Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Моделирование связанных задач математические постановки и конечно-элементные технологии. Учебное пособие
.pdf
2.2. ÌÊÝ êàê вариант ìåòîäà БубноваГалеркина. Основные èäåè
81
элементов, â òîì числе è äëÿ элементов ñ различным числом степеней
свобоäû ñ узлах.
 ÌÊÝ â ðàìêàõ общей стратегии формирования êонечно-элементных
сеток óдобно задавать êàê приближенные неизвестные функции
ah0, òàê è
аппроксимации специально ïîдбираемой функции
a
hn
, óдовлетворяющей
íåîднороäíûì ãлавным граничным óсловиям. Действительно, запишем àï-
ïðîêсимацию äëÿ (2.4) è вторую формуëó èç (2.9), пометив дополнительно
Na(x)èA
нижним индекñîì ¾0¿:
ah= ah0+ ahn, ah0= N
∗
a0
(x) ·A0(t).
(2.26)
Очевидно, ÷òî полная êонечно-элементная ñåòêà â
Ωhñîäåðæèò êàê
óçëû äëÿ
ah0, òàê è óçëû äëÿ
ahn, è ñ использованием îднотипных
базисных функций äëÿ âñåõ узлов ìîæíî принять êонечно-элементную
аппроксимацию äëÿ
ahn:
ahn= N
∗
an
(x) ·An(t).
(2.27)
Òîãäà
ah= N
∗
a0
(x) ·A0(t) + N
∗
an
(x) ·An(t) =˜N
∗
a
(x) ·˜A(t),
(2.28)
˜
N
∗
a
(x) = {N
∗
a0
(x), N
∗
an
(x)},˜A(t) = {A0(t), An(t)}.
(2.29)
Здесь êомпоненты вектора
Anизвестны èç íåîднороäíûõ ãлавных
граничных óсловий äëÿ
ahnèëè
ah, ò.å. ìîæíî записать
An(t) = AΓ(t),
(2.30)
ãäå
AΓ(t)
известный вектор çíàчений êомпонент полевых функций
aiâ
соответствующих узлах участкîâ ñ ãлавными граничными óсловиями.
Проанализировав трансформацию слабых ïîñòановок (2.2), (2.3) â
(2.5), (2.6), ìîæíî заметить следующее. Åñëè формулировать êонечно-
элементные уравнения äâèæåíèÿ äëÿ всего ансамбля узлов è êонечных
элементов â
Ωháåç ó÷åòà ãлавных граничных óсловий, òî áóäåì иметь:
˜
M ·
¨
˜
A +˜C ·
˙
˜
A +˜K ·˜A =˜F,
(2.31)
˜
M =
M00M
0n
M
∗
0n
M
nn
,˜C =
C00C
0n
C
∗
0n
C
nn
,˜K =
K00K
0n
K
∗
0n
K
nn
,
(2.32)
˜
A =
A
0
A
n
,˜F =
F
0
F
n
.
(2.33)
82
Ãëàâà 2. ÌÊÝ äëÿ решения связанных çàäà÷
 (2.31)(2.33) вектор
A0являетсÿ неизвестным, à вектор
An известен
ïî (2.30). Íî èç (2.31)(2.33) è (2.30) ëåãêî получить уравнение толькî äëÿ
неизвестного вектора
A0:
M00·¨A0+ C00·˙A0+ K00·A0= F0−M0n·¨AΓ−C0n·˙AΓ−K0n·AΓ.
(2.34)
Уравнение (2.34) ñ учетом перемены обозначений совпадает ñ использу-
åìûì ранее уравнением (2.11) ïðè аппроксимации (2.27) äëÿ
ahn. Íåêîòî-
ðîå íåóдобство перехîäà îò (2.31) ê (2.34) состоит â изменении ïîðÿäêà è
структуры êонечно-элементных матриц è векторов (ïðè перехîäå îò
˜
M
ê
M00è ò.ï.)
