Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Сопротивление материалов. Дополнительные главы. Учебное пособие.pdf
МИНОБРНАУКИ РОССИИ
————————————
Федеральное государственное автономное
образовательное учреждение высшего образования
«Омский государственный технический университет»
З. Н. Соколовский, М. А. Федорова
СОПРОТИВЛЕНИЕ МАТЕРИАЛОВ
ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЕ ГЛАВЫ
Учебное текстовое электронное издание
локального распространения
Рекомендовано редакционно-издательским советом
Омского государственного технического университета
Омск
Издательство ОмГТУ
2023
———————————————————————————–––—————
Сведения об издании: 1, 2
ISBN 978-5-8149-3610-3
© ОмГТУ, 2023
УДК 620.01(075)
ББК 30.121я73
С59
Рецензенты:
С. А. Макеев, д.т.н., профессор кафедры
«Теоретическая и прикладная механика» ФГБОУ ВО «ОмГУПС»;
В. А. Таран, к.т.н., зав. отделом № 3 АО «ФНПЦ «Прогресс»
Соколовский, З. Н. Сопротивление материалов. Дополнительные главы : учеб.
пособие / З. Н. Соколовский, М. А. Федорова ; Минобрнауки России, Ом. гос. техн.
ун-т. – Омск : Изд-во ОмГТУ, 2023. – 1 CD-ROM (1,24 Мб). – Систем. требования:
процессор с частотой 1,3 ГГц и выше ; 256 Мб RAM и более ; свободное место на
жестком диске 300 Мб и более ; Windows XP и выше ; разрешение экрана 1024×768
и выше ; CD/DVD-ROM дисковод ; Adobe Acrobat Reader 5.0 и выше. – Загл. с титул.
экрана. – ISBN 978-5-8149-3610-3.
В учебном пособии представлен дополнительный материал для более углублён-
ного изучения дисциплины «Сопротивление материалов». Рассмотрены задачи на
расчёт стержней с криволинейной осью, пластин, оболочек, труб, а также задачи динамики, расчёты на выносливость, трещиностойкость и другие.
Рекомендовано студентам и магистрантам технических специальностей.
Редактор О. В. Маер
Компьютерная верстка Ю. П. Шелехиной
Для дизайна этикетки использованы материалы
из открытых интернет-источников
––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––
Сводный темплан 2023 г. © ОмГТУ, 2023
Подписано к использованию 06.04.23.
Объем 1,24 Мб.
2
ОГЛАВЛЕНИЕ
ОГЛАВЛЕНИЕ .................................................................................................... 2
ПРЕДИСЛОВИЕ ................................................................................................. 7
Тема 1. ПЛОСКИЙ ИЗГИБ И РАСТЯЖЕНИЕ-СЖАТИЕ СТЕРЖНЯ
С КРУГОВОЙ ОСЬЮ ......................................................................... 8
Уравнения равновесия ........................................................................................ 8
Геометрические соотношения ........................................................................... 9
Физические уравнения ..................................................................................... 10
Вопросы по теме 1 ............................................................................................ 12
Тема 2. СТЕРЖНЕВЫЕ СИСТЕМЫ .............................................................. 13
Математическая модель ................................................................................... 13
Методы решения задачи ................................................................................... 16
Пример решения методом сил ......................................................................... 18
Пример решения методом перемещений ....................................................... 19
Вопросы по теме 2 ............................................................................................ 21
Тема 3. ЗАДАЧИ ДИНАМИКИ ...................................................................... 22
Математические модели и решаемые задачи ................................................ 22
Растяжение-сжатие прямого стержня ............................................................. 22
Изгиб прямого стержня .................................................................................... 24
Конечномассовые модели ................................................................................ 27
Вопросы по теме 3 ............................................................................................ 30
Тема 4. СИСТЕМЫ С ОДНОЙ СТЕПЕНЬЮ СВОБОДЫ ............................ 31
Математическая модель ................................................................................... 31
Решение без учёта трения ................................................................................ 35
Исследование амплитудно-частотной характеристики ................................ 38
Решение с учётом трения, пропорционального скорости ............................ 42
Численное решение при произвольном трении ............................................. 46
Вопросы по теме 4 ............................................................................................ 48
3
Тема 5. СИСТЕМЫ С НЕСКОЛЬКИМИ СТЕПЕНЯМИ СВОБОДЫ
(на примере двухмассовой системы) ............................................... 49
Математическая модель ................................................................................... 49
Частоты собственных колебаний .................................................................... 51
Динамический коэффициент при ударе ......................................................... 54
Амплитудно-частотная характеристика ......................................................... 56
Вопросы по теме 5 ............................................................................................ 59
Тема 6. ДИНАМИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ СТЕРЖНЕЙ
С РАСПРЕДЕЛЁННОЙ МАССОЙ. КРИТИЧЕСКИЕ ОБОРОТЫ
ВАЛОВ ................................................................................................ 60
Метод Фурье ...................................................................................................... 60
Частоты собственных продольных колебаний и удар однородного
стержня ............................................................................................... 60
Частоты собственных поперечных колебаний однородного стержня ........ 66
Критические обороты валов ............................................................................ 67
Вынужденные колебания (неоднородные стержни) ..................................... 68
Вопросы по теме 6 ............................................................................................ 69
Тема 7. ОСЕСИММЕТРИЧНЫЕ ЗАДАЧИ. ТОЛСТОСТЕННЫЕ ТРУБЫ
И БЫСТРОВРАЩАЮЩИЕСЯ ДИСКИ ......................................... 70
Постановка задачи и математическая модель ............................................... 70
Толстостенные трубы ....................................................................................... 72
Расчёт труб на статическую прочность .......................................................... 75
Иллюстрация явления концентрации напряжений ....................................... 78
Давление при запрессовке круглых деталей .................................................. 81
Расчёт быстровращающихся дисков ............................................................... 82
Численное решение интегрированием ........................................................... 85
Вопросы по теме 7 ............................................................................................ 87
Тема 8. ОБОЛОЧКИ. БЕЗМОМЕНТНАЯ ТЕОРИЯ ..................................... 88
Постановка задачи и математическая модель ............................................... 88
Вопросы по теме 8 ............................................................................................ 92
4
Тема 9. КРУГЛЫЕ ПЛАСТИНЫ. МОМЕНТНАЯ ТЕОРИЯ ....................... 93
Постановка задачи и параметры математической модели ........................... 93
Математическая модель ................................................................................... 95
Аналитическое решение ................................................................................... 99
Вопросы по теме 9 .......................................................................................... 101
Тема 10. ПОЛНАЯ МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ
УПРУГОДЕФОРМИРОВАННОГО ТЕЛА ................................... 102
Постановка задачи и параметры математической модели ......................... 102
Уравнения равновесия в напряжениях ......................................................... 103
Геометрические соотношения. Формулы Коши .......................................... 104
Физические соотношения. Обобщённый закон Гука .................................. 107
Полная модель. Граничные условия ............................................................. 108
Методы решения задачи ................................................................................. 110
Вопросы по теме 10 ........................................................................................ 115
Тема 11. ЭНЕРГЕТИЧЕСКИЕ ТЕОРЕМЫ И ИХ ПРИМЕНЕНИЕ
В ПРИБЛИЖЁННЫХ РАСЧЁТАХ ............................................... 116
Сущность метода ............................................................................................ 116
Потенциальная энергия деформации упругого тела ................................... 118
Вычисление перемещений в стержнях и стержневых системах
(Теорема Кастильяно, интеграл Мора) .......................................... 120
Вычисление локальной матрицы жёсткости
конечного элемента в МКЭ ............................................................ 121
Приближённое вычисление критических нагрузок по Эйлеру ................. 122
Вопросы по теме 11 ........................................................................................ 124
Тема 12. РАСЧЁТЫ НА ВЫНОСЛИВОСТЬ ............................................... 125
Общие положения ........................................................................................... 125
Характеристики цикла нагружения .............................................................. 126
Кривые усталости ........................................................................................... 127
Кривые выносливости .................................................................................... 130
Вычисление предельных значений напряжений ......................................... 131
5
Учёт факторов, влияющих на выносливость. Запас усталостной
прочности ......................................................................................... 133
Вопросы по теме 12 ........................................................................................ 136
Тема 13. РАСЧЁТЫ КОНСТРУКЦИЙ ......................................................... 137
Общие положения ........................................................................................... 137
Расчёт на прочность по методу допускаемых напряжений ....................... 138
Расчёт на прочность по методу предельных состояний ............................. 141
Расчёт на прочность по методу разрушающих нагрузок ........................... 142
Вопросы по теме 13 ........................................................................................ 145
Тема 14. РАСЧЁТЫ НА ТРЕЩИНОСТОЙКОСТЬ .................................... 146
Общие положения. Задача Гриффитса ......................................................... 146
Типы раскрытия трещин. Напряжённое состояние тела с трещиной ....... 150
Коэффициенты интенсивности напряжений ............................................... 152
Надёжность конструкций и допустимость повреждений ........................... 155
Вопросы по теме 14 ........................................................................................ 158
ЗАКЛЮЧЕНИЕ ............................................................................................... 159
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК ........................................................... 161
6
ПРЕДИСЛОВИЕ
Настоящее издание является логическим продолжением учебного пособия
З. Н. Соколовского, М. А. Федоровой «Сопротивление материалов. Основ-
ные вопросы» (Омск, 2022), в котором были рассмотрены основные положения о напряжённом и деформированном состоянии твёрдого тела, круг задач
расчёта прямых стержней при основных видах нагружения и методы их решения; приведены аналитические и численные расчёты стержней и стержневых
систем на прочность, жёсткость и устойчивость; предложены расчётные и контрольно-обучающие шаблоны в MS Excel.
