Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Основы стохастического анализа. Учебное пособие
.pdf
Ãëàâà 2. Мартингàëû è ìàðêовские процессы 111
2.36.
Ïóñòü
(ξi)
∞
i=1
последоваòåëьность независимых случайных âåëè-
÷èí. Äëÿ случайного процесса
X
t+1
= G(Xt, ξ
t+1
)
найти óсловное распределение
X
t+1
относительно
σ(X1, . . . , Xt)
è постро-
èòü ìàðêовский процесс ñ соответствующей перехîäíîé функцией (êîòî-
ðàÿ должна áûòü выражåíà черезG). Выразить
P(Xn∈ B)
через óêà-
занную перехîäíóþ функцию.
Ãëàâà 3
Ñòîõастическîå исчисление
Основным вычислиòåëüíûì средством ñòîõастическîãî анализа ÿâëÿ-
åòñÿ ôîðìóëà Èòî, êоторая позволяет вычислять приращение ãëàäêîé
функцииfвдоль траекторий
ñåмимартингала
(Xt)
0≤t≤T
. Èç класси-
÷åñêîãî анализа известно, ÷òî åñëè траектории
t 7→ Xtимеют ограни-
ченную вариацию, òî óêазанные приращения определяютсÿ интегралом
Лебегà-Стилтьеса:
f(Xt) −f(X0) =
w
t
0
f0(Xu) dXu.
Однакî траектории наиболее интересных ñ точки зрения ñòîõастическîãî
анализа (è финансовой математики) процессов: непрерывных мартингà-
ëîâ, имеют неограниченную вариацию. Формуëà Èòî
f(Wt) −f(W0) =
w
t
0
f0(Wu) dWu+
1
2
w
t
0
f00(Wu)du
äëÿ броуновскîãî äâèæåíèÿWñîäåðæèòдополнительнîå ñëàãаемое, ó÷è-
тывающее íåíóлевую
квадратическую вариациюW. Ýòà формуëà è åå
обобщения играют ключевую ðîëü â ñòîõастическîì анализе.
Ïðè описании êонструкции ñòîõастическîãî интеграла ïî непрерыв-
íîìó семимартингàëó ìû следуåì [36] (ñì. òàêæå [38]). Кроме âûâîäà
формуëû Èòî затрагиваютсÿ следующие вопросы: âåðîятностное ïðåä-
ñòавление решений линейных эллиптических è параболических уравне-
íèé, ñòîõастические дифференциальные уравнения, теорема Гирсанова,
теорема î представлении мартингàëîâ, случайная замена времени. Ýòîò
112
Ãëàâà 3. Ñòîõастическîå исчисление 113
материал íåîáõîäèì äëÿ понимания ðåçóëüòàòîâ ãëàâû 4, посвященной
базовой ìîäåëè финансовой математики.
Óêàæåì åùå ðÿä источникîâ, êоторые áûëè использованы ïðè íà-
писании данной ãëàâû: [15, 16, 19, 29, 31, 32, 39]. Существенная часть
излагаемого материала ñîäåðæèòñÿ â пособии [9].
3.1 Процессы ограниченной вариации è семимартингàëû
Ðазбиениеì интервала
[0, T ]
назовем набор точек
π = {t0, . . . , t
n−1
},
ãäå
0 = t0< ··· < t
n−1
< tn= T.
Через
|π| = max
ti∈π|ti+1−ti
|
обозна÷èì äèàìåòð разбиения, à через
Π =
ΠT ìíîæество âñåõ разбиений. Величина
VT(f) = sup
π∈Π
X
ti∈π
|f(t
i+1
) −f(ti)|.
называетсÿ
вариацией
функции
f : R+7→ R
íà интервале
[0, T ]
.
Лемма 3.1.
Пусть функцияfнепрерывна. Òîãäà функции
Vt(f),Vt(f)±
f(t)
являются непреðûâíûìè è неубывающими.
Ïóñòüf непрерывная функция ограниченной вариации. Ïî ëåì-
ìå 3.1 îíà äîïóñêàåò представление â âèäå разности äâóõ непрерывных
неубывающих функций:
f = f1− f2, f1(t) =
1
2
(Vt(f) + f (t)), f2(t) =
1
2
(Vt(f) −f (t)).
