Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Моделирование связанных задач математические постановки и конечно-элементные технологии. Учебное пособие
.pdf
1.6. Ìîделирование взаимодействия òâåðäûõ òåë ñ àêóстическими средами
61
Íàêîíåö, íà границе êîíòàêòà
Γasñ òâåðäûì деформируåìûì телом
должны выполнятьсÿ óсловия ñîïðÿæåíèÿ
n ·v = n ·˙u, n ·σa= n ·σs; x ∈ Γas,
(1.206)
ãäåv àêóстическàÿ ñêорость â среде
Ωa;u вектор перемещений â
òåëå
Ωs;
n = ns внешняя ïî отношению ê
Ωsединичная нормаль ê
Γ
as
(
ns= −na;
na внешняя ïî отношению ê
Ωaединичная нормаль ê
Γas);
σs òензор íàïðÿæåíèé â òâåðдотельной структуре;
σa= −p I
тензор
íàïðÿæåíèé â àêóстическîé среде (I единичный тензор).
Äëÿ íåñòационарных çàäà÷ кроме граничных óсловий нужно задать
åùå íàчальные óсловия äëÿ çíàчений полевых функций è èõ первых
произвоäíûõ ïî времени ïðè
t = +0
.
Òàêèì образом, классическàÿ ïîñòановкà çàäà÷è àêóстики возмоæíà
êàê относительно функции избыточного давления
p = p(x, t)
, òàê è
относительно функции потенциала àêóстическîé ñêорости
ψ = ψ(x, t)
. Ýòà
ïîñòановкà включает волновое уравнение (1.199) èëè (1.202), граничные
óсловия (1.203)(1.206) è соответствующие íàчальные óсловия. Ïðè
наличие границы
Γasêîíòàêòà ñ òâåðдотельной структурой ýòà ïîñòановкà
íå полна è должна рассматриватьсÿ вместе ñ соответствующей çàäà÷åéäëÿ
деформируемого òâåðäîãî òåëà.
Åñëè æå рассматриваетсÿ îòдельная çàäà÷à àêóстики, òî ïðè íóлевых
íàчальных данных åå ïîñòановку следуåò дополнить источникàìè
возмущений, êоторые нужно добавить èëè â правые части волновых
уравнений, èëè â граничные óсловия.
Äëÿ àêóстическîé среды ñ диссипацией ìîæíî рассматривать ìîäèôè-
êàöèþ уравнения (1.199)
1
c
2
0
¨p − ∆p −εa∆ ˙p = 0,
(1.207)
ãäå
εa диссипативный êоэффициент. Òîãäà ìîæíî ïîêазать [35], ÷òî äëÿ
граничных óсловий (1.206) ìîæíî принять:
σa≈ −(p + εa˙p) I
.
Òàêàÿ ìîäåëü àêóстическîé среды ñ диссипацией очевидно êоррелируåò
ñ ìîделями òâåðдотельных структур ïðè учете демпфирования ïî Ðåëåþ è
óдобна äëÿ построения общих связанных систем уравнений, описывающих
взаимодействие различных ñðåä ñ учетом эффектов затухàíèÿ.
62
Ãëàâà 1. Íåêоторые ìîäåëè связанных çàäà÷ ìåõаники
1.6.2. Ïîëóдискретные аппроксимации íà основе обобщенных
ïîñòановок è ñîïðÿæåíèå уравнений àêóстики ñ уравне-
ниями òâåðдотельной структуры
Äëÿ перехîäà ê обобщенной ïîñòановкå çàäà÷è àêóстики, сформуëèðî-
ванной относительно функции давления, êàê обычно, óìíîæèì дифферен-
циальное уравнение íà ïîêà произвольную äîñòаточно ãладкую функцию
q = q(x)
, проинтегрируåì ïî области
Ωaè осуществим преобразования,
связанные ñ интегрированием ïî ÷àñòÿì.  ðåçóëüòàòå èç (1.199) получа-
åì:
1
c
2
0
Ω
a
q¨p dΩ +
Ω
a
(∇q)∗· ∇p dΩ =
Γ
a
q na· ∇p dΓ.
