Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Основы стохастического анализа. Учебное пособие
.pdf
Ãëàâà 4. Ìîäåëü Áëýêà-Øîóëçà 171
предстàâèì (4.3.3) â âèäå
Π0=
e
−rT
√
2π
w
∞
z
0
S0e
(r−σ2/2)T +σ√T z
− Ke
−z2/2
dz.
(4.3.4)
Далее, ïîñêольку
−z2/2 + (r − σ2/2)T + σ√T z = rT −
1
2
z − σ√T
2
,
òî формуëà (4.3.4) ïðинимает âèä
Π0=
S
0
√
2π
w
+∞
z
0
e
−(z−σ√T
)
2
/2
dz −
Ke
−rT
√
2π
w
+∞
z
0
e
−z2/2
dz.
Обозна÷èì через
Φ(x) =
w
x
−∞
ϕ(y) dy, ϕ(y) =
1
√
2π
e
−y2/2
функцию распределения нормального распрåäåëåíèÿ. Ëåãêî видеть,
÷òî
w
+∞
x
ϕ(y) dy =
w
−x
−∞
ϕ(y) dy = Φ(−x),
1
√
2π
w
+∞
z
0
e
−(z−σ√T
)
2
/2
dz =
1
√
2π
w
+∞
z0−σ√T
e
−y2/2
dy = Φ(−z0+ σ√T ).
Òàêèì образом,
Π0= S0Φ(−z0+ σ√T ) − Ke
−rT
Φ(−z0).
Введем следующие обозначения
d−= −z0=
1
σ√T
ln
S
0
K
+ (r − σ2/2)T,
d+= −z0+ σ√T =
1
σ√T
ln
S
0
K
+ (r + σ2/2)T.
Èòàê, получена формуëà äëÿ öåíû опциона Call (ïðè
t = 0
):
Π0= S0Φ(d+) −Ke
−rT
Φ(d−).
Îíà называетсÿ
ôîðмулой Блэка-Шоулза
.
172 4.3. Öåíû европейских опционов
Ðàññìîòðèì öåíó îáязательства
g(ST)
â момент времениt:
e
Πt= e
−rt
Πt= e
−rT
EQ(g(e
rT
e
ST)|Ft).
Заметим, ÷òî
e
S
T
e
S
t
= e
σ(fWT−fWt)−
1
2
σ2(T −t)
.
Ïî лемме î независимости существуåò функцияeV =eV (t, x)
òàêàÿ, ÷òî
e
Πt= e
−rT
EQ(g(erTe
σ(fWT−fWt)−
1
2
σ2(T −t)
e
St)|Ft) =eV (t,eSt),
(4.3.5)
òàê êàêfWT−fWtíå зависит îò
Ft. Äëÿ функцииeV
ìîæíî получить
интегральное ïðåäñòавление, аналогичное (4.3.2) (óïð. 4.3). Èç данного
представления вытекàåò, ÷òî îíà являетсÿ ãëàäêîé.
Применим êeV (t,eS)
формуëó Èòî:
deΠt= deV (t,eS) =eVt(t,eS)dt +eVx(t,eS)deS +
1
2
e
Vxx(t,eS)d[eS].
Далее, ïîñêольку
deS = σeSdfW ,
òî
e
V (t,eSt) = At+ Mt,
(4.3.6)
At=
w
t
0
e
Vt(u,eSu) +
σ
2
2
e
S
2
u
e
Vxx(u,eSu)du,
Mt=eV (0,eS0) +
w
t
0
σeS
u
e
Vx(u,eSu)dfWu.
Íî процессeV (t,eS) =eΠ
являетсÿ мартингàëîì, à процесс
Mt ëîêàëü-
íûì мартингàëîì. Следовательно,
A = 0
è
e
Vt(u,eSu) +
σ
2
2
e
S
2
u
e
Vxx(u,eSu) = 0, u ∈ [0, T ].
