Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Основы стохастического анализа. Учебное пособие
.pdf
Ãëàâà 2. Мартингàëû è ìàðêовские процессы 101
Ïîëîæèì
G = (−∞, b) ∩ Z
. Äëÿ симметричного случайного блужда-
íèÿ íàZçàäà÷à (2.4.1), (2.4.2) принимает âèä
v(x) = f (x) +
1
2
v(x + 1) +
1
2
v(x − 1), x ∈ (−∞, b) ∩ Z, v(b) = g(b).
Ïóñòü ñíà÷àëà
f = 0,g = 1
. Найдем наименьшее неотрицательное
решение çàäà÷è
v(x) =
1
2
v(x + 1) +
1
2
v(x − 1), x ∈ (−∞, b) ∩ Z, v(b) = 1.
(2.4.12)
Ðàññóæäåíèÿ примера 2.19 ïîêазывают, ÷òî функция
w(x) = v(x)−v(x−
1)
являетсÿ постоянной ïðè
x < b
. Следовательно, функцияvлинейна:
v(x) = Ax + B, x ∈ (−∞, b) ∩Z.
(2.4.13)
Констàíòà
u(x) = 1
являетсÿ решением краевой çàäà÷è (2.4.12), è других
постоянных решений íåò. Èç âèäà семейства решений (2.4.13) ÿñíî, ÷òî
u
наименьшее неотрицательное решение. Ïî теореме 2.30,
u(x) = ExI
{τ<∞}
g(Xτ) = Px(τ < ∞), τ = inf{n ≥ 0 : Xτ= b}.
Òàêèì образом, âåðîятность достижåíèÿ симметричным случайным áëóæ-
данием любого уровняbравна 1.
Ðàññìîòðèì теперь случай
f = 1,g = 0
è ïîêàæåì, ÷òî единственным
неотрицательным решением çàäà÷è
v(x) = 1 +
1
2
v(x + 1) +
1
2
v(x − 1), x ∈ (−∞, b) ∩Z, v(b) = 0
(2.4.14)
являетсÿ функция
u(x) = +∞,x ∈ (−∞, b) ∩Z,u(b) = 0
. Êàê óêазано â
примере 2.19, äîñòаточно óñòановить, ÷òî уравнение íå имеет решений,
êоторые êонечны ïðè âñåõx. Êàê óæå áûëî отмечено, общим решением
îднороäíîé çàäà÷è (2.4.12) являетсÿ линейная функция:
ˆu(x) = Ax + b, x ∈ (−∞, b) ∩Z.
Ëåãêî проверить, ÷òî функция
ˆv(x) = −x2, x ∈ (−∞, b) ∩ Z
102 2.5. Броуновскîå äâèæåíèå è ãармонические функции
являетсÿ частным решением íåîднороäíîé çàäà÷è (2.4.14). Òàêèì îáðà-
çîì,
v(x) = Ax + b − x2, x ∈ (−∞, b) ∩ Z.
Íî ýòà функция íå являетсÿ неотрицательной.
Èòàê, ïî теореме 2.30,
u(x) = E
x
τ−1
X
k=0
1 = Exτ = ∞, x ∈ (−∞, b) ∩Z,
ò.å. îжидаемое время достижåíèÿ уровняbáåñêонечно.
2.5 Броуновскîå äâèæåíèå è ãармонические функции
ÏóñòüG ограниченная область (связное открытое ìíîæество) â
Rd. Íà êаноническîì пространстве
Ω = (Rd)
R
+
рассмотримd-мерное
броуновскîå äâèæåíèå
(Ω, F , (Ft)
t≥0
, W, Px)
. Ýòî îçíà÷àåò, ÷òî
W =
(W1, . . . , Wd)
, ãäå
Wi независимые броуновские äâèæåíèÿ. Ïóñòü
τ = inf{t ≥ 0 : Wt6∈ G}
Èç ограниченности ìíîæестваGè ñâîéñòâ îдномерного броуновскîãî
äâèæåíèÿ (пример 2.13) вытекàåò, ÷òî
τ < ∞ Px-ï.í.,
x ∈ G
. Ïîëîæèì
u(x) = Exg(Wτ)
, ãäåg непрерывная функция íà∂G.
Ðàññìîòðèì момент îñòановки
σ ≤ τ
. Заметим, ÷òî
τ = σ + τ ◦ θσ,
íî
Wτ= W
τ◦θ
σ
.