(1.208)
Òеперь нужно преобразовать правую часть (1.208), используÿ гранич-
íûå óсловия è формуëèðóÿ ограничения íà функцию
q(x)
.
Íà участкå границы
Γafíàqнужно íàëîæèòü òå æå óсловия (1.203),
÷òî è íà функциюp:
q = 0; x ∈ Γaf.
(1.209)
Íà участкå
Γarïî (1.204) нормальная произвоäíàÿ îò давления равна
íóëþ,è поэтому интегралâ правой части(1.208) ïî участку
Γarобращаетсÿ
â íóëü.
Импедансное граничное óсловие íà
Γ
ai
ïî (1.205) привоäèò â
следующему выражåíèþ:
Γ
ai
q na· ∇p dΓ = −ρ0Z
−1
Γ
ai
q ˙p dΓ.
(1.210)
Íàêîíåö, представление интеграла правой части (1.208) ïî границе
Γasêîíòàêòà ñ òâåðдотельной структурой зависит îò возможности
соответствующих преобразований äëÿ упругих (пьезоэлектрических,
термоупругих è äð.) çàäà÷. Используÿ цепочку равенств
na· ∇p = −ρ0na· ∇˙ψ = −ρ0na·˙v = −ρ0na·¨u, x ∈ Γas,
получаем
Γ
as
q na· ∇p dΓ = −ρ
0
Γ
as
q na·¨u dΓ.
(1.211)
Òîãäà ïðè выполнении ограничения (1.209) ñ учетом (1.210), (1.211)
интегральное òîждество (1.208) записываетсÿ â âèäå:
1
c
2
0
Ω
a
q¨p dΩ+
ρ
0
Z
Γ
ai
q ˙p dΓ+
Ω
a
(∇q)∗·∇p dΩ+ρ
0
Γ
as
q na·¨u dΓ = 0.
(1.212)
1.6. Ìîделирование взаимодействия òâåðäûõ òåë ñ àêóстическими средами
63
Ïîñêольку основной нашей целью являетсÿ построение численных
ìåòîäîâ анализа работы òâåðдотельных структур, взаимодействующих
ñ àêóстическîé средой, òî здесь íå áóäåì полностью формулировать
понятие слабого решения, òåì более ÷òî ýòî ìîæíî ñделать ïî аналогии ñ
предыдущими разделами.
Перейдем сразу ê ïîëóдискретным аппроксимациям, êоторые áóäåì
задавать â âèäå
p ≈ ph= N
∗
p
(x) ·P(t), q = N
∗
p
(x) ·δP = (δP)∗· Np(x),
(1.213)
u ≈ uh= u0h+ un, u0h= N
∗
u
(x) ·U(t),
(1.214)
ãäå
N
∗
p
(x)
вектор строкà функций формы äëÿ ïîëÿ давления;
P(t)
вектор (зависÿùèõ îò времени) êîíñòàíò аппроксимации;
δP
произвольный вектор;
un,
u0h,
N
∗
u
(x),U(t)
òå æå величины, ÷òî è
определенные ранее â ï. 1.3.3.
Ïîäñòавляя (1.213), (1.214) â (1.212) ñ учетом независимостиδP,
получаем
Mpp·¨P + Cpp·˙P + Kpp· P + ρ0Rpu·¨U = −ρ
0
˙
Fp,
(1.215)
ãäå
Mpp=
1
c
2
0
Ω
a
NpN
∗
p
dΩ, Cpp=
ρ
0
Z
Γ
ai
NpN
∗
p
dΓ,
(1.216)
Kpp=
Ω
a
B
∗
p
· BpdΩ, Bp= ∇N
∗
p
,
(1.217)
Rpu=
Γ
as
Np(n∗· N
∗
u
) dΓ, Fp=
Γ
as
Np(n∗·˙un) dΓ.
(1.218)
Äëÿ ñîïðÿæåíèÿ ýòèõ ïîëóдискретизованных уравнений äëÿ àêóстиче-
ñêîé среды, взаимодействующей ñ òâåðдотельной структурой, íàäî åùå
получить соответствующие уравнения äëÿ деформируемого òâåðäîãî òå-
ëà.
Êàê áûëî ïîêазано â разделе 1.3, â правую часть соответствующего
уравнения äëÿ òâåðдотельной структуры âõîäèë интеграл
Γ
s
v∗· (ns·
σs) dΓ
, ãäå
Γs= Γ
граница области
Ωs= Ω
òâåðдотельной структуры,
ns= n
внешняя ïî отношению ê
Ωsединичная нормаль ê
Γs,
σs= σ
тензор íàïðÿæåíèé â òâåðдотельной структуре.
Äëÿ участкà границы
Γasñ учетом óсловий êîíòàêòà (1.206) è равенства
ns= −naïðè
σa= −pI
имеем:
ns· σs= ns· σa= −na· σa= n
∗
a
· (p I) = p na.
64
Ãëàâà 1. Íåêоторые ìîäåëè связанных çàäà÷ ìåõаники
Òàêèì образом, уравнение òèïà (1.52) слабой ïîñòановки çàäà÷è äëÿ
òâåðдотельной структуры íàäî дополнить â правой части интегралом
ïî поверхности êîíòàêòà ñ àêóстическîé средой
Γ
as
v∗· nap dΓ
. Òîãäà
ïðè отсутствии пьезоэффектà (e=0) уравнение (1.52) слабой ïîñòановки
çàäà÷è äëÿ чисто упругой среды запишетсÿ â âèäå:
c(v, u) =˜Lu(v) +
Γ
as
v∗· nap dΓ.
Ïîäñòавляя â последний интеграл аппроксимации (1.213) äëÿ
p ≈ phè
(1.93) äëÿv, получим:
Γ
as
v∗· nap dΓ = δU∗· R
∗
pu
· P.
Èòàê, â правую часть дискретизированных уравнений äâèæåíèÿ
òâåðдотельной структуры íàäî добавить вектор
R
∗
pu
· P
. Â ðåçóëüòàòå,
ограничиваясь äëÿ òâåðдотельной структуры толькî упругим случаем ñ
учетом демпфирования ïî Ðåëåþ, áóäåì иметь:
Muu·¨U + Cuu·˙U + Kuu· U − R
∗
pu
· P = Fu.
(1.219)
Уравнения (1.219), (1.215) нужно решать â совокупности. Ýòè уравне-
íèÿ è являютсÿ дискретизированными ïî пространственным переменным
уравнениями äâèæåíèÿ òâåðдотельной структуры è окружающей åå àêó-
стическîé среды.
 единой форме ýòè уравнения ìîæíî записать â âèäå:
M ·¨a + C ·˙a + K · a = F,
(1.220)
ãäå
M =
M
uu
0
ρ0RpuM
pp
, C =
C
uu
0
0 C
pp
, K =
K
uu
−R
∗
pu
0 K
pp
,
(1.221)
a =
U
P
, F =
F
u
−ρ
0
˙
F
p
.
(1.222)
Êàê видно, матрицы
MèK
íå являютсÿ симметричными, ÷òî
íåñêîëüêî îñëîжняет решение çàäà÷è (1.220).
Заметим, ÷òî äàæå â пренебрежåíèè ìåõанизмами затухàíèÿ â
òâåðдотельной структуре â системе (1.220) îñòàåòñÿ демпфирование, åñëè
Cpp= 0
. Очевидно, ýòî имеет место ïðè наличии импедансных граничных
Çàäà÷è ê ãëàâå 1
65
óсловий, êоторые è äîïóñêàþò отток энергии èç системы ¾òâåðäîå òåëî
àêóстическàÿ среда¿.
Посмотрим, êàê áóäóò âûãлядеть ïîëóдискретизованные уравнения
äëÿ àêóстическîé среды ïðè выборе àêóстическîãî потенциала
ψ(x, t)
â
êàчестве независимой функции.
Примем соответствующую аппроксимацию
ψ ≈ ψh= N
∗
ψ
(x)·Ψ
, è учтем,
÷òî â ñèëó (1.201) ïðè
Nψ(x) = Np(x)
P = −ρ
0
˙
Ψ.
(1.223)
Ïîäñòавляя (1.223) â (1.215) è интегрируÿ ïî времени, получим
Mψψ·¨Ψ + Cψψ·˙Ψ + Kψψ· Ψ − Rψu·˙U = Fψ,
(1.224)
ãäå
Mψψ= Mpp,
Cψψ= Cpp,
Kψψ= Kpp,
Rψu= Rpu,
Fψ= Fp.
Данное уравнение ïðè объединении ñ (1.219) ñ учетом (1.223) äàåò
систему (1.220), â êоторой теперь
M =
M
uu
0
0 −ρ0M
ψψ
, C =
C
uu
ρ0R
∗
ψu
ρ0Rψu−ρ0C
ψψ
, K =
K
uu
0
0 −ρ0K
ψψ
,
(1.225)
a =
U
Ψ
, F =
F
u
−ρ0F
ψ
.
(1.226)
Отметим, ÷òî система (1.220) ñ (1.225), (1.226) äëÿ неизвестных {U,
Ψ
} имеет симметричные матрицы седловой структуры (äëÿ симметрии
матриц уравнения äëÿ àêóстическîé среды (1.224) áûëè специально
óìíîæåíû íà
ρ0). Поэтому система â òàêîì âèäå вычислительно
предпочтительнее, ÷åì система (1.220)(1.222) äëÿ неизвестных {U,P}.
Òåì íå менее, â ðÿäå вычислительных программ [25] принят именно
ïîäõîä (1.220)(1.222), õîòÿ имеютсÿ è реализации взаимодействия
òâåðдотельной структуры ñ àêóстическîé средой íà основе уравнений
(1.220) ñ (1.225), (1.226).
Çàäà÷è ê ãëàâå 1
1.1.
Ïîêажите, ÷òî â цепочкå равенств (1.18) îäíî èç равенств являетсÿ следствием
îñòальных.
1.2.
Найдите ìàêсимальное число независимых ìîäóëåé упругости среди êомпонент
c
E
ijkl
ñ учетом (1.18).
1.3.
Найдите ìàêсимальное число независимых пьезомоäóëåé
e
ikl
ñ учетом (1.19).
1.4.
Ïîêажите, ÷òî èç óсловия ïîëîжительной определенности (1.21) тензора
упругих ìîäóëåé четвертого ðàíãà
cEследуåò, ÷òî êомпоненты
c
E
iiii
ñ îдинаковыми
индекñàìè должны áûòü ïîëîжительными.
66
Ãëàâà 1. Íåêоторые ìîäåëè связанных çàäà÷ ìåõаники
1.5.
Ïîêажите, ÷òî â ñèëó óсловия ïîëîжительной определенности (1.22) тензора
диэлектрических проницаемостей второго ðàíãà
ϵSследуåò, ÷òî диагональные
êомпоненты
ϵ
S
ii
должны áûòü ïîëîжительными. Должны ëè áûòü ïîëîжительными
недиагональные êомпоненты
ϵ
S
ij
(
i = j
)?
1.6.
 ñèëó óсловий симметрии (1.18) упругие ìîäóëè
c
E
ijkl
ìîæíî располоæèòü â
âèäå симметричной матрицы
c
E
αβ
= c
E
ijkl
размера
6 ×6(α, β = 1, 2, ..., 6
) ïðè следующем
соответствии индекñîâ
(ij) ↔ α,(ij) ↔ β
:
(11) ↔ 1; (22) ↔ 2; (33) ↔ 3; (23) = (32) ↔ 4; (13) = (31) ↔ 5; (12) = (21) ↔ 6.
Ïðè òàêîì соответствии êомпоненты тензора деформацийεìîæíî представить â
âèäå вектора
S∗= ⌊ε11, ε22, ε33, 2ε23, 2ε13, 2ε12⌋.
Ïîêажите, ÷òî èç óсловия (1.21) следуåò, ÷òî матрица
c
E
αβ
размера
6 × 6
должна áûòü
ïîëîжительно определена.
1.7.
Ïîêажите, ÷òî â ñèëó óсловия (1.22) матрица
ϵS, ñîñòавленная èç
êомпонент тензора диэлектрических проницаемостей второго ðàíãà
ϵS, должна áûòü
ïîëîжительно определена.
