Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Основы стохастического анализа. Учебное пособие
.pdf
Ãëàâà 4. Ìîäåëü Áëýêà-Øîóëçà 181
Òеорема 4.3
(мартингальный принцип оптимальности).Пусть ñóùå-
ствуют функция
w = w(t, x)
è ñòðатегия
δ∗такие, ÷òî
w(T, x) =
U(x)
è äëÿ âñåx
(t, x)
(b) процесс
w(s, V
t,x,δ
∗
s
),s ∈ [t, T ]
является мартингалоì,
(b) процесс
w(s, V
t,x,δ
s
),s ∈ [t, T ]
является супермартингалоì äëÿ ëþ-
áîé допустимой ñòðатегииδ.
Òîãäà
(i) îãðаничение
δ∗íà
[t, T ]
является оптимальной ñòðатегией äëÿ çà-
äà÷è (
4.5.1
) ïðè любых
(t, x)
,
(ii)
w(t, x) = v(t, x)
.
Доказательство.
Èç óсловий (a), (b) следуåò, ÷òî
EU(X
t,x,δ
∗
T
) = Ew(T, X
t,x,δ
∗
T
) = w(t, x) ≥ Ew(T, X
t,x,δ
) = EU(X
t,x,δ
T
).
Îòñþäà вытекàþò îáà утверждения (i), (ii).
Чтобы найти функциюwè стратегию
δ∗óêазанные â теореме 4.3,
применим формуëó Èòî ê íåêоторой ãëàäêîé функцииw:
w(t, V
0,x,δ
t
) = w(0, x) +
w
t
0
(wtdu + wxdV
0,x,δ
u
+
1
2
wxxd[V
0,x,δ
]u).
Ïîäñòавляя ñþäà выражåíèå (4.5.2) è учитывая, ÷òî
d[V
0,x,δ
]u= σ2δ
2
u
(V
0,x,δ
u
)2du,
íàõîäèì
w(t, X
0,x,δ
t
) =w(0, x) +
w
t
0
wxσδuV
0,x,δ
u
dW
u
(4.5.3)
+
w
t
0
wt+ wxV
0,x,δ
u
((1 −δu)r + µδu) +
1
2
wxxσ2δ
2
u
(V
0,x,δ
u
)
2
du.
Предполоæèì, ÷òî выполняютсÿ технические óсловия, ïðè êоторых
ñòîõастический интеграл â (4.5.3) являетсÿ мартингàëîì. Ïóñòü òàêæå
w(T, x) = U (x)
. Óсловия теоремы 4.3 áóäóò выполненû, åñëè существуåò
182 4.5. Оптимальное инвестирование: уравнение Ãамильòîíà-ßêоби-Беллмана
стратегия
δ∗, äëÿ êоторой интеграл ïîuравен íóëþ, è åñëè ýòîò интеграл
неположителен äëÿ любой стратегииδ.
 связи ñ ýòèì рассмотрим
óðавнение Ãамильтона-Якоби-Беëëìàíà
sup
δ∈R
wt(t, x) + ((1 −δ)r + µδ)xwx(t, x) +
1
2
σ2δ2x2wxx(t, x)= 0
(4.5.4)
ñ граничным óсловием
w(T, x) = U (x).
(4.5.5)
Äîïóñòèì, ÷òîw ãëàäêîå решение ýòîé çàäà÷è, óдовлетворяющее òàê-
æå íåêоторым техническим óсловиям ðîñòà ïðè
|x| → ∞
. Далее, ïóñòü
δ(t, x) ∈ arg max
δ∈R
wt(t, x) + ((1 −δ)r + µδ)xwx(t, x) +
1
2
σ2δ2x2wxx(t, x)
è ïóñòü сущесòâóåò решение ñòîõастическîãî дифференциального óðàâ-
нения
dVu= Vu((1 −δ(u, Vu)r + µδ(u, Vu))du + σδ(u, Vu)VudWu, u ∈ [0, T ]
ñ íàчальным óсловием
V0= x
. Ïîëîæèì
δ
∗
u
= δ(u, Vu),u ≥ 0
.
