Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Основы стохастического анализа. Учебное пособие
.pdf
Ãëàâà 3. Ñòîõастическîå исчисление 121
Èç теорем 3.2, 3.3 следуåò, ÷òî сущесòâóåò единственный ëèнейный
оператор
IX: L
ucp
7→ C
ucp
, совпадающий ñ (3.2.2) íàS. Данный оператор
называетсÿ
стохастическим интегрàëîì
. Íàðÿäó ñ
IX(H)
áóäåì òàêæå
использовать обозначения
H ◦ X
,
r
t
0
HsdXs.
Ïîêàæåì, ÷òî äëÿ процессовXограниченной вариации ñòîõастиче-
ñêèé интеграл совпадает ñ потраекторным интегралом Лебега-Стилтьеса.
Òеорема 3.4.
Пусть
X ∈ V
. Òîãäà
IX(H)t=
r
t
0
HsdXsäëÿ
H ∈ L
, ãäå
â ïðàâîé части стоит ïîòðаекторный интегрàë Лебега-Стилтьесà.
Доказательство.
Ïóñòü
H
n
ucp
→ H,Hn∈ S
. Ðавенство
IX(Hn)t=
w
t
0
H
n
s
dX
s
(3.2.3)
очевидно. Äëÿ заданного
N ∈ N
выделим ïîдпоследовательность
H
n
k
òàêóþ, ÷òî
|H
n
k
− H |
∗
N
→ 0, |IX(H
n
k
) −IX(H)|
∗
N
→ 0
ï.í. (3.2.4)
Ïî теореме î ìàæорируåìîé ñõîдимости
w
t
0
H
n
k
s
dXs→
w
t
0
HsdXs, t ∈ [0, N ]
ï.í. (3.2.5)
Ïóñòü соотношения (3.2.4), (3.2.5) неверны íà ìíîæестве
ΩN. Выбрасы-
âàÿ ìíîæество
∪
N∈NΩN
íóлевой ìåðû, è учитывая (3.2.3), заключаем,
÷òî
IX(H)t=
w
t
0
HsdXs, t ≥ 0
ï.í.
Следующее утверждение играет важную ðîëü ïðè применении техни-
êè ëîêализации.
Òеорема 3.5.
Пустьτ ìîìåíò остановки,
H ∈ LèX
ñåмимар-
тингал. Òîãäà
(H ◦ X)τ= (HI
K0,τK
) ◦X = H ◦ Xτ= (HI
K0,τK
) ◦Xτ.
(3.2.6)
Доказательство.
Ëåãêî видеть, ÷òî равенства (3.2.6) верны äëÿ
H ∈ S
.
Äëÿ любого
H ∈ L
рассмотрим последовательность
Hn∈ S
, ñõîдящуюсÿ
122 3.2. Конструкция è свойства ñòîõастическîãî интеграла
êHucp
. Èç неравенства
P(|(Hn◦ X )τ− (H ◦ X)τ|
∗
t
≥ c) = P(|((Hn− H ) ◦X)τ|
∗
t
≥ c)
= P(|(Hn− H ) ◦X|
∗
t∧τ
≥ c) ≤ P(|(Hn− H ) ◦X|
∗
t
≥ c)
вытекàåò, ÷òî
(Hn◦ X )
τ
ucp
→ (H ◦ X)τ. Ñõîдимость
(HnI
K0,τK
) ◦X
ucp
→ (H I
K0,τK
) ◦X,
Hn◦ X
τ
ucp
→ H ◦ Xτ, (HnI
K0,τK
) ◦X
τ
ucp
→ (H I
K0,τK
) ◦X
τ
вытекàåò èç ñõîдимости
HnI
K0,τK
ucp
→ HnI
K0,τK
è òîãî ôàêòà, ÷òî
Xτÿâëÿ-
åòñÿ семимартингàëîì.
Òеорема 3.6.
Пусть
X ∈ M
loc
,
H ∈ L
. Òîãäà
H ◦ X ∈ M
loc
.
Доказательство.
