Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Сопротивление материалов. Дополнительные главы. Учебное пособие.pdf
РАСЧЁТ НА ПРОЧНОСТЬ ПО МЕТОДУ ПРЕДЕЛЬНЫХ СОСТОЯНИЙ
I IC
К lK
=σ π<
I
K
Этот метод применяется, в основном, при расчёте строительных кон-
струкций. Предельным называется такое состояние конструкции, при ко-
тором становится невозможной её дальнейшая нормальная эксплуатация.
В строительных нормах и правилах (СНиП) установлены три группы
предельных состояний.
Первая группа предельных состояний определяется потерей несущей
способности – прочности или устойчивости. Отличие расчёта от метода
расчёта на прочность по допускаемым напряжениям состоит в том, что применяется более гибкий подход к назначению необходимого запаса прочности. При этом вместо одного коэффициента запаса вводятся несколько:
− коэффициент надёжности по нагрузке,
− коэффициент надёжности по материалу,
− коэффициент условий работы.
Вторая группа предельных состояний определяется возникновением
чрезмерно больших деформаций или колебаний. Предельные нормы часто
не связаны с прочностью. Например, возникающие колебания и перемещения не сразу приводят к разрушению, но вызывают дискомфорт у персонала или нарушают управляемость машинного агрегата. В СНиП такие
нормы называют эстетико-психологическими.
Третья группа предельных состояний определяется образованием
и развитием трещин. Обнаруженные трещины и другие дефекты могут и не
привести к потере выносливости. Важно оценить степень их опасности.
Рост или не рост трещины длиной l при напряжении в зоне вершины σ
определяется из условия
,
где
– коэффициент интенсивности напряжений около вершины трещи-
ны при плоской деформации,
КIС – мера трещиностойкости материала (или коэффициент вязкости
разрушения при плоском деформированном состоянии).
141
Данные коэффициента относятся к дисциплине «Механика разруше-
u
Р
l
α
i
ния» и будут рассмотрены ниже.
Для материалов с малой вязкостью разрушения допускаются только
очень маленькие трещины.
Критические значения коэффициентов интенсивности напряжений КIС
находятся экспериментально. Методика их определения регламентируется
соответствующими стандартами и постоянно совершенствуется по мере
накопления фактической информации, в том числе при эксплуатации.
РАСЧЁТ НА ПРОЧНОСТЬ ПО МЕТОДУ РАЗРУШАЮЩИХ НАГРУЗОК
Для конструкции, изготовленной из материала с достаточно большой
площадкой текучести, за разрушающую принимают такую нагрузку, при
которой в элементах конструкции возникают значительные пластические
деформации. При этом конструкция становится неспособной воспринимать дальнейшее увеличение нагрузки.
Для конструкции, изготовленной из хрупкого материала, за разруша-
ющую принимается нагрузка, при которой хотя бы в одном из её элементов возникают напряжения, равные пределу прочности.
Исходя из этих принципов производится расчёт допускаемой нагруз-
ки при заданном её распределении и вычисляется запас.
Рассмотрим методику расчёта на характерном примере, схема кото-
рого показана на рис. 54.
Рис. 54. Стержневая конструкция под нагрузкой
142
Пусть все стержни площадью сечения А расположены симметрично
12 5
w (0) w (0) ...w (0) 0= = =
12 5
N (0) N (0) ...N (0)= =
2 22
i ii
uu
1 2 cos ( ) cos 1
ll
ε= + ⋅ α+ ⋅ α−
ii i
NEА=ε⋅ ⋅
ii
i
N cos P⋅ α=
∑
u
1
l
<<
i
ε
2
ii
u
cos
l
ε≈ ⋅ α
3
i
i
Pl
u
А E cos
⋅
≈
⋅⋅ α
∑
и соединены шарнирно, т. е. только растягиваются. На основе аналитического решения получим систему 10-го порядка, но поскольку
,
то решать придётся систему 5-го порядка с неизвестными
.
Объявим неизвестным вертикальное перемещение узла u (рис. 54).
Тогда относительное удлинение i-го стержня
,
продольная сила
и единственное разрешающее уравнение – условие равновесия в узле
нелинейно относительно u. Однако при
ном ряда Маклорена для
, с высокой степенью точности (более 0,2 %) по-
, ограничившись первым чле-
лучаем
, откуда
143
.
