Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Моделирование связанных задач математические постановки и конечно-элементные технологии. Учебное пособие
.pdf
1.3. Ìîделирование çàäà÷ электроупругости
31
Òîãäà поверхностный интеграл â (1.45) ìîæåò áûòü представлен â âèäå
Γ
v∗· (n · σ(u, φ)) dΓ =
Γ
σ
v∗· pΓdΓ.
(1.48)
Äëÿ электрических граничных óсловий
Γ = Γφ∪ ΓD;
Γφ= ΓV∪ ΓQ;
ΓV= ∪Γφj,
j ∈ JV= {0, m + 1, ..., M};ΓQ= ∪Γφj,
j ∈ JQ= {1, 2, ..., m}
; è
имеем формуëû (1.33)(1.36).
Íà участкå
ΓDвеличина
n∗· D(u, φ)
известна ïî (1.36) è равна (
−σΓ).
Íà
ΓV, аналогично ìåõаническîìó граничному óсловию íà
Γu, следуåò
потребовать, чтобы проекционная функцияχобращалась â íóëü:
χ = 0; x ∈ Γφj, j ∈ JV.
(1.49)
Íà
ΓQäîñòаточно íàëîæèòü óсловие, чтобы функция
χ(x)
принимала
çíàчения, íå зависÿùèå îòx:
χ = Xj; Xj= constj; x ∈ Γφj, j ∈ JQ.
(1.50)
Òîãäà, íà участкàõ
Γφj,
j ∈ JQ, запитываемых генераторами òîêà,
имеем:
Γ
φj
χ(n∗· D(u, φ)) dΓ = X
j
Γ
φj
n∗· D(u, φ) dΓ = −XjQj, j ∈ JQ.
 ðåçóëüòàòå, ïðè выполнении требований (1.49), (1.50) íà проекцион-
íóþ функциюχповерхностный интеграл â (1.46) преобразуåòñÿ ê âèäó
Γ
χ(n∗· D(u, φ)) dΓ = −
Γ
D
χσΓdΓ −
j∈J
Q
XjQj.
(1.51)
Òàêèì образом, последние интегралы â (1.43), (1.44) ìîæíî представить
êàê функционалы îòvèχ, используÿ (1.45), (1.46), (1.48), (1.51). Ñ учетом
ýòèõ преобразований è (1.14), (1.15), соотношения (1.43), (1.44) запишем â
почти îêончательной форме
c(v, u) − e(v, φ) =˜Lu(v),
(1.52)
e(u, χ) + ϵ(χ, φ) =˜Lφ(χ),
(1.53)
ãäå
c(v, u) =
Ω
(∇v)∗: cE: ∇u dΩ =
Ω
ε(v) : cE: ε(u) dΩ,
(1.54)
e(v, φ) =
Ω
ε(v) : e∗· E(φ) dΩ =
Ω
E∗(φ) ·e : ε(v) dΩ,
(1.55)
32
Ãëàâà 1. Íåêоторые ìîäåëè связанных çàäà÷ ìåõаники
ϵ(χ, φ) =
Ω
∇χ ·ϵS· ∇φ dΩ =
Ω
E∗(χ) ·ϵS· E(φ) dΩ,
(1.56)
˜
Lu(v) =
Ω
v∗· ρf dΩ +
Γ
σ
v∗· pΓdΓ,
(1.57)
˜
Lφ(χ) =
Ω
χσΩdΩ +
Γ
D
χσΓdΓ +
j∈J
Q
XjQj.
(1.58)
Êàê ìîæíî заметить, åñëè
{u, φ}
классическîå решение ñòатическîé
çàäà÷è электроупругости, òî äëÿ любых äîñòаточно ãладких функцийv,
óдовлетворяющих (1.47), è функцийχ, óдовлетворяющих (1.49), (1.50),
выполняютсÿ интегральные соотношения (1.52), (1.53). Ïðè ýòîì, îäíàêî,
функцииu,φдолжны óдовлетворÿòü íåîднороäíûì óсловиям (1.31),
(1.33), (1.34).
Получаетсÿ, ÷òî проекционные функцииv,χдолжны óдовлетворÿòü
îднороäíûì óсловиям (1.47), (1.49), à решение {u,φ} óдовлетворÿåò
аналогичным, íî íåîднороäíûì, граничным óсловиям (1.31), (1.33).
