Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Основы стохастического анализа. Учебное пособие
.pdf
Ãëàâà 2. Мартингàëû è ìàðêовские процессы 51
è ãармоническими функциями.
2.1 Мартингàëû ñ дискретным временем
Ðàñøèðяющаясÿ последовательностьσ-алгебр
F0⊂ . . . Fn⊂ ··· ⊂ F
называетсÿ
фильтрацией
, à четверкà
(Ω, F , P, (Fn)
∞
n=0
)
ôèëüтрован-
íûì âåðîÿòíостным ïðîñòðанством. Сигма-алгебра
Fnинтерпретируåò-
ñÿ êàê запись информации, доступной â момент времениn.
Случайным
процессоì
называетсÿ последовательность случайных величин
(Xn)
∞
n=0
.
Ãîâîðÿò, ÷òî
ñлучайный процесс
X = (Xn)
∞
n=0
согласован
ñ ôèëüтрацией
F = (Fn)
∞
n=0
)
, åñëè случайные âåëичины
Xn
Fn-измеримы.
Ñîãласованный ñ ôèëüтрациейFслучайный процесс
X = (Xn)
∞
n=0
ñ
E|Xn| < ∞
называетсÿ
•
мартингалоì
, åñëè
E(X
n+1|Fn
) = Xn,
•
ñóáмартингалоì
, åñëè
E(X
n+1|Fn
) ≥ Xn,
•
супермартингалоì
, åñëè
E(X
n+1|Fn
) ≤ Xn.
Пример 2.1.
Ðассмотрим последовательность независимых случайных
величин
ξn:
P(ξn= 1) = p, P(ξn= −1) = q, p + q = 1, p, q > 0.
Относительно ôèëüтрации
Fn= σ(ξ0, . . . , ξn)
процесс
Xn=
P
n
k=1
ξkÿâ-
ляетсÿ мартингàëîì, åñëè
p = 1/2
; субмартингàëîì, åñëè
p > 1/2
; ñó-
пермартингàëîì, åñëè
p < 1/2
. Действительно,
E(X
n+1|Fn
) = E(ξ
n+1|Fn
) + E(Xn|Fn) = Eξ
n+1
+ Xn= p − q + Xn.
Пример 2.2.
Ïóñòü
Z ∈ L1(F )
. Òîãäà процесс
Xn= E(Z|Fn)
являетсÿ
мартингàëîì:
E(X
n+1|Fn
) = E(E(Z|F
n+1
)|Fn) = E(Z|Fn) = Xn.
ПроцессAназываетсÿ
предсказуеìûì
, åñëè случайные величины
A
n
являютсÿ
F
n−1
-измеримыми (
F−1:= F0).
52 2.1. Мартингàëû ñ дискретным временеì
Òеорема 2.1
(Ðàçëîæåíèå Äóáà).ПустьX интегрируеìûé процесс:
Xn∈ L1(Fn)
. Òîãäà существуют предсказуеìûé процесñAc
A0= 0
è
мартингалMтакие, ÷òî
X = A + M.
(2.1.1)
ПроцессыA,Mопределяются однозначно ñ точностью äî множества
нулевой вероятности. ПроцессXявляется ñóáмартингалоì, åñëè è
òîëüêî åñëè процессA неубывающий:
An≤ A
n+1
.
Доказательство.
Ïóñòü
∆Xk= Xk− X
k−1
. Òîãäà
Xn= X0+
n
X
k=1
∆Xk= X0+
n
X
k=1
(∆Xk−E(∆Xk|F
k−1
))+
n
X
k=1
E(∆Xk|F
k−1
).
Òàêèì образом,Xпредстàâèì â âèäå суммы мартингàëà
Mn= X0+
n
X
k=1
(∆Xk− E(∆Xk|F
k−1
)), n ≥ 0
è предскàçóемого процесса
An=
n
X
k=1
E(∆Xk|F
k−1
), n ≥ 1, A0= 0.
Åñëè имеетсÿ другое разлоæåíèå
X = A0+M0âèäà (2.1.1), òî
A−A0=
M0− M
è
A
n+1
− A
0
n+1
= E(A
n+1
− A
0
n+1
|Fn) = E(M
0
n+1
− M
n+1|Fn
)
= M
0
n
− Mn= An− A
0
n
ïðè почти âñåõω. Ïîñêольку
A0= A
0
0
, òî îòñþäà следуåò, ÷òî
A = A0.
Íî òîãäà è
M = M0.
ßñíî òàêæå, ÷òîXявляетсÿ субмартингàëîì, åñëè è толькî åñëè
E(X
n+1
− Xn|Fn) = E(A
n+1
− An|Fn) = A
n+1
− An≥ 0.
Представление (2.1.1) называетсÿ
ðазложениеì Äóáà
. Îíî ïîêазыва-
åò, ÷òî любой процессXявляетсÿ суммой предскàçóемого ¾сигнала¿Aè
мартингального ¾øóìà¿M. Äëÿ субмартингàëàXпроцессAназываетсÿ
êîмпенсатороì
.
ПроцессXñ
EX
2
n
< ∞
называетсÿ
квадратично èíòåгрируеìûì
.
Ãëàâà 2. Мартингàëû è ìàðêовские процессы 53
Òеорема 2.2.
ПустьM квадратично интегрируеìûé мартингал,
îãðаниченный â
L2:
sup
n≥1
EM
2
n
< ∞
. ÒîãäàMсходится â
L2.
Доказательство.
Äëÿ квадратично интегрируемого мартингàëà верно
равенство
E(M
n+k
− Mn)2= EM
2
n+k
− 2EE(MnM
n+k|Fn
) + EM
2
n
= EM
2
n+k
− EM
2
n
, k > 0.
(2.1.2)
Îòñþäà следуåò, ÷òî последовательность
EM
2
n
являетсÿ неубывающей.
Åñëè мартингàëMограничен â
L2, òî последовательность
EM
2
n
ñõîäèòñÿ.
Èç (2.1.2) следуåò òîãäà, ÷òî ïоследовательность
Mnфундаментальна â
L2:
sup
k≥0
kM
n+k
− Mnk
2
L
2
= sup
k≥0
E(M
n+k
− Mn)2= sup
k≥0
(EM
2
n+k
− EM
2
n
) < ε
ïðè äîñòаточно большихn. Â ñèëó полноты
L2процессMñõîäèòñÿ ê
íåêоторому элементу
M∞∈ L2.
Íèæå áóäóò óêазаны более тонкие ðåçóëüòàòû î ñõîдимости мартин-
ãàëîâ.
Случайная величина
τ : Ω 7→ Z+= Z+∪{+∞}
называетсÿ моментом
îñòановки, åñëè
{τ ≤ n} ∈ Fn,
n ∈ Z+. Смысл äàííîãî óсловия состо-
èò â òîì, ÷òî â момент любой ôèêсированный времениnдолжно áûòü
известно, наступил ëè ìîìåíòτранее.
Пример 2.3.
Äëÿ любого борелевскîãî ìíîæества
G ∈ R
введем момент
первого попадания â íåãî процессаX:
τG= inf{n ≥ 0 : Xn∈ G}
ñ учетом ñîãлашения
inf ∅ := +∞
. Случайная величина
τGявляетсÿ ìî-
ментом îñòановки:
{τG= n} = {X06∈ G} ∩ · ·· ∩ {X
n−1
6∈ G} ∩ {Xn∈ G} ∈ Fn,
{τG≤ n} =
n
[
k=0
{τG= k} ∈ Fn.
Другой пример моментà îñòановки постоянная случайная величина
τ ≡ n
.
54 2.1. Мартингàëû ñ дискретным временеì
Пример 2.4.
 ìîäåëè ýêспериментàn-кратного ïîдбрасывания монеты
(пример 1.1) ïîëîæèì
ξi(ω) = ξi((a1, . . . , an)) = I
{ai=H}
(ω).
