Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Моделирование связанных задач математические постановки и конечно-элементные технологии. Учебное пособие
.pdf
1.1. Основные обозначения. Векторные è тензорные величины
11
Элементы этого пространства áóäåì называть
тензорàìè
(евклидовы-
ìè тензорами) ðàíãàpè обозна÷àòü, êàê è векторы, полужирными буква-
ìè.
Â
T
n
p
ìîæíî выделить базис èç элементов
e
i
1
⊗ e
i
2
⊗ ... ⊗ e
i
p
p
def
= e
i
1
e
i
2
... e
i
p
,
ãäå
ik∈ {1, 2, ..., n},e
i
k
векторы ортонормированного базиса â
Rn.
Òîãäà любой элемент
X ∈ T
n
p
ìîæíî представить â âèäå разлоæåíèÿ ïî
базису
X = X
i1i2...i
p
e
i
1
e
i
2
... e
i
p
ñ êомпонентàìè
X
i1i2...i
p
, è очевидно, ÷òî
dim T
n
p
= np.
Векторы ìîæíî ñ÷èòàòü тензорами первого ðàíãà, ò.å.
Rn≡ T
n
1
;
à èç êомпонент тензора второго ðàíãà
X = Xijeiejìîæíî ñîñòавить
квадратную матрицу
[X]ij= Xijïîðÿäêà
n ×n
.
Ñ äåêартовымпроизведением евклидовых пространств
Rnтесно связана
операция
тензорного умножения(внешнего умножения
)
X = X
i1i2...i
p
e
i
1
e
i
2
... e
i
p
∈ T
n
p
, Y = Y
j1j2...j
q
e
j
1
e
j
2
... e
j
q
∈ T
n
q
:
X Y
def
= X
i1i2...i
p
Y
j1j2...j
q
e
i
1
e
i
2
... e
i
p
e
j
1
e
j
2
... e
j
q
∈ T
n
p+q
.
Соответственно, èç äâóõ векторов
a = aiei,
b = bjej∈ Rn= T
n
1
ìîæíî
ñîñòавить тензор второго ðàíãà
a b = aibjeiej∈ T
n
2
, называемый
диадой
.
Компоненты этого тензора образуют матрицу
a b∗:
[a b∗]ij= aibj.
Äëÿ тензора второго ðàíãà
X = Xijeiejáóäåì использовать
îïåðàöèþ
òðанспонирования
:
X∗= Xjieiej,
приводящую ê транспонированию матрицы êоэффициентов тензора.
Òензор второго ðàíãà
X ∈ T
n
2
называетсÿ
симметричным
, åñëè
X = X∗.
Аналогично, ìîæíî говорить î симметрии тензора произвольного ðàíãà
ïî íåêоторой ïàðå индекñîâ. Òàê, тензоры пьезомоäóëåé третьего ðàíãà
e = e
ikleiekel
, используåìûå далее â разделе 1.3, áóäóò симметричными
ïî äâóì последним индекñàì:
e
ikl
= e
ilk
. Äëÿ òàêèõ тензоров операция
транспонирования áóäåò îçíà÷àòü перестановку первого è третьего
индекñîâ èëè ïàðû первых äâóõ è третьего индекñîâ:
e∗= e
lkieiekel
=
e
likeiekel
.
Ïî аналогии ñ векторами, äëÿ тензоров произвольного ðàíãà ìîæíî
рассматривать операции ñëîæåíèÿ è óìíîæåíèÿ íà числа. Именно,
∀ λ, µ ∈ R, X = X
i1i2...i
p
e
i
1
e
i
2
... e
i
p
, Y = Y
i1i2...i
p
e
i
1
e
i
2
... e
i
p
∈ T
n
p
:
12
Ãëàâà 1. Íåêоторые ìîäåëè связанных çàäà÷ ìåõаники
λ X + µY = (λX
i1i2...i
p
+ µY
i1i2...i
p
) e
i
1
e
i
2
... e
i
p
∈ T
n
p
.
Õîòÿ äëÿ тензоров è существуåò îòдельное понятие ñêалярного
óìíîæåíèÿ, äëÿ дальнейшего более важной áóäåò операция
внутреннего
произведения(простого умножения
èëè
свертки
)
∀ X = X
i1i2...i
p
e
i
1
e
i
2
... e
i
p
∈ T
n
p
, Y = Y
j1j2...j
q
e
j
1
e
j
2
... e
j
q
∈ T
n
q
:
X ·Y
def
= X
i1i2...i
p−1
kYkip...i
p+q−2
e
i
1
e
i
2
... e
i
p+q−2
∈ T
n
p+q−2
,
ïðè êоторой произвоäèòñÿ сверткà последнего индекñà óXè первого
индекñà óY(суммирование ïîkâ последней формуëå).