Снять íåîднородность ýòèõ краевых óсловий ìîæíî следующим образом.
Ïîдберем òàêèå функции
un,
φn, êоторые óдовлетворÿþò íåîднороäíûì
óсловиям (1.31), (1.33), à òàêæå íåêоторым óсловиям òèïà (1.34):
un= uΓ; x ∈ Γu,
(1.59)
φn= Φ
nΓj
; Φ
nΓj
= constj= Vj; x ∈ Γφj, j ∈ JV,
(1.60)
φn= Φ
nΓj
; Φ
nΓj
= constj; x ∈ Γφj, j ∈ JQ,
(1.61)
ãäå
Φ
nΓj
â (1.61) вообще говорÿ, неопределенные величины, íå зависÿùèå
îòx.
Ðешение
{u, φ}
áóäåì èñêàòü â âèäå
u = u0+ un, φ = φ0+ φn,
(1.62)
ãäå теперь функции
u0è
φ0óдовлетворÿþò óсловиям, аналогичным
óсловиям äëÿvèχ:
u0= 0; x ∈ Γu,
(1.63)
φ0= 0; x ∈ Γφj, j ∈ JV,
(1.64)
φ0= Φ
0Γj
; Φ
0Γj
= ΦΓj− Φ
nΓj
= constj; x ∈ Γφj, j ∈ JQ.
(1.65)
Используÿ (1.62), предстàâèì (1.52), (1.53) êàê соотношения äëÿ
íàõîждения
u0è
φ0:
c(v, u0) −e(v,φ0) = Lu(v),
(1.66)
1.3. Ìîделирование çàäà÷ электроупругости
33
e(u0, χ) + ϵ(χ, φ0) = Lφ(χ),
(1.67)
ãäå
Lu(v) =˜Lu(v) −c(v, un) + e(v,φn),
(1.68)
Lφ(χ) =˜Lφ(χ) −e(un, χ) − ϵ(χ, φn).
(1.69)
Äëÿ òîãî чтобы äàòü строгие определения понятия обобщенного
решения, îñòалось ввести íåîáõîдимые функциональные пространства.
Íà ìíîæестве вектор-функций
v ∈ C1, óдовлетворяющих (1.47), введем
ñêалярное произведение
(v, u)
H
1
u
=
Ω
(∇v)∗: ∇u dΩ.
(1.70)
Замыкàíèå данного ìíîæества â норме, ïîðîжденной ñêалярным
произведением (1.70), назовем пространством
H
1
u
.
Аналогично, íà ìíîæестве функций
χ ∈ C1, óдовлетворяющих (1.49),
(1.50), введем ñêалярное произведение
(χ, φ)
H
1
φ
=
Ω
(∇χ)∗· ∇φ dΩ.
(1.71)
Замыкàíèå данного ìíîæества â норме, ïîðîжденной ñêалярным
произведением (1.71), назовем пространством
H
1
φ
.
Òеперь íàêîíåö ìîæíî строго сформулировать понятие обобщенного
решения ñòатическîé çàäà÷è электроупругости.
Определение.Обобщенным èëè ñлабым решениеì êðаевой статиче-
ñêîé задачи ýлектроупругости называется ïàðà функций{u,φ};u =
u0+ un;
φ = φ0+ φn;
u0∈ H
1
u
;
φ0∈ H
1
φ
,
удовлетворяющих систеìå
óðавнений
(1.66), (1.67)
äëÿ
∀v ∈ H
1
u
;
∀χ ∈ H
1
φ
.
Ïðè ýòîì
un,
φnсчита-
þòñÿ специально подобранными (известными) функциями, äëÿ которых
âûïîлняются óñловия
(1.59)(1.61).
Отметим разграничение граничных óсловий.
Граничные óсловия (1.63)(1.65) (èëè (1.47), (1.49), (1.50)) вошли â õà-
рактеризацию пространств
H
1
u
,
H
1
φ
, â êоторых ищетсÿ обобщенное ðåøå-
íèå
u0,
χ0. Поэтому
ãðаничные óñловия, которым äîëæíû удовлетво-
ðÿòü функции ñлабой постановки задачи, называются главными ãðàíè÷-
íûìè óñловиями
. Â аналогичном íåîднороäíîì случае, êàê, например, äëÿ
(1.31), (1.33), (1.34), áóäåì òàêæå говорить î ãлавных граничных óсловиях
(êоторые ìîæíî снять ïðè ïîдборе специальных функций
u0è
φ0).
