Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Основы стохастического анализа. Учебное пособие
.pdf
Ãëàâà 2. Мартингàëû è ìàðêовские процессы 61
ïî теореме Фубини. Ñ учетом неравенства (2.1.9) îòñþäà следуåò, ÷òî
E(X
∗
n
)2= 2
w
∞
0
P(X
∗
n
≥ a)a da ≤ 2
w
∞
0
E(XnI
{X
∗
n
≥a}
) da = 2EX
n
w
X
∗
n
0
da
= 2E(XnX
∗
n
) ≤ 2(EX
2
n
)
1/2
(E(X
∗
n
)2)
1/2
ïî неравенству Коши-Бунякîâñêîãî. Данное неравенство равносильно
(2.1.10).
Äëÿ вещественных чисел
a < b
введем последовательность моментов
îñòановки
τ1= inf{n ≥ 0 : Xn≤ a}, τ2= inf{n > τ1: Xn≥ b},
τ
2m−1
= inf{n > τ
2m−2
: Xn≤ a}, τ2m= inf{n > τ
2m−1
: Xn≥ b}.
Случайная величина
UN[a, b](X) =
(
0, τ2> N,
max{m : τ2m≤ N }, τ2≤ N
называетсÿ
÷èñëîì пересечений вверх
UN[a, b](X)
интервала
[a, b]
после-
довательностью
Xn,
n = 0, . . . , N
. Очевиднî, ÷òî
UN[a, b](X)
совпадает
ñ наибольшимk, äëÿ êоторого существуют
q1< r1< q2< r2< ··· < qk< rk≤ N
ñî следующим свойством:
X
q
i
≤ a, X
r
i
≥ b, i = 1, . . . , k.
(2.1.11)
Лемма 2.3
(лемма Äóáà î числе пересечений).ÅñëèX супермартин-
ãàë, òî
EUN[a, b](X) ≤
E(XN− a)
−
b − a
,
(2.1.12)
Доказательство.
Áóäåì рассматривать
Xn−X
n−1
êàê выигрыш íà øàãå
n
â íåêоторой азартной èãðå ïðè ñòàâêå â1рубль. Ïóñòüγ предскàçó-
åìûé процесс, описывающий размер ñòàâîê: â момент
n−1
игрок делает
ñòàâêó
γn. Òîãäà суммарный выигрыш послеkшагов равен
Yk=
k
X
n=1
γn(Xn− X
n−1
).
Ïóñòü
a < b
. Ðассмотрим следующую стратегию èãðû:
62 2.1. Мартингàëû ñ дискретным временеì
(1) äîæдатьсÿ ïîêàXñòàíåò меньшеa,
(2) играть, делая ñòàâêè â1рубль ïîêà
X ≤ b
,
(3) прекратить èãðó êàê толькîXñòàíåò большеb,
(4) перейти íà øàã (1).
Формально,
γ1= I
{X0<a}
,
γn= I
{γ
n−1
=1}I{X
n−1
≤b}
+ I
{γ
n−1
=0}I{X
n−1
<a}
, n ≥ 2.
ßñíî, ÷òî êàæäîå пересечение ââåðõ интервала
[a, b]
увеличивает çíà-
чение выигрышаYïî крайней ìåðå íà
b − a
. Ñòðîÿ нижнюю оценку
YN, нужно учесть òàêæå возмоæíîå падениеXíà последнем временнîì
интервале. Òàêèì образом,
YN≥ (b − a)UN[a, b](X) −(XN− a)−.
Ëåãêî видеть, ÷òî процессYявляетсÿ супермартингàëîì, поэтому
0 = Y0≥ EYN≥ (b − a)EUN[a, b](X) −E(XN− a)−,
ò.å. выполнено неравенство (2.1.12).
Полученная оценкà привоäèò ê ðåçóëüòàòàì î ñõîдимости мартингà-
ëîâ. Соответствующие рассуждения основаны íà следующем критерии
ñõîдимости.
Лемма 2.4.
