Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Сопротивление материалов. Дополнительные главы. Учебное пособие.pdf
Формулы Коши приводят к равенству производных от перемещений
uvw
(1 2 )
x y zE
∂∂∂ σ
= = = ⋅ − ⋅µ
∂∂∂
xy z
q l,q m,q n [q][];
ν
=σ⋅ =σ⋅ =σ⋅ ⇒ = σ σ =σ
0,5µ≤
q(0,0,q
(l,m,0)ν
x xy
l m0σ ⋅ +τ ⋅ =
yx y
l m0τ ⋅+σ⋅ =
xz yz
l m0τ ⋅ +τ ⋅ =
по осям
,
и, вследствие отсутствия кинематических и смешанных граничных условий,
других ограничений на перемещения нет. Граничные условия требуют
и тело нагружено равномерным давлением, форма тела любая.
Одновременно очевидно
, так как знак деформации должен
совпадать со знаком напряжения.
Полуобратный метод (Сен-Венана). Часть свойств искомых функций и характера нагружения предполагается. Остальные выбираются так,
чтобы удовлетворить 15 уравнениям и граничным условиям.
Рассмотрим метод на примере задачи о сжатии призмы по торцам. Задача имеет непосредственное отношение к технической теории стержней,
используемой в сопротивлении материалов.
Призма нагружена только по нормали к торцам (
), никак не
закреплена, объёмные силы отсутствуют. Ось z совпадает с осью призмы.
Оси x и y – главные.
Силовые граничные условия:
– на боковой поверхности
111
,
,
;
– на торцовой поверхности
(0,0,1)
ν
xz
0τ=
yz
0τ=
z
qσ=
x yxyyzzx
0
σ=σ=τ =τ =τ =
z
0
z
∂σ
=
∂
z
uv
xy E
∂∂ σ
= = −µ ⋅
∂∂
z
w
zE
∂σ
=
∂
uv
0
yx
∂∂
+=
∂∂
vw
0
zy
∂∂
+=
∂∂
wu
0
xz
∂∂
+=
∂∂
,
,
. (67)
«Обратная» сторона метода состоит в предположении, что
, чем автоматически удовлетворяются пять гра-
ничных условий. Шестое условие – закон распределения нагрузок по торцу,
выясняется в ходе анализа основной системы уравнений, которая принятым
предположением существенно упрощается. В этом – «прямая» сторона метода.
Уравнения равновесия дают
,
т. е. нормальные напряжения не зависят от z.
Геометрические соотношения соединим с законом Гука. Имеем
, (68)
, (69)
, (70)
, (71)
. (72)
112
Дальнейшие действия называют математическим анализом.
22
uv
0
xz yz
∂∂
= =
∂∂ ∂∂
22
uv
0
yz xz
∂∂
= =
∂∂ ∂∂
u du
(z)
z dz
∂
=
∂
v dv
(z)
z dz
∂
=
∂
du dv
w(x,y,z) f(z) (z) x (z) y
dz dz
= − ⋅− ⋅
u(x,y,z)
v(x,y,z)
w(x,y,z)
Из (67), (68) получаем
,
а из (70), (71), (72)
.
Соответственно
,
и (71) и (72) удовлетворяет
.
Подставляя результат анализа в (69), приходим к той же формуле для
нормальных напряжений в стержне, что и раньше. Таким образом, гипотеза плоских сечений справедлива по всей длине призмы, если нагрузка на
торце распределена по линейному закону. Во всех других случаях она
справедлива приближенно.
Численные методы. Практически применяются два метода: метод
конечных разностей (МКР) и метод конечных элементов (МКЭ). Рас-
смотрим идеологию этих методов.
Полная система уравнений сводится к трём неизвестным функциям
,
,
новесия, выраженным через перемещения. Если найти эти функции, то
подстановкой в уравнения Коши получаем деформации, а затем подстановкой в уравнения закона Гука – напряжения. И задача решена. Именно
в этом и состоит принцип численного решения.
– трём уравнениям Ламе – уравнениям рав-
113
В МКР тело разбивают сеткой на узлы, перемещения в которых счи-
таются неизвестными. Частные производные вычисляются через перемещения данного узла и соседних узлов по определению производной. Полученные линейные зависимости подставляются в уравнения Ламе. В линейной постановке они также линейны относительно перемещений узлов.
В крайних узлах формируются граничные условия. В итоге получаем
большую систему линейных уравнений для перемещений узлов, которая
решается ЭВМ численно по известным алгоритмам. Затем, зная перемещения узлов и их производные, находят напряжения в каждой точке.
Точность решения задачи зависит от размеров сетки и точности пред-
ставления чисел в ЭВМ. Основной недостаток метода заключается
в сложности формулирования граничных условий конкретной задачи.
