Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Моделирование связанных задач математические постановки и конечно-элементные технологии. Учебное пособие
.pdf
МИНИСТЕРСТВО НАУКИ И ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ
РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ
Федеральное государственное автономное образовательное
учреждение высшего образования
«ЮЖНЫЙ ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ»
А.В.Наседкин,А.А.Наседкина
Моделированиесвязанныхзадач:
математическиепостановки
иконечно‐элементныетехнологии
Учебное пособие
Ростов-на-Дону –Таганрог
Издательство Южного федерального университета
2019
УДК 519.6+539.3+004.4
ББК 22.251
Н31
Печатаетсяпорешениюкафедрыматематическогомоделирования
Институтаматематики,механикиикомпьютерныхнаук
им.И.И.ВоровичаЮжногофедеральногоуниверситета
(протокол№5от28марта2019г.)
Рецензенты:
доктор физико-математических наук, профессор Г.В.Муратова;
доктор технических наук, профессор А.Н.Ткачев
Наседкин, А. В.
Н31 Моделирование связанных задач: математические постановки и
конечно-элементные технологии : учебное пособие / А. В. Наседкин,
А. А. Наседкина ; Южный Федеральный университет. – Ростов-на-Дону ;
Таганрог : Издательство Южного федерального университета, 2019. –
176 с.
ISBN 978-5-9275-3184-4
Пособие частично соответствует материалу курса лекций, реализуемого в
рамках магистерских программ направления 01.02.04 «Прикладная математика
и информатика» в Институте математики, механики и компьютерных наук Южного федерального университета. Данное пособие может быть также использовано студентами, аспирантами и специалистами, специализирующимися или
работающими в различных областях прикладной математики и механики.
В курсе лекций рассмотрены вопросы математического моделирования связанных физико-механических задач и применения методов конечных элементов
для их решения. Особое внимание уделено связанным задачам электроупругости, термоупругости, пороупругости и задачам взаимодействия деформируемых тел с акустическими средами. Акцентируются математические особенности рассматриваемых задач в их классических и обобщенных постановках. Теоретическая часть пособия подкреплена лабораторными работами по решению
модельных задач пьезоэлектричества, термоупругости и задач о взаимодействии твердотельных тел с акустическими средами с использованием программного комплекса ANSYS версии 11.0 и выше.
Пособие является переработанной версией в авторском переводе соответствующего англоязычного пособия: Nasedkin A. V., Nasedkina A. A. Finite
element modeling of coupled problems: textbook / Rostov-on-Don:
publishing
house of Southern Federal University, 2015.
Публикуется в авторской редакции.
УДК 519.6+539.3+004.4
ББК 22.251
ISBN 978-5-9275-3184-4
© Южный федеральный университет, 2019
© Наседкин А. В., Наседкина А. А., 2019
Îãлавление
Введение 5
Ãëàâà 1. Íåêоторые ìîäåëè связанных çàäà÷ ìåõаники деформируемого
òâåðäîãî òåëà 9
1.1. Основные обозначения. Векторные è тензорные величины . . . . . . . . . 9
1.1.1. Векторные è тензорные величины. Краткие сведения . . . . . . . 9
1.1.2. Основные обозначения è величины â связанных çàäà÷àõ теории
упругости . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
1.2. Общие ïîëîæåíèÿ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
1.3. Ìîделирование çàäà÷ электроупругости . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
1.3.1. Классические ïîñòановки çàäà÷ электроупругости . . . . . . . . . 21
1.3.2. Обобщенные ïîñòановки çàäà÷ электроупругости . . . . . . . . . . 28
1.3.3. Ïîëóдискретные аппроксимации â çàäà÷àõ электроупругости . . . 38
