Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Основы стохастического анализа. Учебное пособие
.pdf
Ãëàâà 1. Основы современной теории âåðîятностеé 11
òарных èñõîäîâ),
•
семействоFïîäìíîæåñòâΩ семейство событий, êоторые могут
наблюдатьсÿ â ðåçóëüòàòå ýêспериментà,
•
âåðîятностьPâñåõ событий èçF.
Более точно, семействоFдолжно áûòüσ-
алгеброй
, ò.å.
• ∅ ∈ F
;
•
èç óсловия
Ai∈ F,i ∈ Z+вытекàåò, ÷òî
∪
∞
i=1
Ai∈ F
;
•
èç óсловия
A ∈ F
вытекàåò, ÷òî
Ac:= Ω\A ∈ F
.
Функция
P : F 7→ [0, 1]
должна áûòü
вероятностной мерой
, ò.å. óдовле-
òâîðÿòü óсловиям
• P(∅) = 0,P(Ω) = 1
;
•
äëÿ любой последовательности попарно непересекающихñÿ ìíîæåñòâ
Ai∈ F,i = 1, . . . , ∞
верно равенство
P
∞
[
i=1
A
i
!
=
∞
X
i=1
P(Ai)
свойство счетной àääитивности (σ-аддитивности).
Ïàðà
(Ω, F )
называетсÿ
измеримым пространствоì
. Тройкà
(Ω, F , P)
называетсÿ
вероятностным пространствоì
.
Пример 1.1.
Ðàññìîòðèì ýêсперимент, состоÿùèé ân-кратном ïîäáðà-
сывании (несимметричной) монеты. Ïóñòüpèqâåðîятности выпадения
îðëà è ðåøêè ïðè îäíîì ïîдбрасывании,
p + q = 1,p, q > 0
. Â êàчестве
ìíîæества ýëåìåíòарных èñõîäîâ âîçüìåì ìíîæествоn-элементных ïî-
следовательностей:
Ω = {ω = (a1, . . . , an) : ai= H
èëè
ai= T }.
ЗдесьHèT íàчальные буквы àíãлийских ñëîâ Head è Tail. Ïóñòü
F
семейство âñåõ ïîäìíîæåñòâΩ. Âåðîятности событий
{ω}
введем
следующим образом:
P(ω) = p
ν(ω)qn−ν(ω)
,
12 1.1. Ìîäåëü âåðîятностного ýêспериментà, óсловные âåðîятности
ãäå
ν(ω)
êоличествоHâ последовательности
ω = (a1, . . . , an)
.
Нетруäíî проверить, ÷òî
P
ω∈Ω
P(ω) = 1.
Íà любые события èç
F
âåðîятностная ìåðàPïðîäîëæàåòñÿ îднозна÷íî ïî свойству àäдитивно-
ñòè.
События
A, B ∈ F
называютсÿ
независимыми
, åñëè
P(A ∩ B) = P(A)P(B).
 примере 1.1 âåðîятностная ìåðà построена òàêèì образом, чтобы
ñделать ðåçóëüòàòû различных ïîдбрасываний независимыми. Более ÿñ-
íûì ýòî ñòановитсÿ èç следующей общей êонструкции. Ïóñòü имеетсÿ
n
âåðîятностных пространств
(Ωi, Fi, Pi)
. Èõ
прямым произâåäåíèåì
íà-
зываетсÿ âåðîятностное пространство
(Ω1× ··· × Ωn, F1⊗ ··· ⊗ Fn, P1⊗ ··· ⊗ Pn).
(1.1.1)
Здесь
F1⊗··· ⊗ Fnσ-алгебра, ïîðîжденная äåêартовыми произведе-
ниями
A1× ··· × An,
Ai∈ Fi, à âåðîятностная ìåðà
P = P1⊗ ··· ⊗ P
n
îднозна÷íî определяетсÿ çíàчениями
P(A1× ··· × An) =
n
Y
i=1
P(Ai).
Ïóñòü
Hi= {(ω1, . . . , ωn) ∈ Ω1× ··· × Ωn: ωi∈ Ai}
(1.1.2)
 ïðÿìîì произведении события
Hi,
Hj,
i 6= j
независимы (óïð. 1.3).
