Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Основы стохастического анализа. Учебное пособие
.pdf
Ãëàâà 2. Мартингàëû è ìàðêовские процессы 71
Отметим, ÷òî независимость приращений броуновскîãî äâèæåíèÿ ïëî-
õî ñîãëàñóåòñÿ ñ ðåãóлярностью траекторий. Действиòåëüíî, â êаждый
момент времени приращение траектории íå зависит îò предыстории.
Следовательно, следуåò îжидать, ÷òî â êаждой точки траектории èìå-
åòñÿ излом. Строгий ðåçóëüòàò состоит â òîì, ÷òî почти âñå траектории
броуновскîãî äâèæåíèÿ недифференцèðóåìû íè â îäíîé òî÷êå: ñì, íàïð.,
[16, теорема 7.3]. Äëÿ ñòîõастическîãî анализа более важно, ÷òî почти
âñå траекторииWимеет неограниченную вариацию. Ýòî áóäåò ïîêазано
â следующей ãëàâå.
Пример 2.10.
ÏóñòüW броуновскîå äâèæåíèå. Проверим, ÷òî ïðî-
цессы
W, X = W2− t, Y = e
θWt−
θ
2
2
t
являютсÿ мартингалами, используÿ определение броуновскîãî äâèæåíèÿ
è свойства óсловного математическîãî îжидания:
E(Wt|Fs) = E(Wt− Ws+ Ws|Fs) = E(Wt− Ws|Fs) + E(Ws|Fs)
= E(Wt− Ws) + Ws= Ws,
E(Xt|Fs) = E((Wt− Ws+ Ws)2− t|Fs) = E((Wt− Ws)2|Fs)
+ E(2Ws(Wt− Ws)|Fs) + W
2
s
− t = E(Wt− Ws)
2
+ 2WsE(Wt− Ws|Fs) + W
2
s
− t = W
2
s
− s = Xs,
E(Yt|Fs) = e
−
θ
2
2
t
Ee
θ(Wt−Ws+Ws)
|F
s
= e
−
θ
2
2
teθW
s
Ee
θ(Wt−Ws)
= Ys.
 последнем равенстве èñïользована формуëà
Ee
θ(Wt−Ws)
=
1
p
2π(t − s)
w
R
eθxe
−
x
2
2(t−s)
dx
=
e
1
2
(t−s)θ
2
p
2π(t − s)
w
R
e
−
1
2(t−s)
(x−(t−s)θ)
2
dx = e
1
2
(t−s)θ
2
.
Пример 2.11.
Äëÿ броуновскîãî äâèæåíèÿ справедлив çàêîí больших
чисел:
lim
t→∞
W
t
t
= 0
ï.í.
72 2.2. Мартингàëû ñ непрерывным временем
Доказательство.
Ïî неравенству Äóáà
E
sup
2n≤t≤2
n+1
W
t
t
2
!
≤
1
2
2n
Esup
2n≤t≤2
n+1
W
2
t
≤
4
2
2n
EW
2
2
n+1
=
4
2
2n
2
n+1
=
8
2
n
Ïî неравенству Чебышева
P sup
2n≤t≤2
n+1
W
t
t
2
≥ ε
2
!
≤
8
2nε
2
.
Ïî лемме Бореля-Кантелли
Psup
2n≤t≤2
n+1
|Wt|
t
≥ ε
á.÷.= 0.
Òàêèì образом, äëÿ почти âñåõωсуществуåò
k(ω)
:
sup
2n≤t≤2
n+1
|Wt|
t
< ε, n ≥ k.
Òеорема 2.9 î ñõîдимости супермартингàëîâ переноситсÿ íà случай
непрерывного времени.
Òеорема 2.15.
ПустьX ìàðòингал, îãðаниченный â
L1:
sup
t≥0
E|Xt| <
∞
. Òîãäà
X∞:= lim
t→∞Xt
существует ï.í. âR.
Доказательство.
Обозна÷èì черезΛìíîæество
ω ∈ Ω
, äëÿ êоторых
(Xt(ω))
t≥0
ðàñõîäèòñÿ, ò.å.
lim inf
t→∞
Xt(ω) < lim sup
t→∞
Xt(ω).
ßñíî, ÷òî
Λ = ∪
a,b∈QΛa,b
, ãäå
Λ
a,b
= {ω : lim inf
t→∞
Xt(ω) < a < b < lim sup
t→∞
Xt(ω)}.
Обозна÷èì через
U
n,N
[a, b](X)
число пересечений ââåðõ интервала
[a, b]
последовательностью
(X
iN/2
n
(ω) : i = 0, . . . , 2n)
. Ïî лемме 2.3
EU
n,N
[a, b](X) ≤
E|XN| + a
b − a
≤
sup
t≥0
E|Xt| + a
b − a
< ∞.
Ãëàâà 2. Мартингàëû è ìàðêовские процессы 73
Последовательность
U
n,N
[a, b](X)
возрастàåò ïînè ïîN. Ïî теореме î
монотонной ñõîдимости,
E sup
n,N
U
n,N
[a, b](X) < ∞.
Òàêèì образом,
sup
n,N
U
n,N
[a, b](X) < ∞
ï.í. Íî ÿñíî, ÷òî
sup
n,N
U
n,N
[a, b](X) = ∞,
åñëè è толькî åñëè
ω ∈ Λ
a,b
. Следовательно,
P(Λ
a,b
) = 0,a, b ∈ Q
, è
P(Λ) = 0
.
Èòàê,Xñõîäèòñÿ âRê íåêоторой случайной величине
X∞. Êîíå÷-
ность
X∞ï.í. вытекàåò èç леммы Ôàòó:
E|X∞| ≤ lim inf
t→∞
E|Xt| ≤ sup
t≥0
E|Xt| < ∞.
Òеорема 2.11 î ñõîдимости â
L1òàêæå ñîхраняет ñèëó. Åå äîêазатель-
ñòâî íå îòличаетсÿ îò случая дискретного времени.
Òеорема 2.16.
Äëÿ непрерывного мартингалаMñледующие óñловия
эквивалентны:
(i)Mсходится â
L1ê некоторой ñлучайной âåличине
M∞,
(ii)Mдопускает ïðåдставлåíèå
Mt= E(M∞|Ft)cM∞∈ L1,
(iii)Mðàâíîмерно интегрируеì.
ßñíî, ÷òî равномерно интегрируåìûé мартингàë ïîðîждает мартин-
ãàë
(Mt)
t∈
R
+
íà
R+= R+∪ {+∞}
.
Случайная âåëè÷èíà
τ : Ω 7→ R+называетсÿ
ìîментоì остановки
,
åñëè
{τ ≤ t} ∈ Ft,
t ∈ R+. Ãîâîðÿò, ÷òî ôèëüтрация
(Ft)
t∈R
+
непрерывна
ñïðàâà
, åñëè
Ft= ∩
ε>0Ft+ε
.
Лемма 2.7.
Пустьτ ìîìåíò остановки, тогда
{τ < t} ∈ Ft. Åñëè
(Ft)
t∈R
+
непрерывна ñïðàâà, òî верно è îáðатное.
74 2.2. Мартингàëû ñ непрерывным временем
Доказательство.
Ïîñêольку
{τ ≤ s} ∈ Fs⊂ Ft,
s < t
, òî
{τ < t} =
[
s<t
{τ ≤ s} ⊂ Ft.
Ïóñòü теперь
{τ < t} ∈ Ft. Второе утверждение вытекàåò èç соотно-
шения
{τ ≤ t} =
\
s>t
{τ < s} =
\
s∈(t,t+ε]∩Q
{τ < s} ∈ F
t+ε
,
êоторое справедливо ïðè любом
ε > 0
.
Введем момент первого попаданиÿ процессаXâ ìíîæество
B ⊂ Rd:
τB= inf{t ≥ 0 : Xt∈ B}.
Òеорема 2.17.
ПустьX согласованный ñFпроцесс, òðаектории
которого непрерывны ñïðàâà èëè ñëåâà. ÅñëèGоткрыто è фильтрàöèÿ
F
непрерывна ñïðàâà, òî
τG ìîìåíò остановки.
Доказательство.
Заметим, ÷òî
{τG< t} =
[
s∈[0,t)∩Q
{Xs∈ G}.
(2.2.3)
Действительно, åñëè
Xs(ω) ∈ G
äëÿ íåêоторого
s ∈ [0, t)
, òî
τG(ω) < t
.
Åñëè æå
τG(ω) < t
, òî существуåò
t0< t : X
t
0
(ω) ∈ G
. Èç ðåãóлярности
траекторийXследуåò, ÷òî существуåò
q ∈ Q,q < t:Xq(ω) ∈ G
.
Ïîñêольку ìíîæество â правой части (2.2.3) принадлежит
Ft, òî
τ
G
момент îñòановки.
Следующий пример ïîêазывает, ÷òî óсловие непрерывности справа â
теореме 2.17 существенно.
Пример 2.12.
Ïóñòüξ ñòандартная нормальная величèíà:
ξ ∼ N (0, 1)
.
Ðàññìîòðèì естественную ôèëüтрацию
Ft= σ(Xs, s ≤ t)
случайного
процесса
Xt= tξ
. Ðассмотрим момент первого попаданияXâ ìíîæå-
ñòâî
(0, ∞)
:
τ
(0,+∞)
= inf{t ≥ 0 : Xt∈ (0, +∞)} =
(
0, ξ(ω) > 0,
+∞, ξ(ω) ≤ 0.
Ãëàâà 2. Мартингàëû è ìàðêовские процессы 75
ßñíî, ÷òî
{τ
(0,+∞)
≤ 0} = {ξ > 0} 6∈ F0= σ(X0) = {∅, Ω},
è
τ
(0,+∞)
íå являетсÿ моментом îñòановки относительно естественной
ôèëüтрации процессаX, êоторая разрывна â íóëå:
{ξ > 0}
принадлежит
Ft,
t > 0
, íî íå ïðèíадлежит
F0.
Ãîâîðÿò, ÷òî ôèëüтрация
Ft)
t≥0
удовлетворяет обычным óñловиям
,
åñëè îíà непрерывна справа è êаждая èçσ-алгебр
Ftñîäåðæèò âñå
íó-
левые множесòâàN, äëÿ êоторых
inf{P(A) : N ⊂ A, A ∈ F } = 0.
Естественная ôèëüòðàöèÿ броуновскîãî äâèæåíèÿ, êàê è ôèëüтрациÿ,
рассмотренная â примере 2.12, разрывна ïðè
t = 0
. Однакî известно,
÷òî
ïîïîлненная фильтрàöèÿ
броуновскîãî äâèæåíèÿ, ïîëó÷енная ïðè-
соединением ê
Ftâñåõ íóлевых ìíîæåñòâ, óдовлетворÿåò обычным óñëî-
âèÿì.
Лемма 2.8.
(i) Пустьτ,σ ìîменты остановки, тогда
τ ∧σ,τ ∨σ
(ii) Пусть
τ1≤ τ2≤ . . .
неубывающая ïîñëåäîâàòåльность ìîìåí-
òîâ остановки, тогда
sup
n≥1
τn ìîìåíò остановки.
(iii) Пусть
τ1≥ τ2≥ . . .
невозрастающая ïîñледовательность ìî-
ментов остановки, тогда
inf
n≥1τn
ìîìåíò остановки.
Òеорема 2.18.
ПустьX ñîãëàñîâàííûé ñFпроцесс ñ непрерывными
òðаекториями. ÅñëèGзамкнуто è фильтрàöèÿFнепрерывна ñïðàâà,
òî
τG ìîìåíò остановки.
Доказательство.
Обозна÷èì через
ρ(x, G) = inf{|x − y| : y ∈ G}
ðàñ-
ñòîÿíèå îò точкиxäî ìíîæестваG. Ðассмотрим открытые ìíîæества
Gn= {x : ρ(x, G) < 1/n}
è возрастающую последовательность моментов
îñòановки
τn. ßñíî, ÷òî
τ := sup
n≥1
τn≤ τG.