Сложность расчётов многократно увеличивается в случае нелиней-
ной постановки, так как приходится решать большую систему нелинейных алгебраических уравнений. Поэтому метод неидеальностей для опре-
деления критических нагрузок практически не применяется.
Задача Эйлера решается по следующему алгоритму. Предполагаемую
критическую нагрузку умножают на некоторый коэффициент, меняя который добиваются равенства нулю определителя линейной системы. Значение нагрузки, умноженное на соответствующее значение коэффициента,
и есть критическая сила. Продолжая расчёты, можно найти требуемое количество критических сил и форм потери устойчивости.
В МКЭ тело разбивают на конечные элементы, например, кубы, мно-
гогранники и т. д. Общие вершины элементов являются узлами.
Алгоритм получения разрешающей системы линейных алгебраи-
ческих уравнений для перемещений в узлах иной. Здесь на базе теоре-
мы Лагранжа – Дирихле для выбранных элементов находится матрица
жесткостей, т. е. математическая связь сил и перемещений в узлах. Затем
для каждого узла составляется система уравнений равновесия, в том числе
и для граничных узлов, где прикладываются внешние силы или ограничи-
114
ваются перемещения. Поэтому запись граничных условий проще и легко
автоматизируется.
В остальном идеология метода идентична МКР. Недостатки и сложности также аналогичны. В некоторых случаях удачный выбор типа элемента позволяет понизить порядок разрешающей системы.
ВОПРОСЫ ПО ТЕМЕ 10
1. Перечислите известные параметры математической модели упруго-
деформированного тела.
2. Перечислите неизвестные параметры математической модели упру-
годеформированного тела.
3. Из какого числа уравнений состоит математическая модель упруго-
деформированного тела?
4. Запишите уравнения равновесия твёрдого деформированного тела.
5. Запишите геометрические соотношения математической модели
твёрдого деформированного тела.
6. Запишите физические соотношения математической модели твёр-
дого деформированного тела.
7. Какие величины связывают между собой формулы Коши?
8. Какие существуют граничные условия?
9. Перечислите методы решения задачи твёрдодеформированного тела.
115
Тема 11. ЭНЕРГЕТИЧЕСКИЕ ТЕОРЕМЫ И ИХ ПРИМЕНЕНИЕ
WU
П= +
В ПРИБЛИЖЁННЫХ РАСЧЁТАХ
СУЩНОСТЬ МЕТОДА
Метод, называемый энергетическим, связан с законом сохранения
энергии и теоремой Лагранжа – Дирихле о минимуме потенциальной
энергии. Для системы с распределёнными параметрами удобны следую-
щие формулировки:
− консервативная система находится в равновесии, когда полная по-
тенциальная энергия системы стационарна (производная по изменяемому
параметру равна нулю);
− положение равновесия консервативной системы устойчиво тогда
и только тогда, когда стационарное значение потенциальной энергии –
изолированный минимум.
Метод позволяет приближённо решать задачи определения параметров
напряжённо-деформированного состояния (НДС), в том числе и в критических состояниях. Степень приближенности соответствует степени адекватности математической модели.
Введём обозначения:
, (73)
где W – полная потенциальная энергия системы;
U – потенциальная энергия упругой деформации (всегда положитель-
на, так как усилие на упругом элементе всегда направлено против перемещения);
П – потенциал внешних сил (отрицательный при совпадении направ-
лений силы и перемещения).
Проиллюстрируем метод на простом примере.
В вертикальном положении пружина не деформирована (рис. 45).
Стержень абсолютно жёсткий.
116
В отклонённом состоянии
2
c
U (a sin )
2
=⋅⋅ ϕ
П P l (1 cos )
=− ⋅⋅ − ϕ
2
dW
c a sin cos P l sin
d
=⋅⋅ϕ⋅ ϕ−⋅⋅ϕ
ϕ
dW
0
d
=
ϕ
0ϕ=
2
c a cos P l 0⋅ ⋅ ϕ− ⋅ =
2
ca
P cos
l
⋅
⇒= ⋅ ϕ
2
2
2
dW
с a cos 2 P l cos 0
d
=− ⋅ ⋅ ϕ+ ⋅ ⋅ ϕ>
ϕ
2
ca
P
l
⋅
<
2
2
2
dW
с a ( cos 2 cos ) 0
d
= ⋅ ⋅ − ϕ+ ϕ >
ϕ
с
П
a
l φ с
Р
,
Рис. 45. Схема к примеру расчёта
,
.
устойчивости равновесия
Условие равновесия
и отклонённое
Условие их устойчивости
даёт два решения: не отклонённое
.
.
В не отклонённом состоянии равновесие устойчиво при
в отклонённом, подставляя значение Р, получаем
, и равновесие неустойчиво.
