Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Основы стохастического анализа. Учебное пособие
.pdf
Ãëàâà 3. Ñòîõастическîå исчисление 131
Доказательство.
Åñëè
X = A + M,Y = B + N
êанонические разло-
æåíèÿ, òî
[X, Y ]τ= [M, N ]τ, [Xτ, Yτ] = [Mτ, Nτ]
ïî теореме 3.13. Далее, процесс
(MN − [M, N ])τ= MτNτ− [M, N]
τ
являетсÿ ëîêальным мартингàëîì. Ïîñêольку
[M, N ]τ непрерывный
процесс ограниченной вариацèè, òî ïî теореме 3.12,
[Mτ, Nτ] = [M, N ]τ.
Ýòèì äîêазано равенство
[X, Y ]τ= [Xτ, Yτ]
.
Ïîêàæåì, ÷òî
[Xτ, Y ] − [Xτ, Yτ] = [Xτ, Y − Yτ] = 0
. Äëÿ ëþáîãî
разбиения
0 = t0< ··· < tm= t
имеем
m
n
X
i=1
(X
τ
t
i+1
− X
τ
t
i
)((Y − Yτ)
t
i+1
− (Y − Yτ)
t
i
)
= (X
τ
t
k+1
− X
τ
t
k
)((Y − Yτ)
t
k+1
− (Y − Yτ)
t
k
)
= (X
τ
t
k+1
− X
τ
t
k
)(Y
t
k+1
− Y
τ
t
k+1
),
(3.3.6)
ãäå
tk(ω)
óдовлетворÿåò óсловию
tk< τ < t
k+1
. Èç непрерывности òðà-
екторий вытекàåò, ÷òî (3.3.6) стремитсÿ ê íóëþ ïðè стремлении ê íóëþ
диаметра разбиения. Следовательно,
[Xτ, Y − Yτ]t= 0
ï.í.
Òеорема 3.15.
Пусть
X, Y
ñåмимартингалы è
H ∈ L
. Òîãäà
[H ◦ X, Y ] = H ◦ [X, Y ].
(3.3.7)
Доказательство.
Предполоæèì ñíà÷àëà, ÷òî
H = HiI
(τi,τ
i+1
]
, ãäå
Hi
F
τ
i
-измерима. Òîãäà
H ◦ X = Hi(X
τ
i+1
− X
τ
i
).
Следовательно,
[H ◦ X, Y ] = Hi[X
τ
i+1
− X
τ
i
, Y ] = Hi([X
τ
i+1
, Y ] −[X
τ
i
, Y ])
= Hi([X, Y ]
τ
i+1
− [X, Y ]
τ
i
) = H ◦ [X, Y ].
132 3.3. Квадратическàÿ вариация è квадратическàÿ êовариация
Ïî линейности равенство (3.3.7) верно äëÿ âñåõ простых ïроцессов
H ∈
S
.
Ïóñòü теперь
H ∈ LèHn∈ S
последовательность простых процес-
ñîâ:
H
n
ucp
→ H
. Òîãäà, используÿ формуëó êомпозиции (3.2.8), íàõîäèì
[Hn◦ X, Y ] = (Hn◦ X )Y − (Hn◦ X ) ◦Y − Y ◦ (Hn◦ X )
= (Hn◦ X )Y − (Hn◦ X ) ◦Y − (Y Hn) ◦X
ucp
→ (H ◦ X)Y − (H ◦ X ) ◦ Y − (Y H) ◦X
= (H ◦ X)Y −(H ◦ X ) ◦ Y − Y ◦ (H ◦ X) = [H ◦ X, Y ].
Ñ другой стороны,
[Hn◦ X, Y ] = Hn◦ [X, Y ]
ucp
→ H ◦ [X, Y ].
Òеорема 3.16.
Пусть
M ∈ M
loc
,
H ∈ L
. Òîãäà
H ◦ M
может áûòü
îõàðактеризован êàê единственíûé непрерывный локальный мартин-
ãàëIñ
I0= 0
, äëÿ которого ðавенство
[I, N] = H ◦ [M, N]
(3.3.8)
âûïîлняется äëÿ âñåõ
N ∈ M
loc
.
Доказательство.
Ðавенство (3.3.8) ñ
I = H ◦ M
óñòановлено â теореме
3.15. Åñëè имеютсÿ
I, I0∈ M
loc
, äëÿ êоторых
[I, N] = [I0, N], N ∈ M
loc
,
òî
[I − I0] = 0
, òàê êàê ìîæíî взять
N = I − I0. Ïî теореме 3.10 îòñþäà
следуåò, ÷òî
I = I0.
Следующий ðåçóëüòàò называетсÿ
èçîметрией Èòî
.
Òеорема 3.17.
Пусть
H ∈ L,M ∈ M
loc
è
E
r
T
0
H
2
t
d[M]t< ∞
. Òîãäà
H ◦ M
квадратично интегрируеìûé мартингал è
E(H ◦ M )
2
T
= E(H2◦ [M ])T.
(3.3.9)
Доказательство.
Ïî теореме 3.10 èç óсловия
E[H◦M ]T= E(H2◦[M])T<
∞
вытекàåò, ÷òî
H ◦ M
квадратично интегрируåìûé мартингàë è
выполнено равенство (3.3.9).
Ãëàâà 3. Ñòîõастическîå исчисление 133
 частности, åñëè
H ∈ LèE
r
t
0
H
2
s
ds < ∞
, òî
E
w
t
0
HsdWs= 0, E
w
t
0
HsdW
s
2
= E
w
t
0
H
2
s
ds.
Пример 3.3.
Ïóñòüf непрерывная функция è
πn= (0 = t
n
0
≤ ··· ≤
t
n
m
n
= t)
. Òîãäà
E((f ◦ W )t− (f
π
n
◦ W )t)2=
w
t
0
(f − f
π
n
)2(s) ds → 0, |πn| → 0.
Каждая èç случайных величин
ξn= (f
π
n
◦ W )tнормальна. Åå õаракте-
ристическàÿ функция имеет âèä
ϕn(u) = Ee
iξnu
= e
−
1
2
σ
2
n
u
2
, σ
2
n
= Eξ
2
n
.
Ïîñêольку
ξ
n
L
2
→ ξ = (f ◦W )t,
n → ∞
, òî последовательность
σ
2
n
ñõîäèòñÿ
ê íåêоторомуσè
ϕn(u) → ϕ(u) = Ee
iξu
= e
−
1
2
σ2u
2
ïî теореме î ìàæорируåìîé ñõîдимости. Следовательно,
ξ = (f ◦ W )
t
нормально распределена.
Пример 3.4.
Ðàññмотриì площадь ïîä траекторией броуновскîãî äâè-
æåíèÿ:
r
t
0
Wsds.
Ïî формуëå интегрирования ïî ÷àñòÿì
tWt=
w
t
0
s dWs+
w
t
0
Wsds.
Следовательно,
w
t
0
Wsds =
w
t
0
(t − s) dWs,
E
w
t
0
Wsds = 0, E
w
t
0
Wsds
2
=
w
t
0
(t − s)2ds = t3/3.
Òàêèì образом,
w
t
0
Wsds ∼ N (0, t3/3).
Лемма 3.7.
Пусть
H ∈ C,X, Y
ñåмимартингалы è ïîñледовàòåëü-
ность
πnñлучайных ðазбиений àñимптотически плотна. Òîãäà
X
τi∈π
n
H
τ
n
i
(X
τ
n
i+1
− X
τ
n
i
)(Y
τ
n
i+1
− Y
τ
n
i
)
ucp
→ H ◦ [X, Y ].
(3.3.10)
134 3.4. Ðасширение класса интеграндов
Доказательство.
Предстàâèì сумму (3.3.10) â âèäå
X
i
H
τ
n
i
(X
τ
n
i+1
− X
τ
n
i
)(Y
τ
n
i+1
− Y
τ
n
i
) =
X
i
H
τ
n
i
(X
τ
n
i+1
Y
τ
n
i+1
− X
τ
n
i
Y
τ
n
i
)
−
X
i
H
τ
n
i
X
τ
n
i
(Y
τ
n
i+1
− Y
τ
n
i
) −
X
i
H
τ
n
i
Y
τ
n
i
(X
τ
n
i+1
− X
τ
n
i
).