1.3.4. Обзор основных особенностей çàäà÷ электроупругости . . . . . . . 41
1.4. Ìîделирование çàäà÷ термоупругости . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
1.4.1. Классические ïîñòановки çàäà÷ термоупругости . . . . . . . . . . 45
1.4.2. Обобщенные ïîñòановки çàäà÷ термоупругости . . . . . . . . . . . 49
1.4.3. Ïîëóдискретные аппроксимации â çàäà÷àõ термоупругости . . . . 53
1.5. Çàäà÷è пороупругости. Поротермоупругàÿ аналогия . . . . . . . . . . . . 54
1.6. Ìîделирование взаимодействия òâåðäûõ деформируåìûõ òåë ñ àêóñòè-
ческими средами . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
1.6.1. Классические ïîñòановки çàäà÷ àêóстики . . . . . . . . . . . . . . 58
1.6.2. Ïîëóдискретные аппроксимации íà основе обобщенных ïîñòàíî-
âîê è ñîïðÿæåíèå уравнений àêóстики ñ уравнениями òâåðдотель-
íîé структуры . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
Çàäà÷è ê ãëàâå 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
Ãëàâà 2. Ìåòîä êонечных элементов äëÿ решения связанных физикî-
ìåõанических çàäà÷ 71
2.1. Общая ñõåìà ìåòîäà БубноваГалеркина. Динамические è ñòатические
çàäà÷è . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
2.2. ÌÊÝ êàê вариант ìåòîäà БубноваГалеркина. Основные èäåè ÌÊÝ . . 75
2.3. Базовые êонечно-элементные аппроксимации . . . . . . . . . . . . . . . . 83
Çàäà÷è ê ãëàâå 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97
Ãëàâà 3. Примеры решения çàäà÷ â ANSYS è лабораторные работы 101
3.1. Лабораторная работà 1. Ñòатическîå деформирование пьезокерамиче-
ñêîãî преобразователя ñ многоэлектроäíûì покрытием . . . . . . . . . . 101
4
Îãлавление
3.1.1. Описание ìîдельной çàäà÷è è ìåòîäîâ åå решения . . . . . . . . . 102
3.1.2. Индивидуальные задания . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128
3.2. Лабораторная работà 2. Плоскàÿ çàäà÷à î нагреве è îхлаждении
термоупругого òåëà . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131
3.2.1. Краткие сведения î решении â ANSYS íåñòационарных çàäà÷
термоупругости äëÿ изотропных òåë . . . . . . . . . . . . . . . . . 132
3.2.2. Описание ìîдельной çàäà÷è è ìåòîäîâ åå решения . . . . . . . . . 134
3.2.3. Индивидуальные задания . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145
3.3. Лабораторная работà 3. Óñòановившиесÿ êолебания упругого излуча-
òåëÿ â àêóстическîé среде . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146
3.3.1. Краткие сведения î техникå решения â ANSYS çàäà÷ î
взаимодействии òâåðäûõ òåë ñ àêóстическими средами . . . . . . . 146
3.3.2. Описание ìîдельной çàäà÷è è ìåòîäîâ åå решения . . . . . . . . . 150
3.3.3. Индивидуальные задания . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 167
Список литературы 172
Введение
Основной целью пособия являетсÿ описание математических ìîделей
è численных ìåòîäîâ решения связанных физикî-ìåõанических çàäà÷
ñ использованием современных программных средств è êомпьютерной
техники ñ ориентацией íà êонечно-элементный êомплекñ ANSYS.
 соответствии ñ ýòîé целью â первой ãëàâå пособия рассмотрены âî-
просы математическîãî ìîделирования связанных физикî-ìåõанических
çàäà÷, òàêèõ êàê çàäà÷è электроупругости, термоупругости, пороупруго-
ñòè è çàäà÷è взаимодействия деформируåìûõ òåë ñ àêóстическими ñðå-
äàìè. Âî второй ãëàâå краткî излагàåòñÿ классическàÿ техникà êонечно-
элементных аппроксимаций è базовые êонечные элементы. Òеоретическàÿ
часть пособия дополнена â третьей ãëàâå набором лабораторных çàäà÷ ïî
решению связанных физикî-ìåõанических çàäà÷ â программном êомплек-
ñå ANSYS версии 11.0 è âûøå.
