Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Основы стохастического анализа. Учебное пособие
.pdf
Ãëàâà 3. Ñòîõастическîå исчисление 151
Êàê è â примере 3.11, применим данную формуëó â области
[0, T ) × R
,
ãäå функцияvявляетсÿ ãëàäêîé:
e
−rs
v(s, X
t,x
s
) = e
−rt
v(t, x) +
w
s
t
e
−ru
σ(X
t,x
u
)vx(u, X
t,x
u
)dWu, s ∈ [t, T ).
Ïîëîæèì формально
s = T
, âîñïользуåìñÿ граничным óсловием è áóäåì
ñ÷èòàòü, ÷òî ñòîõастический интеграл являетсÿ мартингàëîì. Вычис-
ëÿÿ математическîå îжидание, получаем представление (3.8.4). Строгое
обоснование данных действий провоäèòñÿ òàê æå, êàê â примере 3.11.
3.9 Òåорема Гирсанова
Ïóñòü íà измеримом пространстве
(Ω, F )
заданы âåðîятностные ìå-
ðû
P, Q
. Данные ìåðû называютсÿ
эквивалентными
(обозначение
P ∼
Q
), åñëè îíè имеют îдинакîâûé запас íóлевых ìíîæåñòâ:
P(A) = 0 ⇐⇒ Q(A) = 0, A ∈ F .
Òеорема 3.26
(Ðадона-Никîäèìà).Пусть
Q ∼ P
. Òîãäà существует
F
-измеримая ñлучайная âåличинаξтакая, ÷òî
EPξ < ∞, ξ > 0 P
-ï.í.
Q(A) = EP(ξIA), A ∈ F .
(3.9.1)
Óêазанная â теореме 3.26 случайная âåëичинаξназываетсÿ
плотно-
ñòüþ
èëè
производной Ðадона-Никодима
ìåðûQотносительноP. Äëÿ
íåå используåòñÿ обозначение
ξ =
dQ
dP
.
(3.9.2)
Полагàÿ â (3.9.1)
A = Ω
, заключаем, ÷òî
EPξ = 1
. Ñ другой стороны,
åñëè
ξ > 0 P
-ï.í. è
EPξ = 1
, òî ìîæíî ввести âåðîятностную ìåðóQïî
формуëå (3.9.1), èξáóäåò плотностьюQотносительноP.
Ðавенство (3.9.1) ìîæíî записать â формальнî более общей, íî íà
самом äåëå эквивалентной ôîðìå
EQX = EP(Xξ),
152 3.9. Òеорема Гирсанова
ãäåX ограниченная (èëè неотрицательная)F-измеримая функция.
Естественность обозна÷åíèÿ (3.9.2) видна èç интегральной формы записи
данного равенства:
w
X dP =wX
dP
dQ
dQ.
ßñíî òàêæå (óïð. 3.35), ÷òî
1
ξ
=
dQ
dP
.
(3.9.3)
Ðàññìîòðèì ôèëüòðàöèþ
(Ft)
t∈[0,T ]
. Ïóñòü âåðîятностные ìåðû
P, Q
эквивалентны íà
FT. Обозна÷èì через
Pt,
Qtèõ ñóæåíèÿ íàσ-алгебру
Ft. ВведемP-мартингàë
(Zt)
0≤t≤T
:
ZT= dQ/dP, Zt= EP(ZT|Ft).
(3.9.4)
Имеет место равенство
dQt/dPt= Zt, 0 ≤ t ≤ T.
(3.9.5)
Действительно, ïóñòü
A ∈ Ft, òîãäà
Qt(A) = Q(A) = EP(ZTIA) = EP(ZtIA) = E
P
t
(ZtIA).
Ýòî îçíà÷àåò, ÷òî верно равенство (3.9.5). Мартингàë (3.9.4) называетсÿ
процессоì плотности
ìåðûQотносительноP. Заметим, ÷òî åãî траек-
тории íå îáязаны áûòü непрерывными.
Ëåãêî òàêæå видеть, ÷òî любойP-мартингàëZ, óдовлетворяющий
óсловиям
EPZT= 1, ZT> 0 P
-ï.í.
,
являетсÿ процессом плотности эквивалентной ìåðû
Q(A) := EP(IAZT), A ∈ F
T
(3.9.6)
относительноP:
dQt/dPt= Zt,
0 ≤ t ≤ T
.
Лемма 3.8
(формуëà Байеса).ПустьPèQэквивалентны íà
FTè
(Zt)
t∈[0,T ]
является процессоì плотностиQотноситеëüíîP. Òîãäà äëÿ
îãðаниченной (èëè неотрицательной)
FT-измеримой ñлучайной âåëè-
÷èíûXñïðаведливы ðàâåнства
EQ(X|Ft) =
EP(ZTX|Ft)
Z
t
, t ∈ [0, T ].