1.8.
Äîêажите, ÷òî äëÿ симметричной ïîëîжительно определенной матрицыKäëÿ
âñåõ
i, j
выполняетсÿ неравенство
|Kij| ≤KiiKjj.
1.9.
Ïîêажите, ÷òî ïðè перехîäå ê векторно-матричным обозначениям, описанным
â çàäà÷å 1.6, ïðè введении вектора íàïðÿæåíèé размера 6
T∗= ⌊σ11, σ22, σ33, σ23, σ13, σ12⌋
è матрицы размера
3×6
пьезомоäóëåé
eiα= e
ikl
,
(kl) ↔ α
, определяющие соотношения
(1.16), (1.17) ìîæíî записать â âèäå:
T = cE· S −e∗· E,
D = e · S + ϵS· E.
1.10.
Ïîêажите, ÷òî äëÿ ïîëóсимметричных тензоров четвертого ðàíãà ðîëü
¾единицы¿ относительно двойной свертки ñ симметричным тензором второго ðàíãà
выполняет тензор∆:
∆
ijkl
=
1
2
(δikδjl+ δilδjk),
äëÿ êоторого
σ = ∆ : σ, ∀σ : σij= σji.
Проверьòå, ÷òî åñëè äâà тензора четвертого ðàíãà
cEè
sEсвязаны соотношением
cE: sE= sE: cE= ∆,
òî èç равенства˜σ = cE:˜ε
,˜ε =˜ε∗следуåò равенство˜ε = sE:˜σ
,˜σ =˜σ∗, è наоборот,
ò.å. тензоры четвертого ðàíãà
cEè
sEмогут áûòü названы взаимообратными.
1.11.
Ïîêажите, ÷òî введенный â çàäà÷å 1.10 единичный тензор∆являетсÿ
ïîëóсимметричным тензором, ò.å. ÷òî äëÿ íåãî выполняютсÿ óсловия симметрии òèïà
(1.18). Являетсÿ ëè тензор∆ïîëîжительно определенным â смысле (1.21)?
Çàäà÷è ê ãëàâå 1
67
1.12.
Получите эквивалентную ê (1.16), (1.17) форму определяющих соотношений
εij= s
E
ijkl
σkl+ d
kijEk
,
Di= d
iklσkl
+ ϵ
T
ik
Ek,
ãäå
s
E
ijkl
êомпоненты тензора упругих ïîäàòливостей, вычисленных ïðè постоянном
электрическîé ïîëå;
d
ikl
êомпоненты тензора пьезомоäóëåé;
ϵ
T
ik
êомпоненты
диэлектрических проницаемостей, вычисленных ïðè постоянном íàïðÿæåíèè.
Êàêîâû свойства симметрии è ïîëîжительной определенности ó тензоров упругих
ïîäàòливостей
sE, пьезомоäóëåédè диэлектрических проницаемостей
ϵT?
1.13.
Ïîêажите, ÷òî ïðè введении векторно-матричных обозначений çàäà÷ 1.6 è
1.9, определяющее соотношение çàäà÷è 1.12 ìîæíî записать â âèäå
S = sE· T + d∗· E,
D = d · T + ϵT· E,
причем êомпоненты матриц
s
E
αβ
è
diβсвязаны ñ êомпонентàìè тензоров
s
E
ijkl
è
d
ikl
ïî
çàêîíàì
s
E
αβ
= 2
[α/4]+[β/4]sE
ijkl
, diβ= 2
[β/4]
d
ikl
,
ãäå
[γ]
целая часть числаγ.
1.14.
Получите эквивалентную ê (1.16), (1.17) форму определяющих соотношений
σij= c
D
ijkl
εkl− h
kijDk
,
Ei= −h
iklεkl
+ β
S
ik
Dk,
ãäå
c
D
ijkl
êомпоненты тензора упругих ìîäóëåé, вычисленных ïðè постоянной
электрическîé индукции;
h
ikl
êомпоненты тензора пьезоэлектрических постоянных
деформаций;
β
S
ik
êомпоненты диэлектрических непроницаемостей, вычисленных ïðè
постоянной деформации.
