Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Моделирование связанных задач математические постановки и конечно-элементные технологии. Учебное пособие
.pdf
Ãëàâà 2
Ìåòîä êонечных элементов äëÿ
решения связанных
физикî-ìåõанических çàäà÷
2.1. Общая ñõåìà ìåòîäà БубноваГалеркина. Äèíà-
мические è ñòатические çàäà÷è ÌÊÝ
Êàê áûëî ïîêазано â ãëàâå 1, äëÿ численного íàõîждения слабых
решений связанных çàäà÷ ìîæåò использоватьсÿ ìåòîä Бубнова
Ãалеркина â ïîëóдискретной (äëÿ динамических çàäà÷) формулировкå. Â
общем âèäå âñå слабые ïîñòановки çàäà÷ èç ãëàâû 1 ìîæíî представить â
форме
ρa(w,¨a) + da(w,˙a) + ca(w, a) =˜La(w),
(2.1)
ãäå
a = a(x, t) ∈ Rk,
a = {a1, a2, ..., ak},ai неизвестные полевые
функции;
w = w(x) ∈ Rk,
w = {w1, w2, ..., wk}
проекционные функции;
ρa,
da,
ca билинейные формы, ñîäåðæàùèå интегралы ïî области
Ω
îò произведений
w · a
è èõ произвоäíûõ;˜La линейный непрерывный
функционал.
Например, рассмотрим слабые ïîñòановки трехмерных çàäà÷ электро-
упругости (1.83), (1.84), записанные áåç процедур (1.62) снятия íåîднороä-
íûõ ãлавных граничных óсловий:
ρ(v,¨u) + d(v,˙u) + c(v,u) −e(v, φ) =˜Lu(v),
(2.2)
e(u, χ) + ϵ(χ, φ) =˜Lφ(χ).
(2.3)
Ïîñêольку â ýòèõ уравненияхv,χ произвольные функции требуåìîé
ãëàäêîñòè, òî соотношения (2.2), (2.3) эквивалентны èõ сумме. Очевидно,
÷òî почленная сумма (2.2) è (2.3) ìîæåò áûòü записана â âèäå (2.1) ïðè
k = 4;a = {u, φ};a1= u1= ux;
a2= u2= uy;
a3= u3= uz;
72
Ãëàâà 2. ÌÊÝ äëÿ решения связанных çàäà÷
a4= φ;w = {v, χ};ρa(w, a) = ρ(v, u);da(w, a) = d(v, u);ca(w, a) =
c(v, u) − e(v, φ) + e(u, χ) + ϵ(χ,φ)
;˜La(w) =˜Lu(v) +˜Lφ(χ)
.
Аналогично, слабая ïîñòановкà çàäà÷ термоупругости, основанная íà
соотношениях (1.137), (1.138), ìîæåò áûòü представлена â форме (2.1)
ïðè
k = 4;a = {u, θ};a1= u1= ux;
a2= u2= uy;
a3= u3= uz;
a4= θ;w = {v,η};ρa(w, a) = ρ(v, u);da(w, a) = T0γ(u, η) + s(η, θ)
;
ca(w, a) = c(v, u) − γ(v, θ) + k(η, θ)
;˜La(w) =˜Lu(v) +˜Lθ(η)
.
Ïðè снятии íåîднородности ãлавных граничных óсловий решение
ищетсÿ â âèäå
a = a0+ an,
(2.4)
ãäå
a0= {a01, a02, ..., a0k}
неизвестная функция, óдовлетворяющая
îднороäíûì ãлавным граничным óсловиям,
an= {an1, an2, ..., ank}
известная (специально ïîдобранная) функция, äëÿ êоторой выполняютсÿ
òå æå íåîднороäíûå ãлавные граничные óсловия, ÷òî è äëÿa.
Èç (2.1), (2.4) очевидно, ÷òî íàõîждения
a0имеем соотношение:
ρa(w,¨a0) + da(w,˙a0) + ca(w, a0) = La(w),
(2.5)
La(w) =˜Lu(v) −ρa(w,¨an) −d
a
˙
an) −ca(w, an).