Краевые óсловия (1.32), (1.35), (1.36) участвуют ëèøü â формировании
функционалов˜Lu(u)
,˜Lφ(χ)
â (1.57), (1.58), ò.å естественным образом
34
Ãëàâà 1. Íåêоторые ìîäåëè связанных çàäà÷ ìåõаники
âõîäÿò â ïîñòановку çàäà÷è. Ïî ýòîé причине òàêèå граничные óсловия
áóäåì называть
естественными ãðаничными óñловиями
.
Отметим, ÷òî óсловия (1.34), (1.35), êоторые должны рассматриватьсÿ
â совокупности, здесь отнесены ê различным типам граничных óсловий.
Òàêèì образом, принятàÿ классификàöèÿ äëÿ òàêèõ ñëîæíûõ ôîðì
граничных óсловий являетсÿ äîñòаточно óсловной.
Очевидно, ÷òî, åñëè ïàðà функций {u,φ} являетсÿ классическим ðå-
шением ñòатическîé çàäà÷è электроупругости, òî выполняютсÿ интеграль-
íûå соотношения (1.66), (1.67) äëÿ любых äîñòаточно ãладких функцийv,
χ
, óдовлетворяющих (1.47), (1.49), (1.50).
Òàêèì образом, åñëè существуåò классическîå решение, òî îíî являетсÿ
è обобщенным решением.
Обратное утверждение, вообще говорÿ, ìîæåò íå выполнятьсÿ, ò.å.
обобщенное решение ìîæåò существовать, íî классическîãî решения ìî-
æåò íå áûòü. Äëÿ обобщенного решения â ðåçóëüòàòå интегрирования ïî
÷àñòÿì ñ применением формуëû ÃàóссаОстроградскîãî, ïî сравнению
ñ классическим решением, понижåíû требования íà ãëàäêîñòü. Действи-
тельно, äëÿ существования интегралов â (1.54)(1.56) äîñòаточно, чтобы
функцииuèφимели толькî первые произвоäíûå â обобщенном смысле,
интегрируåìûå ñ квадратом, òîãäà êàê классическîå решение должно áûòü
ïî крайней ìåðå дважды дифференцируåìî.
Важным примером, êîãäà классическîãî решения âî âñåé областиΩíåò,
íî существуåò обобщенное решение, являетсÿ случай êóсочно-однороäíîé
среды. Ïóñòü òåëîΩсостоит èç äâóõ областей
Ω1è
Ω2(
Ω = Ω1∪ Ω2) ñ
различными îднородными свойствами. Òîãäà êàêèå-òî èç ìîäóëåé â
Ω1è
Ω2îòличаютсÿ, например,
c
E(1)
ijkl
= c
E(2)
ijkl
, ãäå âåðõíèé индекñ
(1)
èëè
(2)
óêазывает íà принадлежность ê ïîдобласти
Ω1èëè
Ω2.
Íà границе раздела ñðåä
Γ12ïðè æåñòêîì êîíòàêòå должны
óдовлетворÿòüñÿ óсловия непрерывности:
[u] = 0, [φ] = 0, n · [σ] = 0, n · [D] = 0, x ∈ Γ12.
(1.72)
Здесь через
[a]
обозна÷åí ñêà÷îê величины вектора èëè тензора
a
через поверхность раздела
Γ12:
[a] = a2− a1, ãäå
a2è
a1 предельные
çíàченияaíà
Γ12ïðè ïîäõîäå ê
Γ12, соответственно, ñ ïîëîжительной è
отрицательной сторон нормалиn, внешней ïî отношению ê
Ω1.
