Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Сопротивление материалов. Дополнительные главы. Учебное пособие.pdf
x
MR d
EJ d
⋅ϕ
=
⋅α
, (6)
∆q
2γ
q
r
где Е – модуль Юнга;
Jx – осевой момент инерции относительно оси х.
Полная математическая модель изгиба и растяжения с криволиней-
ной осью представляет собой систему из шести дифференциальных
уравнений (1)–(6) с шестью неизвестными, требующую шесть граничных
условий (Г.У.), которые всегда могут быть сформулированы.
Рис. 3. Схема нагружения арки
с жёстким защемлением на концах
Например, для арки, концы которой имеют жёсткое защемление
(рис. 3), имеем:
при α = 0 – w = v = φ = 0;
при α = 2γ – w = v = φ = 0.
Если арка оперта на неподвижные шарниры, то:
при α = 0 – w = v = M = 0;
при α = 2γ – w = v = M = 0.
Для арки (рис. 4), у которой 2γ = π, можно записать:
при α = 0 – w = Q = φ = 0;
при α = π – w = Q = φ = 0.
11
qr
∆q
b
h
Рис. 4. Схема нагружения арки
Таким образом, для любой схемы нагружения может быть приведено
необходимое количество граничных условий.
ВОПРОСЫ ПО ТЕМЕ 1
1. Какая система координатных осей применяется в случае стержня
с криволинейной осью?
2. Что является координатой сечения для стержня с прямолинейной
осью? с круговой осью?
3. Какие внутренние силы возникают в сечении стержня с криволи-
нейной осью при поперечном изгибе с растяжением?
4. Назовите параметры перемещений для стержня с круговой осью.
5. Запишите соотношения, связывающие тангенциальное, радиальное
перемещение и угол поворота сечения.
6. Запишите формулу, описывающую связь изгибающего момента
и угла поворота сечения, для сечения малой кривизны.
7. Запишите систему уравнений полной математической модели изги-
ба и растяжения стержня с криволинейной осью.
8. Приведите граничные условия для промежуточной опоры стержня
с круговой осью.
12
Тема 2. СТЕРЖНЕВЫЕ СИСТЕМЫ
5
α
1
3 1 2
4
α2 α
3
Стержневой системой будем называть совокупность нагруженных
и соединённых между собой стержней. В нашем курсе ограничимся плоской задачей, когда главные центральные оси всех стержней и нагрузки
действуют в одной плоскости, стержни прямые. Пространственная задача
более громоздка, хотя решается аналогично.
МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ
Плоская стержневая система, состоящая из n стержней, описывается
системой 6n дифференциальных уравнений первого порядка.
Для интегрирования и отыскания произвольных постоянных необхо-
димо сформулировать 6n условий. В общем случае это:
• граничные условия – геометрическое и силовое описание условий
сопряжения стержневой системы со стойкой;
• условия равновесия узлов, а узел – это точка стержневой системы,
где соединяются два и более стержней;
• условия сопряжения стержней – геометрическое и силовое описа-
ние способа соединения стержней в узлах.
Рассмотрим составление граничных условий на примере стержневой
конструкции, состоящей из пяти стержней (рис. 5). Стрелками указано
условное направление стержней от начала к концу. В данном примере
необходимо сформулировать 6·n = 6·5 = 30 условий.
Рис. 5. Пример стержневой конструкции
13
Граничные условия (9 условий в заделках – слева направо)
1 11 1
1 11 1
1
w (0) sin v (0) cos 0,
N (0) cos Q (0) sin 0,
M (0) 0.
⋅ α+ ⋅ α=
− ⋅ α+ ⋅ α=
=
44
4 22
w (0) 0, v (0) 0,
M (0) M (l ) 0,
= =
−=
55 45 55
w (l ) 0, v (l ) 0, (l ) 0= =ϕ=
11 1 11 1 3 2 2 2 2
N(l)cos Q(l)sin N(0) N(0)cos Q(0)sin 0,
− ⋅ α+ ⋅ α+ + ⋅ α+ ⋅ α=
11 1 11 1 3 2 2 2 2
N(l)sin Q(l)cos Q(0) N(0)sin Q(0)cos 0,− ⋅ α− ⋅ α+ − ⋅ α+ ⋅ α =
11 3 2
M (l ) M (0) M (0) 0−++=
В первой заделке (шарнир подвижный) отсутствуют: перемещение
в вертикальном направлении, сила в горизонтальном направлении и изгибающий момент, т. е.
Во второй заделке (шарнир неподвижный) отсутствуют: перемеще-
ния и изгибающий момент, т. е.