Êàêîâû свойства симметрии è ïîëîжительной определенности ó тензоров упругих
ìîäóëåé
cD, пьезоэлектрических постоянных деформацийhè диэлектрических
непроницаемостей
βS?
1.15.
Ïîêажите, ÷òî ïðè введении векторно-матричных обозначений çàäà÷ 1.6 è
1.9, определяющее соотношение çàäà÷è 1.14 ìîæíî записать â âèäå
T = cD· S −h∗· D,
E = −h · S + βS· D,
ãäå
c
D
αβ
= c
D
ijkl
è
hiβ= h
ikl
.
1.16.
Получите эквивалентную ê (1.16), (1.17) форму определяющих соотношений
εij= s
D
ijkl
σkl+ g
kijDk
,
Ei= −g
iklσkl
+ β
T
ik
Dk,
ãäå
s
D
ijkl
êомпоненты тензора упругих ïîäàòливостей, вычисленных ïðè постоянной
электрическîé индукции;
g
ikl
êомпоненты тензора пьезоэлектрических постоянных
68
Ãëàâà 1. Íåêоторые ìîäåëè связанных çàäà÷ ìåõаники
íàïðÿæåíèÿ;
β
T
ik
êомпоненты диэлектрических непроницаемостей, вычисленных ïðè
постоянном íàïðÿæåíèè.
Êàêîâû свойства симметрии è ïîëîжительной определенности ó тензоров упругих
ïîäàòливостей
sD, пьезоэлектрических постоянных íàïðÿæåíèÿgè диэлектрических
непроницаемостей
βT.
1.17.
Ïîêажите, ÷òî ïðè введении векторно-матричных обозначений çàäà÷ 1.6 è
1.9, определяющие соотношения çàäà÷è 1.16 ìîæíî записать â âèäå
S = sD· T + g∗· D,
E = −g · T + βT· D,
причем êомпоненты матриц
s
D
αβ
è
giβсвязаны ñ êомпонентàìè тензоров
s
D
ijkl
è
g
ikl
ïî
çàêîíàì
s
D
αβ
= 2
[α/4]+[β/4]sD
ijkl
, giβ= 2
[β/4]
g
ikl
,
ãäå
[γ]
целая часть числаγ.
1.18.
Äîêажите, ÷òî ïðè смещениях деформируемого òâåðäîãî òåëà êàê æåñòêîãî
целого åãî деформации равны íóëþ, ò.å.
ε = 0
ïðè перемещениях âèäà
u = u
rigit
=
uc+ ωc× x,uc= const,ωc= const
.
1.19.
Ïîêажите, ÷òî â векторно-матричных обозначений çàäà÷ 1.6 è 1.9,
соотношение Êîøè (1.10), уравнение äâèæåíèÿ (1.23) è граничное óсловие (1.32) ìîæíî
представить â âèäå
S(u) = L(∇) · u,
L∗(∇) · T + ρf = ρ¨u,
p = L∗(n) · T; p = pΓ; x ∈ Γσ,
ãäå
L∗(∇) =
∂10 0 0 ∂3∂
2
0 ∂20 ∂30 ∂
1
0 0 ∂3∂2∂10
.
1.20.
Äîêажите, ÷òî ïðè обычных äëÿ деформируемого òâåðäîãî òåëà óсловиях íà
плотность
ρ ≥ ρ0> 0
, матрица ìàññ
Muu, введенная â (1.96), ïîëîжительно определена.
1.21.
Äîêажите, ÷òî åñëè ãлавные граничные óсловия íå äîïóñêàþò äâèæåíèÿ òåëà
êàê æåñòêîãî целого, ò.å., åñëè
ε(δu) = 0
äëÿ любых возмоæíûõ перемещений
δu = 0
,
совместимых ñî связями (
δu = 0,x ∈ Γu), òî матрица æåñòêîñòè
Kuu, введенная â
(1.96), ïîëîжительно определена.
1.22.
Äîêажите, ÷òî åñëè õîòÿ áû â îäíîé òî÷êå границы пьезоэлектрическîãî òåëà
задан электрический потенциал, òî матрица диэлектрических проницаемостей
Kφφ,
введенная â (1.96), ïîëîжительно определена.
