Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Основы стохастического анализа. Учебное пособие
.pdf
Ãëàâà 2. Мартингàëû è ìàðêовские процессы 81
Доказательство.
Процесс
W
2
t
− t
являетсÿ мартингàëîì: ñì. пример
2.10. Ïðè любом
u > 0
процесс
(W
2
t∧u
−t ∧u)
t≥0
являетсÿ мартингàëîì è
EW
2
τ∧u
= E(τ ∧ u).
(2.2.7)
ïî теоремå 2.20, òàê êàê момент îñòановки
τ∧u
ограничен. Далее, процесс
(W
2
τ∧u
)
u≥0
ограничен, поэтому
EW
2
τ∧u
→ EW
2
τ
, u → ∞
ïî теореме î ìàæорируåìîé ñõîдимости. Ñ äðóãîé стороны,
E(τ ∧ u) % Eτ, u → ∞
ïî теореме î монотонной ñõîдимости. Перехîäÿ â (2.2.7) ê ïределу ïðè
u → ∞
, íàõîäèì
Eτ = EW
2
τ
< ∞.
 частности,
τ < ∞
ï.í., è çíà÷èò,
P(Wτ∈ {−a, b}) = P(Wτ= −a) + P(Wτ= b) = 1.
(2.2.8)
Применим теперь теорему 2.20 ê мартингàëó
(W
t∧u)t≥0
è воспользу-
åìñÿ теоремой î ìàæорируåìîé ñõîдимости:
0 = lim
u→∞
EW
τ∧u
= EWτ.
 ñèëó (2.2.8) имеем
0 = EWτ= −aP(Wτ= −a) + bP(Wτ= b).
(2.2.9)
Èç уравнений (2.2.8), (2.2.9) вытекàåò, ÷òî имеют место равенства (2.2.6),
èç êоторых следуåò, ÷òî
Eτ = EW
2
τ
= a2P(Wτ= −a) + b2P(Wτ= b) = a
2
b
a + b
+ b
2
a
a + b
= ab.
Êàê è äëÿ случайного блуждания â дискретном времени, время дости-
æåíèÿ броуновским äâèæением любого ôèêсированного óðîâíÿ êонечно
ï.í., à åãî îжидаемое çíàчение áåñêонечно.
82 2.2. Мартингàëû ñ непрерывным временем
Пример 2.14.
Момент îñòановки
τb= inf{t ≥ 0 : Wt≥ b}, b ∈ R+.
обладает следующими свойствами:
P(τb< ∞) = 1,Eτb= ∞
.
Доказательство.
Моментτ, введенный â примере 2.13, ìîæíî предстà-
âèòü â âèäå
τb∧τ−a. ßñíî,
τ = τbíà ìíîæестве
{Wτ= b}
. Следовательно,
P(τb< ∞) ≥ P(τb< ∞, Wτ= b) = P(Wτ= b) =
a
a + b
.
Перехîäÿ ê пределу ïðè
a → +∞
, заключаем, ÷òî
P(τb< ∞) = 1
.
Далее, åñëè
Eτb< ∞
, òî èç равенства (2.2.7) вытекàåò, ÷òî
EW
2
τb∧u
≤ Eτb< ∞.
Íî òîãäà îñòановленный мартингàë
W
τ
b
= (W
τb∧u)u≥0
равномерно èíòå-
грируåì è, ïî теореме 2.19,
EW
τ
b
= W0= 0.
Íî ýòî невозмоæíî, òàê êàê
W
τ
b
= 1
ï.í.
НепрерывныйF-ñîãласованный процессMназываетсÿ
локальным ìàð-
тингалоì
, åñëè существуåò последовательность моментов îñòановкè
τn%
+∞
òàêàÿ, ÷òî процессы
M
τ
n
являютсÿ равномерно интегрируемыми
мартингалами. Последовательность
τnназываетсÿ
локализующей
.
Непрерывный ñîãласованный процессXназываетсÿ
процессоì классà
D
, åñëè семейство случайных величин
{Xτ: τ
момент îñòановки
, τ < ∞}
(2.2.10)
равномерно интегрируåìî.
Òеорема 2.22.