Îäèí èç вариантов
метода учета главных ãðаничных óñловий
,
ñîхраняющий ïîðÿäêè ãлобальных êонечно-элементных объектов состоит
толькî â èõ трансформации, приводящей ê следующим разрешающим
уравнениям:
˜
Mt·
¨
˜
A +˜Ct·
˙
˜
A +˜Kt·˜A =˜Ft,
(2.35)
˜
Mt=
M000
0 0
,˜Ct=
C000
0 0
,˜Kt=
K
00
0
0 K
d
nn
,
(2.36)
˜
A =
A
0
A
n
,˜Ft=
F0− M0n·¨AΓ− C0n·˙AΓ− K0n· A
Γ
K
d
nn
· A
Γ
,
(2.37)
ãäå
K
d
nn
диагональный áëîê, ñîñòавленный èç соответствующих
диагональных êомпонент матрицы
Knn.
Очевидно, ÷òî формуëû (2.35)(2.37) эквиваленты (2.34), (2.30).
Второй способ (2.35)(2.37) ó÷åòà ãлавных граничных óсловий более
прост äëÿ êомпьютерной реализации, íåæåëè первый ((2.34), (2.30)),
ïîñêольку äëÿ íåãî íå нужно менять размеры ãлобальных êонечно-
элементных объектов.
Èòàê, ìîæíî предлоæèòü различные способы ó÷åòà ãлавных гранич-
íûõ óсловий, ïðè êоторых âíà÷àëå строитсÿ êонечно-элементная ñåòêà áåç
ó÷åòà ýòèõ граничных óсловий, формируютсÿ общие матрицы ÌÊÝ è îñ-
новные части вектора правых частей, после ÷åãî процедура ó÷åòà ãлавных
граничных óсловий ñâîäèòñÿ ëèøü ê преобразованию построенных матриц
è векторов. Òàêèå ìåòîäû позволяют автоматизировать процессы ó÷åòà
ãлавных граничных óсловий â ðàìêàõ общих êонцепций ÌÊÝ.
Завершая описание вычислительных свойств ÌÊÝ отметим, ÷òî
использование простых базисных функций позволяет äîñòаточно быстро è
ñ высокîé степенью точности вычислять элементные матрицы
Kem,
Cem,
Memè векторы
F
em
a
, выполняя процедуры численного интегрирования ïî
2.3. Базовые êонечно-элементные аппроксимации
83
элементàì
Ωemè èõ границам ñ использованием квадратурных формуë
невысокîãî ïîðÿäêà.
Кроме òîãî, получающиесÿ â ðåçóëüòàòå ãлобальные матрицы ÌÊÝ
áóäóò, êàê правило, õорошо îáóсловлены, è числа îáóсловленности
íå слишкîì возрастàþò ïðè увеличении èõ ïîðÿäêà. Ìîæíî åùå
заметить, ÷òî ýòè матрицы являютсÿ разреженными è âî многих çàäà÷àõ
симметричными è ïîëîжительно определенными. Поэтому äëÿ решения
êонечно-элементных çàäà÷ ìîæíî эффективно реализовать мощные
современные средства решения систем линейных (è нелинейных) систем
алгебраических уравнений, интегрирования ïî времени çàäà÷ Êîøè è
решения çàäà÷ íà собственные çíàчения ñ большими разреженными
матрицами.
 следующем разделе привоäèòñÿ ñâîäêà базисных функций äëÿ основ-
íûõ êонечных элементов, используåìûõ â современных вычислительных
ïàêåòàõ.
2.3. Базовые êонечно-элементные аппроксимации
 данном разделе описываютсÿ основные изопараметрические êонечные
элементы äëÿ îдномерных, двумерных è трехмерных çàäà÷.
Ïóñòü
Ωem= Ω
em
x
область â
Rl, занимаемая êонечным элементом ñ
номеромm. Здесь
l = 1
äëÿ îдномерных êонечных элементов,
l = 2
äëÿ
двумерных элементов è
l = 3
äëÿ трехмерных;
x = {x}
ïðè
l = 1
,
x = {x, y}
ïðè
l = 2,x = {x, y, z}
ïðè
l = 3
.
