Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Сопротивление материалов. Дополнительные главы. Учебное пособие.pdf
При нулевых начальных условиях, где
du
u(0) 0, (0) 0
dt
= =
)
tsin
t(sin
С
u
2
2
2
ω⋅
ω
Ω
−Ω
⋅
Ω−
ω
ω
⋅=
Ω→ω
C
u (sin t t cos t)
2
= ⋅ Ω −Ω ⋅ Ω
2Tπ
Ω
C tt t
u (sin 2 2 cos2 )
2 TT T
= ⋅ π −π ⋅ π
-8
-6
-4
-2
0
2
4
6
8
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3
t/T
u/С
преобразований запишем
, после
.
При
получаем неопределённость типа 0/0. Раскрывая её по
правилу Лопиталя, имеем
.
Период вынужденных колебаний
=
,
и окончательно получаем перемещения при резонансе
.
Рис. 21. Развитие резонанса
41
График развития резонанса представлен на рис. 21. Если резонанс
/2π
д
t T, К
< <π
2
η≥
du
dt
к
2n
m
=
2
2
2
d u du
2n u f(t)
dt
dt
+ ⋅ +ω ⋅ =
t
ue
α
=
22
2n 0α + ⋅α+ω =
22
1,2
nnα =− ± −ω
n ω<
1,2 1
niα =− ± ⋅ω
2 22
1
nω=ω−
n ω>
1,2 1
nα =− ±ω
длится не более Т/2, то Кд <
, при
и т. д. Таким обра-
зом, виброзащита в одномассовой системе достигается при
ром разгоне до таких частот при запуске.
Решена третья задача динамики.
РЕШЕНИЕ С УЧЁТОМ ТРЕНИЯ, ПРОПОРЦИОНАЛЬНОГО СКОРОСТИ
Рассматривается случай, при котором сила трения пропорциональна
скорости и равна
Ртр = к·
.
и быст-
Обозначив
, из (9) получаем
. (17)
Общее решение однородного уравнения (17) ищем подстановкой Эй-
лера
, что приводит к характеристическому уравнению для α
,
решение которого
зависит от соотношения n и ω:
− колебательное при
− апериодическое при
и
и
42
, где
.
,
Реально трение относительно невелико, собственные колебания
nt
1 11
u e (A sin t B cos t)
−
= ⋅ ⋅ ω+ ⋅ ω
2
2
1
2
n
11ω = ω⋅ − = ω⋅ −β
ω
n
ω
1
ω <ω
β
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5
1
/ωω
имеют затухающий характер, и общее решение однородного уравнения
имеет вид
.
Рассмотрим основные задачи динамики, сравнивая решения задачи
с учётом и без учёта трения.
Круговая частота собственных колебаний определяется по формуле
,
где коэффициент демпфирования
β=
в естественных условиях не превышает 0,3 и только в специальных
устройствах (амортизаторы, устройство гашения колебаний в стрелочных
гальванометрах и т. п.) достигает 0,5. Поэтому решение задачи с учётом
трения (табл. 1) мало отличается от решения задачи без учёта трения
(частота собственных колебаний с трением меньше частоты без учёта трения)
:
Таблица 1
1,005 1,02 1,05 1,08 1,15
Таким образом, решение задачи без учёта трения практически точно,
так как погрешность лежит в пределах точности вычислений в сопротивлении материалов.
43
Учтём затухание колебаний при динамических воздействиях.
2
1
1
2
nt
1
nT
1
n(t T )
11
u (t) e
ee
u (t T )
e
β⋅ π
−
−β
−+
χ= = = =
+
β
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5
χ
1,94
4,08
9,52
25,65
85,02
2
1
21
nT /4
у
ee
β⋅π
⋅ −β
χ= =
β
у
χ
Коэффициент затухания вынужденных колебаний за период колеба-
ний равен
.
Определим значения коэффициента затухания вынужденных колебаний
для различных коэффициентов демпфирования (табл. 2) за один период:
Таблица 2
Как видно из таблицы, собственные колебания быстро затухают
и практически могут не учитываться при длительном динамическом процессе.
При ударе, который длится одну четвёртую периода, коэффициент затухания вынужденных колебаний равен
.
В табл. 3 приведены значения коэффициента затухания для различных коэффициентов демпфирования за четверть периода:
0,1 0,2 0,3 0,4 0,5
1,18 1,42 1,75 2,25 3,04
Таблица 3
44
Ударные нагрузки без учёта сопротивления рассчитываются с запасом
2
22
2
d u du
2n u С sin t
dt
dt
+ ⋅ +ω⋅ =ω⋅ ⋅ Ω
2
u A sin t B cos t= ⋅ Ω+ ⋅ Ω
2
2
22
( ) A 2n B C,
2n A ( ) B 0,
ω −Ω ⋅ − Ω⋅ =
Ω⋅ + ω −Ω ⋅ =
22
2 22 2 2
2 22 2 2
A C,
( ) 4n
2n
BC
( ) 4n
ω −Ω
= ⋅
ω −Ω + ⋅Ω
− ⋅Ω
= ⋅
ω −Ω + ⋅Ω
22
д
22 2 2
AB 1
К
C
(1 ) 4
+
= =
− η + β ⋅η
до 1,75. АЧХ с учётом трения не уходит в бесконечность при резонансе.