×èñëîâàÿ ïîñледоватеëüíîñòü
Xnсходится âR, åñëè è
òîëüêî åñëè
supNUN[a, b](X) < ∞
äëÿ âñåõ
a, b ∈ Q,a < b
.
Доказательство.
Åñëè äëÿ íåêоторой ïàðû
a < b,a, b ∈ Q
верно, ÷òî
supNUN[a, b](X) = lim
N→∞
UN[a, b](X) = ∞,
òî существуют ïîдпоследовательности
X
q
i
< a < b < X
r
i
, i ∈ N.
Ãëàâà 2. Мартингàëû è ìàðêовские процессы 63
Следовательно,
lim inf
n→∞Xn
< lim sup
n→∞
Xn.
Наоборот, åñëè существуют
a, b ∈ Q
:
lim inf
n→∞
Xn< a < b < lim sup
n→∞
Xn,
òî ëåãêî построить последовательности
q1< r1< ··· < qn< rn< . . .
òàêèå, ÷òî
X
q
i
→ lim inf
n→∞Xn
,
X
r
i
→ lim sup
n→∞
Xnè выполнены íåðà-
венства (2.1.11).
Òеорема 2.9.
ПустьM ìàðòингал, îãðаниченный â
L1:
sup
n≥0
E|Mn| <
∞
. ÒîãäàMсходитсяRï.í., è
M∞= lim
n→∞Mn
∈ L1.
Доказательство.
Èç îãðаниченностиMâ
L1è ëåììû 2.3 вытекàåò, ÷òî
supNEUN[a, b](M) = lim
N→∞
EUN[a, b](M) < ∞.
Ïî теореме î монотонной ñõîдимости îòñþäà следуåò, ÷òî
lim
N→∞
UN[a, b](M) = supNUN[a, b](M) < ∞
ï.í.
äëÿ любых ôèêсированных
a < b
. Â ñèëó счетности ìíîæества
{a, b ∈
Q : a < b}
, существуåò
Ω0∈ FcP(Ω0) = 1
òàêîå, ÷òî
supNUN[a, b](M) < ∞
äëÿ âñåõ
a, b ∈ Q, a < bíàΩ0.
Ïî лемме 2.4 îòñþäà следуåò, ÷òîMñõîäèòñÿ ê расширенной случайнîé
величине
M졅
Ω0. Íî ïî лемме Ôàòó
E|M∞| ≤ lim inf
n→∞
E|Mn| < ∞.
Следовательно,
M∞∈ L1.
Пример 2.6.
Приведем другое äîêазательство òîãî, ÷òî, â обозна÷å-
íèÿõ примера 2.5, моментτпервого âûõîäà случайного блуждания
X
èç интервала
(−a, b)
êонечен ï.í. Заметим, ÷òî процесс
Xτявляетсÿ
ограниченным мартингàëîì è çíà÷èò ñõîäèòñÿ ï.í. Íà ìíîæестве
{τ =
∞}
данный процесс совпадает ñX. ÍîXíå ìîæåò ñõîдитьсÿ, òàê êàê
|X
n+1
− Xn| = 1
. Следовательно,
P(τ = ∞) = 0
.
64 2.1. Мартингàëû ñ дискретным временеì
Семейство случайных величин
(ξα)
α∈J
, ãäåJ любое ìíîæество èí-
äåêñîâ, называетсÿ
ðàâíîмерно интегрируеìûì
, åñëè
sup
α∈J
E|ξα|I
{|ξα|≥c}
→ 0, c → ∞.
Ëåãêî видеть, ÷òî åñëè семейство
(ξα)
α∈I
равномерно интегрируåìî, òî
îíî ограничено â
L1.
Лемма 2.5.
Любое èç ñледующих свойств влечет ðàâíîмерную èíòå-
грируемость:
• ξαðàâíîмерно îãðаничены:
|ξα| ≤ C
,
• ξαîãðаничены â
Lp:
sup
α∈I
E|ξα|p< ∞ñp > 1
,
• ξα= E(ξ|Hα)
, ãäå
ξ ∈ L1è
Hα некоторое ñåìåéñòâîσ-алгебр.
Äëÿ равномерно интегрируåìîé последовательности ñõîдимость ïî
âåðîятности равносильна ñõîдимости â
L1.
Òеорема 2.10.
Пусть
Xn, X ∈ L1(F )
. Ïîñледовательность
Xnñõî-
дитсяXâ
L1, åñëè è òîëüêî åñëè
X
n
P
→ Xè(Xn)
n∈Z
+
ðàâíîмерно
интегрируеìà.
Òеорема 2.9 ãарантируåò ëèøü ñõîдимость ï.í. Êàê ïîêазывает следу-
þùèé ðåçóëüòàò, ñõîдимость â
L1равносильна равномерной интегрируå-
мости мартингàëà.
Òеорема 2.11.
Äëÿ мартингалаMñледующие óñëîâèÿ эквивалентны:
(i)Mсходится â
L1ê некоторой ñлучайной âåличине
M∞,
(ii)Mдопускает ïðåдставлåíèå
Mn= E(M∞|Fn)cM∞∈ L1,
(iii)Mðàâíîмерно интегрируеì.
Доказательство.
(i)
=⇒
(ii). ÏîñêолькуMявляетсÿ мартингàëîì, òî
E(MnIA) = E(MkIA), A ∈ Fn, n < k.
Èç ñõîдимости
Mkê
M∞â
L1следуåò, ÷òî
E(MnIA) = E(M∞IA),
Ãëàâà 2. Мартингàëû è ìàðêовские процессы 65
ò.å. выполнено (ii).
(ii)
=⇒
(iii). Вытекàåò èç леммы 2.5.
(iii)
=⇒
(i). Èç ðàвномеðíîé интегрирóемости вытекàåò ограничен-
ность â
L1. Ïî теореме 2.9 îòñþäà следуåò, ÷òî
Mnñõîäèòñÿ ï.í. Íî
òîãäà, ïî теореме 2.10,
Mnñõîäèòñÿ â
L1.
Доопределяя равномерно интегрируåìûé мартингàë
(Mn)
n∈Z
+
çíà÷å-
íèåì
M∞= lim
n→∞Mn
, получаем мартингàë íà
Z+:
Mk= E(Mn|Fk), k, n ∈ Z+.
Äëÿ равномерно интегрируåìûõ мартингàëîâ теорема î свобоäíîì
выборе верна áåç предполоæåíèÿ îá ограниченности ìîìåíòîâ îñòàíîâ-
êè.
Òеорема 2.12.
ПустьM ðàâíîмерно èíòåгрируеìûé мартингал íà
Z+è
τ1≤ τ2 ìîменты остановки. Òîãäà
E(M
τ
2
|F
τ
1
) = M
τ
1
.
Доказательство.
Ñíà÷àëà ïîêàæåì, ÷òî
E(M∞|Fτ) = M
τ
(2.1.13)
äëÿ любого моментà îñòановки. Ïðè
τ = n
данное равенство верно ïî
теореме 2.11. Äëÿ
A ∈ Fτверно равенство
E(E(M∞|Fτ)I
{τ=n}
IA) = E(E(M∞I
{τ=n}
IA|Fτ)) = E(M∞I
A∩{τ=n}
)
= E(MnI
A∩{τ=n}
).
(2.1.14)
Здесь использовано, ÷òî
{τ = n} ∈ Fτ(ïî лемме 2.2), è
A∩{τ = n} ∈ F
n
ïî определению
Fτ. Последнее равенство â (2.1.14) ìîæíî переписать
òàê:
E(M∞I
{τ=n}
IA) = E(MnI
{τ=n}
IA).
Ýòî îçíà÷àåò, ÷òî
E(M∞I
{τ=n}
|Fτ) = E(M∞|Fτ)I
{τ=n}
= MnI
{τ=n}
.