Òîãäà, åñëè
n ·σ
íå изменяетсÿ ïðè перехîäå через границу раздела
Γ12,
òî â ñèëó (1.14) è неравенства
c
E(1)
ijkl
= c
E(2)
ijkl
êàêèå-òî èç êомпонент тензора
деформацийεдолжны áûòü разрывны. Следовательно, соответствующие
первые произвоäíûå претерпевают ñêà÷îê, è решениеuíå принадлежит
1.3. Ìîделирование çàäà÷ электроупругости
35
äàæå классу
C1. Òàêèì образом, классическîãî решения äëÿ âñåé êóсочно-
îднороäíîé среды íå существуåò. Между òåì, обобщенное решение здесь
существуåò, òàê êàêuобладает первыми производными â обобщенном
смысле.
Естественно, ÷òî çàäà÷è äëÿ êóсочно-однороäíûõ ñðåä имеют много-
численные практические применения, è èõ решение ïðè правильной ôîð-
ìóлировкå çàäà÷è должно существовать.  случае ïîñòановки â форме
краевой çàäà÷è причина отсутствия обычного решения состоит â òîì, ÷òî
классическîå решение нужно èñêàòü ïî îòдельности â областÿõ
Ω1è
Ω
2
ñ óсловиями ñîïðÿæåíèÿ между íèìè. Òîãäà классическîå решение
u
(j)
áóäåò существовать â êаждой èç областей
Ωj. Обобщенное æå решение ñó-
ществуåò сразу âî âñåé области
Ω = Ω1∪Ω2, è â ýòîì смысле îíî áëèæå ê
практикå.
Другое преимущество обобщенной ïîñòановки состоит â åå энергетиче-
ñêîé форме.
Ïîä функциямиvèχìîæíî понимать вариации действительных полей
перемещенийuè электрическîãî потенциалаφ, соответственно. Òîãäà â
обозначениях, принятых â вариационном исчислении, ïîëîæèì â (1.52),
(1.53) èëè â (1.66), (1.67)
v = δu,χ = δφ
.
Заметим, ÷òî
δu = δu0,
δφ = δφ0, ïîñêольку
δun= 0,δχn= 0
. Â
терминах ìåõаники ýòî îçíà÷àåò, ÷òî вариации должны áûòü совместимы
ñ кинематическими связями.
Òîãäà слабую ïîñòановку, основанную íà (1.66), (1.67) èëè íà (1.52),
(1.53), ìîæíî трактовать êàê вариационный принцип Лагранжà èëè
êàê вариационный принцип виртуальных работ, основанный íà принципе
возмоæíûõ перемещений è электрических потенциалов. Например, èç
(1.52), (1.53) имеем:
c(δu, u) − e(δu, φ) =˜Lu(δu),
(1.73)
e(u, δφ) + ϵ(δφ, φ) =˜Lφ(δφ).
(1.74)
Правая часть соотношения (1.73)
˜
Lu(δu) =
Ω
(δu)∗· ρf dΩ +
Γ
σ
(δu)∗· pΓdΓ
(1.75)
являетсÿ работой массовых (объемных) è поверхностных ñèë íà виртуàëü-
íûõ перемещениях, ò.å. виртуальной работой внешних ñèë.
Правая часть соотношения (1.74)
˜
Lφ(δφ) =
Ω
δφσΩdΩ +
Γ
D
δφσΓdΓ +
j∈J
Q
δΦΓjQ
j
(1.76)
36
Ãëàâà 1. Íåêоторые ìîäåëè связанных çàäà÷ ìåõаники
являетсÿ электрическîé работой çàðÿäîâ íà виртуальных электрических
потенциалах.
Левая часть соотношения (1.73)
c(δu, u) − e(δu, φ) =
Ω
ε(δu) : σ(u, φ) dΩ
(1.77)
являетсÿ приращением работы деформаций, вызванных виртуальным
перемещениемδu, à левая часть соотношения (1.74)
e(u, δφ) + ϵ(δφ, φ) =
Ω
E(δφ) · D(u, φ) dΩ
(1.78)
åñòü приращение работы электрическîãî ïîëÿ, вызванного виртуальным
электрическим потенциаломδφ.
Òàêèì образом, ïî (1.75)(1.78) соотношения (1.73), (1.74) определяют
равенства виртуальных ìåõанических è электрических работ внешних ñèë
приращениям работ виртуальных деформаций è электрическîãî ïîëÿ.
