Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Основы стохастического анализа. Учебное пособие
.pdf
Ãëàâà 3. Ñòîõастическîå исчисление 141
ПроцессfW
2
t
− t
òàêæå являетсÿ мартингàëîì:
E(fW
2
t
− t|fFs) = E(M
2
τ
t
− [M ]
τ
t
|F
τ
s
) = M
2
τ
s
− [M ]
τ
s
=fW
2
s
− s.
Утверждение теоремы следуåò òåïåðü èç теоремы Ëåâè.
3.6 Âåðîятностные ïредставления решений уравнений Ïóàñ-
ñîíà è теплопроводности
Обозна÷èì черезC,
Cbìíîæества íåïðåðûâíûõ è непрерывных îãðà-
ниченных функций. Ïóñòü
G ⊂ Rd ограниченное открытое ìíîæество
è
u ∈ C
2
b
(G) ∩C(G)
решение уравнения
−
1
2
∆u = −
1
2
d
X
i=1
∂2u
∂x
2
i
= f(x), x ∈ G; u(x) = g(x), x ∈ ∂G,
(3.6.1)
f ∈ C(G),g ∈ C(∂G)
. Ïóñòü
W = (W1, . . . , Wd)
ñòандартноеd-мерное
броуновскîå äâèæåíèå. Обозна÷èì через
τx,
x ∈ G
момент âûõîäà ïðî-
цесса
X = x + WèçG
:
τx= inf{t ≥ 0 : Xt6∈ G}.
Èç ограниченностиGè свойств îдномерного броуновскîãî äâèæåíèÿ (ñì.
пример 2.13) вытекàåò, ÷òî
P(τx< ∞) = 1
è äàæå
Eτx< ∞
. Ïóñòü
ρ(x, A)
расстоÿíèå îò точкиxäî ìíîæестваA. Ðассмотрим последо-
вательность моментов îñòановки
τ
x
n
= inf{t ≥ 0 : ρ(Xt, Gc) < 1/n} % τx, Gc:= Rd\G.
Ïîñêольку
[Wi, Wj] = 0,i 6= j
, òî формуëå Èòî
u(X
τ
x
n
) = u(x) +
d
X
i=1
u
x
i
(X
τ
x
n
) ◦(X
τ
x
n
)i+
1
2
d
X
i,j=1
u
xix
j
(X
τ
x
n
) ◦[(X
τ
x
n
)i, (X
τ
x
n
)j]
= u(x) + M
τ
x
n
+
1
2
(∆u(X) ◦t)
τ
x
n
,
ãäå
M =
P
d
i=1
u
x
i
(X) ◦ (X )i. Ëîêальный мартингàë
M
τ
x
n
ограничен, è
çíà÷èò являетсÿ мартингàëîì. Îòñþäà следуåò, ÷òî
Eu(X
t∧τ
x
n
) = u(x) −E
w
t∧τ
x
n
0
f(Xs) ds.
(3.6.2)
142
3.6. Âåðîятностные представления ðåøåíèé уравнений Ïóассона è
теплопроводности
Перехîäÿ ê пределу ïðè
n → ∞
, ïî теореме î ìàæорируåìîé ñõîдимости
заключаем, ÷òî
Eu(X
t∧τ
x
) = u(x) −E
w
t∧τ
x
0
f(Xs) ds.
 ñèëó êонечности
τxимеем
X
t∧τ
x
→ X
τ
x
,
t → ∞
è, ïî теореме î
ìàæорируåìîé ñõîдимости,
Eu(X
t∧τ
x
) → Eu(X
τ
x
) = Eg(X
τ
x
), t → ∞
òàê êàê
X
τ
x
∈ ∂G
. Кроме òîãî,
w
t∧τ
x
0
f(Xs) ds
≤ Cτ
x
ñ íåêоторой êîíñòантойC. Íî ïîñêольку
Eτx< ∞
, òî ïî òîé æå теореме
E
w
t∧τ
x
0
f(Xs) ds → E
w
τ
x
0
f(Xs) ds, t → ∞.
