Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Основы стохастического анализа. Учебное пособие
.pdf
Ãëàâà 2. Мартингàëû è ìàðêовские процессы 91
Построенный â примере 2.16 ïðоцессXназываетсÿ
предброуновским
движениеì
: îí óдовлетворÿåò âñåì óсловиям èç определения броунов-
ñêîãî äâèæåíèÿ кроме непрерывности траекторий. Существование áðî-
уновскîãî äâèæåíèÿ вытекàåò èç следующей
теореìû Êîëмогорова î
непрерывной модификàöèè
.
Òеорема 2.27.
Пусть
(Xt)
t≥0
ñлучайный процесс äëÿ которого ñóùå-
ствуют êîíстанты
α, β, C > 0
такие, ÷òî
E|Xt− Xs|β≤ C|t − s|
1+α
.
(2.3.8)
Òîãäà ó процессàXсуществует непрерывная модификация.
Äëÿ ïîñòроенного предброуновскîãî äâèæåíèÿXимеем
Xt− Xs=
√
t − s · Z,Z ∼ N (0, 1)
, è неравенство (2.3.8) выполняетсÿ ñ
β = 4
,
α = 1
:
E0|Xt− Xs|4= (t − s)2E0|Z|4.
Пример 2.17.
Äëÿ ëþáîé перехîäíîé âåðîятности
Q(x, B)èçRdâ
R
d
ïîëîæèì
Q1(x, B) = Q(x, B)
,
w
Qn(x, B) =wQ
n−1
(x, dx
n−1
)wQ1(x
n−1
, dxn)IB(xn), n ≥ 2.
(2.3.9)
Нетруäíî проверить, ÷òî последовательность перехîäíûõ âåðîятностей
Qnóдовлетворÿåò уравнениям Колмогорова-Чепмена (óïð. 2.25), è ñëå-
довательно являетсÿ перехîäíîé функцией íåêоторого ìàðêîâñêîãî ïðî-
цесса ñ дискретным временем:
T = Z+. ßñíî, ÷òî данный процесс ïîëíî-
ñòüþ определяетсÿ перехîäíîé âåðîятностью çà øàã
Q1(x, B) = Q(x, B)
.
 частности, ïóñòü
(ξi)
∞
i=1
последовательность независимых îäèíà-
êîâî распределенных случайных величин, заданных íà íåêотором âåðî-
ятностном пространстве
(Ω0, F0, P0)
. Введем перехîäíóþ âåðîятность ïî
формуëå
w
Q(x, dx1)g(x1) = E
P
0
g(x + ξ1)
è построиì ìàðêовский процесс
(Ω, F , (Fn)
n∈Z
+
, X, Px)
ïî óêазанной âû-
92 2.3. Ìàðêовские процессы: общие определения
øå ñõåìå. Заметим, ÷òî
Exf(X1, X2) =wQ(x, dx1)wQ(x1, dx2)f(x1, x2)
=wQ(x, dx1)E
P
0
f(x1, x1+ ξ2)
= E
P
0
f(x + ξ1, x + ξ1+ ξ2)
äëÿ любой ограниченной борелевскîé функцииf. Аналогичнûì образом
ìîæíî ïîêазать, ÷òî
Exf(X1, . . . , Xn) = E
P
0
f(x + ξ1, . . . , x + ξ1+ ··· + ξn).
Òàêèì îáðàçîì, относительно ìåðû
Pxêонечномерные ðàñïределения
процессаXсовпадают ñ êонечномерными распределениями процесса
Yn=
x + ξ1+ ··· + ξnñ независимыми приращениями
Yn− Y
n−1
. Ìîæíî ñêà-
çàòü, ÷òîXявляетсÿ случайным блужданием ñ заданным распределени-
åì приращений
P0(ξ1∈ B)
.