Далее, åñëè äëÿ непрерывной функции
F : [0, T ) ×(0, ∞) 7→ R
верно
равенство
F (t,eSt) = 0, t ∈ [0, T ),òîEQ|F (t,eSt)| =
r
∞
0
|F (t, x)|pt(x) dx
,
ãäå
pt плотностьeSt(ïî ìåðåQ). Íî плотность
ptïîëîжительна íà
(0, ∞)
. Следовательно,
F = 0íà[0, T ) ×(0, ∞)
. Òàêèì образом,
e
Vt(t, x) +
σ
2
2
x
2
e
Vxx(t, x) = 0, (t, x) ∈ (0, T ) ×(0, ∞).
(4.3.7)
Ãëàâà 4. Ìîäåëü Áëýêà-Øîóëçà 173
Кроме òîãî,
e
V (T , x) = e
−rT
g(erTx)
(4.3.8)
òàê êàêeV (T ,eST) =eΠT= e
−rT
g(e
rT
e
ST)
. Èòàê,eV
являетсÿ решением çàäà-
÷è Êîøè äëÿ параболическîãî уравнения (4.3.7) ñ íàчальным óсловием
(4.3.8).
Уравнение (4.3.7) ñâîäèòñÿ ê уравнению теплопроводности ïðè ïîìî-
ùè ïîäñòановки
y = ln x +
σ
2
2
t.
Действительно, ïóñòübV (t, y) =bV (t, ln x +
σ
2
2
t) =eV (t, x)
, òîãäà
e
Vx=bV
y
1
x
,eVxx=bV
yy
1
x
2
−bV
y
1
x
2
,eVt=bVt+bV
y
σ
2
2
.
Ïîäñòавляя ýòè выражåíèÿ â (4.3.7), íàõîäèì
b
Vt+bV
y
σ
2
2
+
σ
2
2
x
2
b
V
yy
1
x
2
−bV
y
1
x
2
=bVt+
σ
2
2
b
Vyy= 0, (t, y) ∈ (0, T ) ×R,
b
V (T , y) = e
−rT
g(erTe
y−
σ
2
2
t
).
Ñ другой стороны, öåíó платежного îáязательства ìîæíî предстà-
âèòü â âèäå
e
Πt= e
−rt
U(t, St),
ãäåU ãëàäêàÿ функция. Применяя формуëó Èòî, íàõîäèì
deΠ = −re
−rt
U(t, S)dt + e
−rt
Ut(t, S)dt + Ux(t, S)dS +
1
2
Uxx(t, S)d[S].
Ïîäñòàâèâ ñþäà выражåíèå
dS = µSdt + σSdW = rSdt + σS(θdt + dW ) = rSdt + σSdfW ,
ãäå
θ = (µ − r)/σ
, получим
deΠ = −re
−rt
Udt + e
−rt
Utdt + Ux(rSdt + σSdfW ) +
1
2
Uxxσ2S2dt
= e
−rt
Ut− rU + rSUx+
1
2
σ2S2U
xx
dt + σSe
−rt
UxdfW .
(4.3.9)
174 4.3. Öåíû европейских опционов
Дальнейшие рассуждения аналогичны òåì, êоторые áûëè использо-
âàíû ïðè âûâîäå уравнения (4.3.7). Ðавенство (4.3.9) ïîêазывает, ÷òî
процесс
w
t
0
e
−ru
Ut(u, Su) −rU (u, Su) + rSuUx(u, Su) +
1
2
σ2S
2
u
Uxx(u, Su)du
îдновременно являетсÿ ïроцессом ограниченной вариации è ëîêальным
мартингàëîì относительноQ. Çíà÷èò îí равен0. Îòñþäà следуåò, ÷òî
Ut(t, x) + rxUx(t, x) +
1
2
σ2x2Uxx(t, x) = rU (t, x)
(4.3.10)
ïðè
(t, x) ∈ (0, T ) ×(0, ∞)
. Кроме òîãî, выполнено граничное óсловие
U(T, x) = g(x).
