Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Основы стохастического анализа. Учебное пособие
.pdf
Ãëàâà 3. Ñòîõастическîå исчисление 161
3.34.
Ïóñòü детерминированная функция
g : R+7→ R+óдовлетворÿåò
óñëîâèþ
r
∞
0
g2(u) du = ∞
. Äîêазать, ÷òî процесс
Yt= e
r
t
0
g(s) dWs−
1
2
r
t
0
g2(s) ds
,
являетсÿ квадратично интегрируåìûì мартингàëîì è найти
EY
2
t
. Äîêà-
çàòü, ÷òî
EY
α
t
→ 0, t → ∞, α ∈ (0, 1).
Вывести îòñþäà, ÷òî
Yt→ 0
ï.í. ïðè
t → ∞
, è çíà÷èòYíå являетсÿ
равномерно интегрируåìûì.
3.35.
Äîêазать, ÷òî èç (3.9.2) вытекàåò (3.9.3).
3.36.
Äîêазать óòâåðждение леммы 3.9 äëÿ ëîêальных мартингàëîâ
ZM
.
3.37.
Èñõîäÿ èç âåðîятностного представления (3.6.3) решения çàäà÷è
(3.6.1), óñòановить, ÷òî ïðè
f ≤ 0
справедлив принцип ìàêсимума:
u(x) ≤ max
y∈∂G
u(y).
Ãëàâà 4
Ìîäåëü Áëýêà-Øîóëçà
 данной ãëàâå рассматриваютсÿ прилоæåíèÿ ñòîõастическîãî àíà-
ëèçà ê финансовой математикå. Ìû ограничиваемсÿ базовой ìîделью
Áëýêà-Øîóëçà, основанной íà геометрическîì броуновскîì äâèæåíèè.
Ðàññìàòðиваютсÿ понятия самофинансируемости, арбитражà, äèñêîíòè-
рования, эквивалентной мартингальной ìåðû, полноты ðûíêà. Сформу-
лирована îäíà èç версий первой фундаментальной теоремы финансовой
математики, получены формуëà è уравнение Áëýêа-Шолза. Â äâóõ çà-
ключительных параграфах рассматриваетсÿ çàäà÷à îá оптимальном èí-
вестировании. Ýòîò материал ìîæåò служить очень кратким введением
â теорию оптимального управления диффузионными процессами.
Ðàññìîòðåííûé â 4.2 пример арбитражной стратегии заимствован èç
[8, 32]. Сформуëèðованная версия первой фундаментальной теоремы ñî-
äåðæèòñÿ â работе [27]. Мартингальный принцип оптимальности ìîæíî
найти â [28]. Использованы òàêæå следующие источники: [3, 34, 39].
4.1 Самофинансируåìûå портфели
Ðàññìîòðèì рынок ценных бумаг, íà êотором имеютсÿ äâà актива:
ðèñêîâûé (акция) è безрискîâûé (облигàöèÿ). Öåíà облигàöèèBявляет-
ñÿ детерминированным процессом è óдовлетворÿåò обыкновенному äèô-
ференциальному уравнению
dBt= rBtdt, B0= 1.
162
Ãëàâà 4. Ìîäåëü Áëýêà-Øîóëçà 163
Öåíà акцииSявляетсÿ геометрическим броуновским äâèæением:
dSt= µStdt + σStdWt.
(4.1.1)
Констàíòû
r > 0,µ ∈ R,σ > 0
называютсÿ процентной ñòàâêîé, сносом è
волатильностью соответственно.
Портфеëåì(ñòðатегией
) назовем äâó-
мерный процесс
(β, γ) ∈ L × L
. Åãî êомпоненты описывают êоличество
единиц облигàöèé è акций, êоторыми владеет инвестор.
Капиталоì(öå-
íîé
) портфеля называетсÿ случайный процесс
V
(β,γ)
= βB + γS.
