Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Сопротивление материалов. Дополнительные главы. Учебное пособие.pdf
т. е. сложный вид нагружения может быть представлен комбинацией трёх
х
l θ θ 3θ
σ σ cos 1 sin sin
2r 2 2 2
=⋅ ⋅ ⋅− ⋅
y
l θ θ 3θ
σ σ cos 1 sin sin
2r 2 2 2
=⋅ ⋅ ⋅+ ⋅
хy
l θ θ 3θ
τ σ sin cos cos
2r 2 2 2
=⋅⋅ ⋅ ⋅
(87)
σ
σ
r
у
х
σ
τ
θ
dх
dy
σ
описанных видов.
Наиболее опасным и распространённым в технике является первый
тип трещины, поэтому ограничимся рассмотрением напряжений в зоне
вершины трещины именно этого типа.
Рассмотрим задачу о трещине типа I (рис. 57). На рисунке изображена
бесконечная пластина, находящаяся под действием растягивающего напряжения σ, которое вызывается приложенными в бесконечности силами.
у
ху
х
Рис. 57. Трещина в бесконечной пластине
Нормальные напряжения, действующие на элементе dxdy, вычисля-
ются следующим образом [2]:
,
,
,
σz = 0 (плоское напряжённое состояние),
σz = μ (σx + σy) (плоская деформация).
151
Для других типов трещин также получены выражения для напряже-
ij ij
K
f()
2r
σ= θ
π
I
х
К θ θ 3θ
σ cos 1 sin sin
2 22
2πr
= ⋅ ⋅− ⋅
ний, аналогичные формулам (87). Приведённое решение в силу его простоты является одним из основных в механике разрушения.
КОЭФФИЦИЕНТЫ ИНТЕНСИВНОСТИ НАПРЯЖЕНИЙ
Процесс разрушения материала сосредоточен в малой окрестности
вершины трещины, где весьма высока концентрация напряжений, обусловленная малым радиусом закругления. Напряжённое состояние в этой
области при различных схемах нагружения на основе методов теории
упругости – формулы (87) можно в общем виде представить следующим
образом:
,
где i, j = x, у;
r и θ – полярные координаты с полюсом в вершине трещины;
fij – некоторая функция угла θ.
Величина К, зависящая от вида нагружения, величины нагрузки
и формы трещины, называется коэффициентом интенсивности напряже-
ний (размерность – сила/длина
3/2
). В зависимости от вида нагрузки
(см. рис. 56) коэффициенты интенсивности напряжений отмечают соот-
ветственно индексами I, II или III, т. е. КI, KII, K
III
.
Когда известен коэффициент КI, поле напряжений при вершине полностью определено. В частности, при плоском напряжённом состоянии
для нагрузки по схеме I формулы (87) имеют вид
;
152
I
y
K
θ θ 3θ
σ cos 1 sin sin
2 22
2
πr
= ⋅ ⋅+ ⋅
;
I
хy
K
θ θ 3θ
τ cos sin cos
22 2
2
πr
= ⋅⋅⋅
2
I
2K (1 μ) r θ 1 μ θ
u cos sin
E2π 21μ 2
+−
= +
+
2
I
2K (1 μ) r θ 2 θ
v sin cos
E2π 21μ 2
+
= −
+
Iy
θ0
r0
К lim 2πl σ (r,θ)
=
→
= ⋅
(88)
.
Перемещения u и v точек в направлении осей х и у соответственно
определяются формулами:
;
.
В случае плоской деформации, когда εz = 0, в формулах (88) следует
заменить (1–μ)/(1+μ) и 1/(1+μ) на величины (1–2μ) и (1–μ) соответственно.
Часто при расчётах бывает достаточно вместо рассмотрения самих
напряжений оперировать только коэффициентом КI. Отсюда можно сделать вывод об использовании коэффициента интенсивности напряжений
при построении критерия разрушения упругих тел с трещинами. Разработка методов отыскания значений этого коэффициента является важной
проблемой в механике развития трещин.
По определению коэффициент интенсивности напряжений около
вершины трещины при плоской деформации:
, (89)
что следует из анализа напряжённого состояния у вершины трещины. Так,
при растяжении пластины с трещиной длины 2l, расположенной посре-
153
дине ширины пластины, этот анализ позволяет установить выражение для
y
22 2
x lr
σσ σ
x l 2lr r
+
= =
++
I
К σ πl=
I
К σ πl=
II
К τ πl=
III
К τ πl=
нормального напряжения в сечении пластины в окрестности трещины:
,
где х – координата, отсчитываемая от середины трещины, r = х–l. У вершины трещины, при x→0, r→0, напряжения неограниченно возрастают по
величине. Подставляя эти значения в (89) и вычисляя предел, находим:
. (90)
Аналогично можно получить выражения для коэффициентов интенсивности напряжений KII и K
соответственно схемам нагружения II и III
III
(см. рис. 57). Таким образом, имеем:
,
,
.