Нетруäíî проверить (óïð. 1.4), ÷òî óêазанное â примере 1.1 âåðî-
ятностное пространство являетсÿ ïðÿìûì произведением пространств
(Ωi, Fi, Pi)
,
Ωi= {H, T }, Fi= σ({H}, {T }), Pi(H) = p, Pi(T ) = q.
(1.1.3)
События, описывающие ðåçóëüòàòû различных ïîдбрасываний, имеют
âèä (1.1.2). Следовательно óêазанные события независимы.
Ïóñòü
A, B ∈ F,P(B) > 0.Óñловной вероятностью
событияAïðè
óñëîâèèBназываетсÿ отношение
P(A|B) :=
P(A ∩ B)
P(B)
.
Ãëàâà 1. Основы современной теории âåðîятностеé 13
Отметим, ÷òî функция
A 7→ P(A|B)
являетсÿ âåðîятностной мерой íà
F
. Независимость событийAèBравносильна равенству
P(A|B) =
P(A)
, åñëè
P(B) > 0
.
Пример 1.2.
Äëÿ ìîäåëè примера 1.1 введем обозначения
AH= {ω = (a1, . . . , an) : a1= H},
AT= {ω = (a1, . . . , an) : a1= T },
AHH= {ω = (a1, . . . , an) : a1= H, a2= H},
AHT= {ω = (a1, . . . , an) : a1= H, a2= T },
A
T H
= {ω = (a1, . . . , an) : a1= T, a2= H},
A
T T
= {ω = (a1, . . . , an) : a1= T, a2= T }.
Ðàññìîòðèì события
A = AH(îðåë ïðè первом ïîдбрасывании) è
B =
AHT∪ A
T H
(îäèí îðåë, îäíà ðåøêà). Выясним, ïðè êàêèõ óсловиях ýòè
события независимы:
P(B|A) =
P({ω : a1= H, a2= T })
P(A)
=
pq
p
= q,
P(B) = P(AHT) + P(A
T H
) = 2pq.
Следовательно, данные события независимыми, åñëè è толькî åñëè
p =
1/2
.
Приведем äâå полезные формуëû, упрощающие вычисление âåðîÿò-
ностей ñëîæíûõ событий. Система ìíîæåñòâ
Ai∈ F,i = 1, . . . , m
íàçû-
ваетсÿ
ðазбиениеìΩ, åñëè
∪
n
i=1
Ai= Ω, Ai∩ Aj= ∅, i 6= j.
Ìíîæества
Aiназываютсÿ
àòîìàìè
разбиения. Ðавенство
P(B) =
m
X
i=1
P(B|Ai)P(Ai)
(1.1.4)
называетсÿ
ôîðмулой ïîëíîé вероятности
. Ïóñòü теперь
P(A1∩ ··· ∩
Am) > 0
. Ðавенство
P(A1∩ ··· ∩ Am) = P(A1)P(A2|A1) . . . P(Am|A1∩ ··· ∩ A
m−1
)
(1.1.5)
14 1.1. Ìîäåëü âåðîятностного ýêспериментà, óсловные âåðîятности
называетсÿ
ïðавилоì умножения
.
Îáà соотношения (1.1.4), (1.1.5) сразу вытекàþò èç определения óñëîâ-
íîé âåðîятности (ñì. óïð. 1.5).
Пример 1.3.
Имеютсÿ òðè óðíû, â êаждой èç êоторых могут ëåæàòü
белые è черные øàðû:
•
â первой óðíå 3 белых è 2 черных;
•
âî второй óðíå 0 белых è 4 черных;
•
â третьей óðíå 5 белых è 2 черных.
Íà первом øàãå ýêспериментà íàóäà÷ó выбираетсÿ îäíà èç óðí. Íà
втором øàãå èç íåå íàóäà÷ó извлекàåòñÿ îäèí øàð. Êàêîâà âåðîятность
òîãî, ÷òî îí áóäåò белым?