Èç равенств (4.5.3), (4.5.4) вытекàåò, ÷òî äëÿ любых
(t, x)
è äëÿ любой
стратегии
δu,
u ≥ t
процесс
V
t,x,δ
являетсÿ супермартингàëîì, òàê êàê
wt(u, V
t,x,δ
u
) + ((1 −δu)r + µδu)V
t,x,δ
u
wx(u, V
t,x,δ
u
)
+
1
2
σ2δ
2
u
(V
t,x,δ
u
)2wxx(u, V
t,x,δ
u
) ≤ 0, u ≥ t.
Äëÿ
δ
∗
u
= δ(u, Xu),u ≥ t
аналогичное выражåíèå áóäåò равно0. Ñëå-
довательно процесс
w(u, X
t,x,δ
∗
u
),u ≥ t
áóäåò мартингàëîì (ïðè соблю-
дении технических óсловий). Ñîãласно теореме 4.3 ýòî îçíà÷àåò, ÷òî ðå-
шение çàäà÷è (4.5.4), (4.5.5) являетсÿ функцией Беллмана è стратегия
δ
∗
u
= δ(u, Xu)
оптимальна.
Снова рассмотрим случай ëîãарифмическîé полезности:
U(x) = ln x
.
Ðåøåíèå çàäà÷è (4.5.4), (4.5.5) áóäåì èñêàòü â âèäå
w(t, x) = ϕ(t) ln x
,
(t, x) ∈ [0, T ] × (0, ∞)
. Äëÿϕполучаем уравнение дифференциальное
уравнение
˙ϕ + rϕ + sup
δ∈R
(µ − r)δϕ −
1
2
σ2δ2ϕ= 0.
Ãëàâà 4. Ìîäåëü Áëýêà-Øîóëçà 183
Èç граничного óсловия (4.5.5) вытекàåò, ÷òî
ϕ(T ) = 1
. Ïî смыслу ôóíê-
öèè Беллмана
ϕ > 0
. Фактически íàñ интересуåò толькî оптимальное
çíàчениеδ:
(µ − r)δ −
1
2
σ2δ2→ max
δ∈R
.
Îòñþäà
δ∗= (µ − r)/σ2. Ýòà æå формуëà áûëà получена ранее двумя
другими способами.
Âûâîä уравнения Ãамильòîíà-ßêоби-Беллмана опиралсÿ íà мартин-
ãальный принцип оптимальности. Более ïðостой, õîòÿ è нестрогий ïóòü,
состоит â òîì, чтобы использовать следующее рассуждение, типичное
äëÿ ìåòîäà динамическîãî программирования.
Ïóñòü êàïèòàë â момент времениtравенx. Íà малом интервале
[t, s]
применим любую постоянную стратегиюδ. Íà îñòавшемсÿ интервале
[s, T ]
применим оптимальную стратегию
δ
∗
u
â предполоæåíèè, ÷òî îíà
существуåò. Òîãäà оптимальный выигрыш
v(t, x)
áóäåò íå меньше, ÷åì
среднее çíàчение оптимального выигрыша, êоторое рассчитываетсÿ äëÿ
состоÿíèÿ
(s, V
t,x
s
)
:
v(t, x) ≥ Ev(s, V
t,x,δ
s
).
Ïî формуëå Èòî, ñ учетом îáíóления математическîãî îæèäàíèÿ ìàð-
òèíãальной части разлоæåíèÿ (ñð. ñ (4.5.3)), îòñþäà следуåò, ÷òî
0 ≥ E
w
s
t
vt(u, V
t,x,δ
u
) + vx(u, V
t,x,δ
u
)V
t,x,δ
u
((1 −δ)r + µδ)
+
1
2
vxx(u, V
t,x,δ
u
))σ2δ2(V
t,x,δ
u
)
2
du
(4.5.6)
Ïîделим данное выражåíèå íà
s − t
è формально перейдем ê пределу
ïðè
s → t
. Â правой части (4.5.6) â пределе получим çíàчение ïîдынте-
грального выражåíèÿ ïðè
u = t,X
t,x,δ
t
= x
:
vt(t, x) + ((1 −δ)r + µδ)xvx(t, x) +
1
2
σ2δ2x2vxx(t, x) ≤ 0.
