Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Основы стохастического анализа. Учебное пособие
.pdf
МИНИСТЕРСТВОНАУКИИВЫСШЕГООБРАЗОВАНИЯ
РОССИЙСКОЙФЕДЕРАЦИИ
Федеральноегосударственноеавтономноеобразовательное
учреждениевысшегообразования
«ЮЖНЫЙФЕДЕРАЛЬНЫЙУНИВЕРСИТЕТ»
Д.Б.Рохлин
ОСНОВЫСТОХАСТИЧЕСКОГОАНАЛИЗА
Учебноепособие
Ростов‐на‐Дону–Таганрог
ИздательствоЮжногофедеральногоуниверситета
2019
УДК519.216(075.8)
ББК22.171я73
Р79
Печатаетсяпорешению
кафедрывысшейматематикииисследованияопераций
Институтаматематики,механикиикомпьютерныхнаук
им.И.И.ВоровичаЮжногофедеральногоуниверситета
(протокол№7от12марта2019г.)
Рецензенты:
доктортехническийнаук,профессорА.Б.Усов;
докторфизико‐математическихнаук,профессорИ.В.Павлов
Р79
Рохлин,Д.Б.
Основыстохастическогоанализа:учебноепособие/Д.Б.Рохлин;
Южный Федеральный университет. – Ростов‐на‐Дону ; Таганрог :
ИздательствоЮжногофедеральногоуниверситета,2019.–190с.
ISBN978‐5‐9275‐3132‐5
Вданномпособии,котороеявляетсякраткимвведениемвстохастиче‐
скийанализ,отражены основысовременнойтеориивероятностей,теории
мартингаловимарковскихпроцессов,стохастическогоисчисления,атакже
рассмотренамодельБлэка‐Шоулза.
Публикуетсявавторскойредакции.
УДК519.216(075.8)
ББК22.171я73
ISBN978‐5‐9275‐3132‐5
©Южныйфедеральныйуниверситет,2019
©РохлинД.Б.,2019
Îãлавление
Введение 5
Список обозначений 8
1 Основы современной теории âåðîятностей 10
1.1 Ìîäåëü âåðîятностного ýêспериментà, óсловные âåðîятности . . . . . . 10
1.2 Случайные величины, интегрирование, õарактеðèñтические функции . 15
1.3 Ñõîдимость случайных величин . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
1.4 Óсловное математическîå îжидание . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
1.5 Ìåòîä Монте-Карло . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
1.6 Упражнения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
2 Мартингàëû è ìàðêовские процессы 50
2.1 Мартингàëû ñ дискретным временем . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
2.2 Мартингàëû ñ непрерывным временем . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
2.3 Ìàðêовские процессы: общие определения . . . . . . . . . . . . . . . . . 86
2.4 Фундаментальное уравнение äëÿ ìàðêовских процессов ñ дискретным
временем . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94
2.5 Броуновскîå äâèæåíèå è ãармонические ôóíêöèè . . . . . . . . . . . . . 102
2.6 Упражнения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106
3 Ñòîõàñòическîå исчисление 112
3.1 Процессы ограниченной вариации è семимартингàëû . . . . . . . . . . . 113
3.2 Конструкция è свойства ñòîõàñòè÷åñêîãî интеграла . . . . . . . . . . . 118
3.3 Квадратическàÿ вариация è квадратичåñêàÿ êовариациÿ . . . . . . . . . 124
3.4 Ðасширение класса интеграндов . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134
3.5 Формуëà Èòî . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137
3.6 Âåðîятностные представления решений уравнений Ïóассона è тепло-
проводности . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141
3.7 Ñòîõастические дифференциальные уравнения, ñòîõастическàÿ ýêñïî-
íåíòà . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145
3
4 Îãлавление
3.8 Âåðîятностные представления ðåшений параболических óðàâíåíèé ñ
переменными êоэффициентàìè . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148
3.9 Òеорема Гирсанова . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151
3.10 Упражнения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156
4 Ìîäåëü Áëýêà-Øîóëçà 162
4.1 Самофинансируåìûå портфели . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162
4.2 Арбитраж è мартингальные ìåðû . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165
4.3 Öåíû европейских опционов . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 168
4.4 Оптимальное инвестирование: мартингальный ïîäõîä . . . . . . . . . . 175
4.5 Оптимальное инвестирование: уравнение Ãамильòîíà-ßêоби-Беллмана 180
4.6 Упражнения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 184
Литература 186
Введение
Целью настоящего пособия являетсÿ краткîå введение â ñòîõастиче-
ñêèé анализ. Ðîëü ñòîõастическîãî анализа â современной ïрикладной
математикå äîñòаточно великà. Óêàæåì íà теорию ñòîõастическîãî îï-
тимального управления, финансовую математику, теорию ôèëüтрации,
теорию ñòîõастическîé аппроксимации, ìîделированиå различных ïðî-
цессов ñ помощью ñòîõастических дифференциальных уравнений. Èìå-
þòñÿ òàêæå ãлубокие связи между диффузионными процессами è óðàâ-
нениями â частных произвоäíûõ эллиптическîãî è параболическîãî òè-
ïîâ.