Используÿ строго ìàðêîâñêîå свойствоW, íàõîäèì
u(x) = Exg(Wτ) = ExEx(g(Wτ)|Fσ)) = ExEx(g(W
τ◦θ
σ
)|Fσ))
= ExE
W
σ
g(Wτ) = Exu(Wσ).
(2.5.1)
Лемма 2.14.
ПустьA îðòогональная матрица:
AAT= I
. Òîãäà
(AW, PAx)
является броуновским движеíèåì, начинающимся â точке
Ax
.
Ãëàâà 2. Мартингàëû è ìàðêовские процессы 103
Доказательство.
Процесс
AW
имеет независимые приращения è непре-
рывные траектории. Кроме òîãî,
EAx[(AWt− AWs)i(AWt− AWs)j] =
d
X
k,l=1
aikajlEAx[(Wt− Ws)i(Wt− Ws)j]
= (t − s)
d
X
k=1
aikajk= (t − s)AAT= (t − s)I.
Следовательно, êаждая êомпонентà процесса
AW
являетсÿ броуновским
äâèæением è óêазанные êомпоненты независимы: ñì. критерий незави-
симости êомпонент ãàóссовскîãî вектора â примере 1.14.
Лемма 2.15.
Пусть øàð
Br(x) = {y : |y − x| < r}
вложен âG. Ïîëî-
æèì
σ = inf{t ≥ 0 : Wt6∈ Br(x)}.
Òîãäà ðаспределение
Wσотноситеëüíî
Pxявляется единственной âå-
роятностной мерой
µ
x,r
íà
∂Br(x)
, инвариантной относитеëüíî âðà-
щений.
Доказательство.
Инвариантность âåðîятностной ìåðû
µ
0,r
вытекàåò èç
инвариантности многомерного броуновскîãî äâèæåíèÿ относительно âðà-
щений:
µ
0,r
(C) = P0(Wσ∈ C) = P0(AWσ∈ C) = P0(Wσ∈ A−1C) = µ
0,r
(A−1C)
äëÿ любой ортогональной матрицыA. Инвариантность
µ
x,r
ìîæíî âû-
вести èç инвариантности броуновскîãî äâèæåíèÿ относительно ñдвигов.
Äîêазательство единственности âåðîятностной ìåðû, инвариантной îò-
носительно вращений, ìîæíî найти â [30, теорема 6.11].
Вместе ñ формуëîé (2.5.1) лемма 2.15 ïîêазывает, ÷òî çíàчение ôóíê-
öèè
u(x)
равно среднему çíàчению ïî границе любого øàðà, целикîì
ëåæащего âG:
u(x) =
w
Br(x)
u(y)µ
r,x
(dy), Br(x) ⊂ G.
104 2.5. Броуновскîå äâèæåíèå è ãармонические функции
Òàêèå функции называютсÿ
ãàðмоническими
. Èç анализа известно, ÷òî
ãармоническàÿ функциÿ являетсÿ áåñêонечно ãëàäêîé âGè óдовлетво-
ðÿåò уравнению Лапласа:
∆u(x) =
d
X
i=1
∂2u
∂x
2
i
(x) = 0, x ∈ G.
(2.5.2)
Äîêазательство äанного утверждения ñì., например, â [30, теорема 6.2].
Заметим, ÷òî
u(x) = g(x), x ∈ ∂G.
(2.5.3)
Следовательно, åñëèuнепрерывна â замыкàíèèG, òî îíà решает çàäà÷ó
Дирихле äëÿ уравнения Ëàïëàñà.
Ïóñòü
τ
G
c
= inf{t > 0 : Wt∈ Gc}
. Òî÷êà
x ∈ ∂G
называетсÿ
регуляр-
íîé
, åñëè
Px(τ
G
c
= 0) = 1.
Ýòî îçíà÷àåò, ÷òî òðàåêторияW, íà÷èíающаясÿ â ðåãóëÿðíîé òî÷êå,
мгновенно попадает â
Gcñ âåðîятностью 1.
Функцияfназываетсÿ
ïîлунепрерывной снизу
, åcëè
{x : f(x) > a}
открыто äëÿ âñåõa. ßñíî, ÷òî непрерывная функция являетсÿ полуне-
прерывной снизу. Ìîæíî ïîêазать, ÷òî åñëè
fnполунепрерывны снизу
è
fn(x) ↑ f (x)
, òîfполунепрерывна снизу (óïð. 2.28).