ПустьM непрерывный локальный мартингал.Mÿâ-
ляется ðàâíîмерно интегрируеìûì мартингалоì, åñëè è òîëüêî åñëè
îí является процессоì классàD.
Доказательство.
ÅñëèMравномерно интегрируåìûé мартингàë, òî
Mτ=
E(M∞|Fτ)
ïî теореме 2.19. Следовательно, семейство (2.2.10) равномер-
íî интегрируåìî.
Ãëàâà 2. Мартингàëû è ìàðêовские процессы 83
ÏóñòüM ëîêальный мартингàë классаDè
τn ëîêализующая
последовательность:
E(M
t∧τ
n
|Fs) = M
s∧τ
n
, t > s.
(2.2.11)
Èç ñõîдимости
M
t∧τ
n
→ Mt,
n → ∞
è равномерной интегриðóемости
семейства
(M
t∧τ
n
)
∞
n=1
вытекàåò, ÷òî
M
t∧τ
n
→ Mtâ
L1. Перехîäÿ ê пределу
â (3.11), заключаем, ÷òîMявляетсÿ мартингàëîì:
E(Mt|Fs) = Ms, t > s.
Ðавномерная интегрируемостьMочевидна.
Ãîâîðÿò, ÷òî случайный непрерывный процессXпринадлежит êëàñ-
ñó
(DL)
, åñëè äëÿ ëþáîãî
T > 0
семейство случайных величин
{Xτ: τ
момент îñòановки
, τ ≤ T }
(2.2.12)
равномерно интегрируåìî.
Òеорема 2.23.
ПустьM непрерывный локальный мартингал.Mÿâ-
ляется ìàðòингалоì, åñëè è òîëüêî åñëè îí является процессоì классà
(DL)
.
Доказательство.
Ïóñòü
T > 0
. ÅñëèMмартингàë, òî
Mτ= E(MT|Fτ)
,
τ ≤ T
ïî теореме 2.19. Следовательно, семейство (2.2.12) равномерно èí-
тегрируåìî.
ÏóñòüM ëîêальный мартингàë класса
(DL)èτn ëîêализующая
последовательность:
E(M
t∧τ
n
|Fs) = M
s∧τ
n
, t > s.
(2.2.13)
Èç ñõîдимости
M
t∧τ
n
→ Mt,
n → ∞
è равномерной интегриðóемости
семейства
(M
t∧τ
n
)
∞
n=1
вытекàåò, ÷òî
M
t∧τ
n
→ Mtâ
L1. Перехîäÿ ê пределу
â (2.2.13), заключаем, ÷òîMявляетсÿ мартингàëîì:
E(Mt|Fs) = Ms, t > s.
84 2.2. Мартингàëû ñ непрерывным временем
ПроцессыX,Yназываютсÿ
íåðазличимыми
, åñëè почти âñå èõ òðà-
ектории îдинакîâû:
P(ω : sup
t≥0
|Xt(ω) −Yt(ω)| > 0) = 0.
Часто ïîä процессомXпонимаетсÿ соответствующий класс эквивалент-
ности неразличимых процессов. Â частности, процесс называетсÿ непре-
рывным, åñëè îí íåîòличим îò процесса, âñå траектории êоторого непре-
рывны.
ПроцессXназываетсÿ
модификацией
процессаY, åñëè
P(Xt6= Yt) = 0, t ≥ 0.
Èç данного определения â общем случае íå вытекàåò, ÷òîX,Yнеразли-
÷èìû.
Пример 2.15.
Ðàñсмотрим процессы
Xt(ω) = 0,Yt(ω) = I
{ω}
(t),t ∈
[0, 1]
íà измеримом пространстве
([0, 1], B([0, 1]))
ñ мерой ЛебегàP. Ýòè
процессы являютсÿ ìîдификациями äðóã äðóãà:
P(Xt6= Yt) = P(ω : ω = t) = 0,
íî
P(ω : sup
t∈[0,1]
|Xt(ω) −Yt(ω)| > 0) = P(ω > 0) = 1.
Лемма 2.13.
ÅñëèX,Yíåðазличимы, òî îíè являются модификаци-
ÿìè äðóã друга. Åñëè òðаекторииX,Yнепрерывны ï.í., òî верно è
îáðатное.