Суммируÿ ïî
n ∈ Z+, получаем (2.1.13).
66 2.1. Мартингàëû ñ дискретным временеì
B сочетàíèè ñ формуëîé последовательного óсреднения, èç (2.1.13)
следуåò, ÷òî
M
τ
1
= E(M∞|F
τ
1
) = E(E(M∞|F
τ
2
)|F
τ
1
) = E(M
τ
2
|F
τ
1
).
Îêазываетсÿ, ÷òî âðåìÿ достижåíèÿ случайíûì блужданием любого
ôèêсированного уровня êонечно ï.í. Íî åãî îжидаемое çíàчение áåñêî-
нечно.
Пример 2.7.
Äëÿ случайного блужданияXèç примера 2.5 ïîëîæèì
τb= inf{n ≥ 0 : Xn≥ b}, b ∈ N.
Имеем,
P(τb< ∞) = 1,Eτb= ∞
.
Доказательство.
Моментτ, введенный â ïримере 2.5, ìîæíî предстà-
âèòü â âèäå
τb∧ τ−a. ßñíî, ÷òî åñëè
X
τb∧τ
−a
(ω) = b
, òî
τb(ω) < ∞
. Èñ-
пользуÿ соответствующее равенство (2.1.4), íàõîäèì
P(τb(ω) < ∞) ≥ P(X
τb∧τ
−a
(ω) = b) =
a
b + a
.
Перехîäÿ ê пределу ïðè
a → +∞
, заключаем, ÷òî
P(τb< ∞) = 1
.
Далее, åñëè
Eτb< ∞
, òî èç равенства (2.1.5) вытекàåò, ÷òî
EX
2
τb∧m
≤ Eτb< ∞.
Íî òîãäà îñòановленный мартингàë
X
τ
b
= (X
τb∧m
)
∞
m=0
равномерно èíòå-
грируåì è, ïî теореме 2.12,
EX
τ
b
= EX0= 0.
(2.1.15)
Однакî, ýòî невозмоæíî, òàê êàê
X
τ
b
= 1
ï.í.
Противоречие â равенстве (2.1.15) ïîêазывает òàêæå, ÷òî óсловие ðàâ-
номерной интегрируемости â теореме 2.12 существенно.
Предельный перехîä ïî расширÿþùåéñÿ последовательностиσ-алгебр
вычисляетсÿ â следующей теореме Ëåâè.
Òеорема 2.13.
Пусть
ξ ∈ L1. Òîãäà ðàâíîмерно интегрируеìûé ìàð-
тингал
E(ξ|Fn)
сходится ê
E(ξ|F∞)âL1ïðè
n → ∞
.
Ãëàâà 2. Мартингàëû è ìàðêовские процессы 67
Доказательство.
 ñèëó теоремы 2.11
Mn= E(ξ|Fn)
ñõîäèòñÿ ê
M∞â
L1. Нужно ëèøü äîêазать, ÷òî
M∞= E(ξ|F∞)
.
Очевидно, ÷òî äîñòаточно рассмотреть случай
ξ ≥ 0
. Ìåðû
µ(A) := E(E(ξ|F∞)IA), ν(A) := E(M∞IA)
совпадают íà алгебре
∪
∞
n=0
Fn, òàê êàê äëÿ
A ∈ Fnимеют место равен-
ñòâà
µ(A) = E(ξIA), ν(A) = E(MnIA) = E(E(ξ|Fn)IA) = E(ξIA).
Ïî теореме î монотонном классе, примененной êπ-системе
I = {A : A ∈
∪
∞
n=0
Fn}
è семействуHограниченных
F∞-измеримых функций, îòñþäà
следуåò, ÷òîµèνсовпадают íà
F∞= σ (∪
∞
n=0
Fn)
, ò.å.
E(E(ξ|F∞)IA) = E(M∞IA), A ∈ F∞.
Òàêèì образом,
E(ξ|F∞) = M∞.
Пример 2.8.