Заметим, ÷òî
X
τ
n
i
t
(Y
τ
n
i+1
t
− Y
τ
n
i
t
) = X
τ
n
i
∧t(Yτ
n
i+1
∧t
− Y
τ
n
i
∧t
) = X
τ
n
i
(Y
τ
n
i+1
∧t
− Y
τ
n
i
∧t
).
Следовательно,
X
i
H
τ
n
i
X
τ
n
i
(Y
τ
n
i+1
t
− Y
τ
n
i
) =
X
i
H
τ
n
i
X
τ
n
i
(Y
τ
n
i+1
t
− Y
τ
n
i
)
ucp
→ (H X) ◦Y
ïî теореме 3.7. Àíàëогично,
X
i
H
τ
n
i
Y
τ
n
i
(X
τ
n
i+1
t
− X
τ
n
i
)
ucp
→ (H Y ) ◦X.
Кроме òîãî,
X
i
H
τ
n
i
(X
τ
n
i+1
Y
τ
n
i+1
− X
τ
n
i
Y
τ
n
i
)
ucp
→ H ◦ (XY ).
Òàêèì образом,
X
i
H
τ
n
i
(X
τ
n
i+1
− X
τ
n
i
)(Y
τ
n
i+1
− Y
τ
n
i
)
ucp
→ H ◦ (XY ) −(HX) ◦Y −(HY ) ◦X
= H ◦ (XY ) −H ◦ (X ◦ Y ) −H ◦ (Y ◦X) = H ◦ [X, Y ].
Лемма 3.7 верна äëÿ
H ∈ L
, êàê è теорема 3.7.
3.4 Ðасширение класса интеграндов
Áóäåì рассматривать процессы
H ∈ L
êàê функции íà
Ω ×R+.
Ïðåä-
сказуеìîé
называетсÿσ-алгебраPïîäìíîæåñòâ
Ω ×R+, ïîðîжденная
процессами классамL:
P = {H−1(B) : B ∈ B(R), H ∈ L}.
Ãëàâà 3. Ñòîõастическîå исчисление 135
Процессы, измеримые относительноPназываютсÿ
предсказуеìûìè
.
КлассPпредскàçóåìûõ процессов çíàчительно øèðå классаL. Ïðî-
цессы
H ∈ P
íå îáязаны иметь ðåãóлярные (нерерывные слева) траек-
тории. Однакî, èõ траектории являютсÿ борелевскими ôóíêциями, ÷òî
позволяет îïðåäелить интегралы ïî процессам ограниченной вариации
потраекторно êàê интегралы Лебега-Стильòåñà:
(H ◦ A)t=
w
t
0
HsdAs, A ∈ V .
Ïðè ýòîì íåîáõîäèìî íàëîæèòü óсловие
w
t
0
|Hs|dVs(A) < ∞,
(3.4.1)
обеспечивающее êорректность данного определения è êонечность èíòå-
грала. Здесь
V (A)
âàðèàöèÿA. Ìíîæество предскàçóåìûõ процессов
H
, óдовлетворяющих (3.4.1), обозна÷èì через
L (A)
.
Ïóñòü
H ∈ L,M
квадратично интегрируåìûé непрерывным ìàð-
òèíãàë è
E
r
T
0
H
2
t
d[M]t< ∞
. Òîãäà, ïî теореме 3.17 процесс
H ◦ M
ÿâëÿ-
åòñÿ квадратично интегрируåìûì мартингàëîì è имеет место изометрия
Èòî:
E(H ◦ M )
2
T
= E(H2◦ [M ])T.
(3.4.2)
Äëÿ
H ∈ P
ïîëîæèì
kHkM=pE(H2◦ [M ])T.
(3.4.3)
Интеграл
H2◦ [M ]
понимаетсÿ êàê потраекторный интеграл Лебегà-
Стильòåñà. Процессы
H, G ∈ P
назовем эквивалентными, åñëè
kH −
GkM= 0
. Обозна÷èì через
L2(M)
ìíîæество классов эквивалентно-
ñòè предскàçóåìûõ случайнûõ процессов, äëÿ êоторых êонечна íîðìà
kHkM.