Доказательство.
Первое утверждение очевидно, òàê êàê
P(ω : Xt(ω) 6= Yt(ω)) ≤ P(ω : sup
t≥0
|Xt(ω) −Yt(ω)| > 0).
Åñëè траекторииX,Yнепрерывны ï.í.,
P(ω : sup
t≥0
|Xt(ω) −Yt(ω)| > 0) = P(ω : sup
t∈Q
+
|Xt(ω) −Yt(ω)| > 0)
= P
[
t∈Q
+
{ω : Xt(ω) −Yt(ω)| > 0}
≤
X
t∈Q
+
P(Xt6= Yt) = 0,
åñëèYявляетсÿ ìîдификациейX.
Ãëàâà 2. Мартингàëû è ìàðêовские процессы 85
Мартингàë называетсÿ
квадратично интегрируеìûì
, åñëè
EM
2
t
< ∞
.
Квадратично интегрируåìûé мартингàë
îãðаничен â
L2, åñëè
sup
t≥0
EM
2
t
< ∞.
Ðàññмотриì ìíîæество
M2классов эквивалентности непрерывнûõ
мартингàëîâ, îãðаниченных â
L2. Мартингàëû
M ∈ M2равномерно
интегрируåìû è äîïóñêàþò представление
Mt= E(M∞|Ft),
ãäå
M∞= lim
t→∞
Mt.
(2.2.14)
Òеорема 2.24.
Множество
M2является гильбертовым пространствоì
относитеëüíî íîðìû
kMk2:= kM∞kL=EM
2
∞
1/2
.
(2.2.15)
Доказательство.
Очевидно, ÷òî
M2 линейное пространство. Прове-
ðèì, ÷òî функционал (2.2.15) являетсÿ нормой íà
M2. Èç представления
(2.2.14) вытекàåò, ÷òîMíåîòличим îò0, åñëè è толькî åñëè
M∞= 0
ï.í.
Следовательно, óсловие
kMk2= 0
равносильно òîìó, ÷òî
M = 0
. Кроме
òîãî,
kαM + βNk2= kαM∞+ βN∞k
L
2
≤ |α|kM∞k
L
2
+ |β|kN∞k
L
2
= |α|kM∞k2+ |β|kN∞k2.
Îñòàåòñÿ проверить, ÷òî нормированное пространство
M2являетсÿ
полным. Ðассмотрим фундаментальную последовательность
Mn∈ M2.
Åé соответствуåò, фундаментальная последовательность
M
n
∞
∈ L2(F∞)
.
Нетруäíî ïîêазать, ÷òî существуåò ïîдпоследовательность
M
n
k
∞
ñî ñëå-
дующим свойством:
kM
n
k+1
∞
− M
n
k
∞
k2≤
1
4
k
.
Используÿ неравенства Чебышева è Äóáà, íàõîäèì
P(sup
t≥0
|M
n
k+1
t
− M
n
k
t
| ≥ 2−k) ≤ 22kE(sup
t≥0
|M
n
k+1
t
− M
n
k
t
|2)
≤ 4
k+1
E(|M
n
k+1
∞
− M
n
k
∞
|2) ≤
4
4
k
.
86 2.3. Ìàðêовские процессы: общие определения
Ïî лемме Бореля-Кантелли äëÿ ïî÷òè âñåõωсуществуåò
K(ω)
òàêîå,
÷òî
sup
t≥0
|M
n
k+1
t
(ω) −M
n
k
t
(ω)| < 2−k,
ïðè
k ≥ K(ω).
Îòñþäà вытекàåò, ÷òî почти âñå траектории последовательности процес-
ñîâ
M
n
k
ñõîäÿòñÿ равномерно, è предельный процессMíåîòличим îò
непрерывного.
Перехîäÿ ê пределу â равенстве
M
n
k
t
= E(M
n
k
∞
|Ft)
, заключаем, ÷òî
процесс
Mt= E(M∞|Ft)
являетсÿ равномерно интегрируåìûì мартингàëîì. Ïî определению,
M∞∈
L2. Следовательно,Mограничен â
L2ïî неравенству Äóáà:
sup
t≥0
EM
2
t
≤ E sup
t≥0
M
2
t
≤ 4EM
2
∞
.