Ðàññмотриì простые стратегии
β, γ ∈ S
:
β = β0I
{0}
(t) +
n
X
i=1
βiI
(τi,τ
i+1
]
(t), γ = γ0I
{0}
(t) +
n
X
i=1
γiI
(τi,τ
i+1
]
(t).
Óñловие ñàìîфинансиðóåмости
состоит â òîì, ÷òî ïðè перераспределе-
íèè средств между активàìè êàïèòàë портфеля íå äîëæåí изменитьсÿ:
β
τ
i
B
τ
i
+ γ
τ
i
S
τ
i
= βtB
τ
i
+ γtS
τ
i
, t ∈ (τi, τ
i+1
].
(4.1.2)
Здесь учтено, ÷òî процессыβ,γпостоÿííû íà интервалах
(τ
i−1
, τi], (τi, τ
i+1
],
è ñêà÷îê происõîäèò â момент âðåìåíè
τi(операционные издерæêè â
ýòîé ìîäåëè íå учитываютсÿ). Èç (4.1.2) следуåò, ÷òî
β
τ
i
B
τ
i
+ γ
τ
i
S
τ
i
= β
τ
i+1
B
τ
i
+ γ
τ
i+1
S
τ
i
.
Ñ учетом последнего равенства приращение êàïèòàëà принимает âèä:
V
β,γ
τ
i+1
− V
β,γ
τ
i
= β
τ
i+1
B
τ
i+1
+ γ
τ
i+1
S
τ
i+1
− β
τ
i
B
τ
i
− γ
τ
i
S
τ
i
= β
τ
i+1
(B
τ
i+1
− B
τ
i
) + γ
τ
i+1
(S
τ
i+1
− S
τ
i
).
Формально, â ìîäåëè ñ непрерывным временем портфель
(β, γ) ∈ L ×L
называетсÿ
ñàìîфинансируеìûì
, åñëè äëÿ åãî êàïèòàëà верна формуëà
dV
β,γ
= βdB + γdS.
(4.1.3)
Введем
дисконтированные
процессы
e
S =
S
B
= e
−rt
S,eV
β,γ
=
V
β,γ
B
= e
−rtVβ,γ
.
164 4.1. Самофинансируåìûå портфели
Лемма 4.1.
Портфеëü
(β, γ)
является ñàìîфинансируеìûì, åñëè è òîëü-
êî åñëè
deV
β,γ
= γdeS
.
Доказательство.
Äëÿ любой стратегии èìåþò место равенства
βB = V
β,γ
− γS,
deV
β,γ
= −re
−rtVβ,γ
dt + e
−rtdVβ,γ
= −reV
β,γ
dt + e
−rtdVβ,γ
.
Стратегия
(β, γ)
являетсÿ самофинансируåìîé, åñëè è толькî åñëè
deV
β,γ
= −reV
β,γ
dt + e
−rt
(βdB + γdS).
Íî ýòó формуëó ìîæíî переписать следующим образом:
deV
β,γ
= −reV
β,γ
dt + e
−rt
(βrBdt + γdS)
= −reV
β,γ
dt + e
−rt
(r(V
β,γ
− γS)dt + γdS) = e
−rt
(γdS − rγSdt)
= γ(e
−rt
dS − re
−rt
Sdt) = γdeS.
Лемма 4.1 ïîêазывает, ÷òî самофинансируåìàÿ стратегия è åå êàïèòàë
определяютсÿ заданием ðèñêîâîé êомпоненты портфеляγè íàчально-
ãî êàïèòàëà
V0.
Следствие 4.1.
Äëÿ любых
V0∈ R,γ ∈ L
введеì процессы
V ∈ C
,
β ∈ L
ïî ôîðмулам
e
−rt
V = V0+ γ ◦eS, β =
V − γS
B
.
(4.1.4)
Òîãäà
(β, γ)
ñàìîфинансируеìàÿ ñòðатегия, è
V = V
β,γ
åå êàïè-
òàë.
Доказательство.
Действительно,
V = βB + γS
являетсÿ êàïèòàëîì
портфеля
(β, γ):V = V
β,γ
. Первое ðавенство (4.1.4) перепишем â äèô-
ференциальной форме:
deV
β,γ
= γdeS
. Ïî лемме 4.1 ýòî îçíà÷àåò, ÷òî
портфель
(β, γ)
являетсÿ самофинансируåìûì.
Ãëàâà 4. Ìîäåëü Áëýêà-Øîóëçà 165
4.2 Арбитраж è мартингальные ìåðû
Самофинансируåìàÿ стратегия
(β, γ)
называетсÿ
арбитражной
, åñëè
V
β,γ
0
= 0, V
β,γ
T
≥ 0, P(V
β,γ
T
> 0) > 0.
Òàêèì образом, арбитражная стратегия äàåò прибыль áåç ðèñêà. Îêàçû-
ваетсÿ, ÷òî арбитражные стратегии существуют.
Пример 4.1.
Ðàñсмотриì ëîêальный мартингàë
Mt=
w
t
0
1
√
T − s
dWs, t ∈ [0, T ).
Найдем åãî квадратическую âàðиацию:
[M]t=
w
t
0
ds
T − s
= χ(t) := ln
T
T − t
, t ∈ [0, T ).
Заметим, ÷òîχвзаимно-однозна÷íî отображàåò
[0, ∞)íà[0, T )
. Ïî òåî-
ðåìå Дубинса-Шварца (теорема 3.22) процессfWt= [M]
χ−1(t)
являетсÿ
броуновским äâèæением относительно ôèëüтрацииfFt= F
χ−1(t)
. Êàê
áûëî óñòановлено âûøå (пример 2.13),
τa:= inf{t > 0 :fWt= a} < ∞
ï.í.
äëÿ любого
a > 0
. Следовательно,
τa= inf{t > 0 : [M ]
χ−1(t)
= a} = inf{χ(s) > 0, s ∈ (0, T ) : [M]s= a}
= χ(σa), σa= inf{s ∈ (0, T ) : [M]s= a} < T ,
ï.í.
Ðàññмотриì ìîäåëü Áëýêà-Øîóëçà ñ
r = µ = 0,σ = 1
:
Bt= 1, dSt= StdW
t
è ведем ðèñêîâóþ êомпоненту портфеля ïî формуëå
γt=
1
S
t
√
T − t
I
{t≤σa}
.
(4.2.1)
Ðàññìîòðèì соответствующий êàïèòàë:
Vt=
w
t
0
γudSu=
w
t
0
γuSudWu=
w
t
0
1
√
T − u
I
{u≤σa}
dWu= M
u∧σ
a
.
166 4.2. Арбитраж è мартингальные ìåðû
Ïîñêольку
σa< T
ï.í., òî
VT= M
σ
a
= a > 0.
Òàêèì образом, стратегия
(4.2.1) являетсÿ арбитражной. Äëÿ исключения арбитражных стратегий
требуåòñÿ íàëîæèòü дополнительные óсловия.
Важную ðîëü â финансовой математикå (â òîì числе ïðè аналиçå
óñëîâèé безарбитражности) играют
эквивалентные мартингальные (èëè
локальные мартингальные) ìåðû
. Òàê называютсÿ âåðîятностные ìåðû
Q ∼ P
относительно êоторых äèñêонтированный процесс öåíûeS
ÿâëÿ-
åòñÿ мартингàëîì (ëîêальным мартингàëîì).
Äëÿ ìîäåëè Áëýêà-Øîóëçà эквивалентную мартингальную ìåðó ëåãêî
построить ÿâíî. Заметим, ÷òî
S = S0E (µ ◦ t + σ ◦ W ) = S0expµt + σW −
1
2
σ2t,
e
S = e
−rt
S = S0expσ (θt + W) −
1
2
σ2t, θ =
µ − r
σ
.
 примере 3.13 áûëà построена эквивалентная ìåðàQñ плотностью
dQ
dP
= E (−θWT),
(4.2.2)
относительно êоторой процесс
f
Wt= θt + Wt, t ∈ [0, T ]
являетсÿ броуновским äâèæением. Íî òîãäà процесс
e
S = S0expσfW −
1
2
σ2t= S0E (σfW )
являетсÿQ-мартингàëîì.
Ïîêàæåì, ÷òî других эквивалентных ëîêальных мартинãальных ìåð
íå существуåò. Ïóñòü
Q ∼ PíàFTявляетсÿ эквивалентной ëîêальной
мартингальной мерой. Ðассмотрим процесс плотности
Z = E (L)
ìåðû
Q
относительноP. Ñîãласно следствию 3.1P-мартингàëZìîæíî ñ÷èòàòü
непрерывным. Ïîñêольку
deS = (µ − r)eSdt + σeSdW,
Ãëàâà 4. Ìîäåëü Áëýêà-Øîóëçà 167
òî èç теоремы Гирсанова (теорема 3.28) вытекàåò, ÷òîLóдовлетворÿåò
уравнению (3.9.8), êоторое â данном случае èìååò âèä
(µ − r)S ◦ t + [L, σS ◦ W ] = 0.
(4.2.3)
Ïî теореме î представлении мартингàëîâ (теорема 3.18) существуåò ïðî-
öåññ
H ∈ L
2
loc
(W )
òàêîé, ÷òî
L = H ◦ W
. Èç уравнения (4.2.3) следуåò
òîãäà, ÷òî
(µ − r)S ◦ t + σHS ◦ t = 0.
Другими словами,
w
t
0
(µ − r + σH)Sudu = 0.
 ñèëó произвольностиtîòñþäà следуåò, ÷òî функция
u 7→ Huравна
êîíñòàíòå
−θ = −(µ − r)/σ
ï.â. ïî ìåðå Лебегà (строгое äîêазатель-
ñòâî предлагàåòñÿ провести â óïð. 4.1). Îòñþäà вытекàåò, ÷òî
L = −θW
.
Òàêèì образом, ìû получаем ìåðóQñ плотностью (4.2.2).
Вернемсÿ ê рассмотрению óсловий безарбитражности. Самофинанси-
ðóåìóþ стратегию
(β, γ)
назовем
допустимой
, åñëè сущестуåò òàêàÿ êîí-
ñòàíòàC, ÷òî
e
V
β,γ
≥ C.
Ìîæíî ñ÷èòàòü, ÷òî данное óсловие îçíà÷àåò ограниченность кредитной
линии.
Заметим, ÷òî åñëèQ мартингальная (èëè ëîêальная мартингàëü-
íàÿ) ìåðà, òî èç формуëû
deV
β,γ
= γdeS
вытекàåò, ÷òî äèñêонтированный
êàïèòàëeV
β,γ
любой ñàìîôèнансируåìîé ñòðàòåãèè являетсÿ ëîêàëüíûì
мартингàëîì относительноQ.
Òеорема 4.1.
Допустимых арбитражных ñòðатегий íå существует.
Доказательство.
Ïóñòü
τn→ ∞
ëîêализующая последовательность
моментов îñòановки äëÿQ-ëîêального мартингàëàeV
β,γ
. Òîãäà
EQ(eV
β,γ
T ∧τ
n
|Ft) =eV
β,γ
t∧τ
n
, t ∈ [0, T ].
ÏîñêолькуeV
β,γ
равномерно ограничен снизу, òî ïî лемме Ôàòó после
перехîäà ê пределу ïðè
n → ∞
получим
EQ(eV
β,γ
T
|Ft) ≤eV
β,γ
t
.
168 4.3. Öåíû европейских опционов
Òàêèì образом,
ðàâíîмерно îãðаниченный снизу локальный мартингал
является ñóïåðмартингалоì
. Â частности, åñëè
V0= 0
, òî
E
Q
e
V
β,γ
T
≤ 0.
