Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Сопротивление материалов. Дополнительные главы. Учебное пособие.pdf
ВОПРОСЫ ПО ТЕМЕ 9
1. Перечислите основные параметры моментной теории пластин.
2. Какими напряжениями можно пренебречь ввиду их малости?
3. Сформулируйте гипотезу Бернулли для пластин и оболочек.
4. Почему в параметрах математической модели моментной теории
отсутствуют касательные напряжения и поперечные силы в тангенциальной плоскости?
5. Из какого числа уравнений состоит математическая модель мо-
ментной теории пластин?
6. Запишите выражение для цилиндрической жёсткости.
7. Приведите примеры граничных условий для различных способов
закрепления.
8. Запишите выражения для определения напряжений по моментной
теории пластин.
9. По какой формуле определяются перемещения при моментной тео-
рии пластин?
101
Тема 10. ПОЛНАЯ МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ
x y zxyyzzx
,,, , ,σσστ τ τ
xyzxyyzzx
,,, , ,εεεγ γ γ
УПРУГОДЕФОРМИРОВАННОГО ТЕЛА
До сих пор рассматривались задачи в постановке сопротивления ма-
териалов. При этом стремились строить модели в виде, доступном для
аналитического решения или численного интегрирования без применения
специальных программных пакетов. Фактически решались только те задачи, описание которых сводилось к системе обыкновенных дифференци-
альных уравнений.
Схематизировались объекты и свойства материалов, что приводило
к приближённым результатам. При этом в реальных расчётах приходи-
лось брать существенные запасы прочности.
Некоторые задачи вообще не решаются в такой постановке. В других
приходится вводить так называемые коэффициенты концентрации
напряжений, определяемые экспериментально и учитывающие особенности НДС в особых точках или зонах. Развитие вычислительной техники
и численных методов позволяет решить задачу при гораздо меньшей её
схематизации. Например, ограничимся только законом Гука и малыми перемещениями и деформациями, что позволит использовать модели, доступные для численного, а иногда и аналитического решения.
ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ И ПАРАМЕТРЫ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ МОДЕЛИ
Решаем задачу в декартовых координатах относительно неподвижной
исходной правой системы осей xyz. Некоторые параметры задачи и уравнения связи уже рассматривались:
метры напряжённого состояния (НС) в точке с координатами x, y, z;
метры деформированного состояния (ДС) в точке с координатами x, y, z;
– неизвестные функции от координат – пара-
– неизвестные функции от координат – пара-
102
u,v,w
– неизвестные функции от координат – перемещения точки
xyz
q ,q ,q
xyz
,,
γγγ
F(x, y,z) 0=
yx
x
x x yx yx
zx
zx zx x
τ
σ
σ dy dz (σ dx) dy dz τ dx dz (τ dy) dx dz
xy
τ
τ dx dy (τ dz) dx dy γ dx dy dz 0.
z
∂
∂
−⋅⋅+ + ⋅ ⋅⋅− ⋅⋅+ + ⋅ ⋅⋅ −
∂∂
∂
−⋅⋅+ + ⋅ ⋅⋅+⋅⋅⋅=
∂
с координатами x, y, z;
– известные функции от координат – проекции давления
поверхностных сил на поверхность тела в точке с координатами x, y, z;
– известные функции от координат – проекции объёмных
сил в точке с координатами x, y, z;
– известная функция от координат, описывающая по-
верхность тела до нагружения.
Для нахождения 15 неизвестных функций необходимо 15 уравнений.
Получим их.
УРАВНЕНИЯ РАВНОВЕСИЯ В НАПРЯЖЕНИЯХ
В точке тела (рис. 42) можно составить три уравнения равновесия –
равенство нулю суммы сил в проекции на координатные оси. Например,
на ось х:
Рис. 42. Напряжения на гранях элементарного объёма вокруг
некоторой точки деформированного тела
103
После преобразования
yx
x zx
x
0
xyz
∂τ
∂σ ∂τ
+ + +γ =
∂∂∂
xy y yz
y
0
xyz
∂τ ∂σ ∂τ
+ + +γ =
∂∂∂
yz
xz x
z
0
xyz
∂τ
∂τ ∂σ
+ + +γ =
∂∂∂
dS(dx,dy,dz)
(l,m,n),ν
1
dS (dx du,dy dv,dz dw)+++
β
dx
x
v
v ⋅
∂
∂
+
α
dx
x
u
u ⋅
∂
∂
+
dy
y
v
v
⋅
∂
∂
+
u+du
v+dv
u v x
y
Sd
1
Sd
Sd∆
ν
u
v x y
dy
dx
dy
y
u
u
⋅
∂
∂
+
а
б
. (52)
Аналогично по другим осям
, (53)
. (54)
Полученная система уравнений (52)–(54) является уравнениями рав-
новесия твёрдодеформированного тела.
ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ СООТНОШЕНИЯ. ФОРМУЛЫ КОШИ
Рассмотрим бесконечно малый отрезок (рис. 43, а) – вектор
, направленный по нормами
ремещается в положение
после нагружения пе-
.
Рис. 43. К математической модели упругодеформированного твёрдого тела:
а – перемещение бесконечно малого отрезка при его деформировании;
б – изменение прямого угла при деформировании
104
Представим результат перемещения как прибавление вектора
dS(du,dv,dw)∆
ν
[dS]
du l dv m dw n
[dS]
ν
⋅+ ⋅ + ⋅
ε=
uuu
du dx dy dz
xyz
∂∂∂
=⋅+⋅+⋅
∂∂∂
uvv
dv dx dy dz
xyz
∂∂∂
=⋅+⋅+⋅
∂∂∂
www
dw dx dy dz
xyz
∂∂∂
=⋅+⋅+⋅
∂∂∂
dx dy dz
l ,m ,n
[dS] [dS] [dS]
= = =
222
ν
u v w uv
ε l m n ( )l
x y z yx
wv wu
m ( )mn ( )nl.
yz xx
∂ ∂ ∂ ∂∂
= ⋅ + ⋅ + ⋅ + + ⋅×
∂ ∂ ∂ ∂∂
∂∂ ∂∂
×++⋅⋅++⋅⋅
∂∂ ∂∂
. Тогда приращение длины вектора, выбранного в направ-
лении
, есть скалярное произведение
dS(du,dv,dw) (l,m,n) du l dv m dw n∆ ⋅ν = ⋅ + ⋅ + ⋅
поделив которое на
направлении
С учётом, что
,
, вычислим линейную деформацию в выбранном
.
,
а направляющие косинусы
лучаем
,
,
, окончательно по-
105
Физический смысл первых трёх членов очевиден. Например,
(l,0,0)ν
x
u
x
∂
ε=
∂
y
vy∂
ε=
∂
z
wz∂
ε=
∂
xy
γ =α+β
y
u uu
dy
u
y yy
tq
vv
(1 ) y
dy dy (1 )
yy
∂ ∂∂
⋅
∂
∂ ∂∂
α= = = ≈
∂∂
+ε ∂
+⋅ +
∂∂
v
tg
β
x
∂
≈
∂
xy
uv
yx
∂∂
γ= +
∂∂
при
по оси x, т. е.
Аналогично
получаем линейную деформацию отрезка, направленного
. (55)
, (56)
. (57)
Остальные три члена – угловые деформации. Действительно (рис. 43, б),
например,
,
но
.
Аналогично
.
То есть в малых деформациях
. (58)
106
Аналогично
yz
vw
zy
∂∂
γ= +
∂∂
zx
wu
xz
∂∂
γ= +
∂∂
2 22
y z xy yz zx
l m n lm mn nl
ν
ε =ε ⋅ +ε ⋅ +ε ⋅ +γ ⋅ ⋅ +γ ⋅ ⋅ +γ ⋅ ⋅
x x yz
1
[ ( )]
E
ε = ⋅ σ −µ⋅ σ +σ
y y xz
1
[ ( )]
E
ε = ⋅ σ −µ⋅ σ +σ
z z xy
1
[ ( )]
E
ε = ⋅ σ −µ⋅ σ +σ
, (59)
. (60)
Таким образом, деформированное состояние в точке определяется
шестью параметрами – линейными деформациями по координатным осям
и угловыми деформациями в координатных плоскостях. В произвольном
направлении имеем
.