Любая непрерывная неубывающая ôóíêöèÿgîднозна÷íî определяет
ìåðó Лебега-Стилтьеса
µg((a, b]) = g(b) −g(a), 0 ≤ a < b
íà
(R+, B(R+)
. Äëÿ измеримой неотрицательной функцииhинтеграл
Лебегà-Стилтьеса
r
t
0
h(s) dg(s)
понимаетсÿ êàê интеграл Лебегà
w
t
0
h(s) µg(ds)
114 3.1. Процессы ограниченной вариации è семимартингàëû
ïî äàííîé ìåðå. Общая êонструкция интеграла áûëà описана â 1.2. Äëÿ
измеримой функцииh, óдовлетворяющей óсловиþ
w
t
0
|h(s)|df1(s) +
w
t
0
|h(s)|df2(s) =
w
t
0
|h(s)|dVs(f) < ∞,
интеграл Лебега-Стилтьеса ïîfопределяетсÿ следующим образом:
w
t
0
h(s) df(s) :=
w
t
0
h(s) df1(s) −
w
t
0
h(s) df2(s).
Функция
t 7→
r
t
0
h(s) df(s)
непрерывна è имеет êонечную вариацию.
ПроцессX, âñå траектории êоторого имеют êонечную вариацию íà
êонечных интервалах
[0, T ]
, называетсÿ
процессоì îãðаниченной (èëè
конечной) вариации
. Òàêîå æå название имеют è âñå процессы, íåîò-
личимые îòX. Ìíîæество непрерывных процессов ограниченной âà-
риации обозна÷èì черезV. Èç леммы 3.1 следуåò, ÷òî åñëè
X ∈ V
,
òî
V (X) ∈ V
. Îêàçûваетсÿ, ÷òî нетривиальный непрерывный процесс
ограниченной вариации íå ìîæåò áûòü ëîêальным мартингàëîì.
Òеорема 3.1.
Пусть
X ∈ V ∩ M
loc
è
X0= 0
, тогдаXнеотличим îò
0
.
Доказательство.
Предполоæèì ñíà÷àëà, ÷òî вариация
Vt(X)
равномер-
íî ограничена íà êаждом êонечном интервале:
VT(X) ≤ KT. ÒîãäàXíà
[0, T ]
ограничен òîé æå êîíñòантой è
EX
2
T
=
X
ti∈π
E(X
2
t
i+1
− X
2
t
i
) =
X
ti∈π
E(X
t
i+1
− X
t
i
)
2
(3.1.1)
≤E max
tj∈π
|X
t
j+1
− X
t
j
|
X
ti∈π
|X
t
i+1
− X
t
i
|!≤ KT· E max
tj∈π
|X
t
j+1
− X
t
j
|
äëÿ любого разбиения
π ∈ ΠT. Ïóñòü
|π| → 0
, òîãäà
max
tj∈π
|X
t
j+1
− X
t
j
| → 0
ï.í.
â ñèëó равномерной íепрерывностиXíà
[0, T ]
. Кроме òîãî,
max
tj∈π
|X
t
j+1
− X
t
j
| ≤ 2 max
0≤t≤T
|Xt| ≤ 2VT(X) ≤ 2KT.
Ãëàâà 3. Ñòîõастическîå исчисление 115
Ïî теореме î ìàæорируåìîé ñõîдимости ïравая часть (3.1.1) стремитсÿ
ê íóëþ ïðè
|π| → 0
. Следовательно,
XT= 0
ï.í. è процессXíåîòличим
îò0.
 общем случае введем ïîñëåäовательность моментов îñòановки
τn= inf{t ≥ 0 : Vt(X) ≥ n}, n ∈ N.
ßñíî, ÷òî ýòà последовательность являетсÿ неубывающей. Èç непрерыв-
ности траекторий
V (X)
вытекàåò, ÷òî
τn% ∞
, òàê êàê åñëè
τ = lim
n→∞
τn< ∞,
òî получаем противоречие:
Vτ= lim
n→∞
V
τ
n
(X) = lim
n→∞
n = +∞.
Заметим, ÷òî
Vt(X
τ
n
) =
(
Vt(X), t ≤ τn,
n, t ≥ τn.
Òàêèì образом,
Vt(X
τ
n
) ≤ nèX
τ
n
íå îòличим îò0ïî первой части
äîêазательства. Íî òîãäà
Xt= lim
n→∞
X
t∧τ
n
= lim
n→∞
X
τ
n
t
äëÿ почти âñåõ траекторийX.