Ïóñòüσ-алгебра
Fjñîäåðæèò информации î первыхjïîдбрасываниях:
Fj= σ(ξ1, . . . , ξj)
. Òîãäà случайная величина
τ(ω) =
(
k, ω = (H, . . . , H ),
n,
èíà÷å
,
ãäå
k < n
, íå являетсÿ моментом îñòановки относительно ôèëüтрации
(Fj)
n
j=1
, òàê êàê
{τ ≤ k} = {(H, . . . , H)} 6∈ Fk.
ßñíî, ÷òî â момент
времениkåùå неизвестно, выпадет ëè монетà орлом ïðè âñåõnïîäáðà-
сываниях.
Чтобы иметь возможность определить случайную величину
Xτ=
X
n∈Z
+
XnI
{τ=n}
+ X∞I
{τ=+∞}
,
введемσ-алгебру
F∞=
∞
_
n=1
Fn:= σ
∞
[
n=1
F
n
!
è
F∞-измеримую случайную величину
X∞. Выбор
X∞определяетсÿ ñî-
ображениями óдобства: например, ýòî ìîæåò áûòü
lim
n→∞Xn
(åñëè îí
существуåò) èëè0.
Очевидно, ÷òî процесс
(Xn)
n∈Z
+
ñîãласован ñ
(Fn)
n∈Z
+
è
Xτ
F∞-
измерима.
Òеорема 2.3.
Пусть
Xn∈ L1(Fn),n ∈ Z+. ПроцессXявляется ìàð-
тингалоì, åñëè è òîëüêî åñëè
EXτ= EX
0
(2.1.3)
äëÿ любого îãðаниченного ìîмента остановкиτ.
Ãëàâà 2. Мартингàëû è ìàðêовские процессы 55
Доказательство.
Íåîáõîдимость. Ïóñòü
τ ≤ K ∈ N
. Òîãäà
EXτ=
K
X
j=0
EI
{τ=j}
X
j
=
K
X
j=0
EI
{τ=j}
X
K
= E X
K
K
X
j=0
I
{τ=j}
!
= EXK= EX0.
Äîñòаточность. Ðассмотрим ìíîæество
A ∈ Fkè ïîëîæèì
σ = kIA+ (k + 1)I
A
c
.
Ëåãêî видеть, ÷òîσ момент îñòановки:
{σ ≤ n} =
∅, n < k
A, n = k
Ω, n > k.
Применяя (2.1.3) ïðè
τ = k + 1èτ = σ
, íàõîäèì
EX0= EX
k+1
= EXσ= E(XkIA) + E(X
k+1IA
c
).
Следовательно,
E(XkIA) = E(X
k+1IA
),A ∈ Fk. Ýòî è îçíà÷àåò, ÷òî
X
являетсÿ мартингàëîì:
Xk= E(X
k+1|Fk
).
Ëåãêî проверить следующее утверæдение.
Лемма 2.1.
Åñëèτ,σ ìîменты остановки, òî
τ ∨ σ,τ ∧ σ,τ + σ
будут ìîментами остановки.
Ñ процессомXè моментом îñòановкиτñâÿæåì ¾îñòановленный¿ ïðî-
öåññ
X
τ
n
= X
n∧τ
. Îñòановленный мартингàë являетсÿ мартингàëîì.
Òеорема 2.4.
ПустьX мартингал èτ ìîìåíò остановки, тогда
остановленный ïðîöåññ
Xτявляется мартингалоì.
Доказательство.
Äëÿ любого ограниченного моментà îñòановкèσверно
равенство
EX
τ
σ
= EX
τ∧σ
= EX
0
ïî теореме 2.3. Èç òîé æå теоремы следуåò, ÷òî
Xτявляетсÿ мартингà-
ëîì.
56 2.1. Мартингàëû ñ дискретным временеì
Òеория мартингàëîâ полезна ïðè исследовании случайных блужда-
íèé.
Пример 2.5.