Лемма 2.16.
Функция
x 7→ Px(τ
G
c
≤ t)
ïîлунепрерывна снизу íà
Rd.
Доказательство.
Äëÿ
s ∈ (0, t)
используÿ ìàðêîâñêîå свойство, íàõîäèì
ws(x) := Px(Wu∈ Gcäëÿ íåêоторого
u ∈ [s, t])
= Px(Wu◦ θs∈ Gcäëÿ íåêоторого
u ∈ [0, t − s])
= ExP
W
s
(Wu∈ Gcäëÿ íåêоторого
u ∈ [0, t − s])
=
w
R
d
ps(x, y)Py(Wu∈ Gcäëÿ íåêоторого
u ∈ [0, t − s]),
ãäå
ps(x, y)
плотность
Wsïðè
W0= x
. Правая часть данного равенства
непрерывна ïî теореме î ìàæорируåìîé ñõîдимости. Кроме òîãî,
ws(x) ↑
Px(τ
G
c
≤ t),s ↓ 0
. Êàê áûëî отмечено, îòñþäà следуåò, ÷òî последняя
функция полунепрерывна снизу.
Ãëàâà 2. Мартингàëû è ìàðêовские процессы 105
Лемма 2.17.
Пусть
y ∈ ∂G
регулярная точка. Åñëè
xn∈ G,xn→ y
,
òî
lim
n→∞
P
x
n
(τ
G
c
≤ t) = 1
(2.5.4)
äëÿ любого
t > 0
.
Доказательство.
Ïî лемме 2.16 ìíîæество
{x : Px(τ
G
c
≤ t) > 1 − ε}
открыто. Ïî определению ðåãóлярной точки,yпринадлежит данному
ìíîæеству:
Py(τ
G
c
≤ t) = 1
. Ñëåäовательно è
xnпринадлежит данно-
ìó ìíîæеству ïðè äîñòаточно большихn:
Px(τ
G
c
≤ t) > 1 − ε
. Â ñèëó
произвольностиεîòñþäà следуåò равенство (2.5.4).
Òеорема 2.31.
Пусть âñå ãðаничные точки îáластиGрегулярны. Òî-
ãäà функция
u(x) = Exg(Wτ)
непрерывна â замыканииGè значит ÿâ-
ляется ðåøåíèåì çàäà÷è (
2.5.2
), (
2.5.3
).
Доказательство.
Îñòàåòñÿ толькî äîêазать, ÷òî функцияuнепрерывна
â замыкàíèèG, ò.å. åñëè
xn→ y,xn∈ G
, òî
E
x
n
g(Wτ) = g(y)
. Ñíà÷à-
ëà ïîêàæåì, ÷òî åñëè траекторияWíàчинаетсÿ вблизи
y ∈ ∂G
, òî ñ
большой âåðîятностью îíà выйдет èçGòàêæå вблизиy:
lim
n→∞
P
x
n
(Wτ∈ Bδ(y)) = 1, δ > 0.
(2.5.5)
Äëÿ заданного
ε > 0
выберем
t > 0
настолькî малым, ÷òî
P
0
sup
s≤t
|Wt| ≥ δ/2< ε.
Выберемnнастолькî большим, ÷òî
|xn− y| ≤ δ/2èP
x
n
(τ ≤ t) ≥ 1 − ε
(ñì. лемму 2.17). Òîãäà
P
x
n
(Wτ∈ B(y, δ)) ≥ P
x
n
(τ ≤ t, sup
s≤t
|Ws− xn| ≤ δ/2).
Воспользовавшись элементарным неравенством
P(A) = P(A ∩ B) + P(A ∩ Bc) ≤ P(A ∩ B) + P(Bc),
получим
P
x
n
(Wτ∈ B(y, δ)) ≥ P
x
n
(τ ≤ t) −P
x
n
(sup
s≤t
|Ws− xn| > δ/2)
= P
x
n
(τ ≤ t) −P0(sup
s≤t
|Ws| > δ/2) ≥ (1 −ε) −ε.
106 2.6. Упражнения
Îòñþäà вытекàåò (2.5.5).