Выражения (55)–(60) носят название формулы Коши. Эти формулы
связывают перемещения и деформации, они относятся к геометрическим
соотношениям математической модели твёрдодеформированного тела.
ФИЗИЧЕСКИЕ СООТНОШЕНИЯ. ОБОБЩЁННЫЙ ЗАКОН ГУКА
С учетом линейности задачи и принципа суперпозиции выражения
для линейных деформаций очевидны
, (61)
107
, (62)
. (63)
При рассмотрении кручения получена связь угловых деформаций
xy
xy
G
τ
γ=
yz
yz
G
τ
γ=
xy
xy
G
τ
γ=
F(x, y,z) 0=
и касательных напряжений. В обобщённом виде это
, (64)
, (65)
. (66)
Выражения (61)–(66) относятся к физическим соотношениям матема-
тической модели твёрдодеформированного тела.
ПОЛНАЯ МОДЕЛЬ. ГРАНИЧНЫЕ УСЛОВИЯ
Среди 15 разрешающих уравнений (52)–(66) девять дифференциаль-
ных уравнений в частных производных. Для замыкания задачи необходимо сформулировать граничные условия.
. Во всех её точ-
ках необходимо указать условия закрепления, которые могут быть сило-
выми, кинематическими или смешанными.
Первые имеют место, если в точке известны внешние поверхностные
силы. Вторые – когда известны перемещения. Третьи – если известна зависимость между силами и перемещениями.
Рассмотрим более подробно силовые граничные условия, которые
формулируются относительно сложно.
108
Напряжения на площадке, совпадающей с поверхностью (рис. 44),
qp
ν
=
x x x yx zx
qp l m n= =σ ⋅ +τ ⋅ +τ ⋅
y y yx y zy
qp l m n= =τ ⋅+σ⋅ +τ ⋅
z z zx zy z
qp l m n
= =τ ⋅ +τ ⋅ +σ ⋅
u 0, v 0, w 0= = =
z
q cw=−⋅
)q,q,q(q
zyx
)n,m,l(ν
F(x,y,z) = 0
есть внешние силы, т. е.
.
,
,
.
Этим уравнениям должны удовлетворять искомые функции напря-
жений в точках поверхности.
Рис. 44. Внешние силы, действующие на площадке
Кинематические условия есть ограничения на перемещения точек поверхности. В неподвижной точке, например,
.
Смешанные условия, например, на упругом основании в плоскости xoz,
,
где с – жёсткость.
109
МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧИ
xyz
(1 2 )
E
ν
σ
ε =ε =ε =ε = ⋅ − ⋅µ
Аналитическое решение в общем случае неизвестно.
Доказана теорема единственности: если найдено решение, удовлетво-
ряющее 15 уравнениям и граничным условиям, то оно единственно.
Рассмотрим методы решения в частных случаях и общий подход
к численному решению.
Прямой метод. Метод возможен только в задачах, сводящихся к си-
стеме обыкновенных дифференциальных уравнений. Это, в основном,
осесимметричные задачи с переводом в цилиндрические координаты.
Примеры: задача Ламе, задача о действии сосредоточенной силы на бесконечное полупространство (из которой Герц построил решение контактной задачи), некоторые плоские задачи, в которых удаётся разделить переменные по методу Фурье.
Обратный метод. Предполагаются: некоторая система искомых
функций, заведомо удовлетворяющая 15 уравнениям, форма тела. Решается вопрос: как должно быть нагружено тело, чтобы удовлетворить граничным условиям.
Этим методом удалось решить несколько задач, имеющих практиче-
ское значение. Например, задача Фламмана о диске, сжатом по диаметру
сосредоточенными силами, задача о плоском клине (положена в основу
расчёта режущего инструмента) и др. Однако решать практические задачи
этим методом не удаётся. Но он положен в основу многих численных методов. Рассмотрим пример, иллюстрирующий сущность метода.
Пусть тело нагружено так, что отсутствуют касательные напряжения,
а нормальные равны σ. Граничные условия только силовые. Объёмные
силы отсутствуют. Что за тело и как нагружено?
Из уравнений равновесия получаем σ = const, т. е. в том числе и на
границе тела. Угловые деформации раны нулю, линейные равны между
собой
.
110