Ïóñòü
τ : Ω 7→ T
êонечный момент îñòановки. Ìàðêовский процесс
X
называетсÿ
строго марковским
, åñëè
Ex(g(X
τ+s
)|Fτ) =wQs(Xτ, dy)g(y), Px-ï.í. (2.3.10)
äëÿ любой ограниченнîé борелевскîé функцииg.
Òеорема 2.28.
 ñлучае äèскретного âðåìåíè:
T = Z+, любой марков-
ñêèé ïðîöåññ является строго марковским.
Доказательство.
Ïîêàæåì, ÷òî
Ex(g(X
τ+s
)|Fτ) = E
X
τ
g(Xs) Px-ï.í. (2.3.11)
äëÿ ограниченной борелевскîé функцииgè êонечного моментà îñòàíîâ-
êèτ. Ïóñòü
A ∈ Fτ, òîãäà
A ∩ {τ = k} ∈ Fk. Суммируÿ равенства
Ex(g(X
k+s
)I
{τ=k}
IA) = Ex(Ex(g(X
k+s
)|Fk)I
{τ=k}∩A
)
= Ex(E
X
k
g(Xs)I
{τ=k}∩A
)
ïî
k ∈ Z+è используÿ теорему î ìàæорируåìîé ñõîдимости, íàõîäèì
Ex(g(X
τ+s)IA
) = Ex(E
X
τ
g(Xs)IA),
÷òî равносильно (2.3.11).
Ãëàâà 2. Мартингàëû è ìàðêовские процессы 93
 непрерывном времени имеетсÿ ðÿä òîíêостей. Ìàðêовский ïðоцесс
(Xt)
t≥0
называетсÿ
процессоì Ôåëëåðà
, åñëè äëÿ любого
t > 0
è любой
непрерывной ограниченной ôóíêöèègфункция
x 7→wQt(x, dy)g(y)
являетсÿ непрерывной.
Нетруäíî проверить, ÷òî броуновскîå äâèæåíèå, рассмàòриваемое êàê
ìàðêовский процесс (пример 2.16), являетсÿ процессом Феллера: óïð.
2.26.
Òеорема 2.29.
Процесс Ôåëëåðà, òðаектории которого непрерывны ñïðà-
âà
Px-ï.í.,
x ∈ Rd, является строго марковским.
Доказательство.
Óñòановим ключевое равенство
Ex(g(X
s+τ
)|Fτ) = E
X
τ
g(Xs), Px-ï.í.
äëÿ непрерывной ограниченнойgè êонечного моментà îñòановкиτ. Â
лемме 2.9 áûëà построена последовательность моментов îñòановки
τn&
τ
ñî счетным числом çíàчений òàêàÿ, ÷òî
τn= (k + 1)/2níà ìíîæестве
{τ ∈ [k/2n, (k +1)/2n)}
. Ïóñòü
A ∈ Fτ⊂ F
τ
n
. Èç определения
F
τ
n
ëåãêî
следуåò, ÷òî
A ∩ {τn= k/2n} ∈ F
k/2
n
. Суммируÿ равенства
Ex(g(X
s+k/2
n
)I
{τn=k/2n}
IA) = Ex(Ex(g(X
s+k/2
n
)|F
k/2
n
)I
{τn=k/2n}∩A
)
= Ex(E
X
k/2
n
g(Xs)I
{τn=k/2n}
IA)
ïî
k ∈ N
è используÿ теорему î ìàæорируåìîé ñõîдимости, заключаем,
÷òî
Ex(g(X
s+τ
n
)IA) = Ex(E
X
τ
n
g(Xs)IA).
Предельный перехîä
τn& τ
привоäèò ê равенству
Ex(g(X
s+τ)IA
) = Ex(E
X
τ
g(Xs)IA).
Äëÿ обоснования предельного перехîäà â левой части важно, ÷òî òðàåê-
торииXнепрерывны справа. Äëÿ обоснования предельного перехîäà â
правой части кроме òîãî важно, ÷òî функция
x 7→ Exg(Xs) =wQs(x, dy)g(y)
94
2.4. Фундаментальное уравнение äëÿ ìàðêовских процессов ñ дискретным
временем
непрерывна (òàê êàêXявляетсÿ процессом Феллера). Â обоих случаях
нужно воспользоватьсÿ теоремой î ìàæорируåìîé ñõîдимости.
Ðàññìîòðèì ìàðêовский процессXíà êаноническîì пространстве.
Чтобы расширить класс объектов, äëÿ êоторых справедлиâî равенство
(2.3.10), ñ êаждым êонечным моментом îñòановкå ñâÿæåì
îïåðàòîð ñäâè-
ãà
θτ, действующий íà êаноническим пространстве ïî формуëå
θτ(ω)(t) = ω(τ(ω) + t).
Заметим, ÷òî
Xs◦ θτ(ω) = Xs(θτ(ω)) = X
s+τ
(ω).
Формуëà (2.3.10) ìîæåò áûòü переписана следующим образом:
Ex(g(Xs◦ θτ)|Fτ) =wQs(Xτ, dy)g(y) = E
X
τ
g(Xs), Px-ï.í.
Åå естественным обобщением, êоторое óñòанавливаетсÿ ñ помощью òåî-
ðåìû î монотонном классе, являетсÿ формуëà
Ex(G ◦ θτ)|Fτ) = E
X
τ
G, Px-ï.í.
,
ãäåG любая ограниченнаяF-измеримая функция.
2.4 Фундаментальное уравнение äëÿ ìàðêовских процессов
ñ дискретным временем
Ïóñòü
(Xt)
t∈Z
+
ìàðêовский процесс â
Rdè
G ⊂ Rd борелев-
ñêîå ïîäìíîæество. Ââåäåì неотрицательные ограниченные борелевские
функции
f : G 7→ R, g : Gc7→ R
è обозна÷èì черезτмомент âûõîäà процессаXèç ìíîæестваG:
τ = inf{k ≥ 0 : Xk6∈ G}.
Предполоæèì, ÷òî
τ < ∞ Px-ï.í. è рассмотрим семейство функционалов
v(x) = E
x
τ−1
X
k=0
f(Xk) + g(Xτ)!, x ∈ G.
Ãëàâà 2. Мартингàëû è ìàðêовские процессы 95
Ìîæíî ñ÷èòàòü, ÷òî ïîä çíàêîì ìàòåматичåñêîãî îжиданиÿ стоит âû-
игрыш, êоторый ïîдсчитываетсÿ äëÿ êаждой траектории ïðîöåññàXäî
åå âûõîäà èç ìíîæестваG. Òîãäàv средний (îжидаемый) выигрыш.
Интуиция ïîäñêазывает, ÷òî îжидаемый выигрыш
v(x)
равен ñóììå âû-
игрыша
f(x)
íà первом øàãå è îжидаемого выигрыша, ïîдсчитанного
äëÿ состоÿíèÿ системы после первого øàãà:
T v(x) := Exv(X1)
. Òàêèì
образом,
v(x) = f (x) + Exv(X1) = f(x) + T v(x), x ∈ G.
(2.4.1)
Данное рассуждение называетсÿ
методоì первого øàãà
, à равенство
(2.4.1)
фундаментальным óðàâíåíèåì
. Граничное óсловие
v(x) = g(x), x ∈ G
c
(2.4.2)
выполняетсÿ ïî определению.
Строгое обоснование ìåòîäà первого øàãà основано íà использовании
оператора ñäâèãà íà êаноническîì пространстве. Используÿ равенства
τ = 1 + τ ◦ θ1, Xτ◦ θ1= Xτ,
τ−1
X
t=1
f(Xt) =
τ−2
X
t=0
f(X
t+1
) =
τ◦θ1−1
X
t=0
f(Xt◦ θ1) =
τ−1
X
t=0
f(Xt)!◦ θ1,
êоторые имеют место äëÿ траекторий, íàчинаюùèõñÿ â òî÷êàõ
x ∈ G,
íàõîäèì
v(x) = E
x
τ−1
X
t=0
f(Xt) + g(Xτ)
!