(4.5.7)
Ñ другой стороны, åñëè использовать оптимальное управление
δ∗íà
âñåì интервале, òî получиì равенство
v(t, x) = Ev(s, V
t,x,δ
∗
s
).
184 4.6. Упражнения
Применяя формуëó Èòî, íàõîäèì (ñð. ñ (4.5.6))
0 = E
w
s
t
vt(u, V
t,x,δ
∗
u
) + vx(u, V
t,x,δ
u
)V
t,x,δ
∗
u
((1 −δ
∗
u
)r + µδ
∗
u
)
+
1
2
vxx(u, V
t,x,δ
u
))σ2(δ
∗
u
)2(V
t,x,δ
u
)
2
du
Ïîделим íà
s − t
è формально перейдем ê пределу ïðè
s → t
:
vt(t, x) + ((1 −δ
∗
t
)r + µδ
∗
t
)xvx(t, x) +
1
2
σ2(δ
∗
t
)2x2vxx(t, x) = 0.
(4.5.8)
Соотношения (4.5.7), (4.5.8) ïîêазывают, ÷òîvóдовлетворÿåò уравнению
Ãамильòîíà-ßêоби-Беллмана:
vt(t, x) + sup
δ∈R
((1 −δ)r + µδ)xvx(t, x) +
1
2
σ2δ2x2vxx(t, x)= 0.
4.6 Упражнения
4.1.
Äîêазать, ÷òî åñëè
r
t
0
hudu = 0
äëÿ âñåõt, ãäåh íåêоторая áîðå-
левскàÿ функция, òî
h = 0
ï.â. ïî ìåðå Лебегà.
4.2.
Äîêазать импликàöèþ (ii)
=⇒
(i) (легкую часть) теоремы 4.2.
4.3.
Äëÿ äèñêонтированной öåíû (4.3.5) ìàðêîâñêîãî платежного îáÿçà-
тельства â момент времениtполучить интегральное представление àíà-
логичное (4.3.2). Вывести îòñþäà, ÷òî функцияeV (t, x)
, определяющая
öåíó, являетсÿ ãëàäêîé.
4.4.
Ïóñòü
Ct öåíà опциона Call (ñì. 4.3), è
Pt öåíà опциона Put ñ
выплатой
(K − ST)+. Вывести формуëó
Ct− Pt= St− Ke
−r(T −t)
непосредственно èç (4.3.1).
4.5.
Ïóñòü процессVявляетсÿ решением çàäà÷è оптимального инвести-
рования ñ ëîãарифмическîé функцией полезности, ïîëó÷åííîå â 4.4.
Ïîêазать, ÷òî процессы
B/V,S/V
являютсÿP-мартингалами.
4.6.
Ðешить çàäà÷ó оптимального инвестирования ñ функцией полезно-
ñòè
U(x) = xα/α,α ∈ (0, 1)
, используÿ мартингальный ïîäõîä (ñì. 4.4).
Ãëàâà 4. Ìîäåëü Áëýêà-Øîóëçà 185
4.7.
Ðешить çàäà÷ó оптимального инвестирования ñ функцией полезно-
ñòè
U(x) = xα/α,α ∈ (0, 1)
, используÿ уравнение Ãамильòîíà-ßêîáè-
Беллмана (ñì. 4.5).
4.8.
Ïóñòü инвестор потребляет часть êàïèòàëà è
ct процесс интенсив-
ности потребления. Òîãäà уравнение (4.5.2) äинамики êàïèòàëà прини-
ìàåò âèä
dV
t,x,δ,c
u
= V
t,x,δ,c
u
((1 −δu)r + µδu)du + σδuV
t,x,δ,c
u
dWu− ctdt.
