋅
3
3
X
ml
EJ
⋅
ω⋅
⋅
1
6,93 – –
2
8,05
32,18
– 3 8,55
33,97
72,60
∞
9,87
39,48
88,83
n
Z (z)
кой. Соответствующие частоты вращения (обороты валов) называют критическими. Их расчёт и корректировка в ряде случаев имеют существенное
значение при проектировании и назначении режимов работы турбинных
двигателей и компрессоров. Точность расчёта зависит от порядка модели.
Обобщим приведённые примеры расчёта для шарнирного вала (табл. 4):
Таблица 4
n
Как видно, подмеченная выше тенденция соотношения частот сохра-
няется.
ВЫНУЖДЕННЫЕ КОЛЕБАНИЯ (НЕОДНОРОДНЫЕ СТЕРЖНИ)
Частное решение неоднородной системы найдем по методике, анало-
гичной рассмотренной при растяжении для удовлетворения начальных условий, т. е. в виде суммы произведений собственных функций
на некото-
рую функцию от t. При этом правая часть раскладывается в ряд Фурье.
Для неоднородных стержней при ступенчатом представлении пере-
менной площади решение аналогично, но приходится решать системы более высоких порядков, обычно численно.
Для неоднородных стержней с непрерывным изменением площади
вдоль оси возможно только численное решение полученных после разделения переменных обыкновенных уравнений. Одна из практических задач –
определение формы наконечника для увеличения амплитуды продольных
колебаний в ультразвуковых генераторах магнитно-стрикционного типа.
68
АЧХ принципиально не отличаются от конечномассовой системы.
Реально сопротивление, пропорциональное скорости, приводит к быстрому затуханию амплитуд при высоких частотах. Вид АЧХ системы с распределённой массой приближается к системе с 6–8 степенями свободы.
ВОПРОСЫ ПО ТЕМЕ 6
1. Поясните суть метода Фурье.
2. Запишите уравнение продольных колебаний однородного стержня.
3. Запишите однородное уравнение поперечных колебаний однород-
ного стержня.
4. Как рассчитывается скорость распространения упругих волн
в стержне?
5. По какой формуле определяются максимальные напряжения при
ударе однородного стержня?
6. Как определяется частота собственных продольных колебаний од-
нородного стержня?
7. Как определяется частота собственных поперечных колебаний од-
нородного стержня?
8. Что называют критическими оборотами валов?
9. Как связаны предельные частоты собственных колебаний и порядок
рассматриваемой системы?
10. В чём особенность решения систем с неоднородными стержнями
с непрерывным изменением площади вдоль оси?
69
Тема 7. ОСЕСИММЕТРИЧНЫЕ ЗАДАЧИ. ТОЛСТОСТЕННЫЕ ТРУБЫ
b
a
p
p
t
r
И БЫСТРОВРАЩАЮЩИЕСЯ ДИСКИ
ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ И МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ
Примером точного решения является задача Ламе – задача о длинной
«трубе» (рис. 30), нагруженной равномерным наружным и внутренним давлением. Если пренебречь неизбежной неравномерностью давления вдоль
оси, то задача с некоторым приближением применима для относительно
тонкиx дисков (с учётом центробежных сил от вращения с постоянной угловой скоростью Ω), цилиндрических прессовых соединений и др.
b
a
Рис. 30. Труба под действием давления
Решение существенно упрощается ввиду осевой симметрии, так как
все искомые функции зависят только от одной координаты – радиуса r.
Введём в сечении z цилиндрические координаты r, ϕ. Для удобства
совместим ось Х с осью r. Очевидно, что вследствие симметрии в цилиндрических и радиальных сечениях касательные напряжения отсутствуют.
Выделим элементарный объём двумя радиальными и двумя цилиндрическими сечениями (рис. 31) и рассмотрим его равновесие и деформации.
Нормальные напряжения на гранях выделенного объёма (рис. 31) –
главные. Обозначим главные напряжения σr и σt в соответствии с направлением по радиусу и по касательной, перемещение по радиусу – u.
70