(3.9.7)
Ãëàâà 3. Ñòîõастическîå исчисление 153
Доказательство.
Ïóñòü
At∈ Ft. Òîãäà
EQ(XI
A
t
) = EP(ZTXI
A
t
) = E
P
EP(ZTX|Ft)
Z
t
I
A
t
Z
t
= E
P
EP(ZTX|Ft)
Z
t
I
A
t
Z
T
= E
Q
EP(ZTX|Ft)
Z
t
I
A
t
.
Ïî определению óсловного математическîãî îжидания ýòî îçíà÷àåò, ÷òî
верно равенство (3.9.7).
Лемма 3.9.
 óñловиях ëåììû
3.8
процессMявляется мартингалоì
(соотв., локальным мартингалоì) относитеëüíîQ, åñëè è òîëüêî åñëè
процесс
ZM
является мартингалоì (соотв., локальным мартингалоì)
относитеëüíîP.
Доказательство.
Äîêàæåì утверждение леммы äëÿ мартингàëîâ. Ñëó-
÷àé ëîêàëüíûõ мартингàëîâ предлагàåòñÿ рассмотреть â óïð. 3.36. Åñëè
M
являетсÿQ-мартингàëîì, òî ïî формуëå Байеса
Ms= EQ(Mt|Fs) =
EP(ZtMt|Fs)
Z
s
.
Следовательно,
ZM
являетсÿP-мартингàëîì. Обратное утверждение
äîêазываетсÿ аналогичным образом.
Òеорема 3.27
(Гирсанова).Пусть
Q ∼ P
è процесс плотности
Zt=
dQt/dPtìåðûQотноситеëüíîPявляется непреðûâíûì. Пусть
X = A + M, A ∈ V , M ∈ M
loc
(P), M0= 0
каноническое ðазложение íåïðåрывного ñåмимартингалаXотноси-
òåëüíî ìåðûP. Òîãäà
X = A0+M0, A0= A+
1
Z
◦[Z, M ] ∈ V , M0= M −
1
Z
◦[Z, M ] ∈ M
loc
(Q)
каноническîå ðазложениеXотноситеëüíîQ.
Доказательство.
Ïîñêольку
1
Z
◦ [Z, M]
процесс ограниченной вариа-
öèè, òî äîñòаточно äîêазать, ÷òî
M0являетсÿ ëîêальнымQ-мартингàëîì.
154 3.9. Òеорема Гирсанова
Ïî лемме 3.9 ýòî эквивалентно òîìó, ÷òî
ZM0являетсÿ ëîêальнымP-
мартингàëîì. Используÿ формуëó интегрирования ïî ÷àñòÿì, íàõîäèì
ZM0= M0◦ Z + Z ◦ M0+ [Z, M0]
= M0◦ Z + Z ◦ (M −
1
Z
◦ [Z, M ]) + [Z, M −
1
Z
◦ [Z, M ]].
Далее, ïîñêольку
Z ◦ (
1
Z
◦ [Z, M ]) = [Z, M], [Z, M −
1
Z
◦ [Z, M ]] = [Z, M],
òî
ZM0являетсÿ суммой äâóõ ëîêальныхP-мартингàëîâ:
ZM0= M0◦ Z + Z ◦ M.
ÏóñòüL ëîêальный мартингàë, òîãäà
E (L)
являетсÿ ëîêальным
мартингàëîì. Известно, ÷òî
E (L)
являетсÿ мартингàëîì ïðè выполне-
íèè
óñловия Новикова
:
E exp
1
2
[M]
t
< ∞, t > 0.
Лемма 3.10.
Любой ïîложительный непрерывный локальный мартин-
ãàëMñ
M0= 1
допускает представление
M = E (L),L ∈ M
loc
,
L0= 0
.
Ïðè ýòîì процессLопределяется единственным îáðàçîì.
Доказательство.
Ðàññìîòðèì ëîêальный мартингàë
L =
1
M
◦ M
. Ïî-
ñêольку
dM = M dL, M0= 1
è
L0= 0
, òîLóдовлетворÿåò óсловиям леммы.
Åñëè существуåò другой процесс
N ∈ M
loc
,
N0= 0
ñî свойством
M =
E (N)
, òî
L −
1
2
[L] = N −
1
2
[N],
îòêóäà следуåò, ÷òî ëîêальный мартингàë
L − N
имеет ограниченную
вариацию, è çíà÷èò равен íóëþ.