При одинаковых коэффициентах интенсивности напряжений в различных телах с трещинами поля напряжений у вершин трещин будут одинаковыми. Это обстоятельство позволяет рассматривать коэффициент интенсивности напряжений КI как параметр, характеризующий напряжённое состояние у вершины трещины в зависимости от формы тела, размеров трещины,
способа нагружения. Именно это обстоятельство и позволило принять величину КI за критерий, определяющий начало роста трещины.
По Д. Ирвину в линейной механике разрушения [2]: трещина будет
распространяться тогда, когда величина коэффициента интенсивности
напряжений достигнет критического значения, характерного для данного
материала. Этот подход получил название силового.
154
Принятие величины КI за параметр, контролирующий рост трещины,
предполагает существование его предельного значения КIС, соответствующего началу неконтролируемого роста трещины. Таким образом, КIС
принимается за одну из характеристик материала.
Критерий развития трещин нормального отрыва имеет вид
КI = КIС.
Аналогично записывают два других критерия K
поперечного и продольного сдвига: КII = K
IIС
, К
= K
III
IIС
IIIС
и K
.
для трещин
IIIС
КIС есть мера трещиностойкости материала, его называют вязкостью
разрушения при плоском деформированном состоянии. Для материалов
с малой вязкостью разрушения допускаются только маленькие трещинки.
Критические значения коэффициентов интенсивности напряжений
находятся экспериментально. Методика их определения регламентируется
соответствующими стандартами.
НАДЁЖНОСТЬ КОНСТРУКЦИЙ И ДОПУСТИМОСТЬ ПОВРЕЖДЕНИЙ
Усовершенствование методов анализа напряжений в конструкциях
позволяет уменьшить коэффициенты запаса и, следовательно, повысить
уровень эксплуатационных напряжений. В результате вероятность развития трещины из раковины или другого разрыва сплошности повышается.
Использование современных высокопрочных материалов с относительно
низким сопротивлением росту трещины приводит к необходимости решать дополнительные задачи, связанные с быстрым ростом трещин в этих
материалах при уменьшении остаточной прочности. Если важна масса
конструкции, то коэффициенты запаса уменьшают ещё больше, и появление трещин становится более вероятным.
155
Экономика производства требует, чтобы эксплуатация конструкций
была надёжна в течение всего расчётного срока службы. В результате некоторой неточности при определении расчётных нагрузок, а также из-за
возможных небольших дефектов производства следует ожидать, что трещины возникают задолго до полного окончания срока службы. В материале некоторых конструкций (сильно нагруженные сечения, сварные швы) могут
содержаться начальные раковины, достаточно острые для того, чтобы вызвать разрушение сколом вскоре после начала эксплуатации конструкции.
Конструкция для обеспечения надёжности должна быть спроектиро-
вана с таким расчётом, чтобы способность её воспринимать значительные
нагрузки сохранялась даже при наличии трещин и разрушенных частей:
конструкция должна допускать повреждения.
Для обеспечения надёжности необходимо также, чтобы повреждение
можно было обнаружить прежде, чем оно достигнет опасного размера,
либо чтобы оно никогда не достигало опасного размера в течение всего
расчётного срока службы. Если конструкция отвечает этим требованиям,
то она определенно надёжна.
Надёжность конструкции подразумевает её достаточную устойчивость к повреждениям – такую, чтобы соблюдение мер предосторожности
обеспечило её надёжную эксплуатацию. Меры предосторожности заключаются в своевременных проверках на наличие трещин. Эти проверки
должны осуществляться на протяжении всего времени эксплуатации конструкции. Если наложено требование, чтобы начальное повреждение не
могло увеличиться до опасных размеров, то следует иметь гарантию того,
что начальное повреждение не превышает определённого максимального
размера: проверку следует проводить до начала эксплуатации конструкции. Если трещина, после того как она образовалась, может расти достаточно быстро, чтобы достигнуть опасного размера в течение срока службы, то проверку конструкции следует проводить периодически.
156
Очевидно, ни одно из средств механики разрушения, пригодных для
проектирования, не может считаться совершенным, хотя некоторые из них
были доведены до того уровня, на котором полученные с их помощью результаты можно считать достоверными.