Åñëè èç соотношения (1.73) вычесть (1.74), òî ìîæíî получить вариа-
ционный принцип ñòационарности виртуальной электрическîé ýíòальпии
δH(u
, φ
) =δ[
˜
Lu(u) −˜Lφ(φ)],
(1.79)
ãäå
H(u,φ) =
1
2
c(u, u) − e(u, φ) −
1
2
ϵ(φ, φ) =
1
2
Ω
(ε : σ − E∗· D) dΩ
(1.80)
åñòü электрическàÿ ýíòальпия.
Отметим, ÷òî электрическàÿ ýíòальпия íå совпадает ñ внутренней
энергией
U(u, φ) =
1
2
c(u, u) +
1
2
ϵ(φ, φ) =
1
2
Ω
(ε : σ + E∗· D) dΩ
(1.81)
è электрическàÿ ýíòальпия íå являетсÿ ïîëîжительно определенной
формой ïîuèφ.
 связи ñ ýòèì, èç вариационного принципа (1.79) следуåò толькî
ñòационарность функционала
Πe(u, φ) = H(u, φ) −˜Lu(u) +˜Lφ(φ)
(1.82)
íà истинных полях перемещений è электрическîãî потенциала.
Свойств минимальности здесь íåò, îäíàêî основные формы
c(u, u)
è
ϵ(φ, φ)
симметричны è ïîëîжительно определены.
1.3. Ìîделирование çàäà÷ электроупругости
37
Важно òàêæå отметить, ÷òî нормы
∥v∥
2
W
1
2
=
Ω
[v∗· v + (∇v)∗: ∇v] dΩ, ∥v∥
2
H
1
u
=
Ω
(∇v)∗: ∇v dΩ,
∥v∥
2
c
=
Ω
ε(v) : cE: ε(v) dΩ
эквиваленты â
H
1
u
. Здесь äëÿ äîêазательства эквивалентности íîðì
используåòñÿ îäèí èç основных ðåçóëüòàòîâ математическîé теории
упругости неравенство Корна [24]. Äëÿ эквивалентности íîðì òàêæå
существенно, чтобы â выбранном пространстве исключались äâèæåíèÿ
òåëà êàê òâåðäîãî целого, ÷òî è áûëî принято äëÿ
H
1
u
.
Аналогично, â
H
1
φ
эквивалентны нормы
∥χ∥
2
W
1
2
=
Ω
[χ2+ (∇χ)∗· ∇χ] dΩ, ∥χ∥
2
H
1
φ
=
Ω
(∇χ)∗· ∇χ dΩ,
∥χ∥
2
ϵ
=
Ω
E∗(χ) ·ϵS· E(χ) dΩ.
Свойство ïîëîжительной определенности ôîðì
c(u, u)èϵ(φ, φ)
важны
êàê â теоретическîì плане, òàê è ïðè обосновании применяемых
численных ìåòîäîâ.
Òàêèì образом, слабые ïîñòановки являютсÿ êàê óдобным инструмен-
òîì äëÿ äîêазательств математических утверждений, òàê è базой äëÿ ïî-
строения эффективных численных ìåòîäîâ, основанных íà аппрокñèìà-
öèÿõ энергетических соотношений.
Обобщенные формулировки ìîæíî построить è äëÿ íåñòационарных
çàäà÷ ñ учетом демпфирования ïî Ðåëåþ. Здесь аналогичные преобразо-
вания привоäÿò ê системе
ρ(v,¨u0) + d(v,˙u0) + c(v,u0) −e(v,φ0) = Lu(v),
(1.83)
e(u0, χ) + ϵ(χ, φ0) = Lφ(χ),
(1.84)
ãäå
ρ(v, u) =
Ω
ρv∗· u dΩ, d(v, u) = αdρ(v, u) + βdc(v, u),
(1.85)
Lu(v) =˜Lu(v) −ρ(v,¨un) −d(v,˙un) −c(v,un) + e(v,φn),
(1.86)
Lφ(χ) =˜Lφ(χ) −e(un, χ) − ϵ(χ, φn).
(1.87)
38
Ãëàâà 1. Íåêоторые ìîäåëè связанных çàäà÷ ìåõаники
Ê ýòîé системе íàäî åùå присовокупить íàчальные óсловия (1.37),
êоторые ìîæíî представить â слабой форме
(v, u0(x, +0)) = (v, usn), (v,˙u0(x, +0)) = (v, vsn),
(1.88)
ãäå
(v, u) =
Ω
v∗· u dΩ
обычное ñêалярное произведение â
L2;
usn=
us− un(x, +0);vsn= vs−˙un(x, +0)
.