= Exf(X0) + ExE
x
τ−1
X
t=1
f(Xt) + g(Xτ)
F
1
!
= f(x) + ExE
x
τ−1
X
t=0
f(Xt) + g(Xτ)!◦ θ
1
F
1
!
= f(x) + ExE
X
1
τ−1
X
t=0
f(Xt) + g(Xτ)
!
= f(x) + Exv(X1), x ∈ G.
96
2.4. Фундаментальное уравнение äëÿ ìàðêовских процессов ñ дискретным
временем
 следующей теореме рассматриваетсÿ более общий случай, â êотором
äîïóñêàþòñÿ áåñêонечные çíàченияτ.
Òеорема 2.30.
Пусть
f ≥ 0,g ≥ 0
, тогда функция
u(x) = E
x
τ−1
X
k=0
f(Xk) + I
{τ<∞}
g(Xτ)!, x ∈ R
d
является наименьшим неотрицательным решениеì задачи (
2.4.1
), (
2.4.2
).
Случай бесконе÷íûõ значений
u(x)
íå èñêëþ÷àåòñÿ.
Доказательство.
Запишем çàäà÷ó (2.4.1), (2.4.2) â следующей форме:
v(x) = IG(x)(f(x) + T v(x)) + I
G
c
(x)g(x)
= (IGf + I
G
c
g)(x) + IGT v(x).
(2.4.3)
 ñèëó неотрицательностиv,
v ≥ IGf + I
G
c
g
Ïîäñòавляя данную оценку â ïравую часть (2.4.3), âûâîäèì неравåíñòâî
v ≥ IGf + I
G
c
g + IGT (IGf + I
G
c
g) = (I + IGT )(IGf + I
G
c
g).
Используÿ данную оценку è применяя òîò æå прием, íàõîäèì
v ≥ IGf + I
G
c
g + IGT (I + IGT )(IGf + I
G
c
g)
= (I + IGT + (IGT )2)(IGf + I
G
c
g).
Ïðîäîëæàÿ ýòîò процесс, ïðèõîäèì ê оценкå
v ≥
X
n≥0
(IGT )n(IGf + I
G
c
g).
(2.4.4)
Ïîêàæåì, ÷òî
(IGT )nϕ(x) = Ex(IG(X0)IG(X1) . . . IG(X
n−1
)ϕ(Xn)), n ≥ 1
(2.4.5)
Ãëàâà 2. Мартингàëû è ìàðêовские процессы 97
äëÿ неотрицательной (èëè ограниченной) борелевскîé функции
ϕ : Rd7→
R
. Действительно,
IGT ϕ(x) = IG(x)Exϕ(X1) = Ex(IG(X0)ϕ(X1)),
(IGT )2ϕ(x) =(IGT )(IGT ϕ)(x) = Ex(IG(X0)(IGT ϕ)(X1))
=Ex(IG(X0)IG(X1)(T ϕ)(X1)) = Ex(IG(X0)IG(X1)E
X
1
ϕ(X2))
=Ex(IG(X0)IG(X1)Ex(ϕ(X2)|F1)) = Ex(IG(X0)IG(X1)ϕ(X2)).
 случае произвольногоnравенство (2.4.5) ìîæíî äîêазать ïî индукции.
Используÿ определениеτè формуëó (2.4.5), íàõîäèì
Ex(I
{τ=n}
g(Xn)) =Ex(IG(X0) . . . IG(X
n−1)IG
c
(Xn)g(Xn))
=(IGT )n(I
G
c
g)(x).
Следовательно,
X
n≥0
(IGT )n(I
G
c
g)(x) =
X
n≥0
Ex(I
{τ=n}
g(Xn)) = Ex(I
{τ<∞}
g(Xτ)).