Обозна÷èì через
x
em
r
s
= x
r
s
набор узлов элементà ñ ãлобальной
нумерацией
r
1
,
r2, ...,
rn. Òàêèì образом, общее число узлов ó элементà
Ω
em
x
равно
n = nem.
Áóäåì ñ÷èòàòü, ÷òî существуåò параметрическîå отображåíèå
x = x(ξ)
,
ξ ∈ Rl(
ξ = {ξ}
ïðè
l = 1,ξ = {ξ, η}
ïðè
l = 2,ξ = {ξ, η, ζ}
ïðè
l = 3
), переводящее íåêоторую êаноническую область
Ωξâ область
Ωx.
Äëÿ êаноническîé фигуры имеетсÿ набор узлов
ξsñ ëîêальной нумерацией
s = 1, 2,..., n
.
Ðассмотрим íåêоторую приближенную вектор-функцию
ah(x, t) ∈ Rk,
ah= {ah1, ah2, ..., ahk},ahi= ahi(x, t),i = 1, 2, ...,k
. Áóäåì ñ÷èòàòü, ÷òî
íà элементе
Ω
em
x
êаждую ñêалярную êомпоненту
ahi(x, t)
ýòîé функции
ìîæíî представить â âèäå
ahi(x, t) = ahi(x(ξ), t) = ahi(ξ, t) =
n
s=1
Ns(ξ)Ais(t),
(2.38)
84
Ãëàâà 2. ÌÊÝ äëÿ решения связанных çàäà÷
ãäå
Ns= Ns(ξ)áазисные функции
èëè
функции ôîðìû
êонечного
элементà;
s = 1, 2,..., n
.
Íèæå äëÿ íàãлядности рассматриваетсÿ толькî êàêàÿ-òî îäíà прибли-
æаемая функция
ahïðè ôèêсированномt, â ñèëó ÷åãî зависимость îò
времени áóäåì îïóñêàòü. Òàêèì образом, вместо (2.38) áóäåì использовать
упрощенное выражåíèå
ah(x) =
n
s=1
Ns(ξ)As.
(2.39)
Предполагàåòñÿ, ÷òî параметрическîå отображåíèå êаноническîé ôè-
ãóðû
Ω
em
ξ
íà область
Ω
em
x
ìîæíî представить â форме
x = x(ξ) = N
em∗
x
(ξ) · Xem,
(2.40)
ãäå äëÿ îдномерных элементов (
l = 1
)
N
em∗
x
(ξ) = ⌊N1(ξ), N2(ξ), ...,Nn(ξ)⌋,
(2.41)
Xem= {x
r
1
, x
r
2
, ..., x
r
n
},
(2.42)
äëÿ двумерных элементов (
l = 2
)
N
em∗
x
(ξ) =
N10 N20 ... Nn0
0 N10 N2... 0 N
n
,
(2.43)
Xem= {x
r
1
, y
r
1
, x
r
2
, y
r
2
, ..., x
r
n
, y
r
n
},
(2.44)
äëÿ трехмерных элементов (
l = 3
)
N
em∗
x
(ξ) =
N10 0 N20 0 ... Nn0 0
0 N10 0 N20 ... 0 Nn0
0 0 N10 0 N2... 0 0 N
n
,
(2.45)
Xem= {x
r
1
, y
r
1
, z
r
1
, x
r
2
, y
r
2
, z
r
2
, ..., x
r
n
, y
r
n
z
r
n
}.
(2.46)
Конечные элементы âèäà (2.39)(2.46) называютсÿ
изопараметрически-
ìè
, ïîñêольку â èõ õарактеризации используåòñÿ параметрическîå отобра-
æåíèå
x = x(ξ)
è наборы базисных функций ñ общим числомnîдинакîâû
â аппроксимации (2.39) полевой функции
ahè â параметрических отобра-
æениях (2.40)(2.46).