Далее, â ñèëó непрерывностиgäëÿ любого
ε > 0
существуåò
δ > 0
òàêîå, ÷òî
|g(z) −g(y)| < ε
, åñëè
|z − y| < δ
. Заметим, ÷òî
|E
x
n
(g(Wτ)I
{Wτ6∈Bδ(y)}
)| ≤ max
x∈∂G
|g(x)|P
x
n
(Wτ6∈ Bδ(y)) → 0,
(2.5.6)
ïðè
n → ∞
â ñèëó (2.5.5). Кроме òîãî,
|E
x
n
g(Wτ)I
{Wτ∈Bδ(y)}
− g(y)P
x
n
(Wτ∈ Bδ(y))|
= |E
x
n
(g(Wτ) −g(y))I
{Wτ∈Bδ(y)}
| ≤ εP
x
n
(Wτ∈ Bδ(y)).
(2.5.7)
Èç соотношений (2.5.5) (2.5.7) вытекàåò, ÷òî
E
x
n
g(Wτ) = E
x
n
(g(Wτ)I
{Wτ6∈Bδ(y)}
) + E
x
n
(g(Wτ)I
{Wτ∈Bδ(y)}
)
ñõîäèòñÿ ê
g(y)
.
2.6 Упражнения
2.1.
ÏóñòüXсупермартингàë è
EXníå зависит îòn. Äîêазать, ÷òî
X
мартингàë.
2.2.
ÏóñòüX симметричное случайное блужданиå:
X0= 0, Xn= Z1+ ··· + Zn, P(Zn= 1) = P(Zn= −1) = 1/2.
Ïîêазать, ÷òî процесс
Yn= (−1)ncos(πXn)
являетсÿ мартингàëîì îòíî-
сительно естественной ôèëüтрацииX.
2.3.
Ïîêазать, ÷òî äëÿ любой случайной величины
τ : Ω 7→ Z+следую-
ùèå óсловия эквивалентны:
{τ ≤ n} ∈ Fn, n ∈ Z+,
{τ = n} ∈ Fn, n ∈ Z+.
2.4.
Привести пример процесса, êоторый îдновременно íå являетсÿ ìàð-
òèíãàëîì, субмартингàëîì è ñóïåðìàðòèíãàëîì.
2.5.
ÏóñòüX,Yявляютсÿ мартингалами. Ïîêазать, ÷òî
Zn= Xn∨ Y
n
являетсÿ ñóбмартинãàëîì. Привести пример, êîãäàZíå являетсÿ ìàð-
òèíãàëîì.
Ãëàâà 2. Мартингàëû è ìàðêовские процессы 107
2.6.
ÏóñòüX,Y супермартингàëû èτ момент îñòановки. Ïîêазать,
÷òî
Zn= XnI
{n<τ}
+ YnI
{n≥τ}
являетсÿ супермартингàëîì, åñëè
Xτ≥ Yτ.
2.7.
ÏóñòüX симметричное случайное блуждание (èç óïð. 2.2) è
(Fn)
n∈Z
+
åãî естественная ôèëüтрация. Ïóñòü
|X| = A + M
ðàç-
ëîæåíèå Äóáà субмартингàëà
|X|
. Ïîêазать, ÷òî мартингальная часть
данного разлоæåíèÿ äîïóñêàåò представление
Mn=
P
n
i=1
Hi(Xi−X
i−1
)
ñ предскàçóåìûì процессомHè найти явное âûðàæåíèå äëÿH.
2.8.
ÏóñòüM ограниченный мартингàë:
|Mn| ≤ K
. Äîêазать, ÷òî
Xn=
n
X
k=1
1
k
(Mk− M
k−1
)
являетсÿ мартингàëîì, êоторый ñõîäèòñÿ ï.í. è â
L2.
2.9.
Ïóñòü
(ξi)
∞
i=1
независимые случайные величины,
P(ξi= 0) =
P(ξi= 2) = 1/2
, è
Xn=
Q
n
i=1
ξi. Äîêазать, ÷òî íå существуåò случайной
величиныξè ôèëüтрации
(Fn)
n≥0
òàêèõ, ÷òî
Xn= E(ξ|Fn)
.
2.10.
Ïóñòü
(ξi)
∞
i=1
независимые случайные величины,
P(ξi= −1) = p
,
P(ξi= 1) = q,q > pèXn=
P
n
i=1
ξi.