Здесь соотношения (1.83)(1.87) должны выполнятьсÿïðè
t ∈ (0, T)
äëÿ
любых
v ∈ H
1
u
,
χ ∈ H
1
φ
. Ïðè ýòîì äëÿ решения {
u = u0+ un,
φ = φ0+ φn}
перемещения
u0должны принадлежàòü пространству
Qu, à электрический
потенциал
φ0 пространству
Qφ:
Qu= L2(0, T ; H
1
u
), Qφ= L2(0, T ; H
1
φ
),
(1.89)
ãäå äëÿ банахîâà пространства
X
ñ нормой
||.||Xчерез
L2(0, T ; X)
обозна÷åíî пространство (классов) функций
t → f (t)èç[0, T ]âX
è òàêèõ,
÷òî
(
T
0
||f(t)||
2
X
dt)
1/2
= ||f ||
L2(0,T ;X)
< ∞.
Ïîñòановкà çàäà÷è â форме (1.83), (1.84) òàêæå имеет энергетический
смысл принципа виртуальных работ, аналогичный случаю ñòатики,
рассмотренному ранее. Êàê è â теории упругости, форма
ρ(v,¨u)
являетсÿ
виртуальной силой инерции, взятой ñ обратным çíàêîì.
Обобщенная èëè слабая ïîñòановкà динамических çàäà÷ электроупру-
гости â форме (1.83)(1.88) служит основой äëÿ построения ïîëóäèñ-
кретных аппроксимаций ìåòîäà Ãалеркина (БубноваГалеркина), êîòî-
ðûå рассматриваютсÿ â следующем разделе.
1.3.3. Ïîëóдискретные аппроксимации â çàäà÷àõ электроупру-
гости
Ãлавный вопрос, êоторый îñòàëñÿ открытым â ï.1.3.2, состоит â òîì,
êàê íàõîäèòü слабые решения çàäà÷è электроупругости.  основе общего
ïîäõîäà, называемого ìåòîäîì БубноваГалеркина, лежит èäåÿ î поискå
решений äëÿ слабых ïîñòановок â êонечномерных пространствах.
Ïðè рассмотрении íåñòационарных çàäà÷ электроупругости ñî слабыми
ïîñòановкàìè (1.83), (1.84), соответствующими принципу виртуальных
работ, ищутсÿ ïîëóдискретные аппроксимации
uh0≈ u0,
φh0≈ φ0â форме
uh0= N
∗
u
(x) ·U(t), φh0= N
∗
φ
(x) ·Φ(t),
(1.90)
1.3. Ìîделирование çàäà÷ электроупругости
39
ãäå
U(t),Φ(t)
векторы êîíñòàíò (зависÿùèõ îò времени) аппрокñèìà-
öèé,
N
∗
u
(x)
матрица базисных функций äëÿ
uh0,
N
∗
φ
(x)
вектор-строкà
базисных функций äëÿ
φh0.
Данные приближåíèÿ называютсÿ ïîëóдискретными ïî òîé причине,
÷òî дискретизации здесь осуществляютсÿ толькî ïî пространственным
переменным, à ïî времени â (1.90) аппроксимаций íåò.
Åñëè базисные функции
Ns(x)
îдинакîâû äëÿ âñåõ òðåõ (â случае
çàäà÷è â
R3) êомпонент перемещений
u
h0j
,
j = 1, 2, 3
, è электрическîãî
потенциала
φh0, òî матрица
N
∗
u
(x)
è вектор-строкà
N
∗
φ
(x)
имеют âèä
N
∗
u
(x) =
N1(x) 0 0 ... Nn(x) 0 0
0 N1(x) 0 ... 0 Nn(x) 0
0 0 N1(x) ... 0 0 Nn(x)
,
(1.91)
N
∗
φ
(x) = ⌊N1(x), N2(x), ..., Nn(x)⌋,
(1.92)
ãäån êоличество базисных функций äëÿ аппроксимаций îäíîé èç
êомпонент перемещений èëè электрическîãî потенциала.
Базисные функции должны áûòü линейно независимы è обладать
свойством полноты â
H
1
u
,
H
1
φ
. Естественно, ÷òî îíè ñ÷èòàþòñÿ известными,
à векторы
U(t),Φ(t)
â (1.90) ïîäëåæàò определению èç решения çàäà÷è
электроупругости â слабой форме.
Пробные функции
v(x)èχ(x)
áóäåì брать èç òåõ æå êонечномерных
пространств
v = N
∗
u
(x) ·δU, χ = N
∗
φ
(x) ·δΦ,
(1.93)
ãäåδU,
δΦ
произвольные векторы, например, ñîäåðæàùèå единицу â
îäíîé позиции è íóëü âî âñåõ îñòальных.
Ïîäñòановкà (1.90), (1.93) â слабую ïîñòановку (1.83), (1.84) ñ учетом
(1.54)(1.58), (1.85)(1.87) äàåò следующую систему:
δU∗· (Muu·¨U + Cuu·˙U + Kuu· U + Kuφ· Φ) = δU∗· Fu,
(1.94)
δΦ∗· (−K
∗
uφ
· U + Kφφ· Φ) = δΦ∗· Fφ.
(1.95)
Здесь
Muu=
Ω
ρNu· N
∗
u
dΩ, Cuu= αdMuu+ βdKuu,
Kuu=
Ω
B
∗
u
: cE: BudΩ, Bu= ∇N
∗
u
,
Kuφ=
Ω
B
∗
u
: e∗· BφdΩ, Bφ= ∇N
∗
φ
,
(1.96)
40
Ãëàâà 1. Íåêоторые ìîäåëè связанных çàäà÷ ìåõаники
Kφφ=
Ω
B
∗
φ
· ϵS· BφdΩ,
Fu=˜Fu−
Ω
ρNu·¨undΩ −α
d
Ω
ρNu·˙undΩ −
−
Ω
B
∗
u
: cE: (∇un+ βd∇˙un) dΩ −
Ω
B
∗
u
: e∗· ∇φndΩ,
˜
Fu=
Ω
Nu· ρf dΩ +
Γ
σ
Nu· pΓdΓ,
Fφ=˜Fφ+
Ω
B
∗
φ
· e : ∇undΩ −
Ω
B
∗
φ
· ϵS· ∇φndΩ,
˜
Fφ=
Ω
NφσΩdΩ +
Γ
D
NφσΓdΓ +
j∈J
Q
Nφ|
Γ
φj
Qj.
Заметим, ÷òî êаждая èç матриц â (1.96) отражàåò определенные
материальные õарактеристики òåëà:
Muu массу èëè плотность,
Cuu демпфирование,
Kuu æåñòêîñòü,
Kuφ пьезоэффект,
Kφφ
диэлектрическую проницаемость.
Далее, â ñèëó произвольности векторов
δU,δΦ
, èç (1.94), (1.95)
получаем îêончательную систему
Muu·¨U + Cuu·˙U + Kuu· U + Kuφ· Φ = Fu,
(1.97)
−K
∗
uφ
· U + Kφφ· Φ = Fφ.
(1.98)
Äëÿ íåñòационарных çàäà÷ система (1.97), (1.98) являетсÿ системой
обыкновенных дифференциальных уравнений второго ïîðÿäêà ïî време-
íè. Ê íåé нужно добавить íàчальные óсловия, êоторые ìîæíî получить
èç (1.37) èëè èç (1.88) è представлений (1.90), (1.93). Â итоге íàчальные
óсловия â дискретной форме áóäóò иметь âèä:
U(0) = Usn,˙U(0) = Vsn,
(1.99)
ãäå
Usn,
Vsn известные векторы, полученные èç íàчальных данных
usn(x),vsn(x)
ïðè èõ аппроксимациях â êонечномерных пространствах.
Ïðè численном решении çàäà÷è Êîøè (1.97)(1.99) ìîæíî учесть îñî-
бенности системы (1.97), (1.98), состоÿùèå â возможности редуцирования
вектораΦ. Действительно, íàõîäÿΦèç (1.98) è ïîäñòавляя â (1.97), имеем:
Φ = K
−1
φφ
· K
∗
uφ
· U + K
−1
φφ
· Fφ,
(1.100)
Muu·¨U + Cuu·˙U + Kuu· U = Fu,
(1.101)
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]