При проектировании надёжной конструкции необходимо решить следующие задачи:
1) определение минимального размера трещины, при котором воз-
можно её обнаружение;
2) расчёт остаточной прочности конструкции с трещиной (трещинами)
и определение критической длины трещины при максимальной расчётной
нагрузке;
3) определение истории нагружения;
4) определение кривой распространения трещины от минимального
размера, при котором возможно её обнаружение, до её критической длины;
5) определение вероятных мест развития трещин;
6) надёжность проверки с учётом доступности исследуемых частей
конструкции.
Существуют инженерные методы решения всех приведённых задач,
однако эти решения имеют явные недостатки. Дополнительная трудность
может заключаться в том, что для использования той или иной процедуры
будет недостаточно экспериментальных данных, хотя сам по себе метод
пригоден для применения в инженерных приложениях.
В настоящее время существуют различные методики проверок: прямые (визуальный, красители, рентген и др.) и косвенные (ультразвуковой,
вихревые токи и др.). Оценивать методику проверки следует по степени её
эффективности. При определении наиболее полезной методики проверки
необходимо учитывать следующие факторы:
а) доступность применения;
б) чувствительность методики и минимальный размер трещины, при котором применение данной методики делает возможным её обнаружение;
в) частоту проведения проверок.
157
Долгое время надёжность проектируемых конструкций основывалась
на качественных суждениях инженера. В настоящее время стали возможными количественные расчёты, особенно по отношению к остаточной
прочности. Следует ожидать, что в дальнейшем будет улучшена методика
проведения подобных расчётов и в отношении процесса распространения
трещины.
ВОПРОСЫ ПО ТЕМЕ 14
1. Поясните процесс хрупкого разрушения.
2. О чём задача Гриффитса?
3. Какие типы растрескивания различают?
4. Что такое коэффициент интенсивности напряжений?
5. Запишите формулу по определению коэффициента интенсивности
напряжений около вершины трещины при плоской деформации.
6. Как определяется KIс?
7. Дайте определение надёжности.
8. Перечислите основные задачи, которые решаются при проектиро-
вании надёжной конструкции.
9. Какие методики проверки конструкций на определение наличия
трещин вам известны?
158
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
За дисциплиной «Сопротивление материалов» закрепился ярлык слож-
ной и трудной. В действительности вся «сложность» заключается лишь
в степени подготовки обучающегося по базовым дисциплинам: математике,
физике, теоретической механике, материаловедению. Студентам сложными
кажутся формулы, а непонятными – возможности их применения.
Задумывая учебное пособие, авторы ставили цель наглядно и доход-
чиво объяснить суть изучаемого предмета, показать, как знания по базовым дисциплинам при изучении проблем прочности и жёсткости интегрируются в практические расчёты.
Вся необходимая теоретическая информация была разделена на две ча-
сти, два учебных пособия. В первой части [10] рассматривались основополагающие формулы и определения «Сопротивления материалов», а также численные решения с применением компьютерной техники, предлагались задания для самостоятельного решения. Материалы пособия предварительно
многократно обсуждались на занятиях в основных потоках студентов механических специальностей и пользуются большим спросом.
Во второй его части пособия, являющейся продолжением и дополнением [10], освещаются вопросы, которые обычно предлагались студентам
на самостоятельную проработку из-за нехватки аудиторного времени. Это
динамические задачи; расчёт труб, пластин и оболочек, проблемы выносливости и трещиностойкости, которые имеют выраженный прикладной
характер. Все эти задачи рассматриваются на старших курсах обучения
в практических инженерных расчётах. При этом у старшекурсников возникают трудности с моделированием, пониманием степени достоверности
и точности получаемой информации. Их преодолению, по мнению авторов, способствует интеграция предлагаемого материала в математическую
модель объекта расчёта и умение сочетать аналитические и численные методы для извлечения необходимой информации.
Учебной литературы для изучения дисциплины «Сопротивление материалов» достаточно. Однако в этих источниках, как правило, подробно
159
освещаются лишь основные, базовые темы дисциплины. Дополнительные
темы либо не рассматриваются, либо объясняются очень кратко и сложно.
Для устранения этих недостатков был соответствующим образом подобран материал данного пособия. Математические модели задач в нём
формулируются в виде систем обыкновенных дифференциальных уравнений при соответствующих краевых условиях и в виде, удобном для численного решения. Последнее существенно облегчает использование современных расчётных алгоритмов и программ.
Авторы надеются, что изучение пособия превратится для читателя
в увлекательное занятие.
160