Òàêèì образом, èç (3.6.2) получаем âåðîятностное представление ðåøå-
íèÿ çàäà÷è (3.6.1):
u(x) = E
w
τ
x
0
f(W
x
s
) ds + g(W
x
τ
x
), Wx= x + W.
(3.6.3)
Пример 3.9.
Ðàñсмотриì следующую îдномерную êðàåâóþ çàäà÷ó:
−
1
2
u00(x) = 1, x ∈ (−a, b), u(−a) = u(b) = 0,
(3.6.4)
ãäå
a, b > 0
. Ïî формуëå (3.6.3) функция
u(x) = Eτ
x
представляет собой среднее время âûõîäà процесса
Wx= x + W
èç
интервала
(−a, b)
. Íî çàäà÷à (3.6.4) имеет единственное ãëàäêîå решение
u(x) = −x2+ (b − a)x + ab.
 частности,
Eτ0= ab
, ÷òî совпадает ñ ðåçóëüòàòîì примера 2.13.
Ðàññìîòðèì теперь çàäà÷ó
−
1
2
u00(x) = 0, x ∈ (−a, b), u(−a) = 0, u(b) = 1.
(3.6.5)
Ãëàâà 3. Ñòîõастическîå исчисление 143
Ïî формуëå (3.6.3) åå ðåøåíèå
u(x) = EI
{W
x
τ
x
=b}
= P(W
x
τ
x
= b)
совпадает ñ âåðîятностью âûõîäà процесса
Wxèç интервала
(−a, b)
через
правую границу. Единственное ãëàäêîå решение çàäà÷è (3.6.5) имеет âèä
u(x) =
x + a
b + a
.
 частности,
P(W
0
τ
0
= b) = a/(b + a)
. Ýòîò ðåçóëüòàò òàêæå áûë получен
â примере 2.13.
Пример 3.10.
Ëåãêî проверить, ÷òî функция
v(x) =
(
ln |x|, d = 2;
|x|−1, d = 3
являетсÿ ãармоническîé íà
Rd\{0}
. Ïóñòü
G = {x ∈ Rd: r < |x| < R}
.
ßñíî, ÷òî решением çàäà÷è
−
1
2
∆u = 0, x ∈ G; u(x) = 1, |x| = r; u(x) = 0, |x| = R
являетсÿ функция
u(x) =
(
(ln R − ln |x|)/(ln R −ln r), d = 2;
(R−1− |x|−1)/(|R|−1− r−1), d = 3.
(3.6.6)
ÏóñòüW ñòандартное броуновскîå äâèæåíèå â
Rd,
x ∈ G
è
τ
x
r
= inf{t ≥ 0 : |W
x
t
| = r}, τ
x
R
= inf{t ≥ 0 : |W
x
t
| = R}
моменты âûõîäà процесса
Wx= x + WèçG
через ¾внутреннюю¿ è
¾внешнюю¿ границы соответственно. Ïîëîæèì
τx= τ
x
r
∧ τ
x
R
. Ñîãласно
(3.6.3)
u(x) = P(|W
x
τ
x
| = r) = P(τ
x
r
< τ
x
R
)
представляет собой âåðîятность âûõîäà через внутреннюю граниöó. Çà-
метим, ÷òî
τ
x
n
< ∞
ï.í. è
τ
x
n
% ∞,n → ∞
, â ñèëó ÷åãî
P (τ
x
r
< ∞) = P
∞
[
n=1
{τ
x
r
< τ
x
n
}
!
144
3.6. Âåðîятностные представления ðåøåíèé уравнений Ïóассона è
теплопроводности
è, после перехîäà ê пределу â (3.6.6), íàõîäèì
P(τ
x
r
< ∞) = lim
n→∞
P(τ
x
r
< τ
x
n
) =
(
1, d = 2;
r/|x|, d = 3.