Предполоæèì ñíà÷àëà, ÷òîX ограниченный ìàð-
òèíãàë è интеграндHограничен. Ðассмотрим последовательность ïðî-
ñòûõ интеграндов
Hn= H
n
0
I
{0}
+
k
n
X
i=1
H
n
i
I
(τ
n
i
,τ
n
i+1
]
,
ñõîдящуюсÿ êHucp
. Ìîæíî ñ÷èòàòü, ÷òî
|Hn| ≤ c
. Каждый процесс
Hn◦
X
являетсÿ мартингàëîì, òàê êàê äëÿ любого ограниченного моментà
îñòановкиσверно равенство
E(H
n
i
(X
τ
n
i+1
∧σ−Xτ
n
i
∧σ
)) = E(H
n
i
(X
σ
τ
n
i+1
−X
σ
τ
n
i
)) = E(H
n
i
E(X
σ
τ
n
i+1
−X
σ
τ
n
i
)|F
τ
n
i
) = 0,
èç êоторого следуåò, ÷òî
E(Hn◦ X )σ= 0
. Воспользуåìñÿ оценкîé
E(Hn◦ X )
2
T
≤ c
2
kn−1
X
i=0
E(X
τ
n
i+1
∧T
− X
τ
n
i
∧T
))2= c
2
kn−1
X
i=0
EX
2
τ
n
i+1
∧T
− EX
2
τ
n
i
∧T
= c
2
EX
2
τ
n
k
n
∧T
− EX
2
0
≤ c2EX
2
T
,
(3.2.7)
 последнем íеравенстве использовано, ÷òî
X2 субмартингàë. Èç íåðà-
венства (3.2.7) следуåò, ÷òî ïоследовательность
(Hn◦ X)Tравномерно
интегрируåìà, è çíà÷èò ñõîäèòñÿ ê
(H ◦ X)Tíå толькî ïî âåðîятности,
Ãëàâà 3. Ñòîõастическîå исчисление 123
íî è â
L1äëÿ любогоT. Îòñþäà следуåò, ÷òî
H ◦ X
являетсÿ мартингà-
ëîì.
Ïóñòü теперь
H ∈ LèM ∈ M
loc
произвольны. Ðассмотрим последо-
вательность моментов îñòановки
τn= inf{t > 0 : |Xt| > n
èëè
|Ht| > n}.
Ïîñêольку
|Ht| ≤ n
ïðè
t < τn, èHнепрерывен слева, òî
|HI
t∈(0,τn]
| ≤
n
. Очевидно òàêæå, ÷òî
|X
τ
n
| ≤ nèτn% ∞
. Ñîãласно первой части
äîêазательства, процесс
(H ◦ X)
τ
n
= (HI
K0,τnK
) ◦X
τ
n
являетсÿ мартингàëîì. Òàêèì образом,
τn ëîêализующая последова-
тельность, è
H ◦ X ∈ M
loc
.
Ìîæíî ïîêазать, ÷òî потраекторнûé интеграл ïî процессу ограни-
ченной вариации òàêæå являетсÿ процессом ограниченной вариации. Ïî-
этому теоремы 3.4, 3.6 è соображåíèÿ линейности ïîêазывают, ÷òî åñëè
X0∈ V,X00∈ M
loc
è
H ∈ L
, òî
H ◦ (X0+ X00) = A + M, A = H ◦ X0, M = H ◦ X00,
ãäå
A ∈ V,M ∈ M
loc
. Â частности,
H ◦ X
являетсÿ семимартингàëîì.
Конечный набор моментов îñòановки
0 = τ0≤ τ1≤ ··· ≤ τk< ∞
назовем случайным разбиениемπ. Áóäåì говорить, ÷òî последователь-
ность
0 = τ
n
0
≤ τ
n
1
≤ ··· ≤ τ
n
k
n
< ∞
случайных разбиений
πnасимптотически плотна
(â [36] используåòñÿ
термин tends to identity), åñëè
τ
n
k
n
→ ∞; |πn| = sup
0≤i≤kn−1
|τ
n
i+1
− τ
n
i
| → 0 a.s.
Äëÿ любых
H ∈ L
è случайного разбиенияπïîëîæèì
H
π
t
= H0I
{0}
+
kn−1
X
i=0
H
τ
i
I
(τi,τ
i+1
]
(t).
124 3.3. Квадратическàÿ вариация è квадратическàÿ êовариация
Неслоæíî äîêазать, ÷òî случайная величинà
H
τ
i
являетсÿ
F
τ
i
-измеримой.
Поэтому,
Hπ∈ S
(óïð. 3.3)
Òеорема 3.7.
Пусть
H ∈ C
è ïîñледовàòåльность ñлучайных ðазбие-
íèé
πnасимптотически плотна. Òîãäà
H
π
n
◦ X → H ◦ X
ucp
.