Òàêèì образом,
M ∈ M2è
kM
n
k
t
− Mk2→ 0
. Âñÿ последовательность
Mnòîæå ñõîäèòñÿ êMâ ñèëó åå фундаментальности.
2.3 Ìàðêовские процессы: общие определения
Ïóñòü
T = Z+èëè
T = [0, ∞)
. Ðассмотрим семейство ôèëüтрован-
íûõ âåðîятностных пространств
(Ω, F , (Ft)
t∈T
, Px),x ∈ Rdè случайный
процесс
X = (Xt)
t∈T
ñî çíàчениями â
Rd, ñîãласованный ñ ôèëüтраци-
åé
(Ft)
t∈T
. Вместо
(Rd, B(Rd))
ìîæíî ðàñсматриâàòü другое измеримое
пространство
(E, E )
. Â частности, â примерах áóäåò рассматриватьсÿ
êонечное èëè счетное ìíîæествоEñ самой áîãàòîéσ-алгебройE.
Семейство
(Qt)
t∈T
перехîäíûõ âåðîятностей èç
Rdâ
Rdназываетсÿ
переходной ôóíêöèåé
, åñëè
Q0(x, B) = δx(B) =
(
1, x ∈ B,
0, x 6∈ B,
(2.3.1)
x ∈ Rd, è выполняютсÿ
óðавнения Êîëмогоровà-×åïìåíà
:
Q
t+u
(x, B) =
w
R
d
Qt(x, dy)Qu(y, B), t, u ≥ 0,
Ãëàâà 2. Мартингàëû è ìàðêовские процессы 87
äëÿ âñåõ
x ∈ Rd,
B ∈ B(Rd)
.
Ïóñòü имеетсÿ перехîäíàÿ функциÿ òàêàÿ, ÷òî
Qt(x, B) = Px(Xt∈ B).
(2.3.2)
ПроцессXназываетсÿ
(однородным) марковским процесñîì
ñ перехîä-
íîé функцией
(Qt)
t∈T
, åñëè
Ex(g(X
t+s
)|Ft) =wg(y)Qs(Xt, dy), Px-ï.í. (2.3.3)
äëÿ любой ограниченной борелевскîé функцииg. Ìàðêовским процессом
óдобно назвать òàêæå пятерку
(Ω, F , (Ft)
t≥0
, X, Px)
.
Ðавенство (2.3.3) îçíà÷àåò, ÷òî ïðè определении áóдущего поведения
процессаXсущественна толькî информация î настоÿùåì, à âñþ инфор-
мацию î прошлом, êоторая ñîäåðæèòñÿ â
Ft, ìîæíî отбросить.
Èç (2.3.3) следуåò òàêæå, ÷òî
Ex(g(X
t+s
)|Xt) =wg(y)Qs(Xt, dy), Px-ï.í.
Òàêèì образом, ïðè ôèêсированномs,
Qs(x, B)
являетсÿ óñëовным ðàñ-
пределением
X
t+s
относительно
Xtäëÿ âñåõ ìåð
Px.
Ðавенство (2.3.2) ïîêазывает, ÷òî
Qs(x, B)
следуåò интерпретировать
êàê âåðîятность òîãî, ÷òî процессX, ñòартующий èç состоÿíèÿxïî-
падает â ìíîæествоBâ момент времениt. Отметим òàêæå, ÷òî уравне-
íèå Колмогорова-Чепмена ÿâëÿþòñÿ следствием óсловий (2.3.1) (2.3.3).
Действительно, èç (2.3.3) ñëåäóåò, ÷òî
Q
t+u(X0
, B) =wIB(y)Q
t+u(X0
, dy) = Ex(IB(X
t+u
)|F0)
= Ex(Ex(IB(X
t+u
)|Ft)|F0) = E
x
w
IB(y)Qu(Xt, dy)|F
0
= Ex(Qu(Xt, B)|F0) =wQu(y, B)Qt(X0, dy), Px-ï.í. (2.3.4)
Óсловия (2.3.1), (2.3.2) ìîæíî переписать òàê:
w
g(y)Q0(x, dy) = g(x),
w
g(y)Qt(x, dy) = Exg(Xt),
(2.3.5)
88 2.3. Ìàðêовские процессы: общие определения
ãäåg любая ограниченная борелевскàÿ функция íà
Rd. Â частности,
Exg(X0) =wg(y)Q0(x, dy) = g(x).