Òàêèì образом, ïðè
d = 2
почти âñå траектории броуновскîãî äâèæåíèÿ,
ñòартующего èç точкиxñ
|x| > r
, пересекàþò øàð радиуñàrñ центром
â íóëå. Ïðè
d = 3
âåðîятность пересечения траекторий ñ òàêèì шаром
меньше1.
Ïóñòü
τ
x
0
= inf{t : W
x
t
= 0}
момент первого пересечения траекто-
ðèåé
Wxíà÷àëà êîîðдинат. Заметим, ÷òî
P(τ
x
0
< τ
x
R
) ≤ P(τ
x
r
< τ
x
R
) = u(x) → 0, r → 0.
Следовательно,
P(τ
x
0
< τ
x
R
) = 0
äëÿ любогоR. Îòñþäà вытекàåò, ÷òî
P(τ
x
0
< ∞) = lim
n→∞
P(τ
x
0
< τ
x
n
) = 0.
Òàêèì образом, âåðîятность òîãî, ÷òî траектория
Wx,
x 6= 0
пройдет
через íà÷àëî êîîðдинат, равна íóëþ.
Ðàññìîòðèì çàäà÷ó Êîøè äëÿ уравнения теплопроводности
−
∂u
∂t
−
1
2
∆u = f (t, x), (t, x) ∈ Π = (0, T ) ×Rd, u(T, x) = g(x).
Заметим, ÷òî íàчальное óсловие ïîñòавлено íà âåðõíåé границе полосы
(ïðè
t = T
). Òàêàÿ форма записи более естественна â теории случайных
процессов.
Предполоæèì, ÷òî
u ∈ C
1,2
(Π) ∩Cb(Π)èf ∈ Cb(Π),g ∈ Cb(Rd)
. Äëÿ
(t, x) ∈ Π
рассмотрим процесс
W
t,x
s
= x + W
s−t
, s ∈ [t, T ],
ãäåW ñòандартноеd-мерное броуновскîå äâèæåíèå. Ïðè
s < T
ïî
Ãëàâà 3. Ñòîõастическîå исчисление 145
формуëå Èòî имеем
u(s, W
t,x
s
) −u(t, x) =
w
s
t
ut(r, W
t,x
r
) dr +
d
X
i=1
w
s
t
u
x
i
(r, W
t,x
r
) d(W
t,x)i
r
+
1
2
d
X
i,j=1
w
s
t
u
xix
j
(r, W
t,x
) d[(W
t,x)i
, (W
t,x)j
]r= M +
w
s
t
(ut+
1
2
∆u)(r, W
t,x
r
) dr
=Mt−
w
s
t
f(r, W
t,x
r
) dr,
(3.6.7)
ãäå
M =
P
d
i=1
r
s
t
u
x
i
(r, W
t,x
r
) d(W
t,x)i
r
∈ M
loc
. Èç (3.6.7) вытекàåò, ÷òî
ëîêальный мартингàëMограничен, è çíà÷èò являетсÿ мартингàëîì.
Следовательно,
Eu(s, W
t,x
s
) −u(t, x) = −E
w
s
t
f(r, W
t,x
r
) dr, s < T .
(3.6.8)
Перехîäÿ ê пределу ïðè
s → T
, ïî теореме î ìàæорируåìîé ñõîäèìî-
ñòè заключаем, ÷òî â формуëå (3.6.8) ìîæíî ïîëîæèòü
s = T
. Òàêèì
образом,
u(t, x) = E
w
T
t
f(r, W
t,x
r
) dr + g(W
t,x
T
).
 частности, ïðè
f = 0,d = 1
получаем формуëó
u(t, x) = Eg(x + W
T −t
) =
1
p
2π(T − t)
w
R
g(x + y) exp−
y
2
2(T − t)
dy,
ïîñêольку
W
T −t
∼ N (0, T − t)
.