Закон 0 èëè 1 Êîëмогорова.
Ïóñòü
(ξn)
∞
n=1
последова-
тельность независимых случайных величин. Ðассмотрим ¾хвостовую¿σ-
алгебру
G = ∩
∞
n=1
σ(ξn, ξ
n+1
, . . . ).
Åñëè
F ∈ G
, òî
P(F ) = 0
èëè
P(F ) = 1
.
Доказательство.
Заметим, ÷òî
F ∈ G
íå зависит îò
Fn= σ(ξ1, . . . , ξn)
.
Ðàññмотриì равномерно интегрируåìûé мартиíãàë
Mn= E(IF|Fn) = E(IF) = P(F ).
Ïî теореме Ëåâè,
M∞= E(IF|F∞) = P(F ).
Íî
G ⊂ F∞. Следовательно,
IF
F∞-измерима è
IF= P(F )
ï.í. Îò-
ñþäà вытекàåò, ÷òî
IF= 0
èëè
IF= 1
ï.í.
Например, åñëè
ξnнезависимы, òî событие
A =
(
∞
X
k=1
ξkñõîäèòñÿ)=
(
∞
X
k=n
ξkñõîäèòñÿ)∈ σ(ξn, ξ
n+1
, . . . )
68 2.1. Мартингàëû ñ дискретным временеì
принадлежит
G = ∩
∞
n=1
σ(ξn, ξ
n+1
, . . . ).
Поэтому, ñîãласно çàêîíó 0 èëè 1
Колмогорова, ðÿä
P
∞
k=1
ξkñõîäèòñÿ èëè ðàñõîäèòñÿ ñ âåðîятностью1.
Îáðащенным мартингалоì
называетсÿ ñîãласованный ñ ôèëüтраци-
åé
(Fn)
n∈Z
−
процесс
(Mn)
n∈Z
−
,
Z−:= −Z+ñî следующими ñâойствамè:
Mn∈ L1,
M
n−1
= E(Mn|F
n−1
), n ∈ Z−.
Òеорема 2.14.
Äëÿ îáðащенного мартингалаMсходимость
M−∞= lim
n→−∞
M
n
имеет место ï.í. è â
L1.
Доказательство.
Обозна÷èì через
U−N[a, b](X)
число пересечений ââåðõ
интервала
[a, b]
последовательностью
(Mn)
0
n=−N
. Ïî лемме 2.3 è теореме
î монотонной ñõîдимости справедлива оценкà
E supNU−N[a, b](X) = lim
N→∞
EU−N[a, b](X) ≤
E(X0− a)
−
b − a
.
Ïî ëåììå 2.4 îòñþäà следуåò, ÷òî
Xnñõîäèòñÿ ï.í. âRïðè
n → −∞
. Èç
равномерной интегрируемости
Mn= E(M0|Fn),n ∈ Z−вытекàåò êîíå÷-
ность
M−∞è òîò ôàêò, ÷òî ñõîдимость имеет место â
L1(ñì. теорему
2.10).
Пример 2.9.
Óсиленный закон áîльших ÷èñåë.
Ïóñòü
(ξn)
∞
n=1
после-
довательность независимых îдинакîâî распределенных интегрируåìûõ
случайных величин. Òîãäà
S
n
n
→ Eξ1ï.í. è â
L1,
ãäå
Sn=
n
X
i=1
ξi.
Доказательство.
Ðàññмотриì последовательностьσ-алгебр
G−n= σ(Sn, S
n+1
, . . . ) = σ(Sn, ξ
n+1
, ξ
n+2
, . . . ).
Ðавенство
E(ξk|G−n) = E(ξ1|G−n), k = 2, . . . , n
Ãëàâà 2. Мартингàëû è ìàðêовские процессы 69
верно èç соображåíèé симметрии. Суммируÿ ýòè равенства, íàõîäèì
Sn= E(Sn|G−n) =
n
X
k=1
E(ξk|G−n) = nE(ξ1|G−n).