Ìîæíî ïîêазать, ÷òî ìíîæество ограниченных процессов èçLплотно
â
L2(M)
относительно нормы (3.4.3). Вместе ñ равенством (3.4.2) ýòîò
ôàêò позволяет распроñòðанить интеграл íà
L2(M)
, òàê êàê фундамен-
òальные последовательности â
L2(M) ∩L
ïðè отображåíèè
H 7→ H ◦M
перехîäÿò â фундаментальные последовательности â гильбертовом ïðî-
странстве
M2квадратично интегрируåìûõ мартинãàëîâ (ïî ïîâîäó ïî-
следнего пространства ñì. теорему 2.24).
136 3.4. Ðасширение класса интеграндов
Ðàññìîòðèì теперь произвольный непрерывный ëîêальный мартиí-
ãàë
M ∈ M
loc
è введем ìíîæество
L
2
loc
(M) =nH ∈ P :
w
t
0
H
2
u
d[M, M ]u< ∞
ï.í. äëÿ âñåõ
to.
ßñíî, ÷òî
L2(M) ⊂ L
2
loc
(M)
äëÿ квадратично интегрируемого мартин-
ãàëàM. Ðаспространить интеграл
H ◦ M
íà элементы
L
2
loc
(M)
óдаетсÿ
ñ помощью следующей процедуры ëîêализации.
Введем неубывающие последовательности ìоментов îñòановки
τ
1
n
= inf{t : |Mt| > n}, τ
2
n
= inf{t :
w
t
0
H
2
u
d[M, M ]u> n},
τn= τ
1
n
∧ τ
2
n
.
 ñèëó непрерывности траекторий имеем:
τn→ +∞
ï.í. Мартингàë
M
τ
n
являетсÿ ограниченным è
HI
(0,τn]
∈ L2(M
τ
n
)
:
E
w
∞
0
H
2
s
I
{s∈(0,τn]}
d[M
τ
n
, M
τ
n
]s= E
w
τ
n
0
H
2
s
d[M, M ]s≤ n.
Ïîëîæèì
H ◦ M := (HI
(0,τn]
) •M
τ
n
íà ñòîõастических интервалах
K0, τnK.
Âñå свойства интеграла äëÿ процессов
H ∈ L
ñîхраняютсÿ äëÿ класса
L
2
loc
(M)
. Â частности,
H ◦ M
являетсÿ ëîêальным мартингàëîì. Èíòå-
ãðàë ïî непрерывному семимартингàëóXñ êаноническим разлоæением
X = A + M, A ∈ V , M ∈ M
îò процесса
H ∈ L (A) ∩L
2
loc
(M)
определяетсÿ следующим образом:
H ◦ X = H ◦ A + H ◦ M
è являетсÿ семимартингàëîì, òàê êàê
H ◦ A ∈ V,H ◦ M ∈ M
.
Приведем важный ðåçóëüòàò î свойстве предскàçóемого предстàâëå-
íèÿ броуновскîãî äâèæåíèÿ, â êотором требуåòñÿ использовать интегран-
äû èç классов
L2(M),L
2
loc
(M)
.
Ãëàâà 3. Ñòîõастическîå исчисление 137
Òеорема 3.18
(î представлении мартингàëîâ).Пусть непрерывный ëî-
кальный мартингалMсогласован ñ ïîïîлненной естественной ôèëü-
òðацией
FWброуновского движенияWè
M0= 0
. Òîãäà существует
единственный процесс
H ∈ L
2
loc
(W )
такой, ÷òî
Mt=
w
t
0
HsdWs, P
-ï.í.
Åñëè, êðîìå òîãî,
M ∈ M2, òî
H ∈ L2(M)
.
Следствие 3.1.
Каждый
FW-локальный мартингал имеет непрерыв-
íóþ модификацию.
3.5 Формуëà Èòî
Òеорема 3.19
(формуëà Èòî).Пусть
f ∈ C2(R),X
ñåмимартингал.
Òîãäà
f(X) = f (X0) + f0(X) ◦X +
1
2
f00(X) ◦[X].
(3.5.1)
Доказательство.
Ïî формуëå Òейлора
f(x) = f (y) + f0(y)(x − y) +
1
2
f00(y)(x − y)2+ r(x, y)(x − y)2,
ãäår непрерывная функция óдовлетворяющая óсловию
r(y, y) = 0
.