,
Вывод справедлив только для абсолютно жёсткого стержня. Для гиб-
кого стержня необходимо учесть потенциальную энергию
мации (изгиба и сжатия). Решение задачи будет иным. Аналитическое ре-
его дефор-
117
шение возможно только в тех случаях, когда удаётся записать функцию W
dx dy dz
⋅⋅
11
22 33
11 2 2 33
1
dU dy dz dx
2
11
dx dz dy dy dx dz
22
1
dx dy dz ( ).
2
= ⋅σ ⋅ ⋅ ⋅ε ⋅ +
+ ⋅σ ⋅ ⋅ ⋅ε ⋅ + ⋅σ ⋅ ⋅ ⋅ε ⋅ =
= ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ σ ⋅ε +σ ⋅ε +σ ⋅ε
σ
1
σ
2
σ
3
dx
1
⋅
ε
dy2⋅ε
dz3⋅ε
в квадратурах, решить уравнения равновесия и проанализировать знак
второй производной без применения численных методов. Во всех других
случаях решение можно получить численно.
Рассмотрим потенциальную энергию упругого тела.
ПОТЕНЦИАЛЬНАЯ ЭНЕРГИЯ ДЕФОРМАЦИИ УПРУГОГО ТЕЛА
Потенциальная энергии деформации – работа внутренних сил (напря-
жений) на упругих перемещениях вследствие деформации. Для элементарного объёма
получаем
(рис. 46) в главных осях напряжений (и деформаций)
Рис. 46. Элементарный объём до и после деформирования
118
Учитывая закон Гука в главных осях, получаем после преобразования
11 2 3
222
1 2 3 12 23 32
dx dy dz
dU (σ (σ μ (σ σ ) ...))
2E
dx dy dz
(σσσ2μ(σσσσσσ)).
2E
⋅⋅
= ⋅ ⋅ −⋅ + + =
⋅
⋅⋅
= ⋅ ++−⋅⋅⋅+⋅+⋅
⋅
2
1 2 3 12 23 32
dx dy dz
dU [( ) 2 (1 ) ( )]
2E
⋅⋅
= ⋅ σ +σ +σ − ⋅ +µ ⋅ σ ⋅σ +σ ⋅σ +σ ⋅σ
⋅
2
12
1
dU [J 2 (1 ) J ] dx dy dz
2E
= ⋅ − ⋅ +µ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅
⋅
XY
1z
XY
NM M
J YX
AJ J
=σ= + ⋅ − ⋅
2
к
2
M
J
J
ρ
= −τ = ⋅ρ
X Y XY
SSJ 0= = =
V zA
U dU dz dU dx dy= = ⋅ ⋅⋅
∫∫∫ ∫ ∫∫
Продолжая преобразования (заменяя сумму квадратов квадратом
суммы), приходим к
С учётом выражений для инвариантов для напряженного состояния
.
в главных осях запишем
Применительно к технической теории стержней:
первый инвариант
второй инвариант
. (74)
,
,
а в главных центральных осях (
) получаем
. (75)
119
С учётом
E
G
2 (1 )
=
⋅ +µ
22 2 2
XY
к
z
XY
1N M M M
U ( ) dz
2 EA EJ EJ GJ
ρ
=⋅ +++ ⋅
∫
⋅⋅ ⋅ ⋅
x x y y z z xy xy yz yz zx zx
1
dU ( ) dx dy dz
2
= ⋅ σ ⋅ε +σ ⋅ε +σ ⋅ε +τ ⋅γ +τ ⋅γ +τ ⋅γ ⋅ ⋅ ⋅
VV
U dU F[u(x,y,z),v(x,y,z),w(x,y,z)] dx dy dz= = ⋅⋅⋅
∫∫∫ ∫∫∫
W(Q) U(Q) Q
= − ⋅δ
U(Q)
Q
∂
δ=
∂
после преобразований запишем
.
Если в (74) подставить выражения для инвариантов в произвольных
осях и учесть обобщённый закон Гука, то потенциальная энергия деформации будет равна
.
Но напряжения выражаются через деформации, а деформации с по-
мощью формул Коши – через перемещения. В итоге
. (76)
ВЫЧИСЛЕНИЕ ПЕРЕМЕЩЕНИЙ В СТЕРЖНЯХ И СТЕРЖНЕВЫХ СИСТЕМАХ
(ТЕОРЕМА КАСТИЛЬЯНО, ИНТЕГРАЛ МОРА)
Если к упругому телу приложить некоторую обобщённую силу Q (со-
средоточенную силу или сосредоточенный момент) и измерить обобщённое перемещение δ в направлении приложения Q, то (73) принимает вид
и условие равновесия (стационарности) даёт теорему Кастилиано
.
120