3.7 Ñòîõастические äèфференциальные уравнения, ñòîõàñòè-
÷åñêàÿ ýêñïîíåíòà
Ïóñòü
Y = (Y1, . . . , Yd)d
-мерный непрерывный семимартингàë è
f : R+× R 7→ Rd. Ñòîõастическим дифференциальным уравнением íà-
зываетсÿ интегральное уравнение
Xt= x +
d
X
i=1
w
t
0
fi(s, Xs)dY
i
s
,
(3.7.1)
1463.7. Ñòîõастичесêèå дифференциальные уравнения, ñòîõастическàÿ ýêспонентà
ãäåY непрерывный семимартингàë. Формально åãî записывают â äèô-
ференциальной форме:
dXt=
d
X
i=1
fi(t, Xt)dY
i
t
, X0= x.
(3.7.2)
Ðåøåíèåì уравнения (3.7.2) называетсÿ ñîãласованный ñ рассматривае-
ìîé ôèëüтрацией непрерывный семимартингàëX, äëÿ êоторого верно
равенство (3.7.1).
Òеорема 3.23.
Пустьfудовлетворяет óñловию Липшица ïî прострàí-
ственной ïåðåменной:
d
X
i=1
|fi(t, x) −fi(t, x)| ≤ K|x − y|, x, y ∈ R.
Òîãäà óðавнение (
3.7.2
) имеет единственное ðåøåíèå.
Ðàññмотриì простейший пример линейного ñòîõастическîãî диффе-
ренциального уравнения
dX = XdY, X0= 1
(3.7.3)
è найдем åãî решение â явном âèäå. Заметим, ÷òî существование è åäèí-
ственность решения вытекàåò èç теоремы 3.23. Ìû îäíàêî, используåì
рассуждение, íå опирающеесÿ íà óêазанную теорему.
Òеорема 3.24.
Стохастическое äèôференциальное óðавнение (
3.7.3
)
имеет единственное решение
E (Y ) := expY −
1
2
[Y ],
(3.7.4)
Доказательство.
Непосредственно проверÿåòñÿ, ÷òî (3.7.4) являетсÿ ðå-
шением (3.7.3). Действительно, применяя формуëóÈòî ê процессу
exp(Z)
,
Z = Y − [Y ]/2,
íàõîäèì
d exp(Z) = exp(Z)dZ +
1
2
exp(Z)d[Z]
= exp(Z)(dY −
1
2
d[Y ]) +
1
2
exp(Z)d[Y ] = exp(Z)dY.
Ãëàâà 3. Ñòîõастическîå исчисление 147
Ïóñòü теперьU íåêоторое решение уравнения (3.7.3):
U = 1+U ◦Y
.
Введем процесс
V = 1/E (Y ) = exp(−Y + [Y ]/2)
. Заметим, ÷òî
dV = exp(−Y + [Y ]/2)d(−Y + [Y ]/2) +
1
2
exp(−Y + [Y ]/2)d[Y ]
= −V dY + V d[Y ].
Применим формуëó интегрирования ïî ÷àñòÿì
d
U
E (Y )
= d(UV ) = UdV + V dU + d[U,V ]
= UV d(−Y + [Y ]) + UV dY + d[U ◦ Y, −V ◦ Y ] = 0.
Здесь учтено, ÷òî
d[U ◦ Y, −V ◦Y ] = −UV d[Y ]
. Следовательно,
U
E (Y )
=
U
0
E (Y )
0
= 1.
Случайный процесс (3.7.4) называетсÿ
стохастической экспонеíòîé
семимартингàëàY. ÅñëèY процесс Èòî:
dY = µdt + σdW
, òî
E (Y ) = exp((µ − σ2/2) ◦t + σ ◦ W ).
Åñëèµ,σпостоÿííû, òî
E (Y ) = exp((µ − σ2/2)t + σW )
называетсÿ
ãåîметрическим броуновским движениеì
. Данный процесс
X
óдовлетворÿåò ñòîõастическîìó дифференциальному уравнению
dX = X(µdt + σdW ), X0= 1.