Естественно, ÷òî важно поведение ïîëÿ
ahíå îòξ, à îòx. Поэтому
обычно требуåòñÿ взаимная îднозначность параметрическîãî отображåíèÿ
x = x(ξ)
è существование обратной функции
ξ = ξ(x)
. Òîãäà èç
(2.39)(2.46) áóäåì иметь зависимость
ah(x) = ah(ξ(x))
. Здесь следуåò
2.3. Базовые êонечно-элементные аппроксимации
85
Ðèñ. 2.4.
1D элемент ñ двумя узлами: èñõîäíûé отрезок (слева); êанонический отрезок
è базисные функции (справа)
отметить, ÷òî äàæå äëÿ простых базисных функций
Ns(ξ)
обратное ê
(2.40) отображåíèå ìîæåò иметь äîñòаточно громоздкий âèä. Однакî,
несмотрÿ íà, возмоæíî, ñëîæíîå поведение ïîëÿ
ah(x)íàΩ
em
x
, ýòàфункция
обычно обладает õорошими аппроксимационными свойствами.
Базисные функции îсновных êонечных элементов â совокупности
ñîäåðæàò полные полиномы первой èëè второй степени îò êаждой
пространственной переменной.
Линейный êонечный элемент â âèäå отрезкà ñ двумя узлами
 ýòîì îдномерном элементе, ïîêазанном íà ðèñ. 2.4,
n = nem= 2
;
Ω
em
x
= [x
r
1
, x
r
2
];x
r
1
< x
r
2
;
Ω
em
ξ
= [−1, 1];ξ1= −1;ξ2= 1
.
Базисные функции определяютсÿ формуëàìè
N1(ξ) =
1
2
(1 −ξ), N2(ξ) =
1
2
(1 + ξ),
(2.47)
èëè â единой записи
Ns(ξ) =
1
2
(1 + ξsξ), s = 1, 2.
(2.48)
Элемент обеспечивает линейное представление функции
ahêàê â
зависимости îòξ, òàê è îòx. (Последнее справедливо â ñèëó линейности
обратного отображåíèÿ
ξ = ξ(x)
ïðè линейной зависимости
x = x(ξ)
.)
Квадратичный êонечный элемент â âèäå отрезкà ñ тремя узлами
Äëÿ данного îдномерного элементà (ðèñ. 2.5)
n = nem= 3;Ω
em
x
=
[x
r
1
, x
r
3
] = [
x
r
1
, x
r
2
]∪[x
r
2
, x
r
3
];x
r
1
< x
r
2
< x
r
3
;
Ω
em
ξ
= [−1, 1] = [−1, 0]∪[0, 1]
;
ξ1= −1;ξ2= 0;ξ3= 1
.
Базисные функции здесь квадратичные
N1(ξ) =
1
2
ξ(1 − ξ), N2(ξ) = 1 − ξ2, N3(ξ) =
1
2
ξ(1 + ξ),
(2.49)
86
Ãëàâà 2. ÌÊÝ äëÿ решения связанных çàäà÷
Ðèñ. 2.5.
1D элемент ñ тремя узлами: èñõîäíûé отрезок (слева); êанонический отрезок
è базисные фукнции (справа)
èëè â единой записи
Ns(ξ) =
1
2
(3ξ
2
s
− 2)[ξ
2
s
(1 + ξsξ) − (1 −ξ2)], s = 1, 2, 3.
(2.50)
Äëÿ обеспечения взаимной îднозначности отображåíèÿ
x = x(ξ)
внутренний óçåë
x
r
2
äîëæåí отстоÿòü îò крайних узлов
x
r
1
è
x
r
3
íà
расстоÿíèè, большем ÷åì
hm/4
, ãäå
hm= x
r
3
− x
r
1
длина отрезкà.