Èç óсловияeV
β,γ
T
≥ 0 P
-ï.í. (à çíà÷èò èQ-ï.í.) вытекàåò теперь, ÷òî
e
V
β,γ
T
= 0 Q
-ï.í. (à çíà÷èò èP-ï.í.). Следовательно, äîïóстимых арбит-
ражных стратегий íå существуåò.
4.3 Öåíû европейских îïционов
Îäíà èç основных çàäà÷ финансовой математики состоит â определе-
íèè öåí платежных îáязательств. Формально,
(европейским) платеж-
íûì обязательствоì
называетсÿ неотрицательная
FT-измеримая ñëó-
чайная величина
gT. Ïîêàæåì, ÷òî â ìîäåëè Áëýêà-Øîóëçà öåíû ïëà-
тежных îáязательств определяютсÿ îднозна÷íî ñ помощью óсловия áåç-
арбитражности.
Ðàññìîòðèì íåñêîëüêî более общую ñèòóàöèþ. Ïóñòü имеетсÿd-ìåð-
íûé непрерывный ñåмимартинãàëeS = (eS1, . . . ,eSd)
, описывающий äèñ-
êонтированные öåíû ðèñêîâûõ активов. Существуåò теория интегриро-
вания ïî векторному семимартингàëó (ñì. [25]), â êоторой класс èíòå-
грандов øèðå ÷åì ìíîæество ïðåäñêàçóåìûõ векторных процессов
H =
(H1, . . . , Hd)
, äëÿ êоторых îдномерные интегралы
Hi◦eSiопределены.
Ïîдразумåâàÿ ýòîò векторный интеграл, запишем óсловие самофинанси-
ðóåìîñòè â âèäå
deV = H ◦eS.
Самофинансируåìàÿ стратегия, определяемая ðèñêовыми êомпонентà-
ìèHпортфеля, называетсÿx-допустимой
, åñëè существуåò êîíñòàíòà
x ≥ 0
òàêàÿ, ÷òî
x + H ◦eS ≥ 0
. Введем
верхнюю öåíó хеджирования
платежного îáязательства
gT:
π(gT) = inf{x ∈ R+:
существуåòx-äîïóстимая стратегия
H
òàêàÿ, ÷òî
x + H ◦eS ≥ gT}.
Следующий ðåçóëüòàò (ñì. [27]) являетсÿ îäíîé èç многочисленных
версий
первой фундаментальной теореìû финансовой ìàòåматики
.
Ãëàâà 4. Ìîäåëü Áëýêà-Øîóëçà 169
Òеорема 4.2.
Следующие óñловия эквивалентны.
(i) Âûïîлнено óñловие
отсутствия арбитражà первого ðîäà
: åñëè
P(gT≥
0) = 1,P(gT> 0) > 0
, òî
π(gT) > 0
.
(ii) Существует строго ïîложительный процессZñ
Z0= 1
такой,
÷òî
Z(x + H ◦eS)
является локальнымP-мартингалоì äëÿ любой
x
-допустимой ñòðатегииH,
x ≥ 0
.
Импликàöèÿ (ii)
=⇒
(i) ëåãêî вытекàåò èç определений (óïð. 4.2).
Обратное утверждение являетсÿ ãлубоким ðåçóëüòàòîì.
Стратегии
Hi= 1,Hj= 0,j 6= i
являютсÿx-äîïóстимыми, ïðè
x ≥eS
i
0
, òàê êàê
(H ◦eS)t= (Hi◦eSi)t=eS
i
t
−eS
i
0
èeS
i
t
≥ 0
. Следова-
тельно, â óсловиях теоремы 4.2, процессы
ZeSiявляютсÿP-ëîêальными
мартингалами.