1.23.
Äîêажите, ÷òî â общем случае матрицы æåñòêîñòè
Kuuè диэлектрических
проницаемостей
Kφφ, введенные â (1.96), неотрицательно определены.
1.24.
Äîêажите, ÷òî матрица
Kuu= Kuu+ Kuφ· K
−1
φφ
· K
∗
uφ
èç (1.102) симметрична
è ïîëîжительно определена, åñëè ãлавные граничные óсловия íå äîïóñêàþò äâèæåíèÿ
òåëà êàê æåñòêîãî целого (ñì. çàäà÷ó 1.21).
1.25.
Äîêажите âûâîä Пьера Êþðè î òîì, ÷òî материалы, обладающие пьезоэф-
фектом, íå могут иметь центра симметрии. Äëÿ этого рассмотрите преобразование
Çàäà÷è ê ãëàâå 1
69
инверсии
x → x′= −x
относительно центра симметрии è примените формуëû ïðå-
образования êомпонент тензора третьего ðàíãà
e
ijk
ïðè перехîäå îò èñõîäíîé системы
êîîðдинат
Ox1x2x3ê другой äåêартовой системе êîîðдинат
Ox
′
1
x
′
2
x
′
3
:
e
′
ijk
= αilαjmαkne
lmn
,
ãäå
αil êосинуñû óãëîâ между îñÿìè
x
′
i
è
xl. Далее используйте, ÷òî äëÿ центрально-
симметричных материалов ïðè преобразованиях относительно центра симметрии
должно выполнятьсÿ равенство
e
′
ijk
=
e
ijk
, è ïîêажите, ÷òî òîãäà âñå пьезомоäóëè
e
ijk
должны обращатьсÿ â íóëü.
1.26.
Ïðè ïîñòановкå íåñòационарной çàäà÷è электроупругости â разделе 1.3.1 áûëè
сформулированы íàчальные óсловия (1.37) толькî äëÿ функцийuè˙u
. Нужны ëè
íàчальные óсловия äëÿ функции электрическîãî потенциалаφ?
1.27.
Ïîêажите, ÷òî â векторно-матричных обозначениях çàäà÷ 1.6 è 1.9 ïðè
дополнительно введенном векторе êоэффициентов температурных íàïðÿæåíèé
G∗= ⌊γ11, γ22, γ33, γ23, γ13, γ12⌋
определяющие соотношения (1.112), (1.113) ìîæíî записать â âèäå:
T = C · S − G θ,
S = G∗· S +
ρc
ε
T
0
θ.
1.28.
Получите эквивалентную ê (1.112), (1.113) форму определяющих соотношений
ε = s : σ + α θ,
S = α : σ +
ρc
σ
T
0
θ,
ãäås ïîëóсимметричный тензор упругих ïîäàòливостей четвертого ðàíãà, обратный
êcâ смысле çàäà÷è 1.10;α симметричный тензор êоэффициентов температурных
расширений второго ðàíãà;
cσ óдельная теплоемкîñòü ïðè постоянном íàïðÿæåíèè.
×òî больше:
cσèëè
cεèç (1.113)?
1.29.
Ïîêажите, ÷òî ïðè введении векторно-матричных обозначений çàäà÷ 1.6, 1.9
è вектора êоэффициентов температурных расширений
A∗= ⌊α11, α22, α33, 2α23, 2α13, 2α12⌋
определяющие соотношения çàäà÷è 1.28 ìîæíî записать â âèäå
S = s · T + A ·θ,
S = A∗· T +
ρc
σ
T
0
θ,
причем êомпоненты матрицы
sαβсвязаны (êàê â çàäà÷å 1.17) ñ êомпонентàìè тензора
s
ijkl
ïî çàêîíó
sαβ= 2
[α/4]+[β/4]
s
ijkl
,
ãäå
[γ]
целая часть числаγ.
70
Ãëàâà 1. Íåêоторые ìîäåëè связанных çàäà÷ ìåõаники
1.30.
Äîêажите, ÷òî ïðè обычных äëÿ термоупругого òåëà óсловиях íà плотность
ρ ≥ ρ0> 0
è íà óдельную теплоемкîñòü
cε≥ cε0> 0
, матрица теплоемкîñòè
Cθθ,
введенная â (1.164), ïîëîжительно определена.
1.31.
Äîêажите, ÷òî â общем случае матрица теплопроводности
Kθθ, введенная â
(1.164), неотрицательно определена.
1.32.
Сформулируйте óсловия, ïðè êоторых матрица теплопроводности
Kθθ,
введенная â (1.164), ïîëîжительно определена (ñ äîêазательством).
1.33.
Äîêажите, ÷òî матрицы
Mppè
Cpp, введенные â (1.216), ïîëîжительно
определены, à матрица
Kppèç (1.217) â общем случае неотрицательно определена.
1.34.
Сформулируйте óсловия, ïðè êоторых àêóстическàÿ матрица
Kpp, введенная
â (1.217), ïîëîжительно определена (ñ äîêазательством).
1.35.
Запишите аналогично уравнениям (1.220)(1.222) матричные ïîëóдискретные
уравнения äëÿ пьезоэлектрическîãî òåëà
Ωs, взаимодействующего ñ àêóстическîé
средой
Ωs. Ïðè ìîделировании процессов â среде
Ωsпримите â êàчестве неизвестных â
аппроксимациях векторы {U,Φ}, à â среде
Ωa вектор {P}, è â ðåçóëüòàòå получите
систему уравнений äëÿ векторов {U,Φ,P}. Ïðè решении çàäà÷è ìîæíî использовать,
÷òî поведение òâåðдотельной пьезоэлектрическîé структуры описываетсÿ уравнениями
(1.97), (1.98).
1.36.
Запишите аналогично уравнениям (1.220), (1.225), (1.226) матричные
ïîëóдискретные уравнения äëÿ пьезоэлектрическîãî òåëà
Ωs, взаимодействующего ñ
àêóстическîé средой
Ωa. Ïðè ìîделировании процессов â среде
Ωsпримите â êàчестве
неизвестных â аппроксимациях векторы {U,Φ}, à â среде
Ωa вектор {Ψ}, è â
ðåçóëüòàòå получите систему уравнений äëÿ векторов {U,Φ,Ψ}. Ïðè решении çàäà÷è
ìîæíî использовать, ÷òî поведение òâåðдотельной пьезоэлектрическîé структуры
описываетсÿ уравнениями (1.97), (1.98).
1.37.
Запишите аналогично уравнениям (1.220)(1.222) матричные ïîëóдискретные
уравнения äëÿ термоупругого òåëà
Ωs, взаимодействующего ñ àêóстическîé средой
Ω
a
(áåç ó÷åòà ïîëÿ температур â àêóстическîé среде). Ïðè ìîделировании процессов â
среде
Ωsпримите â êàчестве неизвестных â аппроксимациях векторы {U,T}, à â среде
Ωa вектор {P}, è â ðåçóëüòàòå получите систему уравнений äëÿ векторов {U,T,P}.
Ïðè решении çàäà÷è ìîæíî использовать, ÷òî поведение òâåðäîãî деформируемого
термоупругого òåëà
Ωsописываетсÿ уравнениями (1.165), (1.166).
1.38.
Запишите аналогично уравнениям (1.220), (1.225), (1.226) матричные
ïîëóдискретные уравнения äëÿ термоупругого òåëà
Ωs, взаимодействующего ñ
àêóстическîé средой
Ωa(áåç ó÷åòà ïîëÿ температур â àêóстическîé среде). Ïðè
ìîделировании процессов â среде
Ωsпримите â êàчественеизвестных â аппроксимациях
векторы {U,T}, à â среде
Ωa вектор {Ψ}, è â ðåçóëüòàòå получите систему уравнений
äëÿ векторов {U,T,Ψ}. Ïðè решении çàäà÷è ìîæíî использовать, ÷òî поведение
òâåðäîãî деформируемого термоупругого òåëà
Ωsописываетсÿ уравнениями (1.165),
(1.166).
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]