Èç теоремû 3.1 следуåò, ÷òî траектории броуновскîãî äâèæåíèÿ
W
имеют неограниченную âàðиацию. Ýòî îçíà÷àåò, ÷òî интеграл ïî áðî-
уновскîìó äâèæåíèþ íå ìîæåò áûòü построен потраекторно êàê èíòå-
ãðàë Лебега-Стильòåñà. Â связи ñ ýòèì отметим следующий интересный
ðåçóëüòàò: [36, ãëàâà I, теорема 56]. Ïóñòüx непрерывная функция.
Åñëè суммы
X
ti∈π
h(ti)(x
t
i+1
− x
t
i
), |π| → 0
ñõîäÿòñÿ äëÿ любой непрерывной функцииh, òîxимеет ограниченную
вариацию.
116 3.1. Процессы ограниченной вариации è семимартингàëû
Случайный процессHíà интервале
[0, T ]
назовем
простым
, åñëè îí
äîïóñêàåò представление
H = H0I
{0}
+
n
X
i=1
HiI
(τi,τ
i+1
]
,
ãäå
0 = τ1≤ · · · ≤ τn= T
моменты îñòановки è
Hi
F
τ
i
-измеримые
ï.í. êонечные случайные величины. Ìíîæество òàêèõ процессовHîáî-
çíà÷èì через
ST. Äëÿ любого ïроцессаXвведем интегральную сумму
w
T
0
H dX =
n
X
i=1
Hi(X
τ
i+1
− X
τ
i
)
è процесс
w
t
0
H dX =
n
X
i=1
Hi(X
τ
i+1
∧t
− X
τi∧t
), t ∈ [0, T ].
Непрерывный ñîãласованный процессXназываетсÿ
ñåмимартинга-
ëîì
, åñëè äëÿ êаждогоTè äëÿ ëþáîé последовательности простых ïðî-
цессов
Hn∈ ST, равномерно ñõîдящейсÿ ê íóëþ:
kHk∞:= sup
(t,ω)∈[0,T ]×Ω
|H
n
t
(ω)| → 0, n → ∞,
последовательность интегральных ñóìì
r
T
0
HndX
ñõîäèòñÿ ê íóëþ ïî
âåðîятности:
w
T
0
HndXP→ 0, n → ∞.
Лемма 3.2.
Непрерывный процесс îãðаниченной вариации является ñå-
мимартингалоì.
Доказательство.
Ïóñòü
X ∈ VèH ∈ ST. Òîãäà
w
T
0
H dX
=
n
X
i=1
Hi(X
τ
i+1
− X
τ
i
)
≤ kHk∞· VT(X) → 0
ïðè âñåõω, åñëè
kHk∞→ 0
. Следовательно,
r
T
0
H dXP→ 0
.
Лемма 3.3.
Непрерывный квадратично интегрируеìûé мартингал ÿâ-
ляется ñåмимартингалоì.
Ãëàâà 3. Ñòîõастическîå исчисление 117
Доказательство.
Ïóñòü
X ∈ M2è
H ∈ ST. Òîãäà
E
w
T
0
H dX
2
=
n
X
i=1
EH
2
i
(X
τ
i+1
− X
τ
i
)
2
+ 2
X
i<j
EHiHj(X
τ
i+1
− X
τ
i
)(X
τ
j+1
− X
τ
j
).
Случайные величины
Hi,
Hj,
X
τ
i+1
− X
τ
i
измеримы относительно
F
τ
j
.
Следовательно,
EHiHj(X
τ
i+1
− X
τ
i
)(X
τ
j+1
− X
τ
j
)
=EHiHj(X
τ
i+1
− X
τ
i
)E(X
τ
j+1
− X
τ
j
|F
τ
j
)= 0
ïî теореме î свобоäíîì выборе. Òàêèì образом,
E
w
T
0
H dX
2
≤ kHk
2
∞
n
X
i=1
E(X
τ
i+1
− X
τ
i
)2.
(3.1.2)
Íî
E(X
τ
i+1
X
τ
i
) = EX
τ
i
E(X
τ
i+1
|F
τ
i
)= EX
2
τ
i
è сумма â правой части
(3.1.2) принимает âèä
n
X
i=1
E(X
τ
i+1
− X
τ
i
)2=
n
X
i=1
E(X
2
τ
i+1
− X
2
τ
i
) = EX
2
T
− EX
2
0
.