(2.6)
Äëÿ çàäà÷ электроупругости (2.5) должно óдовлетворÿòüñÿ äëÿ
∀w ∈
V;V = {H
1
u
, H
1
φ
}
; à неизвестная часть решения
a0должна принадлежàòü
пространству
Q = {Qu, Qφ}
. Аналогичные функциональные пространства
ìîæíî ввести è äëÿ других связанных çàäà÷ èç ãëàâû 1.
 классическîì варианте ìåòîäà БубноваГалеркина выбираютсÿ
êонечномерные ïîxпространства
Vh⊂ V,Qh= L2(0, T ; Vh),Qh⊂
Q
, è разыскиваетсÿ приближенное решение
ah0≈ a0,
ah0∈ Qh,
óдовлетворяющее (2.5) ïðè
∀w ∈ Vh.
 пространстве
Vhпроизвольную вектор-функцию
w = {w1, w2, ..., wk}
ìîæíî разлоæèòü ïî базису, è äëÿ îòдельной êомпоненты
w
i
òàêîå
разлоæåíèå ìîæíî записать â âèäå
wi=
n
i
j=1
N
aij
(x)Wij= N
∗
ai
(x) ·Wi,
(2.7)
ãäå
N
aij
(x)
базисные функции;
Wij êоэффициенты ïðè базисных
функциях;
N
∗
ai
= ⌊N
ai1
, N
ai2
, ..., N
ain
i
⌋;Wi= {Wi1, Wi2, ..., W
in
i
}
;
суммирования ïîiâ (2.7) íåò.
Êàê видно, размерность базиса пространства
Vhâ принятых обозна÷å-
íèÿõ равна
n
V h
= n1+n2+...+nk. Компоненты
a
h0i
вектора приближенного
2.1. Общая ñõåìà ìåòîäà БубноваГалеркина
73
решения
ah0òîãäà ìîæíî èñêàòü â форме
a
h0i
=
n
i
j=1
N
aij
(x)Aij(t) = N
∗
ai
(x) ·Ai(t),
(2.8)
ãäå
Ai(t) = {Ai1(t),Ai2(t), ..., A
in
i
(t)};Aij(t)
неизвестные ñêалярные
функции аппроксимации.
Åñëè èç векторов
Wi;
Ai(t)
образовать единые векторы
W = {W1, W2,
...,Wk};A(t) = {A1(t), A2(t), ..., Ak(t)}
, òî èç (2.7), (2.8) ìîæíî получить
общие представления äëÿwè
a
h0
w = N
∗
a
(x) ·W, ah0= N
∗
a
(x) ·A(t),
(2.9)
ãäåi-àÿ строкà матрицы базисных функций
N
∗
a
имеет следующую блочную
структуру:
⌊0, ..., 0,N
∗
ai
, 0, ...,0⌋
. Здесь нужно отметить, ÷òî âèä матрицы
N
∗
a
зависит îò выбранного способа сборки векторовWèAèç
Wiè
Ai.
Ïîäñòàâèì (2.9) â (2.5) è учтем, ÷òî â интегральных формах
ρa,
da,
caè â линейном функционале
Laвеличины
WèA(t)
íå зависÿò îò
пространственных переменныхx, à, следовательно, могут áûòü вынесены
çà знаки интегралов. Â ðåçóëüòàòå получаем уравнение â матричной форме
W∗· (M ·¨A + C ·˙A + K · A) = W∗· F
(2.10)
ñ матрицамиM,C,Kè векторомF, определяемыми èç
ρa,
da,
caè
La,
соответственно.
ÏîñêолькуW произвольный вектор èç
Vh, òî èç (2.10) имеем итоговое
уравнение äâèæåíèÿ
M ·¨A + C ·˙A + K · A = F.
(2.11)
Åñëè рассматриваетсÿ
нестационарная задача
, òî ê (2.11) íåîáõîäèìî
добавить íàчальные óсловия
A(0) = Asn,˙A(0) = V
sn
(2.12)
ñ известными íàчальными çíàчениями
Asn,
Vsn, êоторые ëåãêî íàõîäÿòñÿ
èç соответствующих êонтинуальных íàчальных óсловий. Ïðè ýòîì, åñëè
äëÿ îòдельных áëîêîâ
Aiâ уравнении (2.11) отсутствуют вторые
произвоäíûå ïî времени, òî äëÿ ýòèõ áëîêîâ íàчальные óсловия íà èõ
первые произвоäíûå ïîtíå ñòавятсÿ.
