Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Сопротивление материалов. Дополнительные главы. Учебное пособие.pdf
Рассмотрим основные задачи динамики, принимая во внимание ре-
22
12
1 11 1 12 2
22
du du
um m
dt dt
= −δ ⋅ ⋅ − δ ⋅ ⋅
22
12
2 21 1 22 2
22
du du
um m
dt dt
= −δ ⋅ ⋅ − δ ⋅ ⋅
11 22
u A sin t, u A sin t
=⋅ω = ⋅ω
22
1 11 1 2 12 2
22
1 21 2 2 22 2
A ( m 1) A m 0,
A m A ( m 1) 0,
⋅ δ ⋅ω ⋅ − + ⋅δ ⋅ω ⋅ =
⋅δ ⋅ω ⋅ + ⋅ δ ω ⋅ − =
22
11 1 12 2
22
21 1 22 2
( m 1) m
0
m ( m 1)
δ ⋅ω ⋅ − δ ⋅ω ⋅
=
δ ⋅ω ⋅ δ ⋅ω ⋅ −
(20)
зультаты анализа одномассовой модели.
ЧАСТОТЫ СОБСТВЕННЫХ КОЛЕБАНИЙ
Решим задачу, пренебрегая влиянием трения на частоты собственных
колебаний. Поскольку решается однородная система, то из (19) получаем
,
.
Ищем решение в виде
и после подста-
новки в (20) получаем однородную систему линейных уравнений относительно А1, А
2
ненулевое (нетривиальное) решение которой возможно только при равенстве нулю определителя системы, т. е.
.
Решение в виде косинусов даёт тот же результат.
Аналогичное уравнение получается и для системы с n степенями сво-
боды. Однако для двух степеней свободы получается решаемое в квадратурах биквадратное алгебраическое уравнение относительно собственных
частот.
51
Его решение
22
11 1 22 2 11 1 22 2 1 2 12
2
12
2
1 2 11 22 12
mm(mm)4mm
2m m ( )
δ ⋅ +δ ⋅ ± δ ⋅ −δ ⋅ + ⋅ ⋅ ⋅δ
ω=
⋅ ⋅ ⋅ δ ⋅δ −δ
i
фi
1
A
k()
A
ω=
2
1 11
ф
2
2 12
1m
k
m
−ω ⋅ ⋅δ
=
ω ⋅ ⋅δ
XX
12
33
EJ EJ
8,05 , 31,18
ml ml
⋅⋅
ω= ⋅ ω= ⋅
⋅⋅
ф1
k( ) 1
ω=
ф2
k( ) 1ω=−
ω
ω
2
m
1
m
2
.
Отношение
называют коэффициентом формы собствен-
ных колебаний. Для двухмассовой системы это
.
Для системы с n степенями свободы возможно только численное ре-
шение.
В нашем примере, поделив массу стержня m на две равные части, по-
лучаем собственные частоты и коэффициенты форм:
,
Рис. 26. Формы колебаний двухмассовой системы
Собственные колебания масс по первой частоте синфазные, а по вто-
рой – противофазные (рис. 26). Равенство коэффициентов формы единице
в примере определяется симметрией задачи.
,
.
52
Если считать задачу одномассовой с массой посередине, то
3
X
l
48 E J
δ=
⋅⋅
X
3
1 EJ
6,93
ml
m
⋅
ω= = ⋅
⋅
δ⋅
2 22 2
11 1 12 2 1i i 1n n
2 22 2
i1 1 i2 2 ii i in n
( m 1) m ... m ... m
.....................................................................................
m m ...( m 1)... m
.......................
δ ⋅ω ⋅ − δ ⋅ω ⋅ δ ⋅ω ⋅ δ ⋅ω ⋅
δ ⋅ω ⋅ δ ⋅ω ⋅ δ ⋅ω ⋅ − δ ⋅ω ⋅
2 22 2
n1 1 n2 2 ni i n n
0
.................................................................
m m ... m ... ( m 1)
=
δ ⋅ω ⋅ δ ⋅ω ⋅ δ ⋅ω ⋅ δ ⋅ω ⋅ −
XXX
12 3
333
EJ EJ EJ
8,55 , 33,97 , 72,60
ml ml ml
⋅⋅⋅
ω=⋅ω=⋅ω=⋅
⋅⋅⋅
ср
il ij ji
0,5 ( )δ = ⋅ δ +δ
и частота собственных колебаний
.
Результат иллюстрирует общее свойство собственных частот: низшая
частота системы с n степенями свободы всегда несколько больше низшей частоты с меньшим числом степеней свободы.
Для системы с n степенями свободы собственные частоты получаются
численным решением уравнения
В качестве примера рассмотрим результат расчёта собственных ча-
стот при распределении массы в трёх равноудалённых точках:
.
.
Податливости определялись численно и для повышения точности
усреднялись:
. Как видно, первые две частоты больше,
чем определённые для двух степеней свободы. Таким образом, подтверждается правило: расчёт по конечномассовой модели всегда даёт ниж-
нюю оценку собственных частот.
53
ДИНАМИЧЕСКИЙ КОЭФФИЦИЕНТ ПРИ УДАРЕ
m/2
m/2
33
omax 11
XX
4 ml ml
u V m / 2 V 0,09 V
2927 EJ EJ
⋅⋅
= ⋅ ⋅δ = ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅
⋅⋅ ⋅ ⋅
2max
u
д1
omax
д2 2 max
К
u
Кu
=
V
Аналитическое выражение для коэффициента динамичности не суще-
ствует даже в простейшей постановке (без учёта сил трения). Оценим его
соотношение с одномассовой системой на примере.
Сравним удар массой
ром той же массой по стержню массой
по невесомому стержню (рис. 18) с уда-
, сосредоточенной на одной
трети его длины (рис. 27).
В первом случае динамический прогиб точки удара
.
Вычислим значение максимального прогиба точки удара
в двухмассовой постановке. Тогда искомое соотношение коэффициентов
динамичности
.
Рис. 27. Схема нагружения
54
Проведём вычисления в двухмассовой системе.
12
12
du du
u (0) 0, (0) 0, u (0) 0, (0) V
dt dt
= = = =
ф1
k( ) 1
ω=
ф2
k( ) 1
ω=−
1 11 1 11 1 12 2 12 2
u A sintB costA sin tB cos t= ⋅ ω+ ⋅ ω+ ⋅ ω+ ⋅ ω
2 11 1 11 1 12 2 12 2
u A sin t B cos t A sin t B cos t.= ⋅ ω+ ⋅ ω− ⋅ ω− ⋅ ω
11 12
BB0= =
11 12
12
VV
A ,A
22
−
= =
⋅ω ⋅ω
1
2 12
12
V
u (sin t sin t)
2
ω
= ⋅ ω+ ⋅ ω
⋅ω ω
2max
1
V
u 1,17
2
= ⋅
⋅ω
1
ω
33
2max
XX
1,17 ml ml
u V 0,073 .
28,05 EJ EJ
⋅⋅
=⋅⋅ =⋅
⋅⋅ ⋅
д1
д2
К
0,09
1, 23
К 0,073
= =
Решаем задачу о собственных колебаниях при следующих начальных
условиях:
.
Решение с учётом
Из граничных условий
Соответственно
,
ищем в виде
,
,
.
.
Численное исследование даёт
После подстановки значения
получаем
Окончательно
55
.
.
Расчёт удара в одномассовой системе ведётся с запасом. В нашем
12
a (t) 2 a (t) C sin t=⋅ =⋅Ω
11 22
u (t) A sin t, u (t) A sin t=⋅Ω = ⋅Ω
sin tΩ
22
1 11 1 2 12 2
22
1 21 2 2 22 2
A ( m 1) A m С,
A m A ( m 1) С / 2.
⋅ δ ⋅Ω ⋅ − + ⋅δ ⋅Ω ⋅ =
⋅δ ⋅Ω ⋅ + ⋅ δ Ω ⋅ − =
случае запас 23 %.
Итак, даже при n = 2 невозможно избежать численного решения части
задачи. При n > 2 целесообразно решать задачу численно и без всяких
упрощений. Требуется просто проинтегрировать (19) при соответствующих начальных условиях, проследить за перемещением точки удара
в первой положительной четверти движения, найти её максимальное перемещение и, поделив его на соответствующую податливость, вычислить
силу удара. Если необходимо, найти динамический коэффициент как отношение силы удара к весу ударяющей массы.
АМПЛИТУДНО-ЧАСТОТНАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА
Рассмотрим на примере испытаний двухмассовой системы на вибростенде при кинематическом возбуждении
(качание вокруг правой опоры) без учёта сил сопротивления.
Считаем, что собственные колебания уже затухли. Вынужденные колебания ищем в виде
.
После подстановки в (19), сокращения на
и элементарных пре-
образований получаем
56
Решаем полученную систему линейных алгебраических уравнений
12
д1 д2
А 2А
К ,К
СС
⋅
= =
22
22 2 12 2
д1
2 2 24
11 1 22 2 12 1 2
(1 m ) 0, 5 m
К,
(1 m ) (1 m ) m m
−Ω ⋅δ ⋅ + ⋅Ω ⋅δ ⋅
=
−Ω ⋅δ ⋅ ⋅ −Ω ⋅δ ⋅ −δ ⋅ ⋅ ⋅Ω
22
11 1 12 1
д2
2 2 24
11 1 22 2 12 1 2
(1 m ) 2 m
К.
