Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Сопротивление материалов. Дополнительные главы. Учебное пособие.pdf
Для симметричного цикла при σm = 0 σа = σ–1; для пульсационного
0
аm
σ
σσ
2
= =
n OB / OA
σ
=
m
σ
σ
σа σ
σ
σ0/2
σ
σ0/2
0<r<1
О А В
σa σ
σ
σ
Предельное
нагружение
–1<r<0
Кривая выносливости
Аппроксимированная
цикла
–1
; при статическом нагружении σа = 0, σ m = σВ.
кривая выносливости
Рис. 52. Построение кривой выносливости
B
m
а раб
m раб
m
Полученные таким образом точки диаграммы позволяют аппрокси-
мировать кривую выносливости двумя отрезками. Имея диаграмму (кривую) выносливости, можно приближенно для любой комбинации σа и σm
решить вопрос о разрушении или не разрушении при длительном циклическом нагружении.
В частности, определить запас прочности nσ по неограниченной выносливости при заданных значениях среднего и амплитудного значений
нормальных напряжений (рис. 52) как
.
ВЫЧИСЛЕНИЕ ПРЕДЕЛЬНЫХ ЗНАЧЕНИЙ НАПРЯЖЕНИЙ
Введём понятие стационарного циклического нагружения, при котором значения σа и σm не изменяются вплоть до разрушения. Противоположный случай назовём нестационарным циклическим нагружением.
131
Предельное напряжение при стационарном циклическом нагружении
б
m
r
N
[ (r,N)]
N
σ =σ⋅
10
1r
m0
/2
/2
−
−
σ −σ
σ −σ
=
σσ
10
0
2
−
σ
⋅σ −σ
ψ=
σ
r1 m
−σ
σ =σ −ψ ⋅σ
max min
m
max min
a
1r
1r
σ +σ
σ+
= =
σ −σ −
σ
ma
1r
1r
+
σ =σ⋅
−
б
m
1a
N
1r
[ (r,N)] ( )
1r N
−σ
+
σ = σ −σ ⋅ψ ⋅ ⋅
−
1a
1r
[ (r)] ( )
1r
−σ
+
σ = σ −σ ⋅ψ ⋅
−
и ограниченной выносливости N получим из (78). Ограничимся соотношением –1 < r < 0, характерным для машиностроения.
.
Из подобия треугольников (см. выше аппроксимированную кривую
выносливости, рис. 52)
.
Обозначим
После преобразований
Но
Окончательно получаем
.
.
,
.
.
Неограниченная выносливость наступает при N = Nб. Следовательно,
.
132
Предельное напряжение при нестационарном циклическом нагруже-
i
i
i
n
1N≤
∑
m
r
i б
m
i
NN
σ
= ⋅
σ
m
ii
m
i
бr
n
1
N
⋅σ
≤
∑
⋅σ
[ (r,N)]σ
i
σ
i
nN
=
ii
ii
i,max
n
,
N
σ
β= η=
σ
m
б
m
1 a ii
m
N
1r
[ (r,N)] ( ) ( )
1r N
−σ
+
σ = σ −σ ⋅ψ ⋅ ⋅ ⋅ η ⋅β
∑
−
нии и ограниченной выносливости определяется на основе линейной гипотезы суммирования усталостных повреждений, согласно которой условие не разрушения
.
Из (78)
Обозначим
ствующее
. Известны соотношения
Тогда после преобразований
, т. е. условие не разрушения
.
максимально допустимое значение
, а соответ-
.
.
УЧЁТ ФАКТОРОВ, ВЛИЯЮЩИХ НА ВЫНОСЛИВОСТЬ.
ЗАПАС УСТАЛОСТНОЙ ПРОЧНОСТИ
Качество обработки поверхности детали, её размеры, наличие концентраторов напряжений оказывают существенное влияние на истинные
напряжения в сечении. Причём, поправки необходимо вносить в перемен-
ную составляющую напряжений σа, а не в σm (постоянную составляющую).
133
Резкие изменения сечения детали – проточки, канавки, отверстия,
1
σσ
к
1
σ
К , К 1
σ
−
−
= ≥
1σ
m
1
σ
ε
σ
−
−
=
галтели, значительно снижают предел выносливости, что учитывается эффективным коэффициентом концентрации напряжений
,
т. е. отношением предела выносливости стандартного образца при симметричном цикле к пределу выносливости для образца с концентратором
напряжений. Эффективный коэффициент концентрации напряжений
определяется экспериментально (или расчетом на ЭВМ) и заносится
в справочники.