Используÿ ýòó ôîðìóëó, найдем математическîå îжидание левой è ïðà-
âîé частей (2.3.4):
ExQ
t+u(X0
, B) = Q
t+u
(x, B),
E
x
w
Qu(y, B)Qt(X0, dy) =wQu(y, B)Qt(x, dy).
Òàêèì образом,Qóдовлетворÿåò уравнениям Колмогорова-Чепмена.
Сопоставляя формуëû (2.3.3), (2.3.5), получаем соотношение
Ex(g(X
t+u
)|Ft) =wQu(Xt, dy)g(y) = E
X
t
g(Xu), Px-ï.í.
,
ãäå
E
X
t
g(Xu) := Exg(Xu)|
x=X
t
.
Сформуëèðóåì общий ðåçóëüòàò î существовании ìàðêîâñêîãî ïðî-
цесса ñ заданной ïåðåõîäíîé функцией.
Òеорема 2.25.
Äëÿ любой переходной функции
(Qt)
t∈T
существует ñå-
мейство вероятностных пространств
(Ω, F , (Ft)
t∈T
, Px),x ∈ Rdè
согласованный ñ
(Ft)
t∈T
марковский ñлучайный процесс ñ переходной
функцией
(Qt)
t∈T
.
Наметим äîêазательство данной теоремы. Введем
каноническое ïðî-
ñòðанство
Ω = (Rd)T= {(ωt)
t∈T
: ωt∈ Rd}
c
цилиндрическойσ-алгебройF, ïîðîжденной
координатными отобрà-
жениями
Xt(ω) = ωtè естественной ôèëüтрацией
Ft= σ(Xs, s ∈ [0, t])
êîîðдинатного процесса. Заметим, ÷òîFïîðîждаетсÿ ¾цилиндрами¿
A
t
1
× ··· × A
t
n
, A
t
i
∈ B(Rd), t1< ··· < tn.
Äëÿ любого
x ∈ Rdïîëîæèì
Px(A
t
1
× ··· × A
t
n
) =wQ
t
1
(x, dy1)wQ
t2−t
1
(y1, dy2) . . .
w
Q
tn−t
n−1
(y
n−1
, dyn)I
A
t
1
×···×A
t
n
(y1, . . . , yn).
(2.3.6)
Ãëàâà 2. Мартингàëû è ìàðêовские процессы 89
Последнюю формуëó следуåò ÷èòàòü справа налево.
Ïóñòü
π = (t1, . . . , tn)
óïîðядоченный набор
ti∈ T,t1< · ·· < tn.
Ðàññмотриì семейство âåðîятностных пространств
(Ωπ, Fπ, Pπ)
, ãäå
Ωπ= {(ω
t
1
, . . . , ω
t
n
) : ω
t
i
∈ Rd} =
Y
ti∈π
R
d
t
i
,
Fπ= σ
Y
ti∈π
B
t
i
!
, B
t
i
∈ B(R
d
t
i
).
Âåðîятностные ìåðû
Pπназываютсÿ
согласованными
, åñëè äëÿ любых
наборов
π = (t1, . . . , tn),π0= (t1, . . . , t
m−1
, t
m+1
, . . . , tn)
выполняетсÿ ðà-
венство
Pπ(B
t
1
× ··· × R
d
t
m
× ··· × B
t
n
) = P
π
0
(B
t
1
× ··· × B
t
m−1
× B
t
m+1
···× B
t
n
).
Òеорема 2.26
(Колмогорова î ñîãласованных распределениях).Äëÿ ëþ-
áîãî ñåмейства
Pπсогласованных ðаспределений íà каноническоì ïðî-
ñòðанстве
Ω = (Rd)Tñ цилиндрическойσ-алгеброй существует âåðî-
ятностная ìåðàPтакая, ÷òî äëÿ координатного процессàX:
Xt(ω) =
ωtâûïîлняются ðавенства
P({ω : X
t
1
(ω) = B
t
1
, . . . , X
t
n
(ω) = B
t
n
}) = Pπ(B
t
1
× ··· × B
t
n
),
ãäå
π = (t1, . . . , tn)
.