Èòàê, решения
нестационарных задач
ïî ìåòîäó БубноваГалеркина
ñâîäÿòñÿ ê çàäà÷å Êîøè (2.11), (2.12) äëÿ системы обыкновенных
74
Ãëàâà 2. ÌÊÝ äëÿ решения связанных çàäà÷
дифференциальных уравнений ïî времени. (Â (2.11) представлено
n
V h
ñêалярных уравнений относительно êомпонент
Aij(t)
.)
Отметим, ÷òî имеетсÿ
òðè
основных
òèïà динамических задач
:
нестационарные задачи,задачи îá установившихся êîëåáанияхèзадачи
íà собственные значения
.
Íåñòационарные çàäà÷è (2.11), (2.12), êàê правило, являютсÿ наиболее
ñëîжными è òðóдоемкими. Åñëè âñå внешние воздействия (включая è
ãлавные граничные óсловия) изменяютсÿ ïî ãармоническîìó çàêîíó ñ
îäíîé è òîé æå частотойf=ω/2πòàê, ÷òîF=
˜
F
e
iωt
, è решение
óñòанавливаетсÿ âî времени ïî òîìó æå çàêîíó
A =˜A e
iωt
, òî ìîæíî
îïóстить íàчальные óсловия è рассматривать
задачу îá установившихся
êîëåáаниях
. Очевидно, ÷òî ïîäñòановкà
A =˜A e
iωt
, F =˜Fe
iωt
(2.13)
â (2.11) äàåò
(−ω2M + iωC + K) ·˜A =˜F,
(2.14)
ãäå˜A
,˜F
êомплекñíûå амплитуäû векторов решения è внешних
воздействий.
 линейной çàäà÷å (2.14) представляет собой систему линейных
алгебраических уравнений ñ êомплекñíîé арифметикîé относительно
êомплексного вектора неизвестных˜A
. Причем, åñëè äàæå затухàíèÿ â
системе íåò, ò.å.
C = 0
, òî вектор˜F
ìîæåò áûòü êомплекñíûì, à,
следовательно, è вектор˜A
áóäåò êомплекñíûì.
Çàäà÷ó îá óñòановившихñÿ êолебаниях (2.14) часто ïðèõîäèòñÿ решать
много ðàç, äâèãàÿñü ïî частотеωâ íåêотором интервале
[ωb, ωe]
. Â
ýòîì случае интерес представляют êàêèå-òî õарактеристики решения˜A
â зависимости îò частотыω(частотные õарактеристики). Особое çíàчение
имеют ìàêсимумы ýòèõ õарактеристик è частоты, íà êоторых достигàþòñÿ
ýòè ìàêсимумы. Òàêèå частоты называют
резонансными частотами
. Äëÿ
поискà возмоæíûõ резонансных частот ìîæíî решать îòдельную
задачу
íà собственные значения
, êîãäà â (2.14)˜F = 0
è обычно (íî íå âñåãäà)
C = 0
.
Åñëè
C = 0
,˜F = 0
, òî (2.14) принимает âèä:
ω2M ·˜A = K ·˜A.
(2.15)
 (2.15) неизвестными ñ÷èòàþòñÿ частотàωè вектор˜A
, причем
представляют интерес нетривиальные решения˜A = 0
. Â ýòîì случае
ω
называетсÿ
собственной частотой
, à˜Aсобственным вектороì
èëè
модой êîëåáàíèé
.  численном анализе çàäà÷à (2.15) называетсÿ òàêæå
2.2. ÌÊÝ êàê вариант ìåòîäà БубноваГалеркина. Основные èäåè
75
обобщенной задачей íà собственные значения
, à â документациях ïî
êонечно-элементным êомплекñàì
модальным анализоì
.
Ðåæå рассматриваетсÿ çàäà÷à íà собственные çíàчения äëÿ матричного
ïó÷êà
(−ω2M + iωC + K) ·˜A = 0,
(2.16)
ãäå òàêæå íàäî найти ïàðû
{ω,˜A}
, ïðè êоторых (2.16) óдовлетворÿåòñÿ, è
˜
A = 0
.