•
Ïîêазать, ÷òî
Xn→ −∞
ï.í.
•
Ïîêазать, ÷òî процесс
Yn= (q/p)
X
n
являетсÿ мартингàëîì è äîêà-
çàòü, ÷òî
lim
n→∞Yn
= 0
.
•
Ïóñòü
τ = inf{n : Xn6∈ (−a, b)},a, b ∈ N
. Ïîêазать, ÷òî
lim
n→∞
EZ
n∧τ
= EZτ= 1.
•
Найти
P(Xτ= b)
.
2.11.
Ðàññìîòðèì последовательность независимых случайных величин
ξn:
P(ξn= 1) = 2−n, P(ξn= 0) = 1 −2 ·2−n, P (ξn= −1) = 2−n.
Ïóñòü
Xn= Y1+ ··· + Yn,
Fn= σ(Xk, k ≤ n)
.
108 2.6. Упражнения
•
Ïîêазать, ÷òîXявляетсÿ мартингàëîì относительно
(Fn)
.
•
Найти êомпенсатор субмартингàëà
X2.
•
Ïîêазать, ÷òîXñõîäèòñÿ ï.í. è â
L2.
2.12.
Ïîêазать, ÷òî
Cov(Ws, Wt) = s ∧ t.
2.13.
Найти распределение случайной величины
tW
1/t
.
2.14.
Ïóñòü
Y ∼ N (0, 1)
. Являетсÿ ëè процесс√tY
броуновским äâèæå-
íèåì?
2.15.
Ïîêазать, ÷òî
E(W
3
t
|Fs) = 3(t − s)Ws+ W
3
s
.
2.16.
Ïîêазать, ÷òî
E(W
4
t
|Fs) = 3(t − s)2+ 6(t − s)W
2
s
+ W
4
s
.
2.17.
Ïîêàçàòü, ÷òî процесс
Xt= W
3
t
−3
r
t
0
Wsds
являетсÿ мартингàëîì
относительно естественной ôèëüтрации броуновскîãî äâèæåíèÿ.
2.18.
Найти
lim
t→∞
E(I
{Wt≤a}
), lim
t→∞
E(WtI
{Wt≤a}
).
2.19.
Найти совместное распределение
(Ws, Wt)
.
2.20.
Найти
lim
t→∞
EX
α
t
, ãäå
Xt= e
θWt−
θ
2
2
t
,
α ∈ (0, 1)
.
2.21.
Найти предел мартингàëà
Xt= e
θWt−
θ
2
2
t
ïðè
t → ∞
. Являетсÿ ëè
данный мартингàë равномерно интeгрируåìûì?
2.22.
Используÿ лемму î независимости, äîêазать, ÷òî
Xt= E(I
{WT>0}
|Ft) = Φ
W
t
T − t
,
ãäåΦ функция распределения ñòандартной нормальной случайной âå-
личины:
Φ(u) = P(Z ≤ u),Z ∈ N (0, 1)
è äîêазать, ÷òî
lim
t↑T
Xt= I
{WT>0}
ï.í.
2.23.
Проверить, ÷òî âåðîятностные ìåðû (2.3.6) обладают свойством
ñîãласованности.
2.24.
Проверить, ÷òî относительно семейства âåðîятностных ìåð (2.3.6)
êîîðдинатный процесс
Xtявляетсÿ ìàðêовским è åãî перехîäíàÿ ôóíê-
öèÿ совпадает ñ
(Qt)
t∈T
.
Ãëàâà 2. Мартингàëû è ìàðêовские процессы 109
2.25.
Проверить, ÷òî семейство перехîäíûõ âåðîятностей (2.3.9) óдовле-
òâîðÿåò уравнениям Колмогорова-Чепмена.
2.26.
Проверить, ÷òî броуновскîå äâèæåíèå являетсÿ процессом Фелле-
ðà.
2.27.
Äîêазать, ÷òî решение çàäà÷è (2.4.8), (2.4.9) единственно.
2.28.
Ïóñòüfявляетсÿ пределом неубывающей последовательности ôóíê-
öèé
fn, полунепрерывных снизу. Äîêазать, ÷òîfполунепрерывна снизу.
2.29.