Вернемсÿ ê ìîäåëè Áëýêà-Øîóëçà. Ïóñòü
(Πt)
t∈[0,T ]
предполагàå-
ìûé процесс öåíû платежного îáязательства
gT, ñîãласованный ñ ôèëü-
трацией
FS= FW. Ìû предполагàåì, ÷òî
Π ≥ 0
являетсÿ непрерывным
семимартингàëîì. Â терминальный момент времени
ΠT= gT. Íàøà öåëü
состоит â òîì, чтобы определить öåíó
Πtïðè
t < T
. Ðассмотрим ðàñ-
ширенный рынок ñ безрискîâûì активомBè äâóìÿ ðèñêîâûìè àêòè-
âàìè
(S, Π)
. Предполоæèì, ÷òî â óêазанной расширенной ìîäåëè íåò
арбитражà первого ðîäà. Òîãäà теорема 4.2 ïîêàçывает, ÷òî существуåò
строго ïîëîжительный процессZñ
Z0= 1
òàêîé, ÷òî процессы
ZeS,ZeΠ
являютсÿ ëîêальными мартингалами îòносительноP. Следуÿ рассужде-
íèÿì, приводящим ê уравнению (4.2.3), îòñþäà ìîæíî вывести, ÷òî
Z
являетсÿ плотностью единственной мартингальной ìåðûQäëÿeS
, è èìå-
åò место формуëà (4.2.2). Ïî лемме 3.9 îòñþäà следуåò, ÷òîeΠ
являетсÿ
Q
-мартингàëîì:
Πt= ertEQ(ΠT/erT|Ft) = e
−r(T −t)
EQ(gT|Ft).
(4.3.1)
Формуëà (4.3.1) играет ключевую ðîëü â финансовой математикå.
Отметим интересное следствие: åñëè
EQgT= +∞
, òî нельзя построитü
безарбитражное расширение
(B, S, Π)
ðûíêà
(B, S)
, ãäåΠнепрерывный
неотрицательный семимартингàë ñ
ΠT= gT. Интуиция ïîäñêазывает,
170 4.3. Öåíû европейских опционов
÷òî òàêèå îáязательства íå имеют êонечной öåíû (ñòîÿò áåñêонечно äî-
ðîãî).
Ðàññìîòðèì случай
марковского
платежного îáязательства
gT= g(ST)
,
ãäåg неотрицательная борелевскàÿ функция è
EQg(ST) < ∞
. Исполь-
çóÿ формуëó (4.3.1), предстàâèì öåíó платежного îáязательства
g(ST)
â
âèäå
Π0= e
−rT
EQg(e
rT
e
ST) = e
−rT
EQg(erTS0E (σfWT))
= e
−rT
EQgS0e
σfWT+(r−σ2/2)T
=
e
−rT
√
2πT
w
R
gS0e
(r−σ2/2)T +σx
e
−x2/(2T )
dx
=
e
−rT
√
2π
w
R
gS0e
(r−σ2/2)T +σ√T z
e
−z2/2
dz.
(4.3.2)
Здесь использовано, ÷òîfWT∼ N (0, T )
относительно ìåðûQ. Заметим,
÷òî öåíà íå зависиò îò сносаµ.
Ðàññìîòðèì опцион Call, ò.å. платежное îáязательство âèäà
g(ST) =
(ST− K)+. Констàíòà
K > 0
называетсÿ
ñòðàéêîì
(èëè
ценой èñïîë-
нения
). Владелец òàêîé ценной бумаги имеет право, íî íå îáязанность
(option), купить рассматриваемый ðèñêîâûé актив ïî öåíåKâ момент
времениT. Ïðè
ST≥ K
, покупая актив ïî öåíåKè ïðîдавая ïî öåíå
ST, владелец опциона Call получает прибыль
ST−K
. Ïðè
ST< K
îí íå
воспользуåòñÿ своим правом.
Найдем öåíó опциона Call ïî формуëå (4.3.2):
Π0=
e
−rT
√
2π
w
R
S0e
(r−σ2/2)T +σ√T z
− K
+
e
−z2/2
dz.
(4.3.3)
Переписывая неравенство
S0e
(r−σ2/2)T +σ√T z
≥ K
â форме
z ≥ z0:=
1
σ√T
ln
K
S
0
−r −
σ
2
2
T,
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]