Ïóñòü
Ai событие, состоÿùåå â òîì, ÷òî выбрана óðíà ñ номеромi,
àB событие состоÿùåå â òîì, ÷òî âûòàùåí белый øàð. Âåðîятности
òîãî, ÷òîBпроизойдет ïðè óсловии
Aiëåãêî посчитàòü, çíàÿ êоличество
белых è черных шаров â соответствующей óðíå:
P(B|A1) = 3/5, P(B|A2) = 0, P(B|A3) = 5/7.
Ïî формуëå полной âåðîятности,
P(B) =
3
X
i=1
P(B|Ai)P(Ai) =
3
5
·
1
3
+
5
7
·
1
3
=
46
105
.
Пример 1.4.
Имеетсÿ êîëîäà èç 36 êàðò. Èç êîëîäû последовательно
íàóäà÷ó âûòаскиваютсÿ 3 êàðòû. Êàêîâà âåðîятность òîãî, ÷òî среди
íèõ íå áóäåò ïèêè?
Ïóñòü
Ai событие, состоÿùåå â òîì, ÷òî êàðòà, âûòащенная íài-
øàãå íå являетсÿ ïèêîé. Íàñ интерåñóåò âåðîятность события
A1∩A2∩A3.
Ïî правилу óìíîæåíèÿ,
P(A1∩ A2∩ A3) = P(A1)P(A2|A1)P(A3|A1∩ A2).
Нетруäíî понять, ÷òî
P(A1) =
27
36
, P(A2|A1) =
26
35
, P(A3|A1∩ A2) =
25
34
.
Ãëàâà 1. Основы современной теории âåðîятностеé 15
Ïóñòü имеетсÿnгипотез
Hi∈ F
:
∪
n
i=1
Hi= Ω, Hi∩ Hj= ∅, P(Hi) > 0
è íåêоторое событие
B ∈ F,P(B) > 0.Ôîðìóëà Байесà
P(Hi|B) =
P(B ∩ Hi)
P(B)
=
P(B|Hi)P(Hi)
P
n
j=1
P(B|Hj)P(Hj)
позволяет произвоäèòü перероценку âåðîятностей гипотез ïðè óсловии
наступления событияB.
Пример 1.5
([18]).Âåðîятность òîãî, ÷òî ó пациентà имеетсÿ íåêîòî-
ðîå ðåäêîå заболевание равна 0.001. Медицинский òåñò äàåò правильный
ðåçóëüòàò â 95% случаев. Êàêîâà âåðîятность òîãî, ÷òî êонкретный ïà-
циент болен, åñëè òåñò äàë ïîëîжительный ðåçóëüòàò?
ÏóñòüH гипотеза, ÷òî пациент болен,B событие, состоÿùåå â
òîì, ÷òî ðåçóëüòàò òåñòà ïîëîжителен. Формуëà Байеса äàåò íåîжидан-
íûé ðåçóëüòàò:
P(H|B) =
P(B|H )P(H)
P(B|H )P(H) + P(B|Hc)P(Hc)
=
0.95 ·0.001
0.95 ·0.001 + 0.05 ·0.999
≈ 0.0187,
ò.å. пациент действительно болен менее ÷åì â 2% случаев. Çíà÷èò äëÿ
определения столь ðåäêîãî заболåâàíèÿ требуåòñÿ çíàчительно более òî÷-
íûé òåñò.
1.2 Случайные величины, интегрирование, õарактериñòè÷å-
ñêèå функции
Функция
ξ : Ω 7→ RdназываетсÿF-измеримой
, åñëè ìíîæество
ξ−1(B) = {ω : ξ(ω) ∈ B}
принадлежитFäëÿ любого борелевскîãî
ìíîæества
B ⊂ Rd. Напомним, ÷òî борелевскîé называетсÿ наименьшая
σ
-алгебра
B(Rd)
, ñîäåðæàùàÿ âñå открытые ïîäìíîæества
Rd.
 теории âåðîятностей òàêèå функцииξназываютсÿ
ñлучайными âå-
личинами
. Ñ÷èòàåòñÿ, ÷òî после проведения âåðîятностного ýêсперимен-
òà äëÿ любого события èçFñòановитсÿ известным, произошло îíî èëè
16 1.2. Случайные величины, интегрирование, õарактеристические функции
íåò. Òàêèì образом,Fописывает доступную информацию.F-измери-
мостьξîçíà÷àåò, ÷òî äëÿ ëþáîãî борелевскîãî ìíîæества
B ⊂ Rdìîæíî
ñêазать, верно ëè, ÷òî
ξ(ω) ∈ B
.