Ïóñòü
πn= (0 = t
n
0
≤ · ·· ≤ t
n
m
n
= t)
неслу÷айная последовательность
разбиений интервала
[0, t]èπn→ 0
. Ðассмотрим равенство
f(Xt) −f(X0) =
X
i
(f(X
t
n
i+1
) −f(X
t
n
i
)) =
X
i
f0(X
t
n
i
)(X
t
n
i+1
− X
t
n
i
)
+
1
2
X
i
f00(X
t
n
i
)(X
t
n
i+1
− X
t
n
i
)2+
X
i
r(X
t
n
i
, X
t
n
i+1
)(X
t
n
i+1
− X
t
n
i
)
2
Ïî теореме 3.7 è лемме 3.7 пределы äâóõ первых ñëàãаемых вычисляютсÿ
следующим образом:
X
i
f0(X
t
n
i
)(X
t
n
i+1
− X
t
n
i
)P→ (f0(X) ◦X)t,
1
2
X
i
f00(X
t
n
i
)(X
t
n
i+1
− X
t
n
i
)
2
P
→
1
2
(f00(X) ◦[X])t,
138 3.5. Формуëà Èòî
Кроме òîãî, ïîñêольку
P
i
(X
t
n
i+1
− X
t
n
i
)
2
P
→ [X]t, è траекторииXравно-
мерно непрерывны íà
[0, t]
, òî
X
i
|r(X
t
n
i
, X
t
n
i+1
)|(X
t
n
i+1
− X
t
n
i
)2≤ supj|r(X
t
n
j
, X
t
n
j+1
)|
X
i
(X
t
n
i+1
− X
t
n
i
)2→ 0
ïðè
|πn| → 0
. Òàêèì образом,
f(Xt) = f(X0) + (f0(X) ◦X)t+
1
2
(f00(X) ◦[X])tï.í.
Èç непрерывности траекторий следуåò, ÷òî ïðоцессû â левой è правой
÷àñòÿõ данного равенства неразличимы.
Пример 3.5.
ÏóñòüX
процесс Èòî
, ò.å.
X = X0+ µ ◦ t + σ ◦ W
, ãäå
µ, σ ∈ L
. Ïîñêольку
[X] = [σ ◦ W ] = σ2◦ [W ] = σ2◦ t,
òî
f(X) = f (X0) + f0(X) ◦(X0+ µ ◦ t + σ ◦ W ) +
1
2
f00(X) ◦(σ2◦ t)
= f(X0) +µf0(X) +
1
2
σ2f00(X)◦ t + (σf0(X)) ◦W.
(3.5.2)
Ðавенства (3.5.1), (3.5.2) принято записывать òàêæå â дифференци-
альной форме:
df(X) = f0(X)dX +
1
2
f00(X)d[X],
(3.5.3)
df(X) =µf0(X) +
1
2
σ2f00(X)dt + σf0(X)dW.
(3.5.4)
Формально, (3.5.3), (3.5.4) получаютсÿ èç формуëû Òейлора, â êîòî-
ðîé отброшены величины âûøå второго ïîðÿäêà малости ïîdXñ учетом
равенства
(dX)2= d[X]
è правил исчисления Èòî:
(dt)2= dtdW = 0, (dW )2= t,
соответствующих формуëàì
[t, t] = [t, W ] = 0, [W, W ] = t.
Ãëàâà 3. Ñòîõастическîå исчисление 139
Ñ помощью правил исчисления Èòî формуëà (3.5.4) ¾âûâîäèòñÿ¿ следу-
þùèì образом:
df(X) = f0(X)dX +
1
2
f00(X)(dX)2= f0(X)(µdt + σdW ) +
1
2
f00(X)σ2dt.
Òеорема 3.20
(многомерная формуëà Èòî).Пусть
f ∈ C2(Rd)èX =
(X1, . . . , Xd)d
-мерный ñåмимартингал. Òîãäà
f(X) = f (X0) +
d
X
i=1
f
x
i
(X) ◦Xi+
1
2
d
X
i,j=1
f
xix
j
(X) ◦[Xi, Xj].
(3.5.5)
Доказательство.