(çàäà÷à î разорении) Ðассмотрим случайное блуждание
Xn=
P
n
k=1
ξk,
n ≥ 1,X0= 0
, ãäå
ξk независимые радемахеровские
величины:
P(ξk= 1) = P(ξk= −1) = 1/2
. ПроцессXявляетсÿ мартин-
ãàëîì относительно ôèëüòðàöèè
Fn= σ(ξ0, . . . , ξn)
. Ïîëîæèì
τ = inf{n ∈ Z+: Xn6∈ (−a, b)}, a, b ∈ N.
ПроцессXìîæíî рассматривать êàê êàïèòàë игрокà, участвующего
â азартной èãðå, ãäå íà êаждом øàãå îí выигрывает èëè проигрывает
îäèí рубль ñ îдинакîâîé âåðîятностью. Èãðà ïðîäîëæàåòñÿ äî моментà
τ
, êîãäà îí выиграет заранее определенную суммуbèëè проиграетa. Â
последнем случае наступает разорение. Величины
P(Xτ= −a),Eτ
îïðå-
деляют âåðîятность разорения è îжидаемую ïðîдолжительность èãðû.
Справедливы равенства
Eτ = ab
,
P(Xτ= −a) =
b
b + a
, P(Xτ= b) =
a
b + a
.
(2.1.4)
Доказательство.
Процесс
X
2
n
− n
являетсÿ мартингàëîì:
E(X
2
n+1
− (n + 1)|Fn) = E(X
2
n+1
− X
2
n
|Fn) + X
2
n
− (n + 1)
= E((X
n+1
− Xn)2|Fn) + X
2
n
− (n + 1) = X
2
n
− n.
Следовательно,
(X
2
n∧m
− n ∧ m)
n≥0
мартингàë ïðè любом
m > 0
. Ïî
теореме 2.3,
EX
2
τ∧m
= E(τ ∧ m).
(2.1.5)
Здесь использовано, ÷òî ìîìåíò îñòановки
τ ∧ m
ограничен.
Процесс
(X
2
τ∧m
)
m∈Z
+
ограничен, поэтому
EX
2
τ∧m
→ X
2
τ
, m → ∞
ïî теореме î ìàæорируåìîé ñõîдимости. Ñ äðóãîé стороны,
E(τ ∧ m) % Eτ, m → ∞
Ãëàâà 2. Мартингàëû è ìàðêовские процессы 57
ïî теореме î монотонной ñõîдимости. Перехîäÿ â (2.1.5) ê ïределу ïðè
m → ∞
, íàõîäèì
Eτ = EX
2
τ
< ∞.
 частности,
τ < ∞
ï.í., è çíà÷èò,
P(Xτ∈ {−a, b}) = P(Xτ= −a) + P(Xτ= b) = 1.
(2.1.6)
Далее, ïîñêольку процесс
(Xn)
n∈Z
+
являетсÿ, è момент îñòановки
τ ∧
m
ограничен, òî
EX
τ∧m
= 0
. Èç ограниченности процесса
(X
τ∧m)m∈Z
+
вытекàåò, ÷òî
0 = lim
m→∞
EX
τ∧m
= EX
τ
ïî теореме î ìàæорируåìîé ñõîдимости. Â ñèëó (2.1.6) имеем
0 = EXτ= −aP(Xτ= −a) + bP(Xτ= b).
(2.1.7)
Èç уравнений (2.1.6), (2.1.7) вытекàþò равенства (2.1.4), используÿ êîòî-
ðûå, íàõîäèì
Eτ = EX
2
τ
= a2P(Xτ= −a) + b2P(Xτ= b) = a
2
b
a + b
+ b
2
a
a + b
= ab.
Ïîëîæèì
Fτ= {A ∈ F∞: A ∩ {τ ≤ n} ∈ Fn, n ∈ Z+}
. Проверим,
÷òî данное семейство ìíîæåñòâ являетсÿσ-алгеброй.
(i)
Ω ∈ Fτ:
Ω ∩{τ ≤ n} = {τ ≤ n} ∈ Fn.
(ii) Ïóñòü
A ∈ Fτ. Èç равенства
{τ ≤ n} = A ∩{τ ≤ n} ∪ Ac∩ {τ ≤ n}
вытекàåò, ÷òî
Ac∩ {τ ≤ n} = {τ ≤ n}\(A ∩ {τ ≤ n}) ∈ Fn.