Известно, ÷òî алгебраические операции íàä измеримыми функциями
è предельный перехîä ñîхраняют измеримость. Заметим, ÷òî âåðîятност-
íàÿ ìåðà íå играет ðîëè â определении измеримости.
Пример 1.6.
Ðàññìîòðèì измеримое пространство
(Rm, B(Rm))
. Ñëó-
чайными величинами
ξ : Rm7→ Rdíà òàêîì пространстве являютсÿ â
точности борелевские вектор-функции, ò.å. функции óдовлетворяющие
óсловию
{ω : ξ(ω) ∈ B} ∈ B(Rm),B ∈ B(Rd)
.
Пример 1.7.
Ðàññìîòðèì разбиение ñ атомами
(Ai)
m
i=1
. Ïóñòü
ξ : Ω 7→ R
измерима относительноσ-алгебры
F = σ ((Ai)
m
i=1
)
, ïîðîжденной óêà-
занным разбиением. Òîãäàξпостоÿííà íà атомах, ò.å. существуют êîí-
ñòàíòû
z1, . . . , zmòàêèå, ÷òî
ξ(ω) =
m
X
i=1
ziI
A
i
(ω).
(1.2.1)
Действительно, â противном случае
{ω : ξ(ω) = z}
íå являетсÿ îáú-
единением атомов äëÿ íåêоторого
z ∈ R
. Ñëедовательно нарушаетсÿ
óсловиеF-измеримости
ξ−1({z}) ∈ F
, òàê êàê любой элемент
A ∈ F
являетсÿ объединением атомов разбиения
(Ai)
m
i=1
. ßñíî òàêæå, ÷òî любая
функция âèäà (1.2.1) являетсÿF-измеримой.
Простыми
называютсÿ функции âèäà
ξ(ω) =
n
X
j=1
cjI
A
j
(ω), Aj∈ F , cj∈ Rd,
ãäå
I
A
j
(ω) = 1, ω ∈ Aj;
I
A
j
(ω) = 0, ω 6∈ Aj индикàòîð ìíîæества
Aj.
ßñíî, ÷òî òàêèå функции являютсÿF-измеримыми.
Интегрàë
îò простой функции ïî ìåðåPопределяетсÿ следующим
образом:
w
Ω
ξ(ω) P(dω) =
n
X
j=1
cjP(Aj).
Ãëàâà 1. Основы современной теории âåðîятностеé 17
Используåòñÿ òàêæå обозначение
r
Ω
ξ dP
. Íà любые неотрицательные èç-
меримые функцииξинтеграл распространяетсÿ ïðè помощи формуëû
w
Ω
ξ dP = sup
n
w
Ω
ϕ dP,
ãäåϕпростàÿ è
ϕ ≤ ξo.
Ïðè ýòîì äîïóñêàþòñÿ è áåñêонечные çíàчения.
Далее, любаяF-измеримая функция ìîæåò áûòü представлена â âèäå
разности äâóõ неотрицательныхF-измеримых функций:
ξ = ξ+−ξ−, ãäå
ξ+(ω) := ξ(ω) ∨ 0 =
|ξ| + ξ
2
, ξ−(ω) := −(ξ(ω) ∧ 0) =
|ξ| − ξ
2
.
è использованы обозначения
a ∧ b = min{a, b}, a ∨ b = max{a, b}
Åñëè îáà çíàчения
r
Ω
ξ+dP
,
r
Ω
ξ−dP
êонечны, òîξназываетсÿ
интегри-
ðóåìîé
è интеграл определяетсÿ формуëîé
w
Ω
ξ dP =
w
Ω
ξ+dP −
w
Ω
ξ−dP.