Ñîãласованность ìåð (2.3.6) вытекàåò èç уравнения Колмогорова-Чеп-
ìåíà (óïð. 2.23). Проверÿåòñÿ òàêæå, ÷òî относительно семейства ìåð
(2.3.6) êîîðдинатный процесс
Xtявляетсÿ ìàðêовским è åãî перехîäíàÿ
функция совпадает ñ
(Qt)
t∈T
(óïð. 2.24).
Пример 2.16.
Ðàññìîòðèì семейство перехîäíûõ ÿäåð èçRâR:
Q0(x, B) = δx(B); Qt(x, B) =
1
√
2πt
w
B
exp−
(y − x)
2
2t
dy, t > 0.
Отметим, ÷òî
Qt(x, ·) ∼ N (x, t),t > 0
.
90 2.3. Ìàðêовские процессы: общие определения
Ïîêàæåì, ÷òî данное семейство являетсÿ перехîäíîé функцией, ò.å.
óдовлетворÿåò уравнениям Колмогорова-Чепмена. Заметим, ÷òî
w
R
Qt(x, dy)Qu(y, B) =
1
√
2πt
w
R
e
−
(y−x)
2
2t
dy
1
√
2πu
w
B
e
−
(z−y)
2
2u
dz
=
wBw
R
1
√
2πu
e
−
(z−y)
2
2u
1
√
2πt
e
−
(y−x)
2
2t
dydz =
wBw
R
fξ(z − y)fη(y) dydz,
ãäå
fξ,
fη плотности случайных величин
ξ ∼ N(0, u),η ∼ N(x, t)
,
заданные íà íåêотором âåðîятностном ïðостранстве
(Ω0, F0, P0)
. Следо-
вательно (ñì. óïð. 1.28),
fζ(z) =
w
R
fξ(z − y)fη(y) dy
являетсÿ плотностью суммы
независимых
случайных величинξèη. Íî
òîãäà
Ee
iθ(ξ+η)
= Ee
iθξEeiθη
= e
−θ2u/2eixθ−θ2t/2
= e
ixθ−θ2(t+u)/2
,
ãäå математическîå îжидание вычисляетсÿ относительно
P0è использо-
âàíà формуëà (1.2.4). Òàêèì образом,
ζ ∼ N (x, t + u)
è
w
R
Qt(x, dy)Qu(y, B) =
w
B
fζ(z)dz =
w
B
Q
t+u
(x, dz) = Q
t+u
(x, B).
Ïî теореме 2.25 существуåò ìàðêовский процесс
(Ω, F , (Ft)
t≥0
, Xt, Px)
ñ перехîäíîé функцией
(Qt)
t≥0
. Ïîêàæåì, ÷òî относительно
P0процесс
X
óдовлетворÿåò óсловиям (a) (c) èç îïределения броуновскîãî äâèæåíèÿ:
ñì. 2.2.
Ïî формуëàì (2.3.2), (2.3.1),
P0(X0= 0) = Q0(0, {0}) = 1.
Далее, ïîêàæåì, ÷òî
Xt− Xsíå зависит îò
Fsïðè
t > s
:
E0(e
iθ(Xt−Xs)
|Fs) = e
−iθX
s
E0(e
iθX
t
|Fs) = e
−iθX
s
w
e
iθy
Q
t−s(Xs
, dy)
= e
−iθX
s
e
iθXs−θ2(t−s)/2
= e
−θ2(t−s)/2
= E0(e
iθ(Xt−Xs)
).
(2.3.7)
Здесь использовано, ÷òî
Q
t−s
(x, ·) ∼ N(x, t − s)
. Èç полученного равен-
ñòâà следуåò, ÷òî
Xt− Xsíå зависит îò
Fs: ñì. пример 1.25. Íàêîíåö,
последнее равенство â (2.3.7) îçíà÷àåò, ÷òî
Xt− Xs∼ N (0, t − s)
.
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]