В данном пособии, предназначенном для студентов, изучающих курс
«Сопротивление материалов» в учебном объёме 10 и более зачётных единиц, авторы обращаются к более сложным задачам: статики и динамики стержней с криволинейной осью, труб, пластин и оболочек, а также к вопросам выносливости
и трещиностойкости. Представленные материал даёт возможность расширить базовый уровень знаний и компетенций по дисциплине, научиться решать многие практические задачи аналитически или численно в MS Excel, не прибегая к специальным пакетам МКЭ. Предлагаются расчеты на выносливость и трещиностойкость.
В заключительных главах объясняются элементы теории упругости и сущность численных методов извлечения информации из математических моделей
твёрдого деформируемого тела.
Особенностью содержания и формы изложения материала является ориентация на численные методы расчётов – формулирование системы дифференциальных уравнений и краевых условий, описывающих напряжённое и деформированное состояние изучаемого объекта при принятых в «Сопротивлении материалов» допущениях и в виде, удобном для численного интегрирования в любом математическом пакете.
Пособие предназначено для студентов второго и третьего курсов механических специальностей и может быть полезно магистрантам и инженерам при
осуществлении проверочных расчётов и оптимизации.
7
Q+dQ
R
dα
dS
M+dM
N+dN
q
t
q
M
Q
N
Тема 1. ПЛОСКИЙ ИЗГИБ И РАСТЯЖЕНИЕ-СЖАТИЕ СТЕРЖНЯ
SR= ⋅α
ox
1
KR=
С КРУГОВОЙ ОСЬЮ
Рассмотрим особенности задачи. По аналогии с прямым стержнем [10]
получим основные уравнения и зависимости, заменив координату сечения z
на длину дуги
,
где R = const.
Аналитическое решение ввиду его громоздкости не показано, изучим
задачу только численно. Рассмотрим математическую модель.
УРАВНЕНИЯ РАВНОВЕСИЯ
Схема внутренних сил (продольные N, поперечные Q, изгибающие
моменты М) и нагрузок (распределённая радиальная qr и тангенсальная qt
погонная нагрузка) представлена на рис. 1. Выделен элемент длиной dS,
кривизна которого до нагружения
.
r
Рис. 1. Элемент стержня с криволинейной осью
под действием нагрузок
8
Проецируя все силы на оси в левом сечении недеформированного
t
NqRd NdN(QdQ)d 0− + ⋅ ⋅α+ + + + ⋅α=
r
QqRd QdQ(NdN)d 0− + ⋅ ⋅α+ + − + ⋅α=
M Q R d M dM 0,− − ⋅ ⋅ α+ + =
t
dN
QqR
d
=−− ⋅
α
r
dQ
NqR
d
=−⋅
α
dM
QR
d
= ⋅
α
стержня, а также составляя уравнения равновесия моментов относительно
оси правого сечения и пренебрегая малыми высших порядков, получаем:
,
,
откуда
, (1)
, (2)
. (3)
В формулах (1)–(3) погонная нагрузка задана в проекции на недефор-
мированную ось стержня.
ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ СООТНОШЕНИЯ
Параметры перемещений: w, v, φ – тангенциальное, радиальное пере-
мещение относительно недеформированного состояния и угол поворота
сечения соответственно. Схема перемещений представлена на рис. 2, где
дуга АВ до – нагружения, А1В1 – после.
9
w R d (w dw) (v dv) d R d 0,
+ ⋅α− + − + ⋅α− ⋅α=
v R d (v dv) (w dw) d 0.
− ⋅α⋅φ− + + + ⋅α=
dw
v
d
= −
α
dv
wR
d
= − ⋅ϕ
α
B1 B
A
1
A
φ
R
dα
w
v
w+dw
v+dv
Рис. 2. Элемент стержня с криволинейной осью
с указанными перемещениями
Проецируя замкнутый контур А-А1-В1-В-А на направления w и v
с учётом малости φ и dα, получаем:
После преобразования
ФИЗИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ
, (4)
. (5)
Ось стержня принята нерастяжимой. Поворот сечения для стержней
малой кривизны (R/h < 5) описывается теми же зависимостями, что и для
прямого стержня [10], т. е.
10