где l2 – длина второго стержня.
В третьей заделке (жёсткое защемление) отсутствуют: перемещения
и угол поворота, т. е.
,
где l5 – длина пятого стержня.
Условия равновесия узлов (6 условий в двух узлах)
Так как сумма проекций сил на горизонталь и вертикаль и сумма моментов в плоскости равны нулю, значит (рис. 5):
• для узла 3:
;
14
• для узла 5:
33 44 3 44 3 5
N (l ) Q (l ) sin N (l ) cos N (0) 0,− + ⋅ α− ⋅ α+ =
33 44 3 44 3 5
Q (l ) Q (l ) сos N (l ) sin Q (0) 0,− − ⋅ α− ⋅ α+ =
33 44 5
M (l ) M (l ) M (0) 0−− +=
11 1 11 1 2 2 2 2
w(l)cos v(l)sin w(0)cos v(0)sin⋅α− ⋅α= ⋅α+ ⋅α
11 1 11 1 2 2 2 2
w(l)sin v(l)cos w(0)sin v(0)cos⋅α+ ⋅α=− ⋅α+ ⋅α
11 2
(l ) (0)
ϕ=ϕ
11 1 11 1 3
w (l ) cos v (l ) sin w (0)⋅ α− ⋅ α=
11 1 11 1 3
w (l ) sin v (l ) cos v (0)⋅ α+ ⋅ α=
11 3
(l ) (0)ϕ=ϕ
22 2 22 2 4 3 4 3
w (l ) cos v (l ) sin w (0) cos v (0) sin⋅α+ ⋅α= ⋅α− ⋅α
22 2 22 2 4 3 4 3
w (l ) sin v (l ) cos w (0) sin v (0) cos− ⋅α+ ⋅α= ⋅α+ ⋅α
4
M (0) 0=
Условия сопряжения стержней
(15 условий для 5 независимых сопряжений)
Стержни 1–2: равны проекции абсолютных перемещений на гори-
зонталь и вертикаль и углы поворотов, т. е.
.
,
Стержни 1–3: равны проекции абсолютных перемещений на гори-
зонталь и вертикаль и углы поворотов, т. е.
Стержни 2–4: равны проекции абсолютных перемещений на гори-
,
.
,
,
.
зонталь и вертикаль, и момент не передаётся, т. е.
.
15
,
,
Стержни 3–5: равны проекции абсолютных перемещений на гори-
33 5
w (l ) w (0)
=
33 5
v (l ) v (0)=
5
M (0) 0=
44 3 44 3 5
w (l ) cos v (l ) sin w (0)⋅ α− ⋅ α=
44 3 44 3 5
w (l ) sin v (l ) cos v (0)
⋅ α+ ⋅ α=
44
M (l ) 0=
зонталь и вертикаль, и момент не передаётся, т. е.
,
,
.
Стержни 4–5: равны проекции абсолютных перемещений на гори-
зонталь и вертикаль, и момент не передаётся, т. е.
,
,
.
Итого: 3 · 3 + 3 · 2 + 3 · 5 = 30.
МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧИ
Модель замкнута, число уравнений и число неизвестных совпадают.
Решение задачи возможно несколькими способами:
• на базе аналитического решения системы уравнений для каждого
стержня с последующим решением большой линейной системы уравнений
для отыскания произвольных постоянных;
• на базе численного интегрирования большой системы дифференци-
альных уравнений с удовлетворением граничным условиям, условиям сопряжения и равновесия узлов (в нашем примере 30 уравнений);
• специальными методами сопротивления материалов и строительной
механики, позволяющими в некоторых случаях уменьшать порядок задачи
16
или разбивать её на несколько задач меньших порядков и решать аналитически или графоаналитически.
Первый способ применим лишь в тех частных случаях, когда есть ана-
литическое решение для каждого отдельного стержня. Например, когда все
стержни только растягиваются, только скручиваются, только изгибаются.
Последнее практически не реализуемо при ломаной оси, так как при этом
неизбежно растяжение-сжатие с изгибом. Здесь в расчётах обычно пренебрегают влиянием растяжения-сжатия на изгиб, считая, что силы сжатия
много меньше критических, и пренебрегая перемещениями от растяжения
в сравнении с перемещениями от изгиба.
Примеры задач для ступенчатых валов и рам приводятся в учебниках,
и нами рассматриваться не будут, так как численное решение даёт результат с меньшими затратами. Например, решая раму из 4 стержней, необходимо в итоге решать систему линейных алгебраических уравнений с 10–
14 неизвестными, что практически возможно только численно.
