Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Сопротивление материалов. Дополнительные главы. Учебное пособие.pdf
Тема 4. СИСТЕМЫ С ОДНОЙ СТЕПЕНЬЮ СВОБОДЫ
m
AEl⋅
=δ
u
l
МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ
Податливость δ задаётся аналитически или численно (рис. 12).
Её определение не представляет труда даже в сложных конструкциях, так
как есть множество расчётных пакетов для статики.
Рис. 12. Значение податливости
для типовой конструкции
Мера инерции – масса или момент инерции массы также легко установить числено или экспериментально. Для многих типовых конструкций
перемещения (т. е. податливости) приводятся в справочниках.
Рассмотрим ещё один характерный пример – вал с массивным диском массой m и моментом инерции массы Jm посередине (рис. 13). Массой
вала пренебрегаем.
Рис. 13. Вал с массивным диском
Система имеет две независимые степени свободы – вертикальное перемещение и поворот в плоскости. Их независимость определяется тем, что
ввиду симметрии задачи поворот не вызывает перемещения и наоборот.
31
В первом случае мера инерции m, а податливость
3
l
48 E J
δ=
⋅⋅
4
22
A
R
4
l
12 E J
δ=
⋅⋅
l
z zl
2
1
M z 1z
2
<≤
=− ⋅ +⋅
P
3
M1
A M (Zc)
1 1ll 2l l
[ ][ ]2
EJ EJ 2 2 4 3 4 48 EJ
⋅
δ= = ⋅⋅⋅⋅⋅⋅=
⋅
1/2
1/2
1
l
М
=М
l/2
1/4
ц.т.
Zc=2/3·l/2
Во втором случае мера инерции
.
π⋅
,
а податливость
J t y dA t 0,25 m R
= ρ⋅ ⋅ ⋅ =ρ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅
∫∫
m
.
Значения податливостей легко вычисляются аналитически.
Заметим, что малейшая не симметрия в этой задаче приводит к си-
стеме с двумя степенями свободы (так как сразу прогиб вызывает поворот
мачты, а поворот – прогиб).
В качестве примера рассмотрим определение податливости методом
Верещагина.
Пример 1
Для схемы нагружения по рис. 14 изгибающий момент будет равен
,
а перемещения по Верещагину
.
Рис. 14. Схема нагружения к примеру 1
32
Пример 2
l
z zl
2
1
Mz1
l
<≤
=−⋅ +
1 1 l l 21 l
[ ][ ]2
EJ 2 2 2 3 2 12 EJ
δ= ⋅⋅⋅⋅⋅⋅=
⋅
1/l
1/l
l
МР – М
l/2
1/2
δ
P(t)
u
2
2
тр
dt
ud
mP
u
⋅++
δ
Для схемы нагружения по рис. 15 изгибающий момент будет равен
,
а перемещения по Верещагину
.
1
Рис. 15. Схема нагружения к примеру 2
В дальнейшем и для сокращения записей меру инерции будем обо-
значать m, а внешние нагрузки считать силами (рис. 16).
Рис. 16. Типовая схема для системы
с одной степенью свободы
33
Среди действующих сил, кроме внешних воздействий P(t) – силовое
2
2
du
m
dt
−⋅
2
тр
2
u du
P(t) P m 0
dt
−− −⋅ =
δ
2
тр
2
2
P
d u P(t)
u F(t)
mm
dt
+ω ⋅ + = =
2
1/( m)ω = δ⋅
1
f
2m
=
π⋅ δ⋅
'
00
du
u(0) u , (0) u
dt
= =
возбуждение, выделим внутренние:
− от упругого элемента u/δ;
− силы трения (сопротивления движению) Ртр;
− силу инерции
.
Сформулируем условие равновесия инерционного элемента
.
После преобразования
. (9)
В формуле (9) обозначено
, (10)
а далее показано, что это квадрат круговой частоты собственных колебаний, а сама частота
Гц.
Модель замыкается начальными условиями:
.
Вид уравнения (9) и его решение существенно зависят от силы
трения Ртр, которая в общем случае определяется свойствами среды и параметрами движения. При незначительном трении, величиной которого можно
34
пренебречь, и при трении, пропорциональном скорости, уравнение (9) ли-
2
2
2
d u P(t)
u F(t)
m
dt
+ω ⋅ = =
1
u
2
u
12
uu u= +
1
u A sin t B cos t= ⋅ ω+ ⋅ ω
2
u
1
m
ω=
δ⋅
нейно и имеет аналитическое решение.
Во всех остальных случаях (сухое трение, трение, зависящее от сте-
пени скорости и ускорения, и др.) возможно только численное решение.
Решение всегда приближенно, так как модель не полностью соответ-
ствует объекту. Важно правильно оценивать степень приближенности при
не учете некоторых факторов, что будет сделано ниже.
РЕШЕНИЕ БЕЗ УЧЁТА ТРЕНИЯ
Основное уравнение (9) принимает вид
. (11)
Решение состоит из суммы общего решения однородного уравнения
и частного решения уравнения с правой частью
, т. е.
. (12)
При этом, решая уравнение методом Эйлера, получаем
,
что легко можно проверить подстановкой в однородное уравнение, а частное
решение
ищем в виде правой части или методом вариации произвольных
постоянных.
Рассмотрим основные задачи динамики для этого случая.
Очевидно, что ω – круговая частота собственных колебаний, и исходя
из (10) она равна
что является решением первой основной задачи.