Ìåòîдология исследования связанных физикî-ìåõанических çàäà÷
включает следующие общие õарактерные ýòàïû: формулировку êëàñ-
сическîé ïîñòановки çàäà÷è (системы дифференциальных уравнений è
граничные è íàчальные óсловия); перехîä îò классических ïîñòановок ê
обобщенным; применение дискретных ïî пространственным переменным
аппроксимаций; получение соответствующих систем дискретизированных
уравнений.
Несмотрÿ íà общность ìîделирования âñåõ рассматриваемых â первой
ãëàâå çàäà÷, êаждая èç типов связанных çàäà÷ имеет ñâîè особенности.
Äëÿ çàäà÷ электроупругости õарактерны íåñòандартные граничные
óсловия äëÿ электродированных поверхностей, особенно äëÿ электроäîâ,
запитываемых генераторами òîêîâ. Ýòè óсловия являютсÿ аналогом
граничных óсловий êîíòактного òèïà ñ æесткими øòампами äëÿ упругого
òåëà.
 çàäà÷àõ электроупругости возмоæíû ïîñòановки äëÿ многослойных
òåë ñ различными физическими свойствами: пьезоэлектрические òåëà,
упругие òåëà, диэлектрики.
6
Введение
Äëÿ практических применений пьезоэлектрических óстройств важную
ðîëü играют äâà набора собственных частот: частот электрических
резонансов è антирезонансов. Äëÿ èõ íàõîждения нужно дважды
решить обобщенную çàäà÷ó íà собственные çíàчения ñ íåñêîëüêî
îòличающимисÿ граничными óсловиями äëÿ электроäîâ. Íåîáõîдимость
решения данных çàäà÷ существенна äëÿ полноты анализа большинства
пьезопреобразователей, работающих â динамических режимах.
Äëÿ çàäà÷ термоупругости õарактерно наличие óсловий третьего
ðîäà óсловий êонвективного теплообмена. Ýòè граничные óсловия äàþò
дополнительный вклад â симметричные билинейные формы обобщенной
ïîñòановки çàäà÷è. Важными классами çàäà÷ термоупругости являютсÿ
слабосвязанные çàäà÷è, особенно çàäà÷è î температурных íàïðÿæениях,
â êоторых çàäà÷à äëÿ ïîëÿ температур íå зависит îò ïîëÿ перемещений.
Çàäà÷è пороупругости интересны òåì, ÷òî ïîêазывают, êàê анализ îä-
íîãî класса çàäà÷ ìîæåò áûòü проведен ñ помощью аппаратà, разработàí-
íîãî äëÿ анализа другого класса çàäà÷. Именно, ñ использованием èìåþ-
ùåéñÿ поротермоупругой аналогии çàäà÷è пороупругости ìîæíî решать
êàê çàäà÷è термоупругости. Важным ìåòîдическим примером являетсÿ
демонстрация эффективности перехîäà ê безразмерной ïîñòановкå â çàäà-
÷å пороупругости, позволяющего выровнять ïîðÿäêè êоэффициентов ñè-
ñòåì è â ðåçóëüòàòåповысить эффективность численных ìåòîäîâ, особенно
äëÿ нелинейных çàäà÷.
Çàäà÷è î взаимодействии òâåðäûõ деформируåìûõ òåë ñ àêóстическими
средами интересны òåì, ÷òî â íèõ объединяютсÿ â единые ïîñòановки
çàäà÷è äëÿ разных типов полей, заданных â различных средах: â
òâåðдотельной структуре è â окружающей åå àêóстическîé (æèäêîé èëè
ãазообразной) среде. Здесь связность возникàåò èç-çà граничных óсловий
êîíòàêòà между òâåðдотельной структурой è àêóстическîé средой.