Усилия в стержнях
2
i
i
3
i
i
P cos
N
cos
⋅α
≈
α
∑
i т
N А=σ⋅
тi
i
[P] A cos=σ⋅ ⋅ α
∑
т
тi
i
P
n
A cos
=
σ⋅ ⋅ α
∑
в
3
вi
i
P
n
A cos
=
σ⋅ ⋅ α
∑
.
Метод позволил понизить порядок задачи с 5-го до 1-го.
При численном решении задачи линеаризация функции деформаций
не обязательна.
В примере на метод перемещений максимальные напряжения сначала
возникают в среднем стержне.
Для пластичного материала конструкция не способна воспринимать
некоторое увеличение нагрузки, если во всех стержнях напряжения достигнут предел текучести
,
,
.
Для хрупкого материала конструкция не работоспособна, когда
в среднем стержне напряжения станут равными пределу прочности и он
разрушится. В отличие от стержня из пластичного материала стержень из
хрупкого материала перестаёт воспринимать нагрузку. Нагрузка на
остальные стержни возрастает, и напряжения в них могут тоже достичь
предела прочности. Поэтому для надёжности принято считать допустимой
нагрузкой достижение предела прочности в одном стержне
.
144
ВОПРОСЫ ПО ТЕМЕ 13
1. Из каких расчётов определяют необходимые размеры сечений?
2. В чём суть расчёта на прочность?
3. Чем можно пренебречь при определении напряжений по полным
моделям?
4. В каких случаях проводят расчёт на статическую прочность?
5. Перечислите теории, по которым возможен расчёт эквивалентного
напряжения.
6. Поясните особенности расчёта на ограниченную и неограниченную
выносливость.
7. В чём суть расчёта на прочность по методу предельных состояний?
8. Дайте определение предельного состояния.
9. В чём суть расчёта на прочность по методу разрушающих нагрузок?
145
Тема 14. РАСЧЁТЫ НА ТРЕЩИНОСТОЙКОСТЬ
ОБЩИЕ ПОЛОЖЕНИЯ. ЗАДАЧА ГРИФФИТСА
Хрупкое разрушение связано с возникновением в материале трещин,
инициированных дефектами в структуре материала, состоянием поверхности в результате обработки или коррозии, действием повторнопеременных нагрузок (усталостные трещины) и т. п. Возникшие трещины
сначала развиваются во времени медленно, а потом – быстро. Рост трещин
со временем может происходить и при постоянной нагрузке.
Первые основополагающие исследования о развитии хрупких трещин
связывают с именем А. Гриффитса, который рассмотрел условия развития
единичной трещины в пластине бесконечных размеров и единичной толщины, находящейся в условиях одноосного растяжения (рис. 55).
При этом требовалось установить, при каком значении внешнего напряжения σ = σкр, приложенного к пластине на бесконечности, трещина
с начальной длиной 2l станет неустойчивой, т. е. начнет быстро распространяться при постоянном внешнем напряжении σ.
Рис. 55. Растяжение плоскости
с одиночной трещиной (задача Гриффитса)
Для расширения трещины нужно затратить некоторую работу на преодоление сил взаимодействия соседних слоев. Обозначим через γ работу,
необходимую для образования единицы новой поверхности. Тогда
146
поверхностная энергия Г рассматриваемой пластины, обусловленная об-
22
πσ l
WE=
(Г W) 0
δ+ =
Г (4 l) l 4 l
l
∂
δ = γ δ = γδ
∂
22 2
πσ l 2πlσ
δW ( )δl δl
lE E
∂
=−=−
∂
разованием трещины, будет равна
Г = 4γl. (79)
Значение γ (плотность поверхностной энергии) можно считать кон-
стантой материала. Ее определяют экспериментально.
Потенциальная энергия деформации W пластины в связи с образова-
нием в ней трещины уменьшается на величину
, (80)
представляющую собой разность потенциальных энергий деформации
пластины без трещины и с трещиной в виде вытянутого эллипса (рис. 55).
Исходя из закона сохранения энергии А. Гриффитс предложил сле-
дующую формулировку критерия разрушения: трещина начинает рас-
пространяться в том случае, когда при вариации её длины δl > 0 прира-
щение поверхностной энергии компенсируется соответствующим коли-
чеством потенциальной энергии деформации (полагают, что другие виды
энергии отсутствуют):
, (81)
где с учётом (79) и (80)
, (82)
Приращение поверхностной энергии δГ – величина положительная:
она характеризует увеличение внутренней энергии тела, в то время как
. (83)
147
приращение потенциальной энергии деформации δW – величина отрица-
2
πlσ
2γ0
E
−=
2Eγ
σ.