 общей ñèòóàöèè поведение
ahîòxдаетсÿ ñëîæíûì трансцендентным
выражением. Однакî, åñëè внутренний óçåë íàõîäèòñÿ â середине отрезкà,
ò.å.
x
r
2
= (x
r
1
+x
r
3
)/2
, òî квадратичное параметрическîå отображåíèå
x =
x(ξ)
âûðîждаетсÿ â линейное. Â ýòîì случае элемент äàåò квадратичное
представление функции
ahêàê ïîξ, òàê è ïîx. Поэтому почти âñåãäà óçåë
x
r
2
выбираетсÿ íà середине отрезкà.
Треугольный êонечный элемент ñ тремя узлами
Фигура
Ω
em
x
íà плоскîñòè
Oxy
имеет форму треугольникà ñ узлами
x
r
s
= {x
r
s
, y
r
s
},s = 1, 2,3
, располоæенными â ïîðÿäêå îáõîäà против
часовой стрелки (ðèñ. 2.6). Каноническàÿ фигура
Ω
em
ξ
íà плоскîñòè
Oξη
(
ξ = {ξ, η}
) являетсÿ ïðямоугольным треугольникîì ñ êàòåòàìè, равными
1. Здесь
n = 3;ξ1= {0, 0};ξ2= {1, 0};ξ3= {0, 1}
.
Äëÿ построения функций формы используютсÿ треугольные êîîðäèíà-
òû èëè êîîðдинаты площади
L
r
1
(P ) =
S
∆(P r2r3)
S
∆(r1r2r3)
, L
r
2
(P ) =
S
∆(P r3r1)
S
∆(r1r2r3)
, L
r
3
(P ) =
S
∆(P r1r2)
S
∆(r1r2r3)
,
(2.51)
ãäå
P = P (x) = P (x, y)
òî÷êà âнутри треугольникà,
S
∆(P rirj)
площадь
треугольникà ñ вершинами
P (x),x
r
i
,
x
r
j
.
2.3. Базовые êонечно-элементные аппроксимации
87
Ðèñ. 2.6.
Треугольный элемент ñ тремя узлами:
èñõîäíûé треугольник (слева) è êанонический треугольник (справа)
Ïðè ïîðÿäêå îáõîäà вершин против часовой стрелки äëÿ вычисления
площади ìîæíî использовать формуëó
S
∆(P rirj)
=
1
2
1 1 1
x xix
j
y yiy
j
.
(2.52)
Äëÿ êаноническîé фигуры
Ω
em
ξ
треугольные êîîðдинаты
L(ξ) = L(ξ, η)
имеют очень простой âèä:
L1(ξ, η) = 1 − ξ − η, L2(ξ, η) = ξ, L3(ξ, η) = η.
(2.53)
Ýòè функции è могут использоватьсÿ êàê базисные, ò.å. äëÿ
треугольного элементà ñ тремя узлами имеем:
Ns(ξ, η) = Ls(ξ, η), s = 1, 2, 3.
(2.54)
Элемент имеет линейное поведение ïîëÿ
ahêàê ïîξ, òàê è ïîx,
à треугольные êîîðдинаты
L
r
s
(P )
могут áûòü приняты êàê базисные
функции îòx, ò.å.
L
r
s
(P ) = Ns(ξ(x))
. Èç (2.52) видно, ÷òî определяемые
ïî (2.51) функции
L
r
s
(P )
линейны ïîxèy. Графики ýòèõ функций áûëè
представлены ранее íà ðèñ. 2.3, åñëè рассматривать îäèí èç элементов.
Четырехугольный êонечный элемент ñ четырьмя узлами
Ðассмотрим четырехугольник
Ω
em
x
íà плоскîñòè
Oxy
ñ узлами,
íàõîдящимисÿ â åãî вершинах
x
r
s
= {x
r
s
, y
r
s
},s = 1, 2, 3, 4
,
располоæенными â ïîðÿäêå îáõîäà против часовой стрелки (ðèñ. 2.7).