(2.4.6)
Аналогичным образом,
Ex(I
{τ>n}
f(Xn)) =Ex(IG(X0) . . . IG(X
n−1)IG(Xn
)f(Xn))
=(IGT )n(IGf)(x).
Следовательно,
X
n≥0
(IGT )n(IGf)(x) =
X
n≥0
Ex(I
{τ>n}
f(Xn)) = E
x
τ−1
X
n=0
f(Xn).
(2.4.7)
Формуëû (2.4.4), (2.4.6), (2.4.7) ïîêазывают, ÷òî äëÿ ëþáîãî решения
v
çàäà÷è (2.4.1), (2.4.2) справедлива оценкà
v(x) ≥ u(x) :=
X
n≥0
(IGT )n(IGf+I
G
c
g)(x) = E
x
τ−1
X
n=0
f(Xn) + I
{τ<∞}
g(Xτ)!.
98
2.4. Фундаментальное уравнение äëÿ ìàðêовских процессов ñ дискретным
временем
Îñòàåòñÿ проверить, ÷òîuявляетсÿ решением çàäà÷è (2.4.1), (2.4.2):
u = IGf + I
G
c
g +
X
n≥1
(IGT )n(IGf + I
G
c
g)
= IGf + I
G
c
g + IGT
X
n≥0
(IGT )n(IGf + I
G
c
g)
= IGf + I
G
c
g + IGT u.
Пример 2.18.
Ïóñòü
ξk независимые радемахеровские случайные âå-
личины:
P(ξk= 1) = P(ξk= −1) = 1/2
, заданные íà íåêотором âåðîÿò-
ностном пространстве
(Ω0, F0, P0)
. Ðассмотрим построенный â примере
2.17 ìàðêовский процессXслучайного блуждания ñ независимыми ïðè-
ращениями
ξk. ПроцессXпринимает çíàчения âZè
T v(x) = Exv(X1) =
1
2
v(x + 1) +
1
2
v(x − 1), x ∈ Z.
Ðàññìîòðèì çàäà÷ó î разорениè èç примера 2.5. Ïóñòü
τ = inf{n ∈ Z+: Xn6∈ (−a, b)}, a, b ∈ N.
 области
G = (−a, b),a, b ∈ N
рассмотрим краевую çàäà÷ó (2.4.1),
(2.4.2):
v(x) =
1
2
v(x + 1) +
1
2
v(x − 1) + f(x), x ∈ (−a, b) ∩ Z,
(2.4.8)
v(a) = g(−a), v(b) = g(b).
(2.4.9)
 äàííîé ñèòóàöèè, êоторая являетсÿ типичной, äîñòаточно задать çíà-
ченияgëèøü íà части
Gc.
Нетруäíî ïîêазать, ÷òî решение çàäà÷è (2.4.8), (2.4.9) единственно
(óïð. 2.27). Конечностьτáûëà óñòановлена â примере 2.5. Следователь-
íî, ïî теореме 2.30,
v(x) = E
x
τ−1
X
k=0
f(Xk) + g(Xτ)!.
Полагàÿ
f = 0,g(−a) = 1,g(b) = 0
заключаем, ÷òîvпредставляет собой
âåðîятность âûõîäà èç интервала
(−a, b)
через левую границу:
v(x) = ExI
{Xτ=−a}
= Px(Xτ= −a).
Ãëàâà 2. Мартингàëû è ìàðêовские процессы 99
Полагàÿ
f = 1,g = 0
, заключаем, ÷òîvсовпадает ñ îжидаемой ïðîäîë-
жительностью èãðû:
v(x) = E
x
τ−1
X
k=0
1 = Exτ.
Èòàê, ïóñòü
f = 0,g(−a) = 1,g(b) = 0
:
v(x) −
1
2
v(x + 1) −
1
2
v(x −1) = 0, x ∈ (a, b) ∩Z; v(−a) = 1, v(b) = 0.