Следует отметить, что различные материалы по-разному реагируют
на наличие концентраторов напряжений. Чугун, например, мало чувствителен к концентраторам напряжений.
Деталь, отличающаяся по размерам от стандартного образца, будет
иметь иной предел выносливости, за счёт большей вероятности металлографических дефектов в большем объеме металла, так называемого масштабного фактора.
Масштабный коэффициент равен отношению предела выносливости
при симметричном цикле для реальной детали к пределу выносливости
при том же цикле для стандартного образца
.
Например:
− для образца ∅10 мм εm = 1,
− для детали ∅60 мм εm = 0,75,
− для ∅100 мм εm = 0,65,
− для ∅200 мм εm = 0,5.
134
Коэффициент качества поверхности учитывает изменение предела
1 дет
п
1
σ
ε
σ
−
−
=
a,расч a
m п
K
.
σ
σ =σ⋅
ε ⋅ε
1r0
−< <
1r0−< <
11
a
OB
n
OA OK KM
−−
σσ
= = =
σ+
σ0/2
σ
m
σ0/2
K
σ
B
A
O
σ
-1
σ
m
выносливости в зависимости от класса чистоты обработки поверхности
детали, качества поверхности после дополнительной обработки её тем или
иным способом
.
Стандартный образец имеет шлифованную поверхность, для детали
с полированной поверхностью εn > 1, для детали после точения εn < 1.
В полученных выше зависимостях значение σа следует вычислять как
умножение номинального (расчётного) σ
на соответствующие коэф-
а,расч
фициенты
Рассмотрим оценку запаса усталостной прочности при отношении
, характерном для машиностроения (рис. 53).
а
Запас прочности
Рис. 53. Схема к расчёту запаса усталостной прочности
при
.
135
Но из подобия треугольников
10
m0
/2
KM
.
/2
−
σ
σ −σ
= = ψ
σσ
1
am
m п
n
K
−
σ
σ
σ
=
σ ⋅ +ψ ⋅σ
ε ⋅ε
Окончательно
.
ВОПРОСЫ ПО ТЕМЕ 12
1. В чём особенность предельных напряжений при переменных
нагрузках?
2. Охарактеризуйте зону излома при циклическом разрушении.
3. Приведите примеры конструкций, работающих при циклическом
нагружении.
4. Какие различают основные характеристики циклических нагрузок?
5. Перечислите виды циклов.
6. Как выглядит и что характеризует кривая усталости?
7. Что такое кривая выносливости?
8. Назовите основные факторы, влияющие на выносливость.
9. Что такое запас усталостной прочности?
136
Тема 13. РАСЧЁТЫ КОНСТРУКЦИЙ
ОБЩИЕ ПОЛОЖЕНИЯ
Размеры и материал элементов конструкции должны быть определены
так, чтобы в течение всего срока эксплуатации была исключена возможность разрушения и возникновения недопустимо больших деформаций при
одновременном требовании экономии материала. Необходимые размеры сечений определяются из расчётов на прочность, жёсткость и устойчивость.
Основным является расчёт на прочность, который сводится к требо-
ванию, чтобы наибольшие напряжения в элементах конструкций не превосходили некоторой допустимой величины для данного материала.
Если расчёт напряжений проводится по полным моделям, где макси-
мально учитываются все процессы в конструкции при нагружении: продольно-поперечный изгиб, колебания, ударные взаимодействия и реальные физические свойства материала, то нет необходимости в определении
критических нагрузок потери устойчивости и динамических составляющих напряжений.
Если же расчёт ведётся по приближённым моделям сопротивления
материалов, то применяются три метода расчёта:
− метод допускаемых напряжений,
− метод предельных состояний,
− метод разрушающих нагрузок.
По каждому методу вычисляется коэффициент запаса прочности n,
который нормируется в каждой отрасли техники с учётом разброса физических свойств материала, неопределённости нагрузок, допустимых дефектов, приближённости расчёта напряжений, ответственности конструкции, культуры производства и т. д.