Äëÿ çàäà÷è îá оптимальном потреблении ñ целевой функцией
E
w
τ
0
cγdt → max
c≥0
, τ = inf{u ≥ 0 : V
t,x,δ,c
u
= 0} ∧ T
формально вывести уравнение Ãамильòîíà-ßêоби-Беллмана è êраевые
óñëîâèÿ:
vt(t, x) + sup
δ∈R,c≥0
((1 −δ)r + µδ)xvx(t, x) +
1
2
σ2δ2x2vxx(t, x)
− cvx(t, x) + c
γ
= 0, (t, x) ∈ (0, T ) ×[0, ∞),
(4.6.1)
v(T, x) = 0, v(0, t) = 0.
(4.6.2)
 частности, объяснить происõîждение граничнîãî óсловия
v(0, t) = 0
.
4.9.
Ðàçûñêèâàÿ решение çàäà÷è (4.6.1), (4.6.2) â âèäå
v(t, x) = ϕ(t)xγ,
найти оптимальную стратегию:
δ∗(t, x) =
µ − r
(1 −γ)σ
2
, c∗(t, x) =
x
h(t)
1/(1−γ)
,
ãäåhявляетсÿ решением çàäà÷è Êîøè äëÿ íåêîòорого дифференциаль-
íîãî уравнения.
Литература
1.
Боровкîâ À.À.
Òеория âåðîятностей. Ì.: Ýäèòîðèàë ÓÐÑÑ, 1999.
2.
Áóлинский À.Â., Øèðÿåâ À.Í.
Òеория случайных процессов. Ì.: Физматëèò,
2005.
3.
Áüîðê Ò.
Òеория арбитражà â непрерывном времени. Ì.: МНЦМО, 2010.
4.
Гнеденкî Á.Â.
Êóðñ теории âåðîятностей. Ì.: Эдиториал ÓÐÑÑ, 2011.
5.
Дынкин Å.Á., Þøêåâè÷ À.À.
Управляемые ìàðêовские ïðîöåññû è èõ прилоæå-
íèÿ. Ì.: Íàóêà, 1975.
6.
Кельберт Ì.ß., Ñóõîâ Þ.Ì.
Âåðîятность è ñòатистикà â примерах è çàäà÷àõ.
Òîì 1. Основные понятия теории âåðîятностей è математическîé ñòатистики. Ì:
МНЦМО, 2007.
7.
Кельберт Ì.ß., Ñóõîâ Þ.Ì.
Âåðîятность è ñòатистикà â примерах è çàäà÷àõ.
Òîì 2. Ìàðêовские öåïè êàê отправная òî÷êà теории случайных процессов è èõ
прилоæåíèÿ. Ì: МНЦМО, 2010.
8.
Îêсендаль Á.
Ñòîõастические дифференциальные уравнения. Введение â теорию
è прилоæåíèÿ. Ì.: Ìèð, ÀÑÒ, 2003.
9.
Ðîõëèí Ä.Á.
Введение â ñòîõастическîå интегрирование. Учебно-методическîå
пособие. Ðостов-на-Дону: ÞÔÓ, 2016, 41 ñ.
10.
Ðîõëèí Ä.Á.
Мартингàëû. Учебно-методическîå пособие, Ðостов-на-Дону: ÞÔÓ,
2016, 42 ñ.
11.
Øèðÿåâ À. Í.
Âåðîятность. Â 2-õ êí. Ì.: МНЦМО, 2004.
12.
Øèðÿåâ À.Í.
Основы ñòîõастическîé финансовой математики. Â 2-õ томах. Ì.:
МЦНМО, 2016.
13.
Øèðÿåâ À.Í., Эрлих È.Ã., ßñüêîâ Ï.À.
Âåðîятность â теоремах è çàäà÷àõ (ñ
äîêазательствами è решениями). Êíèãà 1. Ì: МНЦМО, 2014.
14.
Baldi P., Mazliak L., Priouret P.
Martingales and Markov chains: solved exercises and
elements of theory. London: Chapman and Hall/CRC, 2002.