Второй способ реализуется достаточно просто на ЭВМ, например,
в Excel или MathCad. При этом можно существенно понизить порядок некоторых задач. Примеры решений для неразрезных балок и рам приведены далее.
Третий способ предполагает применение одного из двух методов:
метода сил или метода перемещений.
Метод сил эффективен в задачах с небольшой степенью статической
неопределимости при расчете на прочность. Он, в сочетании со специальными методами определения перемещений в конкретной точке и конкретном направлении (методы Мора, Кастильяно и Верещагина), позволяет
понизить порядок задачи и разбить задачу данного порядка на несколько
задач меньших порядков. Пока не было ЭВМ, и задачи решались, в основном, вручную, метод был эффективен. Ниже мы рассмотрим пример применения метода.
Метод перемещений предполагает предварительное вычисление сил
через перемещения с последующим составлением и решением системы
уравнений равновесия, в которой неизвестны только параметры переме-
17
щений, т. е. меньшего порядка. Затем силы (и напряжения) вычисляются
M
X1 X
2
M
1
M
2
через перемещения. Метод особенно эффективен при малом числе узлов.
Например, для плоского колеса со спицами неизвестны два перемещения
при любом числе спиц. Метод широко применяется при современном численном подходе (например, в методе конечных элементов – МКЭ) в сочетании с теоремой Лагранжа – Дирихле. Ограничимся рассмотрением его
для расчёта плоских ферм.
ПРИМЕР РЕШЕНИЯ МЕТОДОМ СИЛ
Приведем только идеологию метода. Технику вычисления перемеще-
ний методом Мора – Верещагина оставим на самостоятельное изучение.
Рассматривать будем на примере дважды статически неопределимой рамы, состоящей из двух стержней (рис. 6).
p
Рис. 6. К решению рамы методом сил
18
На основе аналитического решения без учёта растяжения-сжатия имеем
1 12
v (0) M (0) v (0),= =
112 2 2
(0), Q (0), (0), M (0), Q (0)ϕϕ
12
X ,X
11 1 12 2 1p
21 1 22 2 2p
X X 0,
X X 0,
δ ⋅ +δ ⋅ +∆ =
δ ⋅ +δ ⋅ +∆ =
систему восьмого порядка. Но так как
задача сводится
к решению системы линейных уравнений 5-го порядка относительно
.
Решение её без ЭВМ затруднительно. Метод сил позволяет при расчёте на прочность понизить порядок системы до 2-го, что доступно для
ручного счёта. Ниже приведём алгоритм.
• Если найти реакции опор
, то моменты в стержнях определя-
ются методами теоретической механики, и задача решена.
• В освобожденной от левой опоры конструкции находим моменты от
внешней нагрузки Мр и от X1 = 1 и X2 = 1 – М1 и М2 .
• По методу Мора – Верещагина вычисляем:
δ11 – перемещение от X1 = 1 в направлении X1;
δ22 – перемещение от X2 = 1 в направлении X2;
δ21 = δ12 – перемещение от X1 = 1 в направлении X2 и наоборот;
Δ1р – перемещение от внешней нагрузки в направлении X1;
Δ2р – перемещение от внешней нагрузки в направлении X2.
• Составляем систему канонических уравнений метода сил – условие
равенства нулю перемещений в левой опоре:
решая, которую находим искомые реакции опор.
Даже конспективное изложение метода показывает его нецелесообразность при возможности численного решения.
ПРИМЕР РЕШЕНИЯ МЕТОДОМ ПЕРЕМЕЩЕНИЙ
Рассмотрим на характерном примере (рис. 7). Пусть все стержни
площадью сечения А расположены симметрично и соединены шарнирно,
19
т. е. только растягиваются. На основе аналитического решения получим
12 5
w (0) w (0) ... w (0) 0= = = =
12 5
N (0) N (0) ... N (0)= = =
2 22
i ii
uu
1 2 cos ( ) cos 1
ll
ε= + ⋅ α+ ⋅ α−
ii i
NEА
=ε⋅ ⋅
ii
i
N cos P⋅ α=
∑
u Р l
α
i
систему 10-го порядка, но поскольку
,
то решать придётся систему 5-го порядка с неизвестными
.
Рис. 7. К решению стержневой конструкции
методом перемещений
Объявим неизвестным вертикальное перемещение узла u. Тогда отно-
сительное удлинение i-го стержня
,
продольная сила
и единственное разрешающее уравнение – условие равновесия в узле
нелинейно относительно u.
20