Особенностью çàäà÷è являютсÿ òàêæå неотражающие èëè импедансные
граничные óсловия, îáóславливающие демпфирующие свойства â çàäà÷å.
Íà примере ýòèõ çàäà÷ ìîæíî ïîêазать, êàê выбор основных неизвестных
функций влияет íà óдобство получающихñÿ систем дискретизированных
уравнений. Êàê îêазываетсÿ, ïîñòановки çàäà÷ àêóстики íà основе
функции потенциала àêóстическîé ñêорости являютсÿ более óдобными
äëÿ ñîïðÿæåíèÿ ñ ïîñòановкàìè çàäà÷ äëÿ òâåðдотельной структуры, ÷åì
ïîñòановки çàäà÷ àêóстики íà основе функции избыточного давления.
Получающиесÿ краевые èëè íàчально-краевые çàäà÷è äîñòаточно
ñëîæíû, è поэтому нужны численные ìåòîäû, способные эффективно
решать ýòè çàäà÷è, причем äëÿ областей ñëîæíîé формой. Òàêèì ìåòîäîì
Введение
7
â настоÿùåå время являетсÿ ìåòîä êонечных элементов. Â связи ñ ýòèì
âî второй ãëàâå даетсÿ краткîå èçëîæåíèå ìåòîäà êонечных элементов ñ
акцентом íà åãî применение ê решению связанных физикî-ìåõанических
çàäà÷.
Ïîêазываетсÿ, ÷òî ìåòîä êонечных элементов являетсÿ частным
случаем общей процедуры дискретизации ïî ìåòîäó БубноваГалеркина
ïðè выборе специального òèïà базиса èç êóсочно-полиномиальных
функций íà êанонических областÿõ. Ýòè функции обычно невысокîãî
ïîðÿäêà è имеют êомпактный носитель. Отмечаетсÿ, ÷òî выбор базисов
ìåòîäà êонечных элементов определяет вычислительную эффективность
ìåòîäà: разреженность матриц, простоту вычисления êонечно-элементных
объектов, возможность реализации процедуры ансамблирования, простоту
ó÷åòà ãлавных граничных óсловий. Òî, ÷òî ìåòîä êонечных элементов
строитсÿ íà основе обобщенных ïîñòановок, имеющих энергетический è
вариационный смысл, привоäèò ê ñõîдимости приближенных решений
ïî энергетическим нормам, à òàêæå ê возможности реализации ìåòîäîâ
поискà минимума квадратичных функционалов äëÿ çàäà÷ ñ ïîëîжительно
определенными симметричными операторами.
Ïîïóлярность ìåòîäà êонечных элементов â äîñòаточной степени îáó-
словлена åãî развитой технологией, êоторой â курсе óделяетсÿ íåêоторое
внимание. Ðассматриваютсÿ вопросы формирования ãлобальных êонечно-
элементных объектов èç соответствующих элементных ñ использованием
процедуры ансамблирования, à òàêæå вопросы ó÷åòà ãлавных граничных
óсловий.
 ðàìêàõ общего ïîäõîäà описаны изопараметрические êонечные ýëå-
менты. Ðассмотрены базовые лагранжåâû êонечные элементы äëÿ îäíî-
мерных, двумерных è трехмерных çàäà÷. Äëÿ îдномерных çàäà÷ приве-
äåíû функции формы линейного è квадратичного êонечных элементов.
Äëÿ двумерных çàäà÷ описаны линейные è квадратичные êонечные ýëå-
менты äëÿ треугольникîâ è четырехугольникîâ, â òîì числе рассмотрены
элементы серендипова òèïà. Идеология, использованная ïðè построении
двумерных çàäà÷, обобщена íà трехмерные элементы äëÿ тетраэäðîâ è
ãåêñàýäðîâ ñ линейными è квадратичными аппроксимациями íà êанони-
ческих фигурах. Приведены òàêæå базисные функции êонечных элементов
â âèäå призм è пирамид. Обсуждаютсÿ вопросы ñîãласованности êонечно-
элементных сеток.
 третьей ãëàâå представлены лабораторные работы, ïîдкрепляющие
теоретическую часть пособия. Ðаботы посвящены решению ìîдельных çà-
äà÷ пьезоэлектричества, термоупругости è çàäà÷ î взаимодействии òâåð-
8
Введение
дотельных òåë ñ àêóстическими средами ñ использованием программного
êомплекñà ANSYS версии 11.0 è âûøå. Ê êаждой работе даетсÿ описание
техники è íåñòандартных приемов решения â ANSYS êонкретных типов
связанных физикî-ìåõанических çàäà÷, привоäÿòñÿ программы íà êоманд-
íîì ÿçûêå APDL ANSYS ñ ïîдробными êомментариями è даетсÿ анализ
получаемых ðåçóëüòàòîâ. Äëÿ самостоятельного выполнения приведены
наборы индивидуальных заданий ïî решению ìîдельных çàäà÷ пьезоэлек-
тричества, термоупругости è çàäà÷ î взаимодействии òâåðдотельных òåë
ñ àêóстическими средами â программном êомплекñå ANSYS. Ïðè ýòîì
предполагàåòñÿ, ÷òî обучающиесÿ имеют базовые навыки работы â ïàêåòå
ANSYS [34, 37, 38] è çíàêîìû ñ åãî êомандным ÿçûêîì APDL.
Настоÿùåå учебное пособие являетсÿ переработанным вариантом ñîîò-
ветствующего àíãëîязычного пособия [36]. Данное учебное пособие ранее
íå издавалось íà ðóññêîì ÿçûêå, à åãî материал ориентирован â первую
очередь íà ïîääåðæêó курса ¾Современные проблемы прикладной ìàòå-
матики è информатики¿, êàê â åãî лекционной части, òàê è äëÿ выполне-
íèÿ лабораторных работ. Êóðñ ¾Современные проблемы прикладной ìà-
тематики è информатики¿ относитсÿ ê циклу базовых дисциплин учебных
планов âñåõ магистерских программ ïî направлению ïîдготовки 01.04.02
¾Прикладная математикà è информатикà¿ â Институте математики, ìå-
õаники è êомпьютерных íàóê Южного федерального университетà. Ïðè
ýòîì, пособие áóäåò полезно è äëÿ ïîääåðæêè àíãëîязычного вариантà
курса ¾Modern problems of applied mathematics and informatics¿, ïîñêîëü-
êó обучающиесÿ áóäóò иметь êàê àíãëîязычный вариант пособия, òàê è
åãî ðóññêîязычный вариант.
Пособие ìîæåò использоватьсÿ òàêæå ñòóäåíòàìè è магистрантàìè ðàç-
личных специальностей, изучающими прикладную математику, численные
ìåòîäû èëè проблемы êонкретных связанных физикî-ìåõанических çàäà÷,
à òàêæå íàучными работникàìè è èíæенерами, æелающими óãлубить ñâîè
познания â ìåòîдологиях математическîãî ìîделирования связанных çà-
äà÷ математическîé физики è êонечно-элементных технологиях èõ ðåøå-
íèÿ.
Ãëàâà 1
Íåêоторые ìîäåëè связанных çàäà÷
ìåõаники деформируемого òâåðäîãî
òåëà
1.1. Основные обозначения. Векторные è тензорные
величины
Данный раздел носит справочный õарактер è êасаетсÿ применяемых
â дальнейшем обозначений векторных è тензорных величин. Более
ïîдробные сведения î векторах è тензорах ìîæíî найти â многочисленной
литературе (ñì., например, [8, 10, 33] è äð.) Здесь æå ýòè сведения даютсÿ
â минимальном объеме.
1.1.1. Векторные è тензорные величины. Краткие сведения
Ïóñòü
Rn евклидово пространство. Элементы этого пространства,
называемые
векторàìè
, áóäåì обозна÷àòü полужирными, êàê правило,
строчными буквами:
a ∈ Rn.