, (13)
35
Динамический коэффициент при ударе получим в двух вариантах.
23
1l2 l
l
EJ 2 3 3 E J
δ= ⋅ ⋅ ⋅ =
⋅⋅
du
(0) V
dt
=
A V/= ω
V
u sin t=⋅ω
ω
д max
V
Рu/= δ=
ω⋅δ
2
д
д
ст
Р
V Vm V
К
mg mg mg g
⋅ δ⋅
= = = =
⋅ ⋅ ⋅δ⋅ω ⋅ ⋅δ ⋅δ
ст
mgδ = ⋅ ⋅δ
V
l
EJ
m
1
l
M
Первый: удар с известной скоростью V при F(t) = 0 (рис. 17), где по-
датливость определяется по формуле
.
Рис. 17. Удар с известной скоростью тела
В этом случае для (12) u2 = 0, начальные условия: u(0) = 0,
, откуда B = 0,
и
.
Сила удара равна
, (14)
а коэффициент динамичности (отношение максимальной силы при ударе
к весу ударяющего тела) с учётом (14) равен
.
Здесь обозначено
щение от статического приложения веса ударяющего груза.
– статическое перемещение, т. е. переме-
36
Второй: удар груза, падающего с высоты H (рис. 18). Схема нагружения
3
l
48 E J
δ=
⋅⋅
V 2gH= ⋅⋅
F(t) m g / m g=⋅=
2
uC=
2
C g,ω⋅ =
2
2
g
uC= =
ω
2
g
u A sin t B cos t= ⋅ ω+ ⋅ ω+
ω
du
u(0) 0, (0) V
dt
= =
2
g
0B= +
ω
VA= ⋅ω
2
g
B = −
ω
V
A
=
ω
22
2 2 24 2
V g g Vg g
u sin t cos t sin( t )= ⋅ ω− ⋅ ω+ = + ⋅ ω+ϕ+
ω
ω ω ωω ω
Н
в этом случае подходит для рассмотренного ранее примера (см. рис. 14), где
при падении груза массой m в середину балки податливость равна
.
Рис. 18. Груз, падающий
на балку с высоты H
При этом скорость при ударе
,
.
Частное решение ищем в виде правой части (в нашем примере кон-
станта
). После подстановки в (13)
,
и решение задачи (12) будет в виде
. (15)
С учётом начальных условий:
, т. е.
,
.
Получаем
,
и, подставив в (15), запишем
37
.
a(t) = С·sinΩt
u(t)
m
2
2
dt
ud
m
)t
(au
⋅+
δ
−
δ
Откуда
2 2 22
max
2422 2
ст
V g g g V 2H
u (1 1 ) g m (1 1 )
g
⋅ω ⋅
= + + = ⋅+ + =⋅δ⋅⋅+ +
δ
ωωωω
д
max
д
P
u
K
mg mg
= =
δ
ст
2H
a(t) C sin t
=⋅Ω
P(t) 0=
Коэффициент динамичности
.
или
К11
=++
д
.
δ
Заметим, что при падении даже с нулевой высоты Кд = 2.
Решена вторая основная задача.
ИССЛЕДОВАНИЕ АМПЛИТУДНО-ЧАСТОТНОЙ ХАРАКТЕРИСТИКИ
Исследуем амплитудно-частотную характеристику (АЧХ) при перио-
⋅
дическом возмущении от вибрации основания
, с круговой
частотой Ω (кинематическое возбуждение); силовое возбуждение отсутствует, т. е.
(рис. 19).
Рис. 19. Схема нагружения для определения АЧХ
38
Уравнение равновесия для данного случая
2
2
u a(t) d u
m0
dt
−
+⋅ =
δ
2
22
2
du
u С sin t.
dt
+ω⋅ =ω⋅ ⋅ Ω
2
u D sin t=⋅Ω
2
u
sin tΩ
2
22
C
D
ω⋅
=
ω −Ω
2
2
22
С
u sin t
⋅ω
= ⋅Ω
ω −Ω
2
2max
д
22 2
2
u
1
К
C
1
ω
= = =
ω −Ω Ω
−
ω
Ω
η=
ω
с учётом (13) после преобразований запишем в виде дифференциального
уравнения
(16)
Частное решение в виде правой части ищем в виде
.
После подстановки
в (16) и сокращения на
получаем
,
.
Движение определяют вынужденные колебания, так как собственные
колебания быстро затухают.
Коэффициент динамичности – отношение амплитуды вынужденных
колебаний к амплитуде основания, определяется по формуле
.
С учётом, что отношение вынуждающей и собственной частот равно
,
39
коэффициент динамичности
д
2
1
K1=
−η
2
2,η≥
2
12
22
С
u u u A sin t B cos t sin t
⋅ω
= + = ⋅ ω+ ⋅ ω+ ⋅ Ω
ω −Ω
-10
-8
-6
-4
-2
0
2
4
6
8
10
0 0,2 0,4 0,6 0,8 1 1,2 1,4 1,6 1,8 2
K
д(η)
η
,
а их зависимость и есть амплитудно-частотная характеристика, или АЧХ
(рис. 20).
Рис. 20. АЧХ к схеме на рис. 19
Защита от вибраций наступает при
плитуда вибраций больше или равна возбуждению и возможен резонанс.
Резонанс наступает не мгновенно. Рассмотрим процесс подробнее.
Перемещение определяется зависимостью
40
когда [Кд] ≤ 1. До этого ам-
.