Доказательство.
Заметим, ÷òî
|H
π
n
− H|
∗
T
→ 0
â ñèëó равномерно
непрерывности функций
t 7→ Htíà интервале
[0, T ]
. Îòñþäà вытекàåò,
÷òî
H
π
n
→ H
ucp
.
Утверждение теоремы 3.7 ñîхраняет ñèëó è äëÿ
H ∈ L
(ñì. [36], òåî-
ðåìà 21, ãë. II).
Òеорема 3.8.
Ñïðаведливы ñледующие óтверждения.
(i) Пусть
H, Gn, G ∈ L
. Åñëè
G
n
ucp
→ G
, òî
HG
n
ucp
→ H G
.
(ii) Пусть
G, H ∈ LèX
ñåмимартингал. Òîãäà имеет место ôîð-
ìóëà êîмпозиции
G ◦ (H ◦ X ) = (GH ) ◦ X.
(3.2.8)
3.3 Квадратическàÿ âариация è квадратическàÿ êовариация
Ðàññìîòðèì элементарное òîждество
X
2
τk∧t
− X
2
0
=
k−1
X
i=0
(X
2
τ
i+1
∧t
− X
2
τi∧t
) =
k−1
X
i=0
(X
τ
i+1
∧t
− X
τi∧t
)
2
+ 2
k−1
X
i=0
X
τi∧t(Xτ
i+1
∧t
− X
τi∧t
).
Заметим, ÷òî
k−1
X
i=0
X
τi∧t(Xτ
i+1
∧t
− X
τi∧t
) =
k−1
X
i=0
X
τ
i
(X
τ
i+1
∧t
− X
τi∧t
) = (Xπ◦ X )t.
Åñëè последовательность разбиений
πnасимптотически плотнà, òî ïðî-
öåññ
X
2
τ
n
k
n
∧t
− X
2
0
− 2
kn−1
X
i=0
X
τ
n
i
∧t(Xτ
n
i+1
∧t
− X
τ
n
i
∧t
) = X
2
τ
n
k
n
∧t
− X
2
0
− 2(X
π
n
◦ X )
t
Ãëàâà 3. Ñòîõастическîå исчисление 125
ñõîäèòñÿ ê
X2−X
2
0
−2X ◦X
равномерно íà êомпактàõ ïî âåðîятности.
Следовательно,
kn−1
X
i=0
(X
τ
n
i+1
− X
τ
n
i
)
2
ucp
→ X2− X
2
0
− 2X ◦ X.
(3.3.1)
Предельный процесс (3.3.1) называетсÿ
квадратической вариацией
ñåìè-
мартингàëàXè обозначаетсÿ через
[X] = [X, X]
.
Ïîдчеркнем, ÷òî предел левой части (3.3.1) íå зависит îò последова-
тельности разбиений ñî свойством асимптотическîé плотности. Èç âèäà
левой части (3.3.1) очевидно òàêæå, ÷òî
[X]s≤ [X ]tï.í.,
s ≤ t
. Òàê êàê
траектории
[X]
непрерывны, òî
[X]
íåîòличим îò неубывающего процес-
ñà.
Äëÿ суммирования ïî òî÷êàì разбиенияπáóäåì использовать сокра-
щенное обозначение
k−1
X
i=0
(·) =
X
π
(·).
Пример 3.1.
ÏóñòüW броуновскîå äâèæåíèå. Òîãäà
[W ]t= t
.
Доказательство.
Ïóñòü последовательность неслучайных разбиений
π
n
асимптотически плотна. Ðассмотрим соответствующее разбиение
π
n
t
=
πn∩ [0, t]
интервала
[0, t]
è ïîêàæåì, ÷òî
S(π
n
t
) :=
X
π
n
t
(W
t
i+1
− W
t
i
)
2
L
2
→ t.
(3.3.2)
Заметим, ÷òî
S(π
n
t
) −t =
X
π
n
(W
t
i+1
− W
t
i
)2− (t
i+1
− ti)
представляет собой сумму независимых случайных величин ñ íóлевым
средним. Следовательно,
E(S(π
n
t
) −t)2=
X
π
n
t
E(W
t
i+1
− W
t
i
)2− (t
i+1
− ti)
2
=
X
π
n
t
(t
i+1
− ti)2E(Z
2
i
− 1)2,
126 3.3. Квадратическàÿ вариация è квадратическàÿ êовариация
ãäå
Zi= (W
t
i+1
− W
t
i
)/√t
i+1
− ti. Ðаспределения случайных величиí
Z
i
íå зависÿò îòi:
Zi∼ N (0, 1)
, è çíà÷èò
E(S(π
n
t
) −t)2= C
X
π
n
t
(t
i+1
− ti)2≤ Ct|π
n
t
| → 0,
ãäåC íåêоторая êîíñòàíòà.
Èç (3.3.2) вытекàåò, ÷òî процесс
[W ]
íåîòличим îòt.
Заметим, ÷òî èç ðåçóëüòàòà примера 3.1 è определения квадратиче-
ñêîé вариации вытекàåò равенство
W
2
t
= 2(W ◦ W )t+ [W]t= 2(W ◦ W )t+ t.
Åñëè åãî ôîðìàëüíî переписать â дифференциальной форме, òî ìû óâè-
äèì, ÷òî формуëà
dW2= 2W dW + dt,
îòличаетсÿ îò привычного правила дифференциального èñ÷èñëåíèÿ äëÿ
ãладких функций:
dg2= 2gdg.
Дополнительное ñëàãаемое связано ñ íаличием íåíóлевой квадратиче-
ñêîé âàриации. Квадратическàÿ вариация ãëàäêîé функции равна 0 (áî-
ëåå общее утверждение äîêазано íèæå: теорема 3.13).
Òеорема 3.9.
Квадратическая âàðèàöèÿ
[M]
непрерывного локально-
ãî мартингалаMможет áûòü îõàðактеризована êàê единственный
непрерывный неубывающий процессAñ
A0= 0
, äëÿ которого
M2− A
является локальным мартингалоì.
Доказательство.
Èç определения квадратическîé вариации следуåò,÷òî
процесс
A = [M ]
обладает нужными свойствами. Åñëè
A0другой òàêîé
процесс, òî îí íåîòличим îòA, òàê êàê
A − A0∈ M
loc
∩ V
.
Заметим, ÷òî èç теоремы 3.9 è òîãî ôàêòà, ÷òî
W2− t
являетсÿ ìàð-
òèíãàëîì сразу вытекàåò, ÷òî
[W ] = t
. Òàêèì образом, вычисление, ïðî-
деланное â примере 3.1 по-существу излишне.
Çíàÿ ëèøü êâàäратическую вариацию ëîêального мартингàëà, ìîæíî
ñêазать, áóäåò ëè îí квадратично интегрируåìûì мартингàëîì (теорема
Ãëàâà 3. Ñòîõастическîå исчисление 127
3.10 íèæå). Ñíà÷àëà рассмотрим связь между квадратическîé вариацией
è процессом ìàêсимума.
Лемма 3.6.
Пусть
M ∈ M
loc
è
M0= 0
. Òîãäà
E[M]t≤ E(M
∗
t
)2≤ 4E[M ]t.
(3.3.3)
Доказательство.
Процесс
M2− [M] = 2(M ◦ M )
являетсÿ ëîêальным
мартингàëîì. Ðассмотрим последовательность ìîìåíòîâ îñòановки
τn= inf{t > 0 : |Mt| > n} ∧ inf{t > 0 : [M ]t> n}.
ßñíî, ÷òî
τn% ∞
è процессы
(M ◦M)
τ
n
,
M
τ
n
являютсÿ ограниченными
мартингалами. Следовательно,
EM
2
t∧τ
n
= E[M]
2
t∧τ
n
.
(3.3.4)
Применяя неравенство Äóáà
E(M
∗
t∧τ
n
)2≤ 4EM
2
t∧τ
n
, íàõîäèì
E[M]
t∧τ
n
= EM
2
t∧τ
n
≤ E(M
∗
t∧τ
n
)2≤ 4EM
2
t∧τ
n
= 4E[M]
2
t∧τ
n
.
Ïî теореме î монотонной ñõîдимости îòñþäà следуåò (3.3.3).
Оценкà представляет собой частный случай неравенства Буркхîëüäåðà-
Дэвиса-Гàíäè ([36], теорема 48, ãë. IV). Отметим òàêæå, ÷òî èç (3.3.4) ïî
лемме Ôàòó è теореме î монотонной ñõîдимости âûòåêàåò, ÷òî
EM
2
t
≤ E[M ]
t
(3.3.5)
äëÿ любого ëîêального мартингàëàMñ
M0= 0
. Следующий ðåçóëüòàò
ïîêазывает, ÷òî
EM
2
t
= E[M]t,
åñëè
E[M]t< ∞
.