Ðåøåíèåì данной çàäà÷è являетсÿ функция
v(x) = (b − x)/(b + a)
. Â
частности, âåðîятность òîãî, ÷òî процесс, ñòартующий â íà÷àëå êîîð-
динат, выйдет èç интервала
(−a, b)
через левую границу (âåðîятность
разорения), равна
v(0) = b/(b + a).
Данная формуëà совпадает ñ (2.1.4).
Далее, ïóñòü
f = 1,g = 0
:
v(x) −
1
2
v(x + 1) −
1
2
v(x −1) = 1, x ∈ (a, b) ∩Z; v(−a) = 0, v(b) = 0.
Áóäåì èñêàòü решение â âèäå
v(x) = A + Bx + Cx2.
Ïîäñòавляя данную функцию â уравнение, íàõîäèì
Cx2−
1
2
(x + 1)2−
1
2
(x − 1)
2
= −C = 1.
Граничные óсловия äàþò уравнения
v(−a) = A − Ba − a2= 0, A + Bb − b2= 0.
Îòñþäà
A = ab,B = b − a
. Òàêèì образом, îжидаемая ïðîдолжитель-
ность èãðû равна
v(x) = ab + (b − a)x − x2.
Формуëà
v(0) = ab
совпадает ñ полученной â примере 2.5.
100
2.4. Фундаментальное уравнение äëÿ ìàðêовских процессов ñ дискретным
временем
Пример 2.19.
 обозначениях примера 2.18 ïîêàæåì, ÷òî îжидаемое
число посещений íà÷àëà êîîðдинат симметричным случайным блужда-
íèåìXáåñêонечно:
u(x) = E
x
∞
X
n=0
I
{0}
(Xn) = ∞, x ∈ Z.
Ïóñòü
G = Z
. Òîãäà процессXíå ìîæåò покинутьG:
τ = ∞
, è çíà÷èò
u
являетсÿ наименьшим неотрицательным решением уравнения
v(x) = I
{0}
(x) +
1
2
v(x + 1) +
1
2
v(x − 1), x ∈ Z.
(2.4.10)
Åñëè
v(x) < ∞
äëÿ íåêоторогоx, òî
v(x ± 1) < ∞
. Îòñþäà следуåò,
÷òî
v(x) < ∞
äëÿ âñåõx. Òàêèì образом, äîñòаточно äîêазать, ÷òî
уравнение (2.4.10) íå имеет решений, êоторые êонечны ïðè âñåõ
x ∈ Z
.
Перепишем уравнение (2.4.10) â âèäå
w(x) = 2I
{0}
(x) + w(x + 1), w(x) = v(x) −v(x − 1).
(2.4.11)
Îòñþäà следуåò, ÷òî
w(x) = A, x < 0; w(x) = B, x > 0,
ãäåA,B íåêоторые êîíñòàíòû. Èç óсловия неотрицательностиvâû-
òåêàåò, ÷òî
A ≤ 0,B ≥ 0
, òàê êàê
v(−x − 1) = v(−x) − A = v(−x + 1) − 2A = v(0) −(x + 1)A,
v(x) = v(x − 1) + B = v(x − 2) + 2B = v(0) + Bx,
ïðè
x ≥ 2
. Полагàÿ
x = −1èx = 0
, èç (2.4.11) íàõîäèì
A = w(−1) = w(0) = 2 + w(1) = 2 + B,
÷òî невозмоæíî.
Пример 2.20.
 примере 2.7 áûëè найдены âåðîятность достижåíèÿ
симметричным случайным блужданием ôèêсированного óðîâíÿ
b ∈ N
è
математическîå îжидания времени достижåíèÿ óêазанного уровня. Ïî-
лучим ýòè ðåçóëüòàòû ñ помощью теоремы 2.30.
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]