Уравнение (4.3.10) называетсÿ
óðавнениеì Блэка-Шоулза
. Приведен-
íûå âûøå рассуждения ïîêазывают, ÷òî данное уравнение ñ помощью
простых преобразования ñâîäèòñÿ ê уравнению теплопроводности â ïî-
ëîñå
(0, T ) ×R
.
Отметим òàêæå, ÷òî âåðîятностное представление (3.8.4) решения óðàâ-
нения (4.3.10) фактически получено â примере 3.12. Îòличие состоит
толькî â òîì, ÷òî â óêазаннîì примере рассматривалась çàäà÷à â ïî-
ëîñå, à уравнение Áëýêà-Øîóëçà определено â полуполосе. Ïðè ýòîì ñ
данным уравнением связано ñòîõастическîå äèфференциальное уравне-
íèå (4.1.1), траектории решения êоторого (траектории ãåîìåòðè÷åñêîãî
броуновскîãî äâèæåíèÿ) òàêæå íàõîäÿòñÿ â полуполосе.
ÏóñòüeΠ
äèñêонтированная öåíà íåêоторого платежного îáязатель-
ñòâà
gT≥ 0ñEQgT< ∞
. Ïî теореме î представлении мартингàëîâ
(теорема 3.18) существуåò единственный ñîãласованный ñ ôèëüтрацией
F
f
W
процесс
H ∈ L
2
loc
(fW )
òàêîé, ÷òî
e
Πt−eΠ0=
w
t
0
HudfWu.
Ýòî îçíà÷àåò, ÷òî существуåò единственный процесс
γ ∈ L
2
loc
(fW ) =
L
2
loc
(eS)
òàêîé, ÷òî
e
Πt=eΠ0+
w
t
0
γuσeSudfWu=eΠ0+
w
t
0
γudeSu.
(4.3.11)
Ãëàâà 4. Ìîäåëü Áëýêà-Øîóëçà 175
Òàêèì образом, процесс öåíûeΠ
любого платежного îáязательства
g
T
совпадает ñ процессом êàïèòàëà íåêоторой стратегииγ, åñëè íà÷àëü-
íûé êàïèòàë инвестора совпадает ñ íà÷àëüíîé ценойeΠ0îáÿçàòåëьства
gT. Â связи ñ ýòèì говорÿò, ÷òî ìîäåëü Áëýêà-Øîóëçà являетсÿ
ïîë-
íîé
, ÷òî îçíà÷àåò
воспроизводимость
êаждого платежного îáязатель-
ñòâà (ò.å. наличие представления âèäà (4.3.11)).
Äëÿ ìàðêîâñêîãî платежного îáязательства áûëî получено предстàâ-
ление
e
Πt=eV (t,eSt) =eV (0,eS0) +
w
t
0
σeS
u
e
Vx(u,eSu)dfW
u
=eV (0,eS0) +
w
t
0
e
Vx(u,eSu)deS
u
(4.3.12)
ñì. (4.3.6) (напомним, ÷òî
A = 0
). Сравнение формуë (4.3.6), (4.3.12)
äàåò явную формуëó äëÿ портфеляγ, воспроизводящего платежнîå îáÿ-
зательство
g(ST)
:
γt=eVx(t,eSt).
4.4 Оптимальное инвестирование: мартингальный ïîäõîä
Äëÿ сравнения ñëó÷àéíûõ величин, описывающих êàïèòàëû инвесто-
ðà, введем
функцию ïîлезности
U = U(x)
. Áóäåì ñ÷èòàòü, ÷òî åå îáëà-
ñòüþ определенияDявляетсÿ îäíî èç ìíîæåñòâR,
R+,
(0, ∞)
. Инвестор
ñ данной функцией полезности предпочитàåò êàïèòàëXêàïèòàëóY,
åñëè
EU(Y ) ≤ EU (X).