Напомним, ÷òî случайный непрерывный ïроцессXпринадлежит
классу
(DL)
, åñëè äëÿ ëþáîãî
T > 0
семейство случайных величин
{Xτ: τ
момент îñòановки
, τ ≤ T }
равномерно интегрируåìî.
128 3.3. Квадратическàÿ вариация è квадратическàÿ êовариация
Òеорема 3.10.
Пусть
M ∈ M
loc
.Mявляется квадратично интегри-
ðóåìûì мартингалоì, åñëè è òîëüêî åñëè
EM
2
0
< ∞èE[M]t< ∞
. Â
ýòîì ñлучае процесс
M2− [M ]
является мартингалоì.
Доказательство.
Предполоæèì ñíà÷àëà, ÷òî
M0= 0
. Ïóñòü
E[M]t< ∞
.
Èç оценки (3.3.3) вытекàåò, ÷òî
M
2
τ
≤ (M
∗
T
)2∈ L1, |M
2
τ
− [M ]τ| ≤ (M
∗
T
)2+ [M]T∈ L
1
äëÿ âñåõ моментов îñòановки
τ ≤ T
. Семейства
Mτ,
M
2
τ
−[M]τравномер-
íî интегрируåìû. Следовательно, процессыM,
M2− [M ]
принадлежàò
классу (DL) è являютсÿ мартингалами (теорема 2.23). Ïðè ýòîìMêâàä-
ратично интегрируåì.
Обратно, åñëè
M ∈ M2, òî
[M]t∈ L1â ñèëó неравенства Äóáà
E(M
∗
t
)2≤ 4EM
2
t
è леммы 3.6. Ïî äîêазанному, процесс
M2− [M ]
ÿâ-
ляетсÿ мартингàëîì.
Ïóñòü òåïåðü
M06= 0
. Ðассмотрим процесс
N = M −M0. Åñëè
E[N]t=
E[M]t< ∞
, òîN квадратично интегрируåìûé мартингàë. Ïîñêольку
äàíî òàêæå, ÷òî
M0∈ L2, òî
M = N +M0 квадратично интегрируåìûé
мартингàë. Обратно, åñëè
M ∈ M2, òî
N ∈ M2è, ïî äîêазанному,
E[M]t= E[N]t< ∞.
Èç равенства
N2− [N ] = (M − M0)2− [M ] = M2− [M ] − 2MM0+ M
2
0
вытекàåò, ÷òî
M2− [M ]
являетсÿ мартингàëîì.
Следуåò, îäíàêî, иметь ввиду, ÷òî åñëè
E[M]t= ∞
, òî â возмоæíà
ñèòóàöèÿ, êîãäà
M ∈ M
loc
,
EM
2
t
< ∞èM
íå являетсÿ мартингàëîì (ñì.
óïð. 3.25 3.27).
Òеорема 3.11.
Åñëè
M ∈ M
loc
, òî
[M] = 0
тогда è òîëüêî тогда,
когда
M = M0.
Доказательство.
Åñëè
[M] = 0
, òî
E(Mt− M0)2= 0
ïî теореме 3.10.
Îòñþäà следуåò, ÷òî
Mtявляетсÿ ìîдификацией
M0è çíà÷èò íåîòличим
îò
M0. Обратное утверждение очевидно.
Ãëàâà 3. Ñòîõастическîå исчисление 129
Ðàññмотриì òîждество
X
τk∧tYτk∧t
− X0Y0=
X
π
(X
τ
i+1
∧tYτ
i+1
∧t
− X
τi∧tYτi∧t
)
=
X
π
(X
τ
i+1
∧t
− X
τi∧t
)(Y
τ
i+1
∧t
− Y
τi∧t
)
+
X
π
X
τi∧t(Yτ
i+1
∧t
− Y
τi∧t
) +
X
π
Y
τi∧t(Xτ
i+1
∧t
− X
τi∧t
).