Ïî òîé æå ñõåìå строитсÿ интеграл ïî ïðоизвольной неотрицательной
ìåðå, ò.å. функции
µ : F 7→ R ∪ {+∞}
, óдовлетворяющей óсловиям
• µ(∅) = 0
,
• µ (
S
∞
i=1
Ai) =
P
∞
i=1
µ(Ai),Ai∩ Aj= ∅,i 6= j
.
Типичным примером являетсÿ ìåðà Лебегàλíà
B(Rd)
, êоторая îäíî-
çíà÷íî определяетсÿ çíàчениями íà параллелепипедах:
λ([a1, b1] ×···× [ad, bd]) =
d
Y
i=1
(bi− ai).
Äëÿ интеграла ïî ìåðå Лебегà принято обозначение
w
R
d
f(x) dx :=
w
R
d
f(x)λ(dx).
Каждая случайная величинаξïîðîждает âåðîятностное простран-
ñòâî
(Rd, B(Rd), Pξ),
ãäå
Pξ
ðаспределениеξ, êоторое определяетсÿ êàê
образ ìåðûP, ò.å.
Pξ(B) := P(ξ−1(B)) = P({ω : ξ(ω) ∈ B}).
18 1.2. Случайные величины, интегрирование, õарактеристические функции
Случайная величина, принимающая êонечное èëè счетное ìíîæество
çíàчений, называетсÿ
дискретной
. Ïóñòü
ξ : Ω 7→ Z
, ãäå
Z ⊂ Rdêонечно
èëè счетно. Ðаспределение
Pξполностью определяетсÿ çíà÷åíèÿìè
pi= P(ξ = zi), zi∈ Z.
Набор çíàчений
pièíîãäà называетсÿ
вероятностной массой
. Здесь è
далее используåòñÿ принятàÿ â теории âåðîятностей сокращенная запись
P(ξ = zi) := P({ω : ξ(ω) = zi})
.
Случайная величина называетсÿ
непрерывной
(èëè
àáñîëþòíî непре-
рывной
), åñëè существуåò борелевскàÿ ôóíêöèÿ
f : Rd7→ R
òàêàÿ, ÷òî
P(ξ ∈ B) =
w
B
f(x)dx, B ∈ Rd.
Функцияfназываетсÿ
плотностью
распределения
Pξ(относительно ìå-
ðû Лебегà).
Äëÿ òîãî, чтобы задать функцию распределåíèÿ дискретной (соотв.,
непрерывной) случайной величины äîñòаточно óêазать âåðîятностную
массу (соотв., плотность распределения). Приведем типичные примеры.
•
Ðаспределение Бернулëè:|Z| = 2,p1, p2≥ 0,p1+ p2= 1
. Ïðè
Z =
{−1, 1}
используåòñÿ òàêæå термин
ðаспределение Ðàäåмахерà
.
•
Áèíîмиальное ðаспределение:|Z| = n + 1
,
pk= C
k
n
pkq
n−k
, C
k
n
=
n!
k!(n − k)!
, p, q ≥ 0, p + q = 1.
•
Ðаспределение Пуассона:Z = Z+,
pk= e
−λ
λ
k
k!
, λ > 0.
•
Ðàâíîмерное ðаспределениеíà[a, b]
:
f(x) =
1
b − a
, x ∈ [a, b], a < b.
•
Íîðìàльное (гауссовское) ðàñïðåäåление
:
f(x) =
1
√
2πσ
exp−
(x − µ)
2
2σ
2
, x ∈ R, µ ∈ R, σ > 0.
Ãëàâà 1. Основы современной теории âåðîятностеé 19
•
Экспоненциальное ðаспределение
:
f(x) = λe
−λx
, x ≥ 0, λ > 0.
Здесь
|Z|
число элементов ìíîæестваZ. Äëÿ íåóêазанных çíàчений
x
ñ÷èòàåòñÿ, ÷òî
f(x) = 0
.
Пример 1.8.
 ìîäåëèn-кратного ïîдбрасывания монеты (пример 1.1)
ïóñòü
ξ(ω)
êоличество элементов â последовательности
ω = (a1, . . . , an)
равныхH(ò.å. êоличество орлов, выпавших ïðènïîдбрасываниях).
Найдем распределениеξ.