Â
Rnвыделим ортонормированный базис
ei∈ Rn,
i = 1, 2, ..., n
. Òîãäà
любой вектор
a ∈ Rnìîæíî представить â âèäå разлоæåíèÿ ïî базису
a =
n
i=1
aie
i
def
= aie
i
ñ êîîðдинатàìè
a1,
a2, ...,
an.
Здесь è âñþäó далее применяетсÿ
ïðавило суммирования Эйнштейна
ïî повторяющимся индексàì
, причем âåðõíèé è нижний индекñû íå
различаютсÿ.
Ïîñêольку
Rn линейное пространство, òî â íåì определены операции
ñëîæåíèÿ è óìíîæåíèÿ íà число. Òàêèì образом, åñëèλ,
µ ∈ R;a = aiei,
b = biei∈ Rn, òî
λ a + µb = (λai+ µbi) ei∈ Rn.
10
Ãëàâà 1. Íåêоторые ìîäåëè связанных çàäà÷ ìåõаники
Â
Rn, êàê â евклидовом пространстве, определена операция
скалярного
произведения
:
a ·b = (aiei) ·(bjej) = aibjei· ej= aibjδij= aibi.
Здесь
δij символ Кронекåðà (
δij= 1
, åñëè
i = j;δij= 0
, åñëè
i = j
),
è использовано, ÷òî äëÿ ортонормированного базиса
ei· ej= δij.
 векторно-матричных обозначениях набор êîîðдинат вектораaáóäåì
записывать â âèäå вектор-столбца
a = {a1, a2, ..., an}
èëè вектор-строки
a∗= ⌊a1, a2, ..., an⌋
. Åñëè â тензорных обозначениях вектор-столбец è
вектор-строку ìîæíî íå различать, òî â матричной алгебре óìíîæåíèå
матрицыKíà вектор-столбецaсправа áóäåì записывать êàê
K · a
, à
óìíîæåíèå матрицыKíà вектор-строку
a∗слева êàê
a∗·K
. Òîãäà, åñëè
I
единичная матрица, òî
b∗· I · a = b∗· a
. Òàêèì образом, ñêалярное
произведение äâóõ векторов ìîæíî представлять â различных формах:
b·a
(ïðè тензорных обозначениях) èëè
b∗· a
(ïðè матричных обозначениях).
Åñëè
e
′
1
,
e
′
2
, ...,
e
′
n
другой ортонормированный базис â
Rn, òî ìîæíî
ввести матрицуQ(матрицу направляющих êосинуñîâ)
[Q]ij= qij= e
∗
i
· e
′
j
,
(1.1)
выразить векторы îдного базиса через другой
ei= qije
′
j
, e
′
i
= αijej, αij= q
j i
,
(1.2)
è получить
ôîðìóëû äëÿ пересчета êîýôфициентов векторà
a = aiei=
a
′
j
e
′
j
ïðè изменении áàçèñà
ai= qija
′
j
, a
′
i
= αijaj,
(1.3)
èëè â матричной записи
a = Q · a′, a′= A ·a, A = Q∗,
(1.4)
ãäå
Q∗ транспонированная матрица.
Êàê неслоæíî óñòановить, матрица перехîäàQявляетсÿ ортогональ-
íîé:
Q∗· Q = Q ·Q∗= I, Q = (Q∗)−1.
 ðåçóëüòàòå векторaìîæíî понимать êàê отнесенный ê базису
{e1,
e2,
...,
en}
набор чисел
{a1, a2, ..., an}
, êоторый ïðè перехîäå ê другому базису
{e
′
1
,
e
′
2
, ...,
e
′
n
}
изменяетсÿ ïî çàêîíàì (1.3), (1.4).
Ðассмотрим теперь äåêартово произведениеpевклидовых пространств
Rn:
T
n
p
def
= Rn⊗ Rn⊗ ... ⊗ R
n
p
.
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]