Ïî формуëå Òейлора
f(x) −f (y) =
d
X
i=1
f
x
i
(y)(xi− yi) +
1
2
d
X
i,j=1
f
xix
j
(y)(xi− yi)(xj− yj)
+
1
2
d
X
i,j=1
r(x, y)(xi− yi)(xj− yj),
ãäår непрерывная функция, óдовлетворяющая óсловию
r(y, y) = 0
.
Îñòальные рассуждения совершенно аналогичны îдномерному случаю
(ñì. äîêазательство теоремы 3.19).
Пример 3.6.
Õàðактеризация Ëåâè броуновского движения.
Òеорема 3.21
(Ëåâè).Пусть
M ∈ M
loc
,
M0= 0
. Åñëè
[M]t= t
, òî
M
броуновское движение.
Доказательство.
Ðàññмотриì процесс
Xt= e
iαMt+α2t/2
. Функция
ϕ(t, x) =
e
iαx+α2t/2
óдовлетворÿåò параболическîìó уравнåíèþ
ϕt+
1
2
ϕxx= 0.
Применяя ê процессу
X = ϕ(t, M )
формуëó Èòî (3.5.5), íàõîäèì,
dX = ϕt(t, M)dt + ϕx(t, M) dM +
1
2
ϕxx(t, M)d[M] = ϕx(t, M) dM.
Следовательно, ïðоцессXявляетсÿ ëîêальным мартингàëîì. Èç оценки
|Xτ| ≤ e
α2T/2
,
τ ≤ T
вытекàåò, ÷òîXпринадлежит классу
(DL)
, à çíà÷èò
являетсÿ мартингàëîì. Èç ðàâåíñòâà
E(Xt|Fs) = E(e
iαMt+α2t/2
|Fs) = Xs= e
iαMs+α2s/2
, s < t
140 3.5. Формуëà Èòî
вытекàåò, ÷òî
E(e
iα(Mt−Ms)
|Fs) = e
−α2(t−s)/2
.
(3.5.6)
 частности, õарактеристическàÿ функция ñëó÷айной величины
Mt−M
s
имеет âèä
E(e
iα(Mt−Ms)
) = e
−α2(t−s)/2
.
Следовательно,
Mt− Ms∼ N (0, t − s)
. Кроме òîãî, èç равенства (3.5.6)
вытекàåò, ÷òî
Mt− Msíå зависит îò
Fs: ñì. пример 1.25.
Пример 3.7.
Закон îòðажения.
Ïóñòüτ момент îñòановки. Îòðà-
æенное броуновскîå äâèæåíèå
c
Wt=
(
Wt, t ≤ τ,
2Wτ− Wt, t > τ
= 2W
τ
t
− W
t
являетсÿ броуновским äâèæением. Действительно,cW
являетсÿ непре-
рывным мартингàëîì, êàê сумма äâóõ непрерывных мартингàëîâ,cW0=
0
è
[cW ] = [2Wτ] −2[2Wτ, W ] + [W] = 4[W ]τ− 4[W ]τ+ [W] = [W ] = t.
Пример 3.8.
Случайная замена âðåìåíè.
Òеорема 3.22.
(Дубинса-Шварца) ПустьM непрерывный локальный
мартингал,
M0= 0,[M]tстрого âîçðастает è
[M]t→ ∞,t → ∞
.
Введеì ñåмейство ìîментов остановки
τt= inf{u : [M ]u≥ t}.
ПроцессfWt= M
τ
t
является броуновским движениеì относитеëüíî
фильтрàöèèfFt= F
τ
t
.
Доказательство.
Äîêазательство проведем äëÿ ограниченных мартин-
ãàëîâM. Перехîä ê общему случаю осуществляетсÿ ñ помощью техники
ëîêализации (óïð. 3.4).
Непрерывность траекторий ïðоцессàfW
вытекàåò èç îднозна÷íîé ðàç-
решимости уравнения
[M]u= t
относительноuè непрерывности
[M]
. Èñ-
пользуÿ теорему î свобоäíîì выборе, заключаем, ÷òîfW
являетсÿ ìàð-
òèíãàëîì относительно ôèëüтрацииfFt:
E(fWt|fFs) = E(M
τ
t
|F
τ
s
) = M
τ
s
=fWs.
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]