Число элементарных èñõîäîâ, ñîñòавляющих событие
{ξ = k}, k = 1, . . . , n
равно число ïîäìíîæåñòâ ìíîæества
{1, . . . , n}
, ñîäåðæàùèõkэлемен-
òîâ. Действительно, êаждому òàêîìó ïîäìíîæеству
(i1, . . . , ik)
ìîæíî
ïîñòавить â соответствие элементарный èñõîä
ω = (a1, . . . , an)
, ó êîòî-
ðîãî
a
i
j
= H
, à îñòальные элементы равныT. Ïðè
k = 0
получаем
получаем, ÷òî
|{ξ = k}| = 1
. Ïî известной формуëå äëÿ числа сочетà-
íèé (ò.å. числа ïîäìíîæåñòâ ôèêсированного размера),
|{ξ = k}| = C
k
n
.
Âåðîятность êаждого элементарного èñõîäà èç
{ξ = k}
равна
pkq
n−k
.
Следовательно,ξимеет биномиальное распределение:
pk:= P(ξ = k) = C
k
n
pkq
n−k
, k = 0, . . . n.
Ïðè
n = 1
получаем распределение Бернуëëè.
Важную ðîëü ïðè вычислении функционалов îò случайных величин
играет
ôîðìóëà замены ïåðåменных
:
w
Ω
ϕ(ξ(ω)) P(dω) =
w
R
d
ϕ(x) Pξ(dx).
(1.2.2)
Îíà ñâîäèò вычисление абстрактного интеграла ê интегралу ïî распре-
делению
Pξзаданному íà
B(Rd)
. Äëÿ дискретных случайных величин
последний интеграл ñâîäèòñÿ ê сумме:
w
R
d
ϕ(x) Pξ(dx) =
X
zi∈Z
ϕ(zi)pi,
20 1.2. Случайные величины, интегрирование, õарактеристические функции
à äëÿ непрерывных случайíûõ величин ê интегралу ïî ìåðå Лебегà:
w
R
d
ϕ(x) Pξ(dx) =
w
R
d
ϕ(x)f(x) dx.
 теории âåðîятностей интеграл
r
Ω
ξ dP
называетсÿ
ìàòåматическим
ожиданиеì
è обозна÷àåòñÿEξ. Íàðÿäó ñ математическим îжиданием
важной числовой õарактеристикîé случайной величины являетсÿ åå
äèñ-
персия
:
Dξ = E(ξ − Eξ)2= E(ξ2− 2ξEξ + (Eξ)2) = E(ξ2) −(Eξ)2.
Здесь использовано свойство линейности интеграла (математическîãî
îжидания):
E(a1η1+ a2η2) = a1Eη1+ a2Eη2,
ãäå
ηi ñêалярные случайные величины, è
ai êîíñòàíòû.
Математическîå îжидание õарактеризуåò среднее çíàчение случайной
величины, à дисперсия разброс åå çíàчений вокруг среднего. Заметим,
÷òî математическîå îжидание, дисперсия è вообще функционалы âèäà
(1.2.2) зависÿò толькî îò распрåäåëåíèÿ случайной величины. Òàêèì îá-
разом, çíàчения функционала (1.2.2) äëÿ различных, íî îдинакîâî ðàñ-
пределенных случайных величин áóäóò îдинаковыми.
Пример 1.9.
Найдем математическîå îжидание è дисперсию распреде-
ления Ïóассона. Ïóñòüξимеет распределение Ïóассона ñ параметром
λ
(
ξ ∼ Π(λ)
). Òîãäà
Eξ =
w
R
d
x Pξ(dx) =
∞
X
i=0
ipi= e
−λ
∞
X
i=1
λ
i
(i − 1)!
= λ
∞
X
i=0
pi= λ.
Eξ2=
∞
X
i=0
i2pi= e
−λ
∞
X
i=1
iλ
i
(i − 1)!
= e
−λ
∞
X
i=0
(i + 1)λ
i+1
i!
= λ e
−λ
∞
X
i=0
iλ
i
i!
+ e
−λ
∞
X
i=0
λ
i
i!
!
= λ(λ + 1).
Dξ = Eξ2− (Eξ)2= λ(λ + 1) −λ2= λ.
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]