Íàêîíåö, кроме динамических çàäà÷ ìîæíî рассматривать
статиче-
ñêèå
èëè
стационарные задачи
, êîãäà â (2.11)AèFíå зависÿò îò времени,
è â линейных çàäà÷àõ (2.11) ñâîäèòñÿ ê системе линейных алгебраических
уравнений
K ·A = F.
(2.17)
Êàê видно, ìåòîä БубноваГалеркина привоäèò динамические è
ñòатические çàäà÷è ê ñòандартным çàäà÷àì численного анализа, äëÿ
решения êоторых имеютсÿ õорошо разработанные специальные численные
ìåòîäû.
2.2. ÌÊÝ êàê вариант ìåòîäà БубноваГалеркина.
Основные èäåè ÌÊÝ
Основной проблемой практическîãî применения ìåòîäà Бубнова
Ãалеркина являетсÿ çàäà÷à íàõîждения пространств
Vhè èõ базисов,
ïîäõîдящих äëÿ областей äîñòаточно произвольной формы. Ìåòîä
êонечных элементов (ÌÊÝ) являетсÿ вариантом ìåòîäà Бубнова
Ãалеркина, â êотором ýòà çàäà÷à решаетсÿ путем разбиения области
Ω
(точнее,
Ωh⊂ Ω
) íà ïîдобласти
Ωemñòандартных ôîðì ñ простыми
базисными функциями.
Êàê îêазалось, â ðàìêàõ ÌÊÝ ìîæíî реализовать ðÿä технических ïðè-
åìîâ, äîïóñêающих èõ применение è программную реализацию äëÿ самых
разнообразных çàäà÷ математическîé физики. Ê òàêèì основным общим
приемам ìîæíî отнести
процедуры àíñàìáлирования, учета главных ãðà-
ничных óñловийèвычисления ýëåментных матриц è векторов ïóòåì
÷èñленного интегрирования
. Âñå ýòî îáóсловило широчайшее применение
ÌÊÝ è åãî эффективную реализацию â многочисленных вычислительных
êомплекñàõ êàê общего, òàê è специализированного назначения.
Настоÿùåå пособие íå претендуåò íà полноту èçëîæåíèÿ ÌÊÝ. Имеют-
ñÿ многочисленные монографии, ãäå ÌÊÝ освещаетсÿ ñ математическîé
точки зрения [18, 22, 23], ñ точки зрения êонкретных прилоæåíèé [19] è
76
Ãëàâà 2. ÌÊÝ äëÿ решения связанных çàäà÷
ñ большим упором íà программную реализацию. Çàчастую ïîдобное ðàç-
деление провести затруднительно [1, 6, 7, 17, 39, 40, 41]. Ðÿä монографий
ориентирован íà применение ÌÊÝ äëÿ решения связанных çàäà÷ ìåõà-
íèêè [13, 30, 32]. Íàêîíåö, крайне полезная информация ñîäåðæèòñÿ â
документàöèè ïî êонечно-элементным программным êомплекñàì [25].
Перейдем ê краткîìó èçëîæåíèþ ÌÊÝ äëÿ классических лагранжåâûõ
êонечных элементов â
R3. Ïóñòü
Ωh⊂ Ω
, è имеетсÿ разбиение области
Ω
h
íà совокупность областей простой формы êонечных элементов
Ωem, ò.å.
Ωh= ∪
n
el
m=1
Ωem, ãäåm номер элементà,
nel общее число областей
Ωem.
Слабые формулировки çàäà÷ áóäåì рассматривать íà
Ωh, заменяя â íèõ
области интегрирования ñΩíà
Ωhè ñíîñÿ граничные óсловия íà границу
Γh= ∂Ωhè åå части ñ различными типами óсловий (
Γhu,
Γhσ, è ò.ï.)
 структуру êонечно-элементной сетки âõîäÿò òàêæå åå
óçëû
.
Îòдельный óçåë õарактеризуåòñÿ своим номеромjè êîîðдинатàìè
xj=
{xj, yj, zj}
. Каждый êонечный элемент
Ωemимеет ñâîé набор узлов {
x
em
r
1
,
x
em
r
2
, ...,
x
em
r
n
};
x
em
r
s
∈ Ωem;
s = 1, 2,..., n = nem;
nem число узлов элементà.