76 2.2. Мартингàëû ñ непрерывным временем
Äîñòаточно äîêазать, ÷òî
τ = τGíà ìíîæестве
{τ < ∞}
. Íà данном
ìíîæестве
Xτ= lim
n→∞
X
τ
n
.
Òàê êàê
X
τ
m
∈ Gn,
m ≥ n
, òî
Xτ∈ ∩
n≥1Gn
= G
. Следовательно,
τ = τ
G
íà ìíîæестве
{τ < ∞}
.
Любой момент îñòановки ìîæåò áûòü аппроксимирован убывающей
последовательностью моментов îñòановки ñî счетным набором çíàчений.
Ýòîò важный ôàêò позволяет ñâîäèòü многие вопросы ê случаю дискрет-
íîãî времени.
Лемма 2.9.
Äëÿ любого ìîмента остановки
τ : Ω 7→ R+ïîñледова-
òåльность ìîментов остановки
τn=
X
k∈Z
+
k + 1
2
n
I
[k/2n,(k+1)/2n)
(τ) + (+∞)I
{τ=+∞}
: Ω 7→ Z
+
монотонно убывает è ðàâíîмерно сходится êτ:
τn& τ, 0 ≤ τn− τ ≤ 1/2n.
Доказательство.
Неравенства
0 ≤ τn− τ ≤ 1/2nочевидны. Проверим,
÷òî
τn момент îñòановки. Ïóñòü
t ∈ [j/2n, (j + 1)/2n)
, òîãäà
{τn≤ t} = {τ < j/2n} ∈ F
j/2
n
⊂ Ft.
Монотонное убывание
τnвытекàåò èç неравенства
τ
n+1
I
{τ<+∞}
=
X
k∈Z
+
k + 1
2
n+1
I
[k/2
n+1
,(k+1)/2
n+1
)
(τ)
=
X
k∈Z
+
2k + 1
2
n+1
I
[2k/2
n+1
,(2k+1)/2
n+1
)
(τ) +
X
k∈Z
+
2k + 2
2
n+1
I
[(2k+1)/2
n+1
,(2k+2)/2
n+1
)
(τ)
≤
X
k∈Z
+
k + 1
2
n
I
[2k/2
n+1
,(2k+1)/2
n+1
)
(τ) +
X
k∈Z
+
k + 1
2
n
I
[(2k+1)/2
n+1
,(2k+2)/2
n+1
)
(τ)
=
X
k∈Z
+
k + 1
2
n
I
[k/2n,(k+1)/2n)
(τ)= τnI
{τ<+∞}
.
Ãëàâà 2. Мартингàëû è ìàðêовские процессы 77
Êàê è â случае дискретного времени, введемσ-алгебру событий
Fτ= {A ∈ F∞: A ∩ {τ ≤ t} ∈ Ft, t ∈ R+},
наблюдаемых äî моментà âðåìåíèτ. Здесь
F∞=
_
t≥0
Ft= σ
[
t≥0
F
t
!
.
Проверкà òîãî, ÷òî
Fτσ-алгебра, элементàðíà è íå îòëè÷àåòñÿ îò
случая дискретного времени.
Лемма 2.10.
ПустьFнепрерывна ñïðàâà. Òîãäà
Fτ= {A ∈ F∞: A ∩ {τ < t} ∈ Ft, t ∈ R+}.
Доказательство.
Ïóñòü
A ∩ {τ ≤ s} ∈ Fs,
s ≥ 0
. Òîãäà
A ∩ {τ < t} = A ∩
∞
[
n=1
{τ ≤ t − 1/n} =
∞
[
n=1
(A ∩ {τ ≤ t − 1/n}) ∈ Ft.