Оценкà (3.1.2) ïîêазывает, ÷òî
r
T
0
H dX
L
2
→ 0
, à çíà÷èò è
r
T
0
H dXP→ 0
,
ïðè
kHk∞→ 0.
Лемма 3.4.
Локальный ñåмимартингал является ñåмимартинãàëîì.
Доказательство.
Ðàññмотриì ëîêализующую последовательность момен-
òîâ îñòановки
τn% ∞
òàêóþ, ÷òî êаждый процесс
X
τ
n
являетсÿ ñåìè-
мартингàëîì. Äëÿ заданных
T, ε > 0
выберем
n0òàê, ÷òî
P(τn≤ T ) ≤
ε/2
ïðè
n ≥ n0. Òîãäà
P
w
T
0
H dX ≥ c= P{τn> T }∩
w
T
0
H dX
τ
n
≥ c
+ P{τn≤ T }∩
w
T
0
H dX ≥ c≤ P
w
T
0
H dX
τ
n
≥ c+ ε/2
118 3.2. Конструкция è свойства ñòîõастическîãî интеграла
äëÿ любого
H ∈ ST. Ïóñòü
kHkk∞→ 0
. Òîãäà
P
r
T
0
HkdX
τ
n
≥ c≤ ε/2
ïðè
k ≥ k0. Следовательно,
P
w
T
0
HkdX ≥ c≤ ε, k ≥ k0.
Ïîñêольку любой непрерывный ëîêальный мартингàë ëîêально îãðà-
ничен, òî èç ëåìì 3.3, 3.4 следуåò, ÷òî любой непрерывный ëîêальный
мартингàë являетсÿ семимартингàëîì. ßñíî òàêæå, ÷òî ìíîæество ñå-
мимартингàëîâ образуåò линейное пространство. Â частности, процессы
âèäà
X = A + M, A ∈ V , M ∈ M
loc
(3.1.3)
являютсÿ семимартингалами. Òàêèå семимартингàëû называютсÿ
êëàñ-
сическими
. Имеет место, следующий ãлубокий ðåçóëüòàò:
любой ñåìè-
мартингал является классическим
(теорема Бихтелера-Деллашери).
Заметим, ÷òî åñëè имеетсÿ другое разлоæåíèå âèäà (3.1.3):
X = A0+
M0,
A0∈ V,M0∈ M
loc
ñ
M
0
0
= M0, òî процесс
Y = A −A0= M0−M
ÿâ-
ляетсÿ непрерывным ëîêальным мартингàëîì ограниченной вариации c
Y0= 0
. Ïî теореме 3.1 îòñþäà следуåò, ÷òî
A0= A,M0= M
. Ðàçëîæåíèå
(3.1.3) называетсÿ
каноническим
.
3.2 Конструкция è свойства ñòîõастическîãî интеграла
Напомним, ÷òî
метрикой
íà ìíîæествеHназываетсÿ функция
d :
H × H 7→ R+ñî следующими свойствами:
(i) Симметричность:
d(x, y) = d(y, x)
äëÿ âñåõ
x, y ∈ H
.
(ii) Неравенство треугольникà
d(x, y) ≤ d(x, z)+d(z, y)
äëÿ âñåõ
x, y, z ∈
H
.
(iii)
d(x, y) = 0 ⇐⇒ x = y
.
 3.1 интеграл áûë определен äëÿ простых èíтерграндов. Ïðè ðàñ-
ширении интеграла íà более общий класс интеграндов áóäåò использован
следующий ðåçóëüòàò.
Ãëàâà 3. Ñòîõастическîå исчисление 119
Òеорема 3.2.
Пусть
(X, d),(Y, ρ)
линейныå метрические ïðîñòðàí-
ñòâà, причеì
(Y, ρ)
является ïîëíûì. Предположим, ÷òî метрикиd,
ρ
òðàíñляционно инвариантны:
d(x, y) = d(x + z, y + z), x, y, z ∈ X;
ρ(u, v) = ρ(u + w, v + w), u, v, w ∈ Y.
Пусть
D ⊂ X
плотное линейное подпространство, è
F : D 7→ Y
íåпрерывный линейный îïåðàòîð. Òîãäà существует единственíûé
непрерывный линейный îïåðàòîð
G : X 7→ Y
, совпадающий ñFíàD.