При кинематическом возбуждении
. (18)
Ищем частное решение в виде
.
После подстановки в (18) и приравнивания коэффициентов при сину-
се и косинусе получаем систему
решение которой
позволяет найти коэффициент динамичности
45
.
Рис. 22. АЧХ при различных значениях коэффициента демпфирования
д
К η
β
0,1β=
1, 40η>
0,2β=
1,35η>
0,3β=
1,30η>
u(0) 1=
du
(0) V(0) 0
dz
= =
тр
Р k m g signV=⋅ ⋅⋅
АЧХ –
при разных значениях
представлены на рис. 22. Защита
от вибраций наступает:
при
при
при
, если
, если
, если
;
;
и т. д.
ЧИСЛЕННОЕ РЕШЕНИЕ ПРИ ПРОИЗВОЛЬНОМ ТРЕНИИ
Численное интегрирование возможно при любом виде функции силы
трения Ртр. Рассмотрим в качестве примера сухое трение.
Пусть система выведена из равновесия начальным смещением
. При нулевой начальной скорости
сила трения
постоянна, противоположна направлению скорости движения и равна
где signV – знак скорости.
,
46
Тогда система (9) в приращениях
i1 i i
T 1/f 1= ≈
V V ( u k g signV ) t,
= − ω ⋅ − ⋅ ⋅ ⋅∆
i1 i i i
+
u u V t.
= + ⋅∆
+
2
Система легко интегрируется в Excel методом Эйлера. Результаты
интегрирования при собственной частоте f = 1 Гц и начальном смещении
1 м приведены на рис. 23.
круговая частота практически не меняется (
вид трения практически не влияет на частоту собственных колебаний.
Рис. 23. Зависимость перемещения от времени
Видно, что с увеличением k степень затухания растёт, а собственная
). Таким образом,
47
ВОПРОСЫ ПО ТЕМЕ 4
1. Что такое податливость и как она определяется?
2. Что является мерой инерции в задачах динамики?
3. Перечислите силы, которые действуют на конструкцию в динами-
ческих задачах.
4. По какой формуле определяется круговая частота собственных ко-
лебаний?
5. Что такое коэффициент динамичности?
6. По какой формуле определяется коэффициент динамичности в слу-
чае удара тела с определённой скоростью?
7. По какой формуле определяется коэффициент динамичности в слу-
чае удара груза, падающего с высоты?
8. Что такое АЧХ?
9. Запишите формулу, по которой определяется коэффициент демп-
фирования.
10. Запишите формулу, по которой определяется коэффициент зату-
хания.
48
Тема 5. СИСТЕМЫ С НЕСКОЛЬКИМИ СТЕПЕНЯМИ СВОБОДЫ
Р=1
m1 Р=1
11
δ
21
δ
12
δ
22
δ
m1 m2 m
(на примере двухмассовой системы)
МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ
Податливости δ11, δ
= δ21, δ
12
(рис. 24) определяются аналитически
22
или численно, этот расчёт не представляет трудности даже в сложных
конструкциях. Однако при численном расчёте податливостей погрешности вычисления могут существенно влиять на точность определения собственных круговых частот. Поэтому при интегрировании дифференциальных уравнений необходимо повышать настройку точности поиска решения, уменьшать шаг интегрирования и переходить от метода Эйлера к методам Рунге – Кутта.
2
Рис. 24. Двухмассовая система
Математическая модель n-массовой системы строится аналогично
двухмассовой. Поэтому ограничимся подробным рассмотрением только
двухмассовой модели. Как и выше, для сокращения записей будем считать
мерой инерции массы, а внешними воздействиями – силы. Сразу учтём
возможное кинематическое возбуждение.
Решение иллюстрируем на следующем тестовом примере (рис. 25).
49
3
11 22
X
3
12 21
X
4l
δδ ,
9 27 E J
7l
δδ .
18 27 E J
⋅
= =
⋅ ⋅⋅
⋅
= =
⋅ ⋅⋅
22
12
1 1 11 1 1 тр1 12 2 2 тр2
22
du du
u a (t) [P (t) m P ] [P (t) m P ]
dt dt
− =δ ⋅ − ⋅ − +δ ⋅ − ⋅ −
22
12
2 2 21 1 1 тр1 22 2 2 тр2
22
du du
u a (t) [P (t) m P ] [P (t) m P ]
dt dt
− =δ ⋅ − ⋅ − +δ ⋅ − ⋅ −
12
1 10 10 2 20 20
du du
u (0) u , (0) V ; u (0) u , (0) V
dt dt
= = = =
)t(u
2
)t(u
1
)t(a
2
(t)a
1
l/3
l/3
l/3
)t(P
2
)t(P
1
2тр
2
2
2
P
dt
ud
m +⋅
1тр
2
1
2
P
dt
ud
m +⋅
(19)
Рис. 25. Схема нагружения двухмассовой системы
Аналитическое решение для податливостей в данном примере (при-
водится без вывода, вывод предлагается на самостоятельную проработку)
следующее:
Для двухмассовой системы, вычисляя перемещения в каждом
направлении, получаем систему дифференциальных уравнений
которая совместно с начальными условиями:
,
,
составляет разрешающую систему уравнений. Нетрудно продлить модель
на n-массовую систему.
50