Обратно, åñëè
A ∩ {τ < s} ∈ Fs,
s ≥ 0
, òî
A ∩ {τ ≤ t} = A ∩
∞
\
n=1
{τ < t + 1/n} =
∞
\
n=1
A ∩ {τ < t + 1/n} ∈ Ft,
òàê êàê
∞
\
n=1
A ∩ {τ < t + 1/n} =
∞
\
n=m
A ∩ {τ < t + 1/n} ∈ F
t+1/m
äëÿ любого
m ∈ N
, èFнепрерывна справа.
Дальнейшие свойстваσ-алгебр
Fτописаны â следующей лемме.
Лемма 2.11.
Пустьτ,σ,
τ
n
(i) Случайная âåличинаτизмерима относèòåëüíî
Fτ.
(ii) Åñëè
τ ≤ σ
, òî
Fτ⊂ Fσ.
(iii)
Fτ∩ Fσ= F
τ∧σ
.
78 2.2. Мартингàëû ñ непрерывным временем
(iv) Åñëè
τn& τèF
непрерывна ñïðàâà, òî
∩
∞
n=1
F
τ
n
= Fτ.
Доказательство.
Свойства (i), (ii), (iii) проверÿþòñÿ аналогично случаю
дискретного времени: ñì. ëåììó 2.2.
(iv) Èç (ii) вытекàåò, ÷òî
∩
∞
n=1
F
τ
n
⊃ Fτ. Ïóñòü
A ∈ ∩
∞
n=1
F
τ
n
, òîãäà
A ∩ {τn< t}
äëÿ âñåõ
n ≥ 1,t ≥ 0
. Поэтому,
A ∩ {τ < t} = A ∩
∞
[
n=1
{τn< t} =
∞
[
n=1
A ∩ {τn< t} ∈ Ft.
Ïî лемме 2.10 îòñþäà следуåò, ÷òî
A ∈ Fτ.
ÄëÿF-ñîãласованного случайного процессаXè моментà îñòановки
τ
введем îñòановленный процесс
X
τ
t
= X
t∧τ
è случайную величину
Xτ(ω) =
X
τ(ω)
(ω)
. Ïîñëåäíèé случай требуåò äоопределения процесса
(Xt)
t∈R
+
F∞-измеримой случайной величиной
X∞.
Лемма 2.12.
Пустьτ ìîìåíò остановки,X непрерывный согла-
сованный процесс è фильтрàöèÿFнепрерывна ñïðàâà. Òîãäà
(i) ñлучайная âåличинà
Xτявляется
Fτ-измеримой,
(ii) остановленный процесс
Xτявляется непрерывным è согласован-
íûì, à фильтрàöèÿ
Fτ= (F
t∧τ)t≥0
непрерывной ñïðàâà.
Доказательство.
(i) Возьмем последовательность моментов îñòановки
τn& τ
, óêазанную â лемме 2.9. Случайная âåëичина
X
τ
n
, построенная
ïî процессу
(X
i/2
n
)
i∈Z
+
ñ äискретным временем, являетсÿ
F
τ
n
-измеримой
ïî лемме 2.2. Далее,
Xτ= lim
n→∞Xτ
n
â ñèëó непрерывности процесса
X
. Последовательность
τnявляетсÿ невозрастающей, следовательно
X
τ
измерима относительно
F
τ
n
ïðè âñåõn. Ïî лемме 2.11,
∩
n≥1Fτ
n
= Fτ.
Òàêèì образом,
Xτявляетсÿ
Fτ-измеримой.
(ii) Непрерывность
Xτочевидна. Непрерывность справа ôèëüтрации
Fτвытекàåò èç леммы 2.11, à ñîãласованность процесса
Xτ èç утвер-
ждения (i), ñîãласно êоторому случайная величинà
X
t∧τ
являетсÿ
F
t∧τ
-
измеримой. Òåì более,
X
t∧τ
измерима относительно
Ft.
Сформуëèðóåì теорему î свобоäíîì выборе äëÿ случая непрерывного
времени.
Ãëàâà 2. Мартингàëû è ìàðêовские процессы 79
Òеорема 2.19.
(i) Äëÿ непрерывного ðàâíîмерно интегрируеìîãî ìàð-
тингала
(Mt)
t∈R
+
è любых ìîментов остановки
σ ≤ τ
верно ðавенство
Mσ= E(Mτ|Fσ).
(2.2.4)
(ii) Äëÿ непрерывного мартингалаMðавенство (
2.2.4
) верно ïðè óñëî-
âèè îãðаниченностиτ.
Доказательство.
(i) Ïóñòü
Dn= {i/2n: i ∈ Z+} ∪ {+∞}
. Ðассмот-
ðèì ìоменты îñòановки
τn,
σnñî çíàчениями â
Dn, óдовлетворяющие
óñëовиям
τn& τ,σn& σ
(ñì. ëåììó 2.9). Процесс
(Mt)
t∈D
n
являетсÿ
равномерно интегрируåìûì мартингàëîì ñ дискретным временем îòíî-
сительно ôèëüтрации
(Ft)
t∈D
n
. Ïî теореме 2.12 îòñþäà следуåò, ÷òî
M
σ
n
= E(M
τ
n
|F
σ
n
).
Äëÿ
A ∈ Fσсправедливо равенство
E(M
σ
n
IA) = E(M
τ
n
IA).
(2.2.5)
 ñèëó непрерывностиMимеем
Mσ= lim
n→∞
M
σ
n
, Mτ= lim
n→∞
M
τ
n
ïðè âñåõω. Ñõîдимость имеет место è â
L1, òàê êàê семейства случайных
величин
M
σ
n
= E(M∞|F
σ
n
), M
τ
n
= E(M∞|F
τ
n
)
равномерно интегрируåìû. Перехîäÿ ê пределу â (2.2.5), íàõîäèì
E(MσIA) = E(MτIA), A ∈ Fσ.
(ii) Åñëè
τ ≤ K
, òî äîñòаточно рассмотреть равномерно интегрируå-
ìûé мартингàë
M
t∧K
.
 терминах моментов îñòановки формуëèðóåòñÿ следующий óдобный
критерий мартингальности процесса.
Òеорема 2.20.
ПустьFнепрерывна ñïðàâà. Íåïрерывный процесс
M
является ìàðòèнгалоì, åñëè è òîëüêî åñëè
EMτ= EM0äëÿ любого
îãðаниченного ìîмента îñтановêè.
80 2.2. Мартингàëû ñ непрерывным временем
Доказательство.
Íåîáõîдимость вытекàåò èç теоремы 2.19. Äîêàæåì
äîñòаточность. Ïóñòü
s < t
. Ïîëîæèì
τ = sIA+ tI
A
c
, A ∈ Fs.
Ëåãêî видеть, ÷òîτ момент îñòановки:
{τ ≤ u} =
∅, u < s,
A, s ≤ u < t,
Ω, u ≥ t.
Ïî óсловию
EMτ= E(MsIA) + E(MtI
A
c
) = EM0= EMt.
Òàêèì образом,
E(MsIA) = E(MtIA), A ∈ Fs.
Îñòановленный непрерывный мартингàë являетсÿ мартингàëîì.
Òеорема 2.21.
ПустьM непрерывный ìàðòèíãàë èτ-ìîìåíò îñòà-
новки. ÅñëèFнепрерывна ñïðàâà, òî
Mτявляется мартингалоì.
Доказательство.
Ïóñòüσ ограниченный момент îñòановки. Ïî òåî-
ðåìå 2.19,
EM
τ
σ
= EM
τ∧σ
= EM0.
Òîãäà
Mτявляетсÿ мартингàëîì ïî теоремå 2.20.
Пример 2.13.
ÏóñòüW броуновскîå äâèæåíèå, относительно íåêîòî-
ðîé ôèëüтрации, непрерывной справа. Ïîëîæèì
τ = inf{t ≥ 0 : Wt6∈ (−a, b)}, a, b > 0.
Òîãäà
Eτ = ab
,
P(Wτ= −a) =
b
b + a
, P(Wτ= b) =
a
b + a
.
(2.2.6)
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]