Обозна÷èì черезLìíîæествоF-ñîãласованных процессовX, траек-
тории êоторых непрерывны слева è имеют êонечные пределы справа,
ò.å.
Xt= Xt−:= lim
s%t
Xs, t > 0; Xt+:= lim
s&t
Xsсуществуåò ïðè
t ≥ 0,
ÍàLвведем метрику
d
ucp
(X, Y ) =
∞
X
n=1
1
2
n
E min{1, |X − Y |
∗
n
},
ãäå
|X − Y |
∗
t
= sup
0≤s≤t
|Xs− Ys|
.
Áóäåì говорить, ÷òî последовательность процессов
Xnñõîäèòñÿ
ðàâ-
íîмерно íà êîмпактах ïî вероятности
ê процессуX, åñëè
sup
0≤s≤t
|X
n
s
− Xs|P→ 0
äëÿ êàæäîãî
t > 0
. Äëÿ обозначения òàêîé ñõîдимости áóäåì ïèñàòü
Xn→ X
ucp
(uniformly on compacts in probability) èëè
X
n
ucp
→ X
. Äëÿ
процессов классаLданное определåíèå имеет смысл, òàê êàê случайные
величины
sup
0≤s≤t
|X
n
s
− Xs|
являютсÿ
Ft-измеримыми (óïð. 3.1).
Лемма 3.5.
Сходимость
ucp
ðавносильна сходимости â метрике
d
ucp
.
Доказательство.
Ïóñòü
Xk→ X
ucp
. Выберем
n0òàê, ÷òî
∞
X
n=n
0
1
2
n
E min{1, |Xk− X |
∗
n
} ≤
∞
X
n=n
0
1
2
n
≤ ε/2.
120 3.2. Конструкция è свойства ñòîõастическîãî интеграла
Затем выберем
k0òàê, ÷òî
n0−1
X
n=1
1
2
n
E min{1, |Xk− X |
∗
n
} ≤ E min{1, |Xk− X |
∗
n0−1
}
n0−1
X
n=1
1
2
n
≤ ε/2
ïðè
k ≥ k0. Ýòî ìîæíî ñделать ïî теореме î ìàæорируåìîé ñõîäèìîñòè,
òàê êàê
|Xk− X |
∗
n0−1
P
→ 0,k → ∞
.
Обратно, ïóñòü
d
ucp
(Xk, X) → 0.
Äëÿ заданных
r ∈ N,c ∈ (0, 1)
выберем
k0òàê, ÷òî
d
ucp
(Xk, X) =
∞
X
n=1
1
2
n
E min{1, |Xk− X |
∗
n
} ≤
cε
2
r
, k ≥ k0.
Òîãäà
E min{1, |Xk− X |
∗
r
} ≤ cε
è
P(|Xk−X|
∗
r
≥ c) = P(min{1, |Xk−X|
∗
r
} ≥ c) ≤
E min{1, |Xk− X |
∗
r
}
c
≤ ε
ïðè
k ≥ k0.
Обозна÷èì черезCìíîæествоF-ñîãласованных процессов ñ непре-
рывными траекториями. ÌíîæестваL,C, наделенные метрикîé
d
ucp
, è
рассматриваемые êàê метрические пространства, áóäåì обозна÷àòü через
L
ucp
,
C
ucp
. Ìíîæество процессов âèäà
H = H0I
{0}
(t) +
n−1
X
i=1
HiI
(τi,τ
i+1
]
(t),
(3.2.1)
ãäå
τi моменты îñòановки:
0 = τ0< τ1< ··· < τn< ∞
, è
Hi
F
τ
i
-
измеримы, обозна÷èì черезS. Ìíîæество являетсÿSлинейным ïîäïðî-
странствомL. ÏóñòüX непрерывный семимартингàë. Введем линей-
íûé оператор
IX: S 7→ C
ïî формуëå
IX(H)t=
n
X
i=1
Hi(X
τ
i+1
∧t
− X
τi∧t
).
(3.2.2)
Òеорема 3.3.
Линейное пространствоSплотно â
L
ucp
. Линейный îïå-
ðàòîð
IX: S
ucp
7→ C
ucp
непрерывен. Метрическое пространство
C
ucp
является ïîëíûì.
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]