Òàêèì образом,
S
n
n
= E(ξ1|G−n)
ñõîäèòñÿ ï.í. è â
L1ïî теореме 2.14. Ïî çàêîíó 0 èëè 1 Колмогорова
lim
n→∞Sn
/n = c
ï.í. äëÿ íåêоторой êîíñòàíòûc. Ïðè ýòîì
c = E lim
n→∞
Sn/n = lim
n→∞
E(Sn/n) = Eξ1.
2.2 Мартингàëû ñ непрерывным âðåìåíåì
Ïóñòü имеетсÿ ôèëüтрованное âåðîятностное пространство
(Ω, F , P, (Ft)
t∈R
+
).
Ñîãласованный ñ ôèëüтрацией
F = (Ft)
t∈R
+
случайный процесс
X =
(Xt)
t∈R
+
,
E|Xt| < ∞
ñ непрерывными траекториями
t 7→ Xt(ω)
, называ-
åòñÿ
•
мартингалоì
, åñëè
E(Xt|Fs) = Xs,
•
ñóáмартингалоì
, åñëè
E(Xt|Fs) ≥ Xs,
•
супермартингалоì
, åñëè
E(Xt|Fs) ≤ X
s
ïðè
s < t
.
Обозна÷èì через
X
∗
t
= sup
0≤s≤t
Xsпроцесс ìàêсимума. Ìàêсималь-
íûå неравенства Äóáà (2.1.9), (2.1.10) обобщаютсÿ íà случай непрерыв-
íîãî времени. Áóäåì говорить, ÷òî процессXнепрерывен, åñëè åãî òðà-
ектории
t 7→ Xtнепрерывны.
Лемма 2.6.
ПустьX неотрицательный непрерывный ñóáмартин-
ãàë. Òîãäà
Psup
0≤t≤T
Xt≥ a≤
EX
T
a
, a > 0.
(2.2.1)
Åñëè, êðîìå òîãî,
E|XT|2< ∞
, òî
E(X
∗
T
)2≤ 4EX
2
T
.
(2.2.2)
70 2.2. Мартингàëû ñ непрерывным временем
Доказательство.
Ïîëîæèì
Dn= {iT /2n: i = 0, . . . , 2n}
è рассмîòðèì
неубывающую последовательность ìíîæåñòâ
An=sup
t∈D
n
Xt> a, An⊂ A
n+1
.
ßñíî, ÷òî
Psup
0≤t≤T
Xt> a= lim
n→∞
P(An).
Применяя теорему 2.7 ê субмартингàëó
(Xt)
t∈D
n
, íàõîäèì
P(An) ≤ Psup
t∈D
n
Xt≥ a≤
EX
T
a
.
Оценкà (2.2.1) получаетсÿ следующим образом:
Psup
0≤t≤T
Xt≥ a= P
∞
\
n=1
sup
0≤t≤T
Xt> a − 1/n
!
= lim
n→∞
Psup
0≤t≤T
Xt> a − 1/n≤ lim
n→∞
EX
T
a − 1/n
=
EX
T
a
.
Óñòановим неравенство (2.2.2). Ðассмотрим неубывающую последо-
вательность случайных величин
Yn= sup
t∈D
n
Xt. Применяя теорему î
монотонной ñõîдимости è неравенство (2.1.10), íàõîäèì
(X
∗
T
)2= lim
n→∞
EY
2
n
≤ 4EX
2
T
.
Случайный процесс
(Wt)
t≥0
называетсÿ
броуновским движениеì
(èëè
винеровским процесñîì
) относительно ôèëüтрацииF, åñëè
(a)
W0= 0
ï.í.,
(b)
Wt− Wsíå зависит îò
Fs,
t > s
,
(c)
Wt− Wsимеет нормальное распределение
N(0, t)
ñî средним0è
дисперсиейt:
P(Wt− Ws∈ (a, b)) =
1
√
2πt
w
b
a
e
−x2/(2t)
dx,
(d)Wнепрерывен.
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]