Ðàñсмотриì çàäà÷ó î разорении, â êоторой âåðîятность выигрыша
íà êаждом øàãå равна
p ∈ (0, 1)
. Формально, ïóñòüX ìàðêовский
процесс ñî çíàчениями â
Z+ñ перехîäíîé функцией
Q(i, {i + 1}) = p, Q(i, {i − 1} = 1 − p, i > 0, Q(0, {0} = 1).
Ïîêазать, ÷òî ïî теореме 2.30 âåðîятность ðàçîðåíèÿ
v(i)
являетсÿ íàè-
меньшим неотрицательным решением çàäà÷è
v(i) = pv(i + 1) + (1 −p)v(i − 1), i > 0; v(0) = 1
è найти ýòî ðåшение.
2.30.
ÏóñòüX ìàðêовский процесс ñî çíàчениями â
{0, . . . , m}
ñ ïå-
ðåõîäíîé функцией
Q(i, {i + 1}) = p, Q(i, {i − 1} = 1 − p, i = 1, . . . , m − 1,
Q(0, {0} = 1), Q(m, {m}) = 1.
Ìîæíî ñ÷èòàòü, ÷òîX êàïèòàë игрокà, êоторый â êаждой èãðå âûèã-
рывает ñ âåðîятностью
p ∈ (0, 1)
. Èãðà ïðîäîëæàåòñÿ äî òåõ ïîð, ïîêà
игрок íå разоритсÿ èëè íå выиграетm(рублей). Ïîêазать, ÷òî âåðîÿò-
ность
v(i)
òîãî, ÷òî èãðà çàêончитсÿ выигрышемmрублей определяетсÿ
формуëîé
v(i) =
P
i−1
k=0
ρ
k
P
m−1
k=0
ρ
k
, ρ =
q
p
.
2.31.
ÏóñòüX ìàðêовский процесс ñî çíàчениями â
Z+ñ перехîäíîé
функцией
Q(i, {i + 1}) = pi, Q(i, {i − 1} = 1 − pi, i > 0, Q(0, {0} = 1).
110 2.6. Упражнения
Данный процесс (процесс ðîждения-гибели) описывает численность ïî-
ïóляции. Здесь
pi∈ (0, 1)
âåðîятность òîãî, ÷òî ðîждение особи ïðî-
изойдет раньше гибели, åñëè численнность ïîïóляции равнаi.
Ïóñòü
γi=
q1. . . q
i
p1. . . p
i
, qi= 1 −pi.
Äîêазать, ÷òî âåðîятность исчезновения ïîïóляции
v(i)
определяетсÿ
формуëîé
v(i) =
1,
P
∞
k=0
γk= ∞
P
∞
j=i
γ
j
P
∞
j=0
γ
j
,
P
∞
k=0
γk< ∞.
2.32.
Äëÿ ìàðêîâñêîãî процесса ñ пространством состоÿíèé
{1, 2, 3}
è
матрицей перехîäíûõ âåðîятностей
(Q(i, {j})) =
1/2 1/2 0
1/3 1/3 1/3
0 0 1
найти îжидаемое время достижåíèÿ состоÿíèÿ3:
v(i) = Eiτ3.
2.33.
Ïóñòü
(Xt)
t∈Z
+
ìàðêовский процесс íà
Rdc ïåðåõîäíîé функци-
åéQ. Используÿ ìåòîä первого øàãà, ïîêазать, ÷òî äèñêонтированный
выигрыш
v(x) = E
x
∞
X
t=0
βtf(Xt)
óдовлетворÿåò уравнению
v(x) = f (x) + βExv(X1).
2.34.
Ïóñòü
(Xt)
t∈Z
+
ìàðêовский ïðîöåññ ñî çíàчениями â борелевскîì
ìíîæестве
G ⊂ Rdc перехîäíîé функциейQ. Äîêазать, ÷òî åñëè
ϕ
являетсÿ
ãàðмонической
:
w
G
Q(x, dy)ϕ(y) − ϕ(x) = 0, x ∈ G,
òî процесс
ϕ(X)
являетсÿ ìàðòèíãàëîì относительно âñåõ ìåð
Px,
x ∈ G
.
2.35.
Ïóñòü
W
x
t
= x + Wt. Используÿ формуëó Òейлора, äîêазать, ÷òî
lim
t→0
ϕ(W
x
t
) −ϕ(x)
t
=
1
2
ϕ00(x).
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]