Ïóñòü
Yt= (t, Wt),f(x) = (µ(x), σ(x))
. Òîãäà уравнение (3.7.2) ïðè-
нимает âèä
dXt= µ(Xt)dt + σ(Xt)dWt, X0= x.
(3.7.5)
Íåñêîëüêî примеров предлагàåòñÿ â êàчестве упражнений â 3.10. Ìû
áóäåì использовать следующий ðåçóëüòàò.
148
3.8. Âåðîятностные представления решений параболических уравнений ñ
переменными êоэффициентàìè
Òеорема 3.25.
Пусть êîýôфициентыµ,σудовлетворяют óñловию Ëèï-
øèöà:
|µ(x) −µ(y)| + |σ(x) −σ(y)| ≤ K|x − y|, x, y ∈ R.
Òîãäà óðавнение
dXt= µ(Xt)dt + σ(Xt)dWt, X0= x
имеет единственное решение. Ïðè ýòîì
E sup
t∈[0,T ]
X
2
t
< ∞.
(3.7.6)
3.8 Âåðîятностные представления решений параболических
уравнений ñ переменными êîýôôициентàìè
Âûøå решения уравнений òåïлопроводности è Ïóассона áûëè âûðà-
æåíû через броуновскîå äâèæåíèå. Аналогичным образом решения ïà-
раболических è ýëëиптических уравнений ñ переменными êоэффициен-
òàìè могут áûòü выражåíû через решения ñòîõастических дифферен-
циальных уравнений. Ðассмотрим случай параболическîãî уравнения ñ
îäíîé пространственной переменной.
Пример 3.11.
Ðàññìîòðèì çàäà÷ó Êîøè (записанную â обратном âðå-
ìåíè) äëÿ параболическîãî уравнения ñ переменными êоэффициентàìè:
vt(t, x) + µ(x)vx(t, x) +
1
2
σ2(x)vxx(t, x) = −f(t, x), (t, x) ∈ (0, T ) ×R,
v(T, x) = g(x).
(3.8.1)
Ïóñòü êоэффициентыµ,σóдовлетворÿþò óсловию Липшица è
σ > 0
.
Функцииf,gпредполагàþòñÿ непрерывными.
Ïóñòü
v ∈ C
1,2
([0, T ) × R) ∩ C([0, T ] ×R)
è ïóñòü функцииv,fóäî-
влетворÿþò óсловию êâàäратическîãî ðîñòà:
|v(t, x)| + |f(t, x)| ≤ C(1 + x2), (t, x) ∈ [0, T ] ×R.
Ïî теореме 3.23 существуåò единственное решение
X
t,x
уравнения
Ys= x +
w
s
t
µ(Yu) du +
w
s
t
σ(Yu) dWu, s ∈ [t, T ].
Ãëàâà 3. Ñòîõастическîå исчисление 149
Применим ê процессу
v(s, X
t,x
s
)
формуëó Èòî:
dv(s, X
t,x
) = vt(s, X
t,x
) + vx(s, X
t,x
)dX
t,x
+
1
2
vxx(s, X
t,x
)d[X
t,x
]
=vt(s, X
t,x
) + µ(X
t,x
)vx(s, X
t,x
) +
1
2
σ2(X
t,x
)vxx(s, X
t,x
)ds
+ σ(X
t,x
)vx(s, X
t,x
)dWs.
Данную формуëó êорректно применять â области
[0, T )×R
, ãäå функция
v
являетсÿ ãëàäêîé:
v(s, X
t,x
s
) = v(t, x) +
w
s
t
σ(X
t,x
u
)vx(u, X
t,x
u
)dW
u
+
w
s
t
vt(s, X
t,x
u
) + µ(X
t,x
u
)vx(u, X
t,x
u
) +
1
2
σ2(X
t,x
u
)vxx(u, X
t,x
u
)du
=v(t, x) +
w
s
t
σ(X
t,x
u
)vx(u, X
t,x
u
)dWu−
w
s
t
f(u, X
t,x
u
)du,
(3.8.2)
ïðè
s ∈ [t, T ).
Åñëè áû ñòîõастический интеграл â (3.8.2) áûë мартингàëîì, è ìîæíî
áûëî ïîëîæèòü
s = T
, òî после вычисления математическîãî îжидания
получилось áû èñêîìîå представление:
v(t, x) = E
w
T
t
f(u, X
t,x
u
)du + g(X
t,x
T
).
(3.8.3)
Здесь использовано òàêæå граничное óсловие (3.8.1).
Чтобы вывести (3.8.3) строго, введем последовательность моментов
îñòановки
τn= inf{s ≥ t :
w
s
t
σ2(X
t,x
u
)v
2
x
(u, X
t,x
u
)du ≥ n} ∧ T.
ßñíî, ÷òî
τn% T,n → ∞
è îñòановленный процесс
u 7→ σ(X
t,x
u∧τ
n
)vx(u ∧ τn, X
t,x
u∧τ
n
)
принадлежит
L2(W )
. Îòñþäà следуåò, ÷òî процесс
s 7→
w
s∧τ
n
t
σ(X
t,x
u
)vx(u, X
t,x
u
)dW
u
150
3.8. Âåðîятностные представления решений параболических уравнений ñ
переменными êоэффициентàìè
являетсÿ мартингàëîì è èç (3.8.2) вытекàåò равенство
v(t, x) = Ev(s ∧ τn, X
t,x
s∧τ
n
) + E
w
s∧τ
n
t
f(u, X
t,x
u
)du.
Неравенства
v(s ∧ τn, X
t,x
s∧τ
n
) ≤ C(1 + sup
s∈[0,T ]
(X
t,x
s
)2),
w
s∧τ
n
t
f(u, X
t,x
u
)du
≤
w
T
0
|f(u, X
t,x
u
)|du ≤ C T (1 + sup
s∈[0,T ]
(X
t,x
s
)2)
è свойство (3.7.6) ïîêазывают, ÷òî ìîæíî применить теорему î ìàæîðè-
ðóåìîé ñõîдимости è перейти ê пределу ïðè
τn→ T
:
v(t, x) = Ev(s, X
t,x
s
) + E
w
s
t
f(u, X
t,x
u
)du.
Предельный перехîä
s → T
, êоторый обосновываетсÿ òàêèì æå образом,
äàåò представление (3.8.3).
Пример 3.12.
Ðàñсмотриì çàäà÷ó Êîøè äëÿ îднородного параболиче-
ñêîãî уравнения ñ дополнительным ñëàãаемым
−rv
, ãäår íåêоторая
êîíñòàíòà:
vt(t, x) + µ(x)vx(t, x) +
1
2
σ2(x)vxx(t, x) −rv(t, x) = 0, (t, x) ∈ (0, T ) ×R,
v(T, x) = g(x).
Ïîêàæåì, ÷òî â предполоæениях è обозначениях примера 3.11 функция
v
äîïóñêàåò представление
v(t, x) = e
−r(T −t)
Eg(X
t,x
T
).
(3.8.4)
Применим формуëó Èòî ê процессу
e
−rs
v(s, X
t,x
s
)
:
d(e
−rs
v(s, X
t,x
)) = −re
−rs
v(s, X
t,x
)ds + e
−rs
dv(s, X
t,x
)
=e
−rs
−rv(s, X
t,x
) + vt(s, X
t,x
) + µ(X
t,x
)vx(s, X
t,x
)
+
1
2
σ2(X
t,x
)vxx(s, X
t,x
)ds + e
−rs
σ(X
t,x
)vx(s, X
t,x
)dW
= e
−rs
σ(X
t,x
)vx(s, X
t,x
)dW.
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]