(1 m ) (1 m ) m m
−Ω ⋅δ ⋅ + ⋅Ω ⋅δ ⋅
=
−Ω ⋅δ ⋅ ⋅ −Ω ⋅δ ⋅ −δ ⋅ ⋅ ⋅Ω
2
0
11
1
m
ω=
δ⋅
22
22
00
д1
22 2
2
22 2
00 0
7
(1 ) 0, 5
8
К,
7
(1 ) (1 ) ( )
8
ΩΩ
− + ⋅⋅
ωω
=
ΩΩ Ω
− ⋅− − ⋅
ωω ω
22
22
00
д2
22 2
2
22 2
00 0
7
(1 ) 2
8
К.
7
(1 ) (1 ) ( )
8
ΩΩ
− +⋅⋅
ωω
=
ΩΩ Ω
− ⋅− − ⋅
ωω ω
д1
К
0
4
3
Ω= ⋅ω
относительно А1 и А2. Учитываем, что коэффициенты динамичности
, получаем
Проанализируем результаты.
Подставив в последние формулы значения податливостей и масс
и обозначив
(условная частота одномассовой системы, в кото-
рой вся масса сосредоточена в точке 1), получим
Графики АЧХ представлены на рис. 28.
Заметим, что существует такая частота, при которой первая масса не-
подвижна. Приравнивая
.
к нулю, находим, что это происходит при
57
АЧХ
-6
-5
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
5
6
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5
2
2
2 21
22
1 22
1
m
a (t)
[1 ]
a (t)
=
⋅δ
Ω ⋅δ ⋅ −
⋅δ
д1
К
д2
К
Рис. 28. АЧХ двухмассовой системы
При этом вторая масса является динамическим гасителем колебаний
первой массы. В общем случае величина этой массы определяется по
формуле
Полное динамическое гашение возможно только на определённой ча-
стоте возбуждения колебаний. Однако, как видно из графика (рис. 28), некоторое гашение имеет место и вблизи расчётной частоты. Недостатком
применения динамического гашения является увеличение числа степеней
свободы, т. е. числа резонансных частот. В рассмотренном примере увеличение частоты возмущения может привести к резонансу, которого могло и не быть до установки гасителя.
В n-массовой системе построение АЧХ возможно непосредственным
интегрированием системы (19) при разных частотах и видах возмущения
как с учётом, так и без учёта сил сопротивления.
58
.
ВОПРОСЫ ПО ТЕМЕ 5
1. Дайте определение двухмассовой системы.
2. Запишите систему дифференциальных уравнений перемещений
в каждом направлении для двухмассовой системы.
3. Как определяется коэффициент формы собственных колебаний?
4. Как будут выглядеть формы колебаний двухмассовой системы при
шарнирном закреплении балки (массы при этом равноудалены от опор
и друг от друга)?
5. Как рассчитать силу удара в двухмассовой системе?
6. Как выглядит АЧХ двухмассовой системы?
7. Что такое динамический гаситель колебаний?
8. Назовите недостаток применения динамического гашения.
59
Тема 6. ДИНАМИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ СТЕРЖНЕЙ
F(z,t) Z(z) T(t)= ⋅
22
22
w(z,t) w(z,t) q(z,t)
E EA
zt
∂ ρ∂
−⋅ =−
⋅
∂∂
С РАСПРЕДЕЛЁННОЙ МАССОЙ. КРИТИЧЕСКИЕ ОБОРОТЫ ВАЛОВ
МЕТОД ФУРЬЕ
Как уже отмечалось выше, решение некоторых задач динамики
стержней с распределённой массой возможно методом Фурье. Суть метода заключается в разделении переменных и преобразовании системы
дифференциальных уравнений в частных производных в систему обыкновенных дифференциальных уравнений. Система приводится к одному
уравнению соответствующего порядка, решение которого представлено
в виде произведения двух функций разных переменных
и подставляется в уравнение. Если при этом удаётся представить результат как равенство функций разных переменных, что возможно только, если они равны константе, то метод срабатывает. Рассмотрим метод и некоторые результаты на моделях продольных (7) и поперечных (8) колебаний
однородного стержня.
ЧАСТОТЫ СОБСТВЕННЫХ ПРОДОЛЬНЫХ КОЛЕБАНИЙ
И УДАР ОДНОРОДНОГО СТЕРЖНЯ
Система (7) после дифференцирования по z второго уравнения и под-
становки первого уравнения даёт
Уравнение линейно и его решение – сумма общего решения однород-
ного уравнения и частного решения уравнения с правой частью. Здесь основным является решение однородного уравнения. Ограничимся им.
.
60