Пособие предназна÷åíî прежде всего äëÿ магистрантов Южного ôå-
дерального университетà, обучающихñÿ ïî специальности 01.04.01 ¾Ôóí-
даментальная математикà, ìåõàíèêà è математическîå ìîделирование¿.
Данное пособие ìîæåò áûòü ðåêомендовано òàêæå ñòóäåíòàì ñòарших
курсов áàêалавриатà, аспиранòàì è âñåì æелающим ознакомитьсÿ ñî
ñòîõастическим анализом. Äëÿ åãî изучения требуåòñÿ владение основа-
ìè математическîãî анализа, линейной алгебры, функционального àíà-
ëèçà, теории линейных уравнений â частных произвоäíûõ, ìåòîäîâ êî-
нечномерной оптимизации. Желательно çíàêомство ñ основными ïîíÿ-
тиями теории âåðîятностей.
Автор ñòаралсÿ придерживатьсÿ строгих формулировок математиче-
ñêèõ утверждений. Â íåêîòîðûõ случаях òàêèå утверждения ñîïðîâîæ-
даютсÿ äîêазательствами, помогающими ëó÷øå понять обсуждаемые ïî-
нятия. Â других случаях привоäÿòñÿ ëèøü иллюстрирующие примеры.
Ðàññматриâàåìûé êðóã вопросов äîñòаточно широк è обсуждение âñåõ
5
6 Введение
äåòàëåé èëè óãлубление â îäíó èç рассматриваемых òåîðèé привело áû
многократному увеличению размера ïособия.
 ãëàâå 1 привоäÿòñÿ íåîáõîдимые сведения èç теории âåðîятностей.
Äîêазательства íå ïðèâîäÿòñÿ, вместо этого âñå ââîдимые понятия, îáú-
åêòû è утверждения иллюстрируютсÿ примерами. Одним èç ãлавных
итогов изучения ýòîé ãëàâû должно ñòàòü свобоäíîå владениå техникîé
вычисления óсловных математических îжиданий. Â ãëàâå 2 рассматри-
ваютсÿ общие свойства мартингàëîâ è приемы работы ñ íèìè, à òàêæå,
весьма краткî, ìàðêовские процессы. Основным иллюстративным ïðè-
мером являетсÿ çàäà÷à î разорении. Òеория мартингàëîâ играет важную
ðîëü â ãëàâå 3, посвященной ñòîõастическîìó исчислению è занимающей
центральное место. Â íåé описаны, â частности, êонструкция ñòîõастиче-
ñêîãî интеграла è формуëà Èòî. Краткî рассмàтриваютсÿ òàêæå âåðîÿò-
ностное представление решений линейных эллиптических è параболиче-
ñêèõ уравнений, ñòîõастические дифференциальные уравнения, теорема
Гирсанова, теорема î представлении мартингàëîâ. Ýòîò материал íåîá-
õîäèì äëÿ понимания ðåçóëüòàòîâ ãëàâû 4, посвященной базовой ìîäåëè
финансовой математики. Здесь, â ðàìêàõ ìîäåëè Áëýêà-Øîóëçà, ðàñ-
сматриваютсÿ традиционные вопросы: óсловие безарбитражности ðûí-
êà, вычисление öåí платежных îáязательств, оптимальное инвестирова-
íèå. Â последнåì случае íàðÿäó ñ мартингальным ïîäõîäîì используют-
ñÿ традиционный ìåòîä динамическîãî ïрограммèрования, приводящий
ê уравнению Ãамильòîíà-ßêоби-Беллмана.
Каждой èç затронутых â ãлавах 1 4 теорий посвящена обширная ëè-
тература. Íåêоторые известные учебники, â êоторых рассматриваютсÿ
аналогичные вопросы, óêазаны â òаблице 1. Îíè íåñêîëüêî óсловно ðàç-
делены íà íàчальный è ïðîдвинутый уровень. Выбор ýòèõ учебникîâ
связан ñ личными âêóñàìè автора. Имеетсÿ ìíîæество других источ-
íèêîâ, перечислить êоторые íå представляетсÿ возмоæíûì. Èçëîæåíèå
â данном пособии áëèæå ê ïðîдвинутому уровню, òàê êàê åãî целевой
àóдиторией являютсÿ прежде всего ñòóденты магистратуры.