(iii) Ïóñòü
Ai∈ Fτ,
i ∈ N
, òîãäà
(∪
∞
i=1
Ai) ∩{τ ≤ n} = ∪
∞
i=1
(Ai∩ {τ ≤ n}).
58 2.1. Мартингàëû ñ дискретным временеì
Смысл определения
Fτìîæíî понимать следующим îбразом: â êàæ-
äûé момент времениnизвестно, наступило ëè
A ∈ Fτ, åñëè наступило
τ
. Ñåмейство
Fτназываетсÿ òàêæåσ-алгеброй событий, наблюдаемых
äî моментà времениτ. Íåêоторые свойства ýòîéσ-алгебры описаны â
следующей лемме.
Лемма 2.2.
(i)τявляется
Fτ-измеримой,
(ii)
Xτявляется
Fτ-измеримой,
(iii) Åñëè
τ ≤ σ
, òî
Fτ⊆ Fσ,
(iv)
Fτ∩ Fσ= F
τ∧σ
,
(v)
{τ ≤ σ} ∈ F
τ∧σ
äëÿ любых ìîментов остановкиτ,σ.
Доказательство.
(i) Ïîëîæèì
A = {τ ≤ m} ∈ F∞. Òîãäà
{τ ≤ m} ∩ {τ ≤ n} = {τ ≤ m ∧n} ∈ F
m∧n
⊆ Fn.
Îòñþäà следуåò
Fτ-измеримостьτ.
(ii)
Xτ=
P
n∈Z
+
XnI
{τ=n}
.
Äîñòаточно проверить измеримость
XkI
{τ=k}
,
k ∈ Z+. Ïóñòü
Xk= IA,
A ∈ Fk, òîãäà случайная величина
XkI
{τ=k}
= I
A∩{τ=k}
являетсÿ
Fτ-измеримой, òàê êàê ìíîæество
A ∩ {τ = k}∩ {τ ≤ n} =
(
∅, n < k
A ∩ {τ = k}, n ≥ k
принадлежит
Fn,
n ∈ Z+. Произвольная
Fn-измеримая случайная âå-
личина
Xnявляетсÿ поточечным пределом простых
P
m
i=1
ciI
A
i
,
Ai∈ Fn.
(iii) Ïóñòü
τ ≤ σèA ∈ Fτ. Ëåãêî видеть, ÷òî
A ∩ {σ ≤ n} = (A ∩ {τ ≤ n}) ∩{σ ≤ n} ∈ Fn.
(iv) Ïîñêольку
τ ∧ σ ≤ τèτ ∧ σ ≤ σ
, òî
F
τ∧σ
⊂ Fτ∩ Fσñîãласно
предыдущему пункту. Далее, ïóñòü
A ∈ Fτ∩ Fσ, ò.å.
A ∩ {τ ≤ n} ∈ Fn, A ∩ {σ ≤ n} ∈ Fn.
Ãëàâà 2. Мартингàëû è ìàðêовские процессы 59
Òîãäà
A∩{τ∧σ ≤ n} = A∩({τ ≤ n} ∪ {σ ≤ n}) = A∩{τ ≤ n}∪A∩{σ ≤ n} ∈ Fn.
(v) Èç соотношений
{τ ≤ σ}∩ {σ ≤ n} =
∞
[
j=0
{τ ≤ j} ∩ {j ≤ σ} ∩ {σ ≤ n}
=
n
[
j=0
{τ ≤ j} ∩ {j ≤ σ} ∩ {σ ≤ n} ∈ Fn,
{τ ≤ σ}∩ {τ ≤ n} =
∞
[
j=0
{τ ≤ j} ∩ {j ≤ σ} ∩ {τ ≤ n}
=
n
[
j=0
{τ ≤ j} ∩ {j ≤ σ}[{σ ≤ n}c∩ {τ ≤ n} ∈ F
n
следуåò, ÷òî
{τ ≤ σ} ∈ Fσ∩ Fτ= F
σ∧τ
.