ПроцессL, построенный â лемме 3.10, называетсÿ
стохастическим
логарифìîìM.
Ãëàâà 3. Ñòîõастическîå исчисление 155
ÏóñòüL ñòîõастический ëîãарифмZ:
Z = E (L)
. Ïî определению
ñòîõастическîé ýêспоненты имеем
1
Z
◦ [Z, M ] =
1
Z
(◦[Z ◦ L, M]) =
1
Z
◦ (Z ◦ [L, M]) = [L, M].
Поэтому â терминахLçàêîí преобразования êомпонент êаноническîãî
разлоæåíèÿ âûãлядит íåñêîëüêî проще.
Òеорема 3.28
(Гирсанова â ýêспоненциальной форме).Пусть â óñëî-
âèÿõ теореìû Ãèðñанова
Z = E(L)
. Òîãäà каноническое ðазложение
X
относитеëüíîQимеет âèä
X = A0+ M0, A0= A + [L, M] ∈ V , M0= M − [L, M ] ∈ M
loc
(Q).
ÌåðàQназываетсÿ
мартингальной
(соотв.,
локальной мартингаль-
íîé
) äëÿ процессаX, åñëèXявляетсÿ мартингàëîì (соотв., ëîêальным
мартингàëîì) относительноQ. Òеорема 3.28 ïîêазывает, ÷òî åñëèQ
эквивалентная ëîêальная мартингальная ìåðà äëÿXñ непрерывным
процессом плотности
Z = E(L)
, òî ëîêàëüíûéP-мартингàëLóдовлетво-
ðÿåò уравнению
A + [L, M] = 0.
(3.9.8)
Обратно, ïóñòüP-ëîêальный мартингàëL(ñ
L0= 0
) являетсÿ решением
уравнения (3.9.8). Ïîëîæèì
Z = E(L)
. Åñëè выполнено óсловие Новикî-
âà
EPexp
1
2
[L]
t
< ∞, t ≥ 0,
(3.9.9)
òîZявляетсÿ строго ïîëîжительнымP-мартингàëîì, óдовлетворяющим
óñëîâèþ
EP(ZT) = Z0= 1
. Ýòî позволяет определить âåðîятностную ìå-
ðóQ, эквивалентнуюPïî формуëå (3.9.6). Ïðè ýòîì ïðîöåññ плотности
Q
относительноPсовпадает ñZ, èQявляетсÿ эквивалентной ëîêальной
мартингальной мерой äëÿX. Данная ïðоцедура äàåò рецепт построения
ëîêальной мартингальной ìåðû.
Пример 3.13.
Ðàññìîòðèì процесс Èòî
f
Wt=
w
t
0
θsds + Wt, t ∈ [0, T ],
156 3.10. Упражнения
ãäåW броуновскîå äâèæåíèå относительноPè
θ ∈ L
. ПроцессfW
называетсÿ броуновским äâèæением ñî сносом. Ïîêàæåì, ÷òî ïðè íåêî-
тором техническîì ограничениè íàθсуществуåò âåðîятностная ìåðà
Q ∼ P
òàêàÿ, ÷òîfW
являетсÿ броуновским äâèæением относительно
Q
. Òàêèì образом, перехîä ê эквивалентнîé ìåðåQуничтоæàåò ñíîñ.
Ñîñòàâèì уравнение (3.9.8):
θ ◦ t + [L, W ] = 0.
Ëåãêî видеть, ÷òî
L = −θ ◦ W
являетсÿ åãî решением. Ðассмотрим ñòî-
õастическую ýêспоненту
Z = E (−θ ◦ W )
. Óсловие Новикîâà (3.9.9) ïðè-
нимает âèä
EPexp
1
2
[θ ◦ W ]
T
= EPexp
1
2
w
T
0
θ
2
t
dt< ∞.
Ïðè выполнении данного óсловия процессZявляетсÿP-мартингàëîì è
ïî теореме 3.28 процесс
(fW )
t∈[0,T ]
являетсÿ мартингàëîì относительно
ìåðû
Q(A) := EP(E (−θ ◦ W )TIA), A ∈ FT.
3.10 Упражнения
3.1.
ÏóñòüX процесс ñ непрерывными траекториями, ñîãласованный
ñ ôèëüтрацией
(Ft)
t≥0
. Òîãäà процесс
Yt= sup
0≤s≤t
|Xs|
обладает òåìè
æå свойствами.
3.2.