Äëÿ самых простых элементов узлами являютсÿ вершины геометриче-
ñêèõ фигур
Ωem. Äëÿ более ñëîæíûõ элементов вершины могут íàõîдитьсÿ
òàêæå íà сторонах è внутри областей
Ωem. Òàê, äëÿ элементов ñ квадра-
тичными базисными функциями óçëû íàõîäÿòñÿ â вершинах è, обычно, íà
серединах сторон фигур
Ωem.
Íà ðèñ. 2.1 è 2.2 ïîêазаны двумерные êонечно-элементные сетки,
состоÿùèå èç треугольных è четырехугольных элементов. Îáà вариантà
сеток построены äëÿ îäíîé è òîé æå òâåðдотельной ìîäåëè ñ îдинаковыми
параметрами êонечно-элементных разбиений. Поэтому почти âñå области
Ωemè èõ номера íà обоих рисункàõ слева совпадают. Íà ðèñ. 2.1
представлены простые элементы áåç промежуточных узлов, à íà ðèñ. 2.2
более ñëîæíûå элементы ñ узлами â вершинах è íà серединах сторон. Êàê
видно èç ðèñ. 2.2,á, элементы ñ промежуточными узлами могут иметь
криволинейные стороны, ÷òî позволяет èì более точно аппроксимировать
изогнутые границы ïî сравнению ñ элементàìè ñ узлами толькî â
вершинах элементов.
Ñ êаждым узлом
xjñâÿæåì ñâîþ
áазисную функцию
Nj(x)
, êоторая
обладает ðÿäîì важных взаимосвязанных свойств.
1)
Функция
Nj(x)
тождественно ðàâíà íóëþ íà âñåõ ýëåментах
Ωel,
которые íå содержат óçåë
xj(êàê внутри, òàê è íà границах
Ωel).
2) Обычно принимаетсÿ, ÷òî
Nj(xk) = δjk,
(2.18)
2.2. ÌÊÝ êàê вариант ìåòîäà БубноваГалеркина. Основные èäåè
77
à) á)
Ðèñ. 2.1.
Пример 2D-сетки ñ элементàìè áåç серединных узлов:
ñ нумерацией элементов (à) è ñ нумерацией узлов (á)
à) á)
Ðèñ. 2.2.
Пример 2D-сетки ñ элементàìè ñ серединными узлами:
ñ нумерацией элементов (à) è ñ нумерацией узлов (á)
ò.å.
áазисная функция
Nj(x)
ðàâíà единице â óçëå
xjè íóëþ âî âñåõ
остальных узлах
.
3)
Базисные функции
Nj(x)
задаются
, возмоæíî, вместе ñ параметри-
ческими отображениями (ñì. далее ï. 2.3)
достаточно простыми ïîëèíî-
миальными âûðажениями невысокой степени
.
4)
Ïðè èñïîльзовании согласованных конечно-эëåментных сеток
,
êîãäà граничащие äðóã ñ другом элементы
Ωemимеют общие óçëû è
стороны è соприкасаютсÿ между собой áåç лакун è перекрытий,
äëÿ
ýëåментов ñ одинаковым òèïîì аппроксимации íà сторонах è/èëè íà
ãðàíÿõ обеспечивается
C0-гладкость ïðèáлижаеìûõ функций â
Ωh, è
78
Ãëàâà 2. ÌÊÝ äëÿ решения связанных çàäà÷
âûïîлняется
òàê называемое
óñловие ïîлноты
n
nd
j=1
Nj(x) = 1, ∀ x ∈ Ωh,
(2.19)
ãäå
n
nd
общее число узлов.
Отмеченные особенности êонечно-элементных сеток è базисов опреде-
ëÿþò ðÿä õороших вычислительных свойств ÌÊÝ.
Ïîñêольку îòдельные базисные функции
Nj(x)
имеют носители (ò.å.
замыкàíèÿ ìíîæåñòâ, ãäå
Nj(x)
îòличны îò íóëÿ), связанные ñ малым
числом êонечных элементов, òî
матрицы ÌÊÝK,Cè
M
являются
сильно ðазреженными
.
Òàê, íà ðèñ. 2.3 ïîêазана базисная функция
N9(x)
äëÿ êонечно-
элементной сетки, идентичной приведенной ранее íà ðèñ. 2.1. Конечные
элементы, ãäå ýòà функцияравна íóëþздесь затемнены. Êàê видно, толькî
äëÿ четырех элементов (ñ номерами 710) ýòà функция îòлична îò íóëÿ, è
ñ этими элементàìè связаны ïÿòü узлов (ñ номерами 1, 2, 4, 8, 9). Поэтому,
например, äëÿ çàäà÷è ñ îäíîé ñêалярной неизвестной полевой функцией
â матрицеKразмера
25 × 25(nnd= 25
общее число узлов ìîäåëè)
â девятой строкå áóäóò îòличны îò íóëÿ толькî элементы
K91,
K92,
K94,
K98è
K99, à â девятом столбце толькî
K19,
K29,
K49,
K89è
K99. Ýòî
происõîäèò потому, ÷òî произведения самих функций
N9(x)íàNl(x)
ïðè
l = {1, 2, 4,8, 9}
è произведения èõ произвоäíûõ òîждественно равны íóëþ
íà
Ωh. Следовательно, è интегралы îò ýòèõ произведений, определяющие
êомпоненты матрицыK, áóäóò òàêæå равны íóëþ. Аналогичный ðåçóëüòàò
áóäåò здесь справедлив è äëÿ матрицCèM.
Èç свойства (2.18) ìîæíî óñòановить физический смысл неизвестных â
вектореA. Записав представление (2.8) äëÿ êомпоненты
a
h0i
приближåí-
íîãî решения â óçëå
xl, получаем:
a
h0i(xl
, t) =
n
i
j=1
N
aij(xl)Aij
(t) =
n
i
j=1
δjlAij(t) = Ail(t).
(2.20)
à) á)
Ðèñ. 2.3.
Базисная функция äëÿ треугольных элементов áåç серединных узлов:
ïðè нумерации элементов (à) è ïðè нумерации узлов (á)
2.2. ÌÊÝ êàê вариант ìåòîäà БубноваГалеркина. Основные èäåè
79
Здесь учтено, ÷òî базисные функции
N
aij
(x)
äëÿ различных êомпонент
рассматриваемых çàäà÷ â ÌÊÝ ìîæíî принять îдинаковыми, ò.å.
N
aij
(x) = Nj(x)
.
Формуëà (2.20) ïîêазывает, ÷òî
êîмпонента
Ailвекторà
A
åñòü
значение неизвестной функции
a
h0i
(ò.å. перемещений
ux,
uu,
uz,
потенциалаφè ò.ï.)
â óçëå
xl.
Êàê видно èç (2.8), (2.20), полевая функция
a
h0i
(x, t)
â области
Ω
h
определяетсÿ ïî ÌÊÝ â âèäå
a
h0i
(x, t) =
n
i
j=1
Nj(x)Aij(t) =
n
i
j=1
Nj(x)a
h0i(xj
, t).
(2.21)
Òàêèì образом, функция
a
h0i
(x, t)âΩháóäåò известной, êàê толькî
áóäóò вычислены åå çíàчения â узлах êонечно-элементной сетки. Â связи
ñ ýòèì çíàчения
Aij(t) = a
h0i(xj
, t)
называютсÿ
узловыми степенями
свободы
(степенями свобоäû â óçëå
xj).
Отметим, ÷òî â ÌÊÝ вектор неизвестных
A
óдобно собирать ïî
узловым степеням свобоäû, è ýòîò ïîäõîä îòличен îò способа, описанного
â ï. 2.1 после (2.8). Именно, образуåì
вектор узловых степеней свободы
A
nd
j
= {A1j, A2j, ..., Akj}
размераk; à èç векторов
A
nd
j
ãëîáальный
вектор узловых степеней свободы
A = {A
nd
1
, A
nd
2
, ..., A
nd
j
}
. Òàêèì
образом, ñj-ûì номером óçëà â ãлобальной нумерации связываютсÿ
k
степеней свобоäû ñ номерами {
k(j −1)+1,k(j −1)+2
, ...,
k(j −1)+k = kj
}.
Ïîñêольку
Ω
h
(...) dΩ =
m
Ω
em
(...) dΩ
, è äëÿ êаждого êонечного
элементà имеетсÿ небольшое число
nemузлов è íåíóлевых базисных
функций, òî êонечно-элементные матрицыK,C,
M
è íåêоторые
ñîñòавляющие вектораFìîæíî собирать èç элементных матриц
Kem,
Cem,
Memè векторов
F
em
a
малых размеров. Òàêîé ïîäõîä формирования
ãлобальных êонечно-элементных объектов èç элементных называетсÿ
процедурой àíñàìáлирования
.