Расчёт на жёсткость сводится к требованию, чтобы наибольшие пере-
мещения (удлинения, прогибы, осадки опор и др.) не превышали некоторых допустимых величин. Здесь статические расчёты по приближённым
моделям достаточно точны и требуемые запасы n меньше, чем в расчётах
на прочность.
137
В ответственных случаях в рамках проверки жёсткости проводится
x yx zx
xy y zy
xz yz z
T
σ
στ τ
=τ στ
ττσ
123
σ ≤σ ≤σ
экв, max
σ
[]σ
экв,max
[]σ ≤σ
расчёт на устойчивость равновесия, так как возможная бифуркация состояний равновесия может привести к недопустимому увеличению перемещений.
В сложных конструкциях возможен «эффект домино», когда потеря
несущей способности одного элемента перераспределяет нагрузки между
остальными. Перемещения становятся большими и растут вплоть до полного разрушения.
РАСЧЁТ НА ПРОЧНОСТЬ ПО МЕТОДУ ДОПУСКАЕМЫХ НАПРЯЖЕНИЙ
Следует различать расчёты на статическую прочность, расчёты на
ограниченную и неограниченную выносливость.
Расчёт на статическую прочность проводится, когда основная
нагрузка – статическая, а переменная составляющая в процессе эксплуатации незначительна. Например, тяжёлые сооружения, резервуары и сосуды длительного хранения и т. д. В каждой точке тела вычисляются элементы матрицы напряжений [13]
,
производится расчет главных напряжений
(собственных чи-
сел матрицы), определяются максимальные эквивалентные напряжения
прочности записывается в виде
и сравниваются с допускаемыми напряжениями
.
138
. Условие
Эквивалентные напряжения вычисляются по теории, рекомендуемой
3
1экв
σ
−σ
=σ
экв 1 2 3
()σ =σ −µ⋅ σ +σ
222
экв 1 2 2 3 3 1
1
( )( )( )
2
σ = ⋅ σ −σ + σ −σ + σ −σ
раст
экв 1 3
сжат
[]
[]
σ
σ =σ− σ
σ
тв
тв
[ ] min ,
nn
σσ
σ=
т
n
в
n
Т
σ
B
σ
67
(10 ...10 )≤
в данной отрасли техники:
− теория наибольших касательных напряжений
;
− теория наибольших относительных линейных деформаций
,
где µ – коэффициент Пуассона;
− энергетическая теория
;
− теория прочности Мора
.
В некоторых руководящих материалах допускаемые напряжения
определяются как
,
где
и
– нормируемые запасы по пределам текучести
и прочно-
сти
.
Расчёт на ограниченную выносливость проводится в тех случаях, ко-
гда наблюдаются значительные переменные нагрузки, повторяющиеся за
период эксплуатации при числе циклов N
гических ёмкостях и сосудах, при пуске и остановке машинного агрегата.
. Например, в техноло-
139
Здесь разрушение возникает после накопления некоторых повреждений
1−
σ
0
σ
[ (r,N)],[ (r, N)]
στ
б
m
1a
N
1r
[ (r, N)] ( )
1r N
−σ
+
σ = σ −σ ⋅ψ ⋅ ⋅
−
22
max max
1
n
( )( )
[ (r,N)] [ (r,N)]
=
στ
+
στ
78
б
N (10 ...10 )
≥≈
1a
1r
[ (r)] ( )
1r
−σ
+
σ = σ −σ ⋅ψ ⋅
−
22
max max
1
n
( )( )
[ (r)] [ (r)]
=
στ
+
στ
в материале (усталостное разрушение), и лишь «доломка» происходит статически. В момент разрушения гипотеза сплошности не применима, а значит, неприменим и расчёт по гипотезам статической прочности.
Для каждого материала экспериментально определяются: пределы
выносливости
напряжений
и
, предельные значения нормальных и касательных
, где r – коэффициент асимметрии цикла
и N требуемая долговечность. Нормальные напряжения можно определить
.
Запас прочности при одновременном действии нормальных и каса-
тельных напряжений оценивается по гипотезе Гаффа – Полларда как
.
Расчёт на неограниченную выносливость проводится в тех случаях,
когда наблюдаются значительные переменные нагрузки, повторяющиеся
N
раз. Неограниченная выносливость наступает при N = Nб.
Следовательно,
,
и запас прочности определяется как
.
140