Утверждение следующего òèïà èíîãäà называетсÿ
теореìîé î свобод-
íîì выборе
.
Òеорема 2.5.
Пусть
τ1,
τ2 ìîменты остановки,
0 ≤ τ1≤ τ2≤ K ∈ N
èM мартингал. Òîãäà
E(M
τ
2
|F
τ
1
) = M
τ
1
.
(2.1.8)
Доказательство.
Нужно äîêазать, ÷òî äëÿ
A ∈ F
τ
1
верно равенство
E(M
τ
2
IA) = E(M
τ
1
IA)
, ò.å.
K
X
j=0
E(MjI
A∩{τ2=j}
) =
K
X
j=0
E(MjI
A∩{τ1=j}
).
Ïîñêольку
A ∈ F
τ
1
⊂ F
τ
2
, òî
A ∩ {τ1= j} ∈ Fj, A ∩ {τ2= j} ∈ Fj.
Следовательно,
E(MjI
A∩{τr=j}
) = E(MKI
A∩{τr=j}
),r = 1, 2
. Îòñþäà âûòå-
êàåò, ÷òî
K
X
j=0
E(MjI
A∩{τr=j}
) =
K
X
j=0
E(MKI
A∩{τr=j}
) = E(MKIA), r = 1, 2.
60 2.1. Мартингàëû ñ дискретным временеì
Òеорему 2.5 ìîæíî åùå íåñêîëüêî óсилить следующим образом.
Òеорема 2.6.
Пусть
τ1,
τ2 ìîменты остановки,
0 ≤ τ1≤ τ2≤ K ∈ N
èX ñóáмартингал (соотв., супермартингàë). Òîãäà
E(X
τ
2
|F
τ
1
) ≥ X
τ
1
, (
соотв.,
≤ X
τ
1
).
Доказательство.
Ðàññмотриì случай субмартингàëà. Воспользуåìñÿ ðàç-
ëîæением Äóáà:
X = M + A
, ãäåM мартингàë èA неубывающий
процесс. Используÿ равенство (2.1.8), íàõîäèì
E(X
τ
2
|F
τ
1
) = E(M
τ
2
|F
τ
1
) + E(A
τ
2
|F
τ
1
) = M
τ
1
+ E(A
τ
2
|F
τ
1
)
≥ M
τ
1
+ E(A
τ
1
|F
τ
1
) = M
τ
1
+ A
τ
1
= X
τ
1
.
Ðàññìàòðиваемûå íèæå
íåðавенства Äóáà
позволяют оценивать ïðî-
öåññ
X
∗
n
= max
i=0,...,nXi
ìàêñèìóìà неотрицательного субмартингàëà.
Òеорема 2.7.
ПустьX неотрицательный ñóáмартингал. Òîãäà
P(X
∗
n
≥ a) ≤
1
a
E(XnI
{X
∗
n
≥a}
) ≤
1
a
EXn, , a > 0.
(2.1.9)
Доказательство.
Ïîëîæèì
τa= inf{k ≥ 0 : Xk≥ a}
. Òîãäà
τa≤ n
,
åñëè è толькî åñëè
X
∗
n
≥ a
. Далее,
E(XnI
{τa≤n}
) = E(E(Xn|F
τa∧n
)I
{τa≤n}
) ≥ E(X
n∧τ
a
I
{τa≤n}
)
= E(X
τ
a
I
{τa≤n}
) ≥ aP(τa≥ n).
Òàêèì образом,
P(X
∗
n
≥ a) = P(τa≤ n) ≤
E(XnI
{τa≤n}
)
a
≤
EX
n
a
.
Òеорема 2.8.
ПустьX неотрицательный квадратично интегриру-
åìûé ñóáмартингал. Òîãäà
E(X
∗
n
)2≤ 4EX
2
n
.
(2.1.10)
Доказательство.
Заметим, ÷òî
E(X
∗
n
)2= E
w
X
∗
n
0
2a da = E
w
∞
0
I
{a≤X
∗
n
}
2a da =
w
∞
0
EI
{a≤X
∗
n
}
2a da
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]