Естественно ñ÷èòàòü, ÷òî åñëè
X ≤ Y
, òî
EU(X) ≤ EU (Y )
. Âûáè-
ðàÿ величиныX,Yнеслучайными, заключаем, ÷òî функцияUявляетсÿ
неубывающей:
U(x) ≤ U (y), x ≤ y.
Далее áóäåì ñ÷èòàòü, ÷òî îíà строго возрастающая. Другое традицион-
íîå предполоæåíèå состоит â òîì, ÷òî инвестор
íå ñклонен ê риску
è
предпочитàåò неслучайную величину
EX
случайной величинеXñ òåì
æå математическим îжиданием:
EU(X) ≤ EU (EX ) = U (EX).
176 4.4. Оптимальное инвестирование: мартингальный ïîäõîä
 частности, åñëè
P(X = xi) = pi,
i = 1, 2
, ãäå
p1+ p2= 1
, òî получаем
неравенство
p1U(x1) + p2U(x2) ≤ U (p1x1+ p2x2),
îçíàчающее, ÷òîUявляетсÿ вогнутой.
Èòàê, áóäåì предполгàòü, ÷òî функцияUнепрерывно дифференциру-
åìà, монотонно возрастàåò è вогнутà. Типичными примерами являютсÿ
ëîãарифмическàÿ, степенная è ýêспоненциальная функции полезности:
U(x) = ln x, x ∈ (0, ∞),
U(x) =
x
α
α
, α ∈ (0, 1), x ∈ R+,
U(x) = −e
−αx
, α > 0, x ∈ R.
Ïóñòü íà÷альный êàïèòàëxинвестора ïîëîжителен. Капитàë
V
β,γ
íåêоторой самофинанñèðóåìîé стратегии äëÿ краткîñòè обозна÷èì ÷å-
ðåçV:
dV = βdB + γdS = βrBdt + γ(µSdt + σSdW )
= r(V −γS)dt + γµSdt + γσSdW.
(4.4.1)
Введем äîëþ êàïèòàëà, инвестированного â ðèñêîâûé актив:
δ =
γS
V
.
Ïðè ýòîì неявно предполагàåòñÿ, ÷òî êàïèòàëVстрого ïîëîжителен.
Используÿ ýòî обозначение, перепишем соотношение (4.4.1) следующим
образом:
dV = V ((1 −δ)r + µδ)dt + σδV dW = V dY.
(4.4.2)
Ïîñêольку, кроме òîãî,
V0= x
, òî
V = xE (Y ),
ãäå
Yt=
w
t
0
((1 −δu)r + µδu)du +
w
t
0
σδudWu.
Используÿ формуëó (3.7.4), íàõîäèì
Vt= x expYt−
1
2
[Y ]
t
= x exprt +
w
t
0
(µ − r)δudu +
w
t
0
σδudWu−
1
2
σ
2
w
t
0
δ
2
u
du
(4.4.3)
Ãëàâà 4. Ìîäåëü Áëýêà-Øîóëçà 177
Ðàññмотриì çàäà÷ó оптимального инвестирования ñ ëîãарифмическîé
функцией полезности:
EU(VT) = E ln VT→ max .
(4.4.4)
Ìàêсимизация произвоäèòñÿ ïî âñåì ñîãласованным ñ ôèëüтрацией ïðî-
цессамδ.  ðàñсматриâàåìîé версии çàäà÷è оптимального инвестирова-
íèÿ оцениваетсÿ толькî терминальный êàïèòàë
VT.
Ïîäñòавляя выражåíèå (4.4.3) â целевую функцию (4.4.4), ïðèõîäèì
ê следующей çàäà÷å
ErT +
w
T
0
(µ − r)δudu +
w
T
0
σδudWu−
1
2
σ
2
w
T
0
δ
2
u
du→ max .
Отбрасывая несущественную êîíñòàíòórTè ñ÷èòàÿ, ÷òî процесс
w
t
0
σδudW
u
являетсÿ мартингàëîì (à íå толькî ëîêальным мартингàëîì), получаем
следующую эквивалентную çàäà÷ó:
E
w
T
0
(µ − r)δu−
1
2
σ2δ
2
u
du → max .
ßñíî, ÷òî оптимальная äîëÿ
δ∗являетсÿ решением элементарной çàäà÷è
(µ − r)δ −
1
2
σ2δ2→ max
δ∈R
.
Îòñþäà
δ∗=
µ − r
σ
2
.
(4.4.5)
Òàêèì образом, оптимальная стратегия состоит â òîì, чтобы óäåðæè-
âàòü ôèêсированную äîëþ (4.4.5) êàïèòàëà â ðèñêîâîì активе. Отметим,
÷òî â данной ïîñòановкå ýòà äîëÿ ìîæåò áûòü любым вещественным ÷èñ-
ëîì. Åñëè
δ < 0
, òî ýòî îçíà÷àåò, ÷òî
γ < 0
, ò.å. имеетсÿ äîëã â акциях
(осуществлена êороткàÿ ïðîäàæà). Åñëè
δ > 1
, òî èìååòñÿ äîëã â îáëè-
ãациях.
Äëÿ решения çàäà÷è
EU(VT) = EU(e
rT
e
VT) → max
178 4.4. Оптимальное инвестирование: мартингальный ïîäõîä
â общем случае, рассмотрим ìíîæество äèñêîíòèрованных òåðìèíàëü-
íûõ êàïèòàëîâ
e
VT= x +
w
T
0
γtdeSt,
êоторые достижимы ïðè íàчальном êàïèòàëåx. Áóäåì рассматривать
толькî òàêèå портфели, äëÿ êоторых процессы
γ ◦eS
являютсÿ мартин-
ãалами. Òîãäà
E
Q
e
VT= x.
Íî, êàê следуåò èç рассуждений, приведенных â êîíöå 4.3, êаждая
FT-
измеримая случайная величинаξ, óдовлетворяющая óсловию
EQξ = x,
(4.4.6)
воспроизвоäèìà, ò.å. äëÿ íåå существуåò портфельγòàêîé, ÷òî
ξ = x +
w
T
0
γtdeSt.
Данные рассуждения ïîêазывают, ÷òî динамическàÿ çàäà÷à ìàêñèìè-
зации îжидаемой полезности
EU(VT)
ïî íåêоторому классу äîïóстимых
портфелейγñâîäèòñÿ ê ñòатическîé çàäà÷è ìàêсимизации
EU(erTξ) → max
(4.4.7)
ñ ограничением (4.4.6). Перепиøåì данное ограничение â âèäå
E(ZTξT) = x, ZT= E (−θWT)
è ïрименим ìåòîä ìíîæителей Лагранжà äëÿ формального решения çà-
äà÷è (4.4.6), (4.4.7). Ñîãласно принцèïó Лагранжà следуåò провести ìàê-
симизацию функции Лагранжà
EU(erTξ) + λ(x − E(ZTξ)) → max
ξ
áåç ó÷åòà ограничений. Здесь
λ ∈ R
ìíîжитель Лагранжà. Провоäÿ
ìàêсимизацию выражåíèÿ
w
Ω
U(erTξ(ω)) −λZT(ω)ξ(ω)P(dω)
ïî êаждому
ξ(ω)
, íàõîäèì
U0(erTξ(ω))erT− λZT(ω) = 0.
Ãëàâà 4. Ìîäåëü Áëýêà-Øîóëçà 179
Òàêèì образом,
оптимальный
äèñêонтированный êàïèòàë â момент
времениTопределяетсÿ формуëîé
ξ∗= e
−rT(U0)−1(e−rT
λZT(ω)),
(4.4.8)
ãäåλявляетсÿ êорнем уравнения
E(ZTξ∗) = e
−rT
EQ((U0)−1(e
−rT
λZT)) = x.