Каноническàÿ фигура
Ω
em
ξ
íà плоскîñòè
Oξη(ξ = {ξ, η}
) являетсÿ
квадратом ñ центром â òî÷êå
{0, 0}
è ñî сторонами, равными 2. Здесь
n = 4;ξ1= {−1, −1};ξ2= {1, −1};ξ3= {1, 1};ξ4= {−1, 1}
.
88
Ãëàâà 2. ÌÊÝ äëÿ решения связанных çàäà÷
Ðèñ. 2.7.
Четырехугольный элемент ñ четырьмя узлами:
èñõîäíûé четырехугольник (слева) è êанонический четырехугольник (справа)
Функции формы являютсÿ произведениями соответствующих базисных
функций (2.47) îдномерного линейного элементà, зависÿùèõ îòξèëè îò
η
N1(ξ, η) = (1 − ξ)(1 − η)/4, N2(ξ, η) = (1 + ξ)(1 − η)/4,
N3(ξ, η) = (1 + ξ)(1 + η)/4, N4(ξ, η) = (1 − ξ)(1 + η)/4,
(2.55)
èëè â единой записи
Ns(ξ) = (1 + ξsξ)(1 + ηsη)/4, s = 1, 2,3, 4.
(2.56)
Êàê видно èç (2.55), базисные функции являютсÿ линейными ïî
ξ
èη, ò.å. билинейными. Поэтому элемент называетсÿ òàêæå
билинейным
четырехугольным конечным ýëåментоì ñ четырьìÿ узлами
.
Äëÿ обеспечения взаимной îднозначности отображåíèÿ
x = x(ξ)
требуåòñÿ [22], чтобы четырехугольник áûë выпуклым, ò.å. чтобы âñå åãî
внутренние óãëû ïðè вершинах áûëè меньшеπ.
Поведение ïîëÿ
ahîòxздесь äîñòаточно ñëîæíîå, íî íà êаждой
стороне îíî линейное. Ïî ýòîé причине соприкосновение äâóõ билинейных
четырехугольных êонечныхэлементов ïî общей стороне ñ едиными узлами
обеспечивает непрерывность ïîëÿ
ah(x)
. Ýòîò элемент òàêæå ìîæåò
êîíòактировать ïî общей стороне ñ треугольным êонечным элементом
ñ тремя узлами. Ïðè ýòîì òàêæå обеспечиваетсÿ непрерывность ïîëÿ
ah(x)
ïðè перехîäå îò билинейного четырехугольникà ê линейному
треугольнику.
Данный элемент имеет простейшую фигуру, äëÿ êоторой ìîæíî ïðîäå-
монстрировать важность изопараметрическîãî ïîäõîäà. Êàê известно, äëÿ
четырехугольникîâ ñ четырьмя узлами è ñî сторонами, íå параллельными
êîîðдинатным îñÿìxèy, нельзя построить полиномиальные предстàâëå-
íèÿ
ah(x) = ah(x, y)
, обеспечивающие èõ непрерывность ïðè перехîäå îò
2.3. Базовые êонечно-элементные аппроксимации
89
Ðèñ. 2.8.
Треугольный элемент ñ шестью узлами:
èñõîäíûé треугольник (слева) è êанонический треугольник (справа)
îдного четырехугольникà ê другому. Ýòà непрерывность ãарантируåòñÿ
именно ïðè зависимостÿõ (2.39)(2.46) ñ изопараметрическими отображå-
ниями.
Äëÿ использования более точных квадратичных аппроксимаций, êàê è
â îдномерном случае, íàäî рассматривать элементы ñ узлами íà сторонах
è квадратичные базисные функции.
Треугольный êонечный элемент ñ шестью узлами
Здесь треугольник
Ω
em
x
íà плоскîñòè
Oxy
имеет òðè óçëà â вершинах
x
r
s
= {x
r
s
, y
r
s
},s = 1, 2, 3
, à òàêæå åùå òðè óçëà
x
r
s
(
s = 4, 5, 6
)
íà сторонах (ðèñ. 2.8). Стороны обычно являютсÿ ïðямолинейными ñ
узлами
x
r
s
(
s = 4, 5, 6
) íà серединах сторон. Однакî, â ðÿäå случаев,
êàê, например, ïðè криволинейных границах, сторона ìîæåò описыватьсÿ
квадратичной параметрическîé зависимостью, определяемой ñдвинутым
серединным узлом (ðèñ. 2.8).
Канонический треугольник
Ω
em
ξ
òàêîé æå, êàê è â случае линейного
треугольникà, íî ñ дополнительными узлами
ξ4= {1/2, 0};ξ2=
{1/2, 1/2};ξ3= {0, 1/2}
.
Базисные функции äëÿ рассматриваемого элементà даютсÿ формуëàìè
Ns= (2Ls− 1)Ls, s = 1, 2, 3,
N4= 4L1L2, N5= 4L2L3, N6= 4L1L3.
(2.57)
Элемент обеспечивает полную квадратичную аппроксимацию
ah(ξ)
ïî
ξèη
. Åñëè æå стороны треугольникà ïðямолинейны, è óçëû
x
r
s
ïðè
s = 4, 5,6
íàõîäÿòñÿ íà серединах сторон, параметрическîå отображåíèå
ñòановитсÿ линейным, è поэтому получаетсÿквадратичная аппроксимация
ïîëÿ
ah(ξ(x))
è îòx,y. Элемент обычно используåòñÿ именно â òàêîì âèäå.
90
Ãëàâà 2. ÌÊÝ äëÿ решения связанных çàäà÷
Ðèñ. 2.9.
Четырехугольный элемент ñ восемью узлами:
èñõîäíûé четырехугольник (слева) è êанонический четырехугольник (справа)
Íà сторонах треугольникà выполняетсÿ аппроксимация (2.39), (2.40),
(2.43), (2.44) ñ (2.57), определяемая ïîëîæением узлов íà стороне è
çíàчением степеней свобоäû â ýòèõ узлах. Äëÿ ïðямолинейной стороны
ñ узлом ïî середине, естественно, имеем квадратичное поведение ïîxäëÿ
ah.
Четырехугольный êонечный элемент ñ восемью узлами
Ýòîò знаменитый элемент áûë предлоæåí À. Ýðãàòîóдисом, Á. Иронсом
è Î. Çåíêевичем è назван элементом
серендипова òèïà
[6, 7]. Òàêèå
элементы íå имеют узлов внутри области
Ω
em
x
, íî äàþò требуåìûå
представления полевых функций â âèäå полиномов нужной степени
(â ðàìêàõ изопараметрическîãî ïîäõîäà). Заметим, ÷òî треугольный
êонечный элемент ñ шестью узлами ïî ýòîé терминологии òàêæå являетсÿ
элементом серендипова òèïà.
Ðассматриваемый элемент имеет форму четырехугольникà
Ω
em
x
íà
плоскîñòè
Oxy
ñ четырьмя узлами â вершинах
x
r
s
= {x
r
s
, y
r
s
}
,
s = 1, 2, 3, 4
. Åùå четыре óçëà
x
r
s
(
s = 5, 6, 7, 8
) располагàþòñÿ
íà сторонах четырехугольникà (ðèñ. 2.9). Относительно формы сторон
здесь справедливы òå æå замечания, ÷òî è äëÿ треугольникà ñ шестью
узлами. Канонический четырехугольник
Ω
em
ξ
òîò æå квадрат, ÷òî è äëÿ
четырехугольного êонечного элементà ñ четырьмя узлами (
ξ1= {−1, −1}
;
ξ2= {1, −1};ξ3= {1, 1};ξ4= {−1, 1}
), íî ñ дополнительными узлами
ξ5= {0, −1};ξ6= {1, 0};ξ7= {0, 1};ξ8= {−1, 0}
.
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]