Åñëè последовательность разбиений
πnасимптотически плотнà, òî ïðî-
öåññ
X
τ
n
k
∧tYτ
n
k
∧t
− X0Y0−
kn−1
X
i=0
X
τ
n
i
∧t(Yτ
n
i+1
∧t
− Y
τ
n
i
∧t
) −
kn−1
X
i=0
Y
τ
n
i
∧t(Xτ
n
i+1
∧t
− X
τ
n
i
∧t
)
= X
τ
n
k
∧tYτ
n
k
∧t
− X0Y0− (X
π
n
◦ Y )t− (Y
π
n
◦ X )
t
ñõîäèòñÿ ê
XY − X0Y0− X ◦ Y − Y ◦ X
равномерно íà êомпактàõ ïî
âåðîятности. Следовательно,
kn−1
X
i=0
(X
τ
n
i+1
−X
τ
n
i
)(Y
τ
n
i+1
−Y
τ
n
i
)
ucp
→ [X, Y ] := XY −X0Y0−X ◦Y −Y ◦ X.
Предельный ïðîöåññ
[X, Y ]
называетсÿ
квадратической êîâàриациеé
ñå-
мимартингàëîâX,Y. Ðавенство
XY − X0Y0= X ◦ Y + Y ◦ X + [X, Y ]
называетсÿ
ôîðмулой интегрирования ïî частям
.
Квадратическàÿ êовариàöèÿ
[X, X]
совпадает ñ квадратическîé âà-
риациейX. Èç билинейности è симметричности операции
[·, ·]
вытекàåò
ïîляризационное тождество
:
[X, Y ] =
1
4
([X + Y, X + Y ] −[X − Y, X − Y ]).
Òàêèì образом, ïроцесс
[X, Y ]
предстàâèì â âèäå разности äâóõ неубы-
вающих процессов è являетсÿ процессом ограниченной вариации. Çàìå-
òèì, ÷òî îòñþäà è формуëû интегрирования ïî ÷àñòÿì вытекàåò, ÷òî
произведение семимартингàëîâ являетсÿ семимартингàëîì.
130 3.3. Квадратическàÿ вариация è квадратическàÿ êовариация
Òеорема 3.12.
Процесс
[X, Y ]
может áûòü îõàðактеризован êàê åäèí-
ственный непрерывный процесс îãðаниченной вариацииAñ
A0= 0
, äëÿ
которого
XY − A
является локальным мартингалоì.
Äîêазательство данного утверждения аналогично äîêазательству òåî-
ðåìû 3.9.
Пример 3.2.
ÏóñòüW,W независимые броуновские äâèæåíèÿ òîãäà
[W, W ] = 0
.
Доказательство.
 ñèëó теоремы 3.12 äîñòаточно проверить, ÷òî
W W
являетсÿ мартингàëîì. Ðассмотрим равенство
WtWt− WsWs= (Wt− Ws)(Wt− Ws) + Ws(Wt− Ws) + Ws(Wt− Ws).
Вычислим óсловное математическîå îжидание относительно
Fsñ учетом
независимости приращений
Wt− Ws,
Wt− Ws:
E((Wt− Ws)(Wt− Ws)|Fs) = E((Wt− Ws)(Wt− Ws))
= E(Wt− Ws)E(Wt− Ws) = 0,
E(Ws(Wt− Ws)|Fs) = WsE(Wt− Ws|Fs) = 0,
E(Ws(Wt− Ws)|Fs) = WsE(Wt− Ws|Fs) = 0.
Òàêèì образом,
E(WtWt− WsWs|Fs) = 0
.
Òеорема 3.13.
ПустьX ñåмимартингал è
Y ∈ V
. Òîãäà
[X, Y ] = 0
.
Доказательство.
Ïóñòü неслучайная последовательность разбиений
πn=
(t
n
i
)
m
n
i=1
асимптотически плотна. Òîãäà
|
X
i
(X
t
n
i+1
∧t
− X
t
n
i
∧t
)(Y
t
n
i+1
∧t
− Y
t
n
i
∧t
)| ≤ sup
1≤i≤m
n
|X
t
n
i+1
∧t
− X
t
n
i
∧t
| · Vt(Y ) → 0
ïðè
n → ∞
â ñèëó равномерной непрерывности траекторийXíà
[0, t]
.
Îòñþäà следуåò, ÷òî квадратическàÿ вариация
[X, Y ]
являетсÿ ìîäèôè-
êацией íóлевого процесса, è çíà÷èò íåîòличима îò íåãî.
Òеорема 3.14.
Пустьτ ìîìåíò остановки. Òîãäà
[X, Y ]τ= [Xτ, Y ] =
[Xτ, Yτ]
.
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]