Ïóñòü
τ1≤ · · · ≤ τn моменты îñòановки è
Hi
F
τ
i
-измеримые
случайные величины. Ïîêазать, ÷òî процесс
P
n−1
i=1
HiI
(τi,τ
i+1
]
(t)
ñîãëàñî-
âàí ñ ôèëüтрацией.
3.3.
Ïóñòü
H ∈ Lèτ
момент îñòановки. Ïîêазать, ÷òî случайíàÿ
величина
Hτявляетсÿ
Fτ-измеримой.
3.4.
Дополнить äîêазательство теоремы 3.22, îòêазавшись îò предполо-
æåíèÿ ограниченности мартингàëàM.
3.5.
Äëÿ последовательности неслучайных ðазбиений
πnнайти предел
lim
|π
n
t
|→0
X
π
n
t
W
t
i+1
(W
t
i+1
− W
t
i
), π
n
t
= πn∩ [0, t].
Ãëàâà 3. Ñòîõастическîå исчисление 157
3.6.
Используÿ формуëó Èòî проверить, ÷òî процессы
W
3
t
− 3tWt, (b − Wt)(a + Wt) + t, (Wt+ t)e
−(Wt+t/2)
,
являютсÿ мартингалами.
3.7.
Найти
EW
4
t
используÿ формуëó Èòî (учесть, ÷òî математическîå
îжидание мартингальной части разлоæåíèÿ равно0).
3.8.
Äëÿ непрерывных семимартингàëîâX,Yвывести формуëó диффе-
ренцирования отношения
d
X
Y
=
Y
2
+
X
Y
3
d[Y ].
3.9.
Ïóñòüf,g дифференцируåìûå функции. Вывести формуëó
w
t
0
f(s)g0(Ws) dWs= f(t)g(Wt)
t
0
−
w
t
0
f0(s)g(Ws) ds −
1
2
w
t
0
f(s)g00(Ws) ds.
3.10.
Получить формуëó
w
t
0
eαscos WsdWs= eαtsin Wt−α −
1
2
w
t
0
eαssin WsdW
s
3.11.
Получить формуëó
w
t
0
sWsdWs=
t
2
W
2
t
−
t
2
−
1
2
w
t
0
W
2
s
ds.
3.12.
Найти дисперсию интеграла
w
T
0
|Wt|
1/2
dWt.
3.13.
Ïîêазать, ÷òî процесс
r
t
0
e
−λs
dWsñõîäèòñÿ â
L2ïðè
t → ∞
è найти
åãî предел.
3.14.
Получить формуëó
EW
n
t
=
n(n − 1)
2
w
t
0
EW
n−2
s
ds, n ≥ 2
è ïîêазать, ÷òî
EW
2k
t
=
(2k)!
2kk!
tk, EW
2k+1
t
= 0.
158 3.10. Упражнения
3.15.
Ïóñòü
τx= inf {t ≥ 0 : x + Wt6∈ Br}
момент âûõîäàd-мерного
броуновскîãî äâèæåíèÿ, íàчинающегосÿ â òî÷êåxèç øàðà радиуñà
r
(
kxk < r
). Найти
Eτx, применив формуëó Èòî ê
kW k2, ëèáî решив êðà-
åâóþ çàäà÷ó (3.6.1).
3.16.
Äëÿ решения çàäà÷è Êîøè
vt(t, x) +
1
2
∆v(t, x) −c(x)v(t, x) = 0, (t, x) ∈ (0, T ) ×Rd,
v(T, x) = g(x)
получить
ôîðìóëó Фейнмана-Каца
(ñð. ñ (3.8.4)):
v(t, x) = Eg(W
t,x
T
) exp−
w
T
t
c(W
t,x
s
) ds,
ãäå
W
t,x
s
= x + W
t−s
, èWd-мерное броуновскîå äâèæåíèå.
3.17.
Ïóñòü
Zt= (1−t)
r
t
0
(1−s)−1dWs,
t ∈ [0, 1)(броуновский ìîñò
). Ïî-
êазать, ÷òîZóдовлетворÿåò ñòîõастическîìó дифференциальному óðàâ-
нению
dZt= −
1
1 −t
Ztdt + dWt.
Найти математическîå îжидание è дисперсиюZ. Ïîêàçàòü, ÷òî
Z
t
P
→ 0
,
t → 1
.
3.18.
Проверить, ÷òî
процесс Îрнштейна-Уленбека
Xt= e
−βt
X0+
α
β
(1 −e
−βt
) + σe
−βt
w
t
0
eβsdW
s
являетсÿ решением уравнения
dXt= (α − βXt)dt + σdWt,
ãäå
α, β, σ
ïîëîжительные êîíñòàíòû. Найти математическîå îæèäà-
3.19.
Ïîêазать, ÷òî äëÿ решения ñòîõастическîãî дифферåíциального
уравнения
dXt= (αtXt+ βt) dt + b(t, Wt) dWt,
ãäåα,β детерминированные функции, имеет место равенство
d(e
−
r
t
0
αsds
Xt) = e
−
r
t
0
αsds
(βtdt + b(t, Wt) dWt) .
Ãëàâà 3. Ñòîõастическîå исчисление 159
Вывести îòñþäà, ÷òî
Xt= e
r
t
0
αsds
X0+
w
t
0
e
−
r
u
0
αsds
βudu +
w
t
0
e
−
r
u
0
αsds
b(u, Wu) dW
u
.
3.20.
Ðåøèòü ñòîõастическîå дифференциалüíîå уравнение
dXt= (2Xt+ 1)dt + e2tdWt, X0= 1
è найти математическîå îжидание è дисперсию решения.
3.21.
Вывести формуëó
d(Wte
W
t
) =
1
2
Wte
W
t
+ e
W
t
dt + (e
W
t
+ Wte
W
t
) dW
t
è ñ åå помощью найти математическîå îжидание процесса
Wte
W
t
.
3.22.
Ïóñòü
(W
1
t
, W
2
t
)
ñòандартное двумерное броуновскîå äâèæåíèå.
Äîêазать, ÷òî процесс
f
W
1
t
f
W
2
t
!=
cos θ sin θ
−sin θ cos θ
!
W
1
t
W
2
t
!
обладает òåì æå свойством.
3.23.
Ïóñòü
Yt=
r
t
0
esWs,
Zt=
r
t
0
YsdWs. Найти
EY
2
t
,
EZ
2
t
,
E(ZtZs)
.
3.24.
Используÿ изометрию Èòî è ðåçóëüòàò óïð. 1.30 ïîêазать, ÷òî ïðî-
öåññ
Xt=
w
t
0
e
−W
2
s
dW
s
являетсÿ квадратично интегрируåìûì мартингàëîì, êоторый неограни-
÷åí â
L2.
3.25.
Ðàññìîòðèì ñòандартное броуновскîå äâèæåíèåWâ
R3. Ïóñòü
f ∈
C2(R3\{0})
. Ïîñêольку траектории процесса
Wx= x + Wtíå ïðîõîäÿò
через0ñ âåðîятностью 1, òî формуëà Èòî применима ê
f(Wx)
. Вывести
формуëó
1
kW
x
t
k
=
1
kxk
−
3
X
i=1
w
t
0
W
x,i
s
kW
x
s
k
3
dW
x,i
s
,
(3.10.1)
èç êоторой следуåò, ÷òî процесс
1/kW
x
t
k
являетсÿ ëîêальным мартингà-
ëîì.
160 3.10. Упражнения
3.26.
Используÿ представление (3.10.1), äîêазать, ÷òî
E
1
kW
x
t
k
=
w
t
0
E
1
kW
x
s
k
4
ds = ∞.
Здесь â левой части стоит îжидаемое çíàчение квадратическîé вариа-
öèè.
3.27.
Äîêазать, ÷òî
EkW
x
t
k−2< ∞
.
3.28.
 óсловиях упражнения 3.25 äîêазать, ÷òî ëîêальный мартингàë
1/kW
x
t
k
íå являетсÿ мартингàëîì, óñòановив, ÷òî
E(1/kW
x
t
k)
зависит îò
t
.
3.29.
 óсловиях упражнения 3.25 вывести формуëó
kW
x
t
k = kxk +
3
X
i=1
w
t
0
W
x,i
s
kW
x
s
k
dW
x,i
s
+
w
t
0
1
kW
x
s
k
ds.
(3.10.2)
3.30.
 óсловиях óïð. 3.25 ïîêазать, ÷òî
E
1
kWtk
=
C
√
t
.
Используÿ ýòîò ðåçóëüòàò, обосновать предельный перехîä ïðè
x → 0
â
формуëå (3.10.2):
kWtk =
3
X
i=1
w
t
0
W
i
s
kWsk
dW
i
s
+
w
t
0
1
kWsk
ds.
3.31.
Äîêазать, ÷òî процесс
3
X
i=1
w
t
0
W
i
s
kWsk
dW
i
s
являетсÿ броуновским äâèæением.
3.32.
Äîêазать, ÷òî
r
1
0
I
{Wt=0}
dWt= 0
ï.í.
3.33.
Вывести формуëó
EW
2
s
w
t
s
WudW
u
2
=
1
2
s(t − s)2+ 3s2(t − s).
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]