Ðассмотрим элемент
Ωemñ узлами
x
em
r
s
, ãäå
rs= r
em
s
ãлобальные
номера узлов,
s = 1, 2,..., nem ëîêальные номера. Òàêèì образом, имеетсÿ
îднозна÷íîå соответствие между ãлобальными è ëîêальными номерами
узлов:
fem(x
em
r
s
) = s
.
Ïóñòü
J
em
L
ìíîæество ëîêальных номеров степеней свобоäû
размерности
n
em
d
= knem, состоÿùåå èç áëîêîâ {
k(s − 1) + 1,k(s − 1) + 2
,
...,
k(s − 1) + k = ks},s = 1, 2,..., nem.
 общей (ãлобальной) нумерации ýòè æå степени свобоäû имеют
íåêоторые номера èç ìíîæества
J
em
G
, включающего соответствующие
блоки {
k(r
em
s
− 1) + 1,k(r
em
s
− 1) + 2
, ...,
k(r
em
s
− 1) + k = kr
em
s
}.
80
Ãëàâà 2. ÌÊÝ äëÿ решения связанных çàäà÷
Ñ использованием отображåíèÿ
fem(x
em
r
s
) = s
ìîæíî построить è
îднозна÷íîå отображåíèå
gem:
J
em
G
→ J
em
L
, переводящее äëÿ элементà
Ω
em
ãлобальный номерpстепени свобоäû èç
J
em
G
â ëîêальный номерièç
J
em
L
:
gem(p) = i; p ∈ J
em
G
, i ∈ J
em
L
; p = rs.
(2.22)
Элементные матрицы
Kem,
Cem,
Memразмера
n
em
d
×n
em
d
è элементный
вектор активных внешних воздействий
F
em
a
определяютсÿ ïî формуëàì,
аналогичным òåì, ïî êоторым íàõîäÿòñÿ êомпоненты ãлобальных матриц
K,C,M
è вектораF. Ðазличие состоит â òîì, ÷òî объемные интегралы
теперь вычисляютсÿ ïî области
Ωem, à поверхностные ïî участкàì
границы
Γem= ∂Ωem. Кроме òîãî, â вычислениях участвуют толькî
базисные функции
Nj(x)
äëÿkстепеней свобоäû óçëà элементà
j = r
em
s
,
s = 1, 2,..., nem.
Òîãäà ñ учетом принятой нумерации ãлобальных è элементных степеней
свобоäû расширенную элементную матрицу
K
em
G
ìîæíî определить ïî
формуëå:
K
em
Gpq
=
K
em
ij
; i = gem(p), j = gem(q); (p ∈ J
em
G
) ∧(q ∈ J
em
G
),
0; (p /∈ J
em
G
) ∨(q /∈ J
em
G
).
(2.23)
Аналогично ìîæíî задать расширенные матрицы
C
em
G
,
M
em
G
è
расширенный вектор активных внешних воздействий
F
em
Ga
.
Неслоæíûé анализ ïîêазывает, ÷òî
K =
n
el
m=1
K
em
G
, C =
n
el
m=1
C
em
G
, M =
n
el
m=1
M
em
G
, F =
n
el
m=1
F
em
Ga
.
(2.24)
Формуëû (2.24), определяющие процесс ансамблирования, â ÌÊÝ
обычно записываютсÿ â âèäå
K =
n
el
m=1
a
Kem=
n
el
m=1
K
em
G
,
(2.25)
è, аналогично, äëÿC,MèF.
 вычислительной практикå расширенные элементные объекты
K
em
G
,
C
em
G
,
M
em
G
è
F
em
Ga
обычно явным образом íå ñòðîÿòñÿ. Вместо этого â
цикле ïî номерам элементов реализуåòñÿ процесс (2.25) формирования
ãлобальных объектов èç элементных ñ учетом располоæåíèÿ êомпонент
элементных матриц è векторов ïðè èõ суммировании â ãлобальные
объекты ïî (2.22), (2.23). Данный процесс ансамблирования эффективно
реализуåòñÿ â êомпьютерных программах äëÿ любых типов êонечных
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]