15.
Baldi P.
Stochastic calculus: an introduction through theory and exercises, Cham:
Springer, 2017.
186
Литература 187
16.
Bass R.F.
Stochastic processes. Cambridge: Cambridge University Press, 2011.
17.
Bauer H.
Probability theory. Berlin: Walter de Gruyter, 1996.
18.
Bertsekas D.P., Tsitsiklis J.N.
Introduction to probability, Belmont: Athena Scientic,
2008.
19.
Calin O.
An informal introduction to stochastic calculus with applications. Singapore:
World Scientic, 2015.
20.
Capinski M., Kopp P.E.
Measure, integral, probability. London: Springer, 2004.
21.
Cvitanic J., Zapatero F.
Introduction to the economics and mathematics of nancial
markets. Cambridge: The MIT Press, 2004.
22.
Grimmett G.R., Stirzaker D.R.
One thousand exercises in probability. Oxford: Oxford
University Press, 2001.
23.
He S.-W., Wang J.-G., Yan J.-A.
Semimartingale theory and stochastic calculus.
Beijing: CRC Press, 1992.
24.
Ibe O.C.
Markov processes for stochastic modeling. Amsterdam, Boston: Academic
Press, 2009.
25.
Jacod J., Shiryaev A.N.
Limit theorems for stochastic processes. Berlin: Springer,
2003.
26.
Jeanblanc M., Yor M., Chesney M.
Mathematical methods for nancial markets.
London: Springer, 2009.
27.
Kabanov Y., Kardaras C., Song S.
No arbitrage of the rst kind and local martingale
numeraires//Finance and Stochastics, 2016, vol. 20, N 4, 10971108.
28.
Korn R.
The martingale optimality principle in nance: the best you can is good
enough. WILMOTT magazine, 2003 (July), 6167.
29.
Kuo H.-H.
Introduction to stochastic integration. New York: Springer, 2006.
30.
Liggett T.M.
Continuous time Markov processes. AMS, 2010
31.
Medvegyev P.
Stochastic integration theory. New York: Oxford University Press, 2007.
32.
Meyer M.
Continuous stochastic calculus with applications to nance. Boca Raton:
CRC Press, 2001.
33.
Norris J.R.
Markov chains. Cambridge: Cambridge University Press, 1997.
34.
Pascucci A.
PDE and martingale methods in option pricing. Milan: Springer, 2011.
35.
Privault N.
Understanding Markov chains. Examples and applications. Singapore:
Springer, 2018.
36.
Protter P.E.
Stochastic integration and dierential equations. Berlin: Springer, 2004.
37.
Resnick S.I.
A probability path. Boston: Birkhauser, 2014.
38.
Seppalainen T.
Basics of stochastic analysis. University of Wisconsin-Madison, 2014.
https://www.math.wisc.edu/∼seppalai/sa-book/etusivu.html
39.
Shreve S.E.
Stochastic Calculus Models for Finance, II: Continuous Time Models.
188 Литература
New York: Springer, 2004.
40.
Вентцель À.Ä.
Êóðñ теории случайных процессов. Ì.: Íàóêà, 1996.
41.
Williams D.
Probability with martingales. Cambridge: Cambridge University Press,
1991.
Учебноеиздание
РОХЛИНДмитрийБорисович
ОСНОВЫСТОХАСТИЧЕСКОГОАНАЛИЗА
Публикуетсявавторскойредакции
КомпьютерныймакетЕ.В.Ширяевой
Подписановпечать20.06.2019г.
Бумагаофсетная.Формат60×84
1
/16.Усл.печ.лист.11,04.
Уч.изд.л.9,0.Заказ№7097.Тираж30экз.
ИздательствоЮжногофедеральногоуниверситета.
Отпечатановотделеполиграфической,корпоративнойисувенирнойпродукции
Издательско‐полиграфическогокомплексаКИБИМЕДИАЦЕНТРАЮФУ.
344090,г.Ростов‐на‐Дону,пр.Стачки,200/1,тел(863)243‐41‐66.
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]