(4.4.9)
Проверим теперь непосредственно, ÷òî формуëà (4.4.8) äàåò îïòè-
мальный äèñêонтированный êàïèòàëeV
∗
T
= ξ∗. ÏóñòüY êàïèòàë любой
самофинансирумой стратегии è
Y0= x
. Òîãäà
EU(YT) = EU(V
∗
T
) + E(U(YT) −U(V
∗
T
))
≤ EU (V
∗
T
) + E (U0(V
∗
T
)(YT− V
∗
T
)) .
(4.4.10)
Здесь использовано неравенство
U(y) ≤ U(x) + U0(x)(y − x),
îçíàчающее, ÷òî график вогнутой функцииUлежит íèæå êасательной.
Èç равенства (4.4.8) вытекàåò, ÷òî
U0(V
∗
T
) = U0(e
rT
e
V
∗
T
) = U0(erTξ∗) = e
−rT
λZT.
Следовательно,
E (U0(V
∗
T
)(YT− V
∗
T
)) = λe
−rT
E (ZT(YT− V
∗
T
)) = λEQ(e
−rT
YT− e
−rTV∗
T
)
= λEQ(eYT−eV
∗
T
) = 0.
Èç (4.4.10) получаем теперь неравенство
EU(YT) ≤ EU (V
∗
T
)
, ïîдтверæäà-
þùåå оптимальность
V
∗
T
.
Чтобы найти оптимальный портфель äîñòаточно воспроизвести èñ-
êóсствеííîå платежнîå îáязательство (4.4.8). Äëÿ иллюстрации ðàñ-
смотрим снова ëîãарифмическую функцию полезности
U(x) = ln x
. Â
ýòîì случае
(U0)−1(y) = 1/y
, è соотношения (4.4.8), (4.4.9) принимают
âèä
ξ∗=
1
λZ
T
, E(ZTξ∗) =
1
λ
= x.
180 4.5. Оптимальное инвестирование: уравнение Ãамильòîíà-ßêоби-Беллмана
Следовательно оптимальный портфель воспроизвоäèò платежное îáÿçà-
тельство ñ äèñêонтированной выплатой
ξ∗=
x
Z
T
=
x
E (−θWT)
= x expθWT+
1
2
θ2T.
(4.4.11)
Сравнивая ýòî выражåíèå ñ представлением äèñêонтированного êàïèòà-
ëà, вытекающего èç (4.4.3), заключаем, ÷òî процессδäîëæåí óдовлетво-
ðÿòü уравнению
w
T
0
(µ − r)δudu +
w
T
0
σδudWu−
1
2
σ
2
w
T
0
δ
2
u
du = θWT+
1
2
θ2T.
Èç îднозначности êаноническîãî разлоæåíèÿ вытекàåò, ÷òî
w
T
0
σδudWu= θWT.
Ïî теореме î представлении мартингàëîâ данное равенство определяет
δ
îднозна÷íûì образом:
δ =
θ
σ
=
µ − r
σ
2
.
Ëåãêî видеть, ÷òî равенство (4.4.11) ïðè ýòîì áóäåò выполнено.
4.5 Оптимальное инвестирование: уравнение Ãамильòîíà-ßêî-
би-Беллмана
Äëÿ çàäà÷è оптимального инвестирования введем òàê называемую
функцию Áåëëìàíà
(èëè
функцию öåíности
):
v(t, x) = supδEU(V
t,x,δ
T
).
(4.5.1)
Здесь
V
t,x,δ
T
терминальное çíàчение êàïèòàëà, åñëè â момент времени
t
êàïèòàë равенx, è íà интервале
[t, T ]
использована стратегияδ(ñì.
(4.4.2)):
dV
t,x,δ
u
= V
t,x,δ
u
((1 −δu)r + µδu)du + σδuV
t,x,δ
u
dWu, u ∈ [t, T ];
(4.5.2)
V
t,x,δ
t
= x.
Супремум â (4.5.1) беретсÿ ïî íåêоторому классу стратегийδ, ñîãëàñî-
ванных ñ рассматриваемой ôèëüтрацией.
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]