πl
=
2
2Eγ
σ
π(1 μ )l
=
−
тельная, так как эта часть энергии выделяется телом (благодаря релаксации напряжений в связи с появлением новых, свободных от нагрузки поверхностей тела). Подставляя (82) и (83) в (81), получаем
.
Отсюда находим
(84)
В случае плоской деформации (когда εz = 0) в формуле (84) следует
модуль упругости Е заменить на Е/(1 – μ2). Тогда
. (85)
Формулы (84), (85) определяют критическое напряжение, при котором происходит самопроизвольный (без дополнительной работы внешних
сил) рост имеющейся в теле трещины длиной 2l.
Теория Гриффитса не учитывает докритического роста трещины,
наблюдаемого экспериментально. Теория позволяет выразить хрупкую
прочность через физические и механические свойства материала, показывает, что максимальная разрушающая нагрузка имеет место не при возникновении трещины, а после достижения некоторых критических размеров. Это означает, что существуют безопaсные, неразвивающиеся трещины, которые, однако, могут перейти в опасные в результате определённых
причин, например, вследствие понижения температуры, возникновения
динамического воздействия, cтарения материалa и др.
Так как не каждая трещина представляет опасность, возможно создание надёжных методов защиты конструкций от хрупкого разрушения.
148
То есть можно по критическому значению длины трещины, с учётом ха-
эф
2Eγ
σπl=
рактера внешней нагрузки, ввести соответствующий запас на наличие
трещины, установить допуск на размер трещины, с которой деталь может
работать заданное время.
Теорию Гриффитса можно применять также для металлов и сплавов,
обладающих некоторой пластичностью.
Е. Орован и Д. Ирвин на основе концепции энергетического баланса
Гриффитса предложили дополнительно учесть энергию пластического
деформирования, введя в формулу (84) вместо истинной удельной поверхностной энергии γ эффективную поверхностную энергию
γэф = γ + γр, (86)
где γр – работа пластического деформирования при образовании единицы
поверхности.
Такой подход позволил перейти от идеального материала в схеме
Гриффитса к реальным металлическим материалам. Схема квазихрупкого
разрушения позволила перевести модель А. Гриффитса в разряд инженерных представлений, в которых трудно воспринимаемая величина поверхностной энергии тела заменяется на эффективную удельную энергию разрушения, доступную для экспериментального определения.
Опыты показывают, что для сталей γр ≈ 103γ. Следовательно, в (86)
можно пренебречь величиной γ и принять γэф ≈ γр. Таким образом, условие
квазихрупкого разрушения металлов принимает вид
.
Отметим, что использование энергетического критерия Гриффитса не
требует рассмотрения явлений, происходящих в малой окрестности конца
трещины. При его применении оперируют с величинами энергий и их разностями для всего тела в целом. Поэтому в общем случае энергетический
149
критерий разрушения является необходимым условием разрушения, но не
достаточным. Необходимое количество энергий разного вида может
присутствовать, но для реализации их взаимного перераспределения
наличие достаточного условия обязательно. Примером такого условия
может быть достижение напряжением у вершины трещины величины теоретической прочности.
ТИПЫ РАСКРЫТИЯ ТРЕЩИН. НАПРЯЖЁННОЕ
СОСТОЯНИЕ ТЕЛА С ТРЕЩИНОЙ
В зависимости от действия различных внешних нагрузок в механике
разрушения (теории трещин) выделяют три типа растрескивания, т. е.
смещения берегов трещины относительно друг друга (рис. 56).
разрыв сдвиг срез
Рис. 56. Типы растрескивания
При деформации растяжения (схема I) возникает трещина отрыва, когда её поверхности смещаются (расходятся) в направлениях, перпендикулярных к поверхности трещины (рис. 56). При деформации поперечного
сдвига (схема II) поверхности берегов трещины смещаются поперёк её передней кромки. При нагрузке по схеме III образуются трещины продольного сдвига, при котором точки поверхности трещины смещаются вдоль
её передней кромки. Очевидно, если на тело с трещиной действует произвольная нагрузка в области применимости закона Гука, на основании
принципа суперпозиции любое смещение берегов развивающейся трещины можно представить в виде суммы приведённых трёх типов смещений,
150