Автор выражàåò благодарность доценту êафедры вычислительной ìà-
тематики è математическîé физики Å. Â. Øèðяевой çà предоставленный
Введение 7
Íàчальный уровень Ïðîдвинутый уровень
Òеория âåðîятностей [4, 6, 18, 20] [1, 11, 17, 37]
Òеория мартингàëîâ [14, 15, 41] [2, 16, 32]
Òеория ìàðêовских процессов [7, 14, 24, 35] [2, 16, 30, 33, 40]
Ñòîõастическîå исчисление [8, 15, 19, 29, 39] [16, 26, 31, 32, 36]
Финансовая матемаòèêà [3, 19, 21, 39] [12, 26, 32]
Òаблица 1
LATEX-ìàêåò.
Данное пособие ïîäãîòîвлено ïðè ôèíансовой ïîääåðæêå Ðоссийскîãî
íàучного фонда (проект 17-19-01038).
Список обозначений
N,Z,Q,R
ìíîæества натуральных, целых, рациональных è âåùå-
ственных чисел соответственно;
Rn=
Q
n
i=1
R
;
ha, bi = a1b1+ ··· + anbn ñêалярное произведение;
kak2= ha, ai
;
Z+= {z ∈ Z : z ≥ 0},R+= [0, ∞),R
n
+
=
Q
n
i=1
R+;
a ∧ b = min{a, b},a ∨ b = max{a, b}
;
a+= max{a, 0},a−= max{−a, 0}
;
C
k
n
=
n!
(n−k)!k!
,
0! = 1
;
lim inf
n→∞an
= lim
n→∞
inf
k≥nak
нижний предел последовательности;
AT транспонированная матрица;
det(A)
определитель квадратной матрицы;
Ω
ìíîæество элементарных èñõîäîâ;
F , Hσ
-алгебры;
P, Q
âåðîятностные ìåðû;
Eξ,Dξ
математическîå îжидание è дисперсия случайной величиныξ;
Ac= Ω\A
дополнение ìíîæестваA;
IA(ω) =
(
1, ω ∈ A,
0, ω 6∈ A
индикàòîð ìíîæестваA;
W
броуновскîå äâèæåíèå;
V
ìíîæество непрерывных ïроцессов ограниченной вариации;
M
ìíîæество непрерывных мартинãàëîâ;
M
loc
ìíîæество непрерывных ëîêальных мартингàëîâ;
M2 ìíîæество непрерывных квадратично интегрируåìûõ мартингà-
8
Введение 9
ëîâ;
[X],[X, Y ]
квадратическàÿ вариация è квадратическàÿ êовариация;
L
ìíîæество процессов, траектории êоторых непрерывны слева è èìå-
þò êонечные пределы справа;
C
ìíîæество процессов ñ непрерывными траекториями;
H ◦ X
ñòîõастический интегралHïîX;
E (X)
ñòîõастическàÿ ýêспонентà семимартингàëàX.
Ãëàâà 1
Основы современной теории âåðîятностей
Öåëü данной ãëàâû состоит â òîì, ÷òî напомнить ключевые ïîíÿ-
òèÿ теории âåðîятностей: âåðîятностное пространство, независимость,
óñëовная âåðîятность, случайная величина, åå ðàñïределение è число-
âûå õарактеристиêè, êонструкция è свойства интеграла (математическî-
ãî îжидания), âèäû ñõîдимости случайных величин, õарактеристические
функции, óсловное математическîå îжидание è åãî свойства, óсловное
распределение. Äîêазательства íå привоäÿòñÿ, вместо этого âñå ââîäè-
ìûå понятия, объекты è утверждения иллюстрируютсÿ примерами. Ïðè
óñëîâèè àêòèâíîé работы ñ определениями, примерам è упражнениями
данный òåêñò ìîæåò áûòü èñïîльзован äëÿ первоначального çíàêомства
ñ предметом. Äëÿ более ãлубокî изучения теории ðåêомендуютсÿ ó÷åá-
íèêè [11, 18, 41]. Первый èç íèõ носит элементарный õарактер. Большое
число çàäà÷ (ñ решениями) ìîæíî найти â [6, 13, 14, 22]. Ðÿä примеров
è упражнений заимствован èç óêазанных источникîâ.
1.1 Ìîäåëü âåðîятностного ýêспериментà, óсловные âåðîÿò-
ности
 основе любых математических ìîделей, учитывающих случайные
факторы, лежит ìîäåëü âåðîятностного ýêспериментà. Ñîãласно системе
àêñèîì Колмогорова описание òàêîé ìîäåëè включает òðè объектà:
•
ìíîæествоΩвозмоæíûõ èñõîäîâ ýêспериментà (ìíîæество элемен-
10
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]