Äëÿ тензоров
X ∈ T
n
p
,
Y ∈ T
n
q
ïðè
p ≥ 2,q ≥ 2
ìîæíî определить
операцию
двойного внутреннего произведения(двойной свертки
)
∀ X = X
i1i2...i
p
e
i
1
e
i
2
... e
i
p
∈ T
n
p
, Y = Y
j1j2...j
q
e
j
1
e
j
2
... e
j
q
∈ T
n
q
, p, q ≥ 2 :
X:Y
def
=X· ·
Y
def
=
X
i1i2...i
p−2
lkYkli
p−1
...i
p+q−4
e
i
1
e
i
2
... e
i
p+q−4
∈ T
n
p+q−4
,
êоторая, êàê видно, состоит â последовательном применении операции
простого óìíîæåíèÿ (свертки) äâà ðàçà.
Например, äëÿ ââîдимых далее â разделе 1.3 тензора упругих
æåñòêостей
cE= c
E
ijkl
eiejekel∈ T
3
4
четвертого ðàíãà è тензора
деформаций
ε = εrseres∈ T
3
2
второго ðàíãà:
cE: ε = c
E
ijkl
εlkeiej∈ T
3
2
.
Ïðè переходе ê другоìó ортонормированноìó áазису
e
′
1
,
e
′
2
, ...,
e
′
n
â
R
n
согласно законам
(1.1), (1.2)
êîмпоненты тензорà
X ∈ T
n
p
изменяются
ïî законам, обобщающим
(1.3)
X = X
i1i2...i
p
e
i
1
e
i
2
... e
i
p
= X
′
j1j2...j
p
e
′
j
1
e
′
j
2
... e
′
j
p
,
X
i1i2...i
p
= q
i1j
1
q
i2j
2
...q
ipj
p
X
′
j1j2...j
p
, X
′
i1i2...i
p
= α
i1j
1
α
i2j
2
...α
ipj
p
X
j1j2...j
p
.
(1.5)
Изменение êомпонент тензора
X ∈ T
n
p
ïðè перехîäå îò îдного
ортонормированного базиса ê другому ñîãласно формуëàì (1.5) являетсÿ
фундаментальным свойством, определяющим ñàìî понятие тензора.
Ïóñòü
Φ = Φ(x) ∈ T
3
p
тензорная функция
îò вектора
пространственных êîîðдинат
x ∈ R3, имеющая äîñòаточные свойства
ãëàäêîñòè (
тензорное ïîëå).Îïåðàòîð ãðадиента
∇ = e
k
∂
∂x
k
,
называемый
íàáëà-îïåðатороì
, имеет ðàíã вектора (ò.å.являетсÿ тензором
первого ðàíãà).
1.1. Основные обозначения. Векторные è тензорные величины
13
Ñ набла-оператором è тензорным полем ìîæíî осуществлять различ-
íûå тензорные операции. Òàê, тензорное óìíîæåíèå оператора∇è âåê-
торного ïîëÿ
a = a(x) ∈ T
3
1
äàåò тензор второго ðàíãà
∇a =
∂a
j
∂x
i
eiej.
Внутреннее óìíîæåíèå набла-оператора∇è тензорного ïîëÿ
Φ(x) ∈ T
3
p
äàåò тензор ðàíãà
p −1
, называемый
дивергенцией
тензорного ïîëÿ
div Φ
def
= ∇ · Φ = e
k
∂Φ
∂x
k
=
∂Φ
ki2...i
p
∂x
k
e
i
2
... e
i
p
.
 частности, дивергенция векторного ïîëÿ
a = a(x)
åñòü ñêалярная
величина (тензор íóлевого ðàíãà)
∇ ·a =
∂a
k
∂x
k
def
= a
k,k
.
Íàêîíåö, приведем формуëó ÃàóссаОстроградскîãî äëÿ тензорных
полей. ÅñëèΩ ограниченный объем â
R3,
Γ = ∂Ω
замкнутàÿ êóсочно-
ãëàäêàÿ поверхность,
n = n(x)
вектор внешней единичной нормали ê
òî÷êå
x ∈ Γ
, òî äëÿ непрерывно-дифференцируемого тензорного ïîëÿ
Φ ∈
T
3
p
произвольного ðàíãàpимеет место
ôîðìóëà ÃàóññаОстроградского
Ω
∇ ·Φ dΩ =
Γ
n ·Φ dΓ,
обобщающая аналогичную формуëó èç математическîãî анализа äëÿ
векторных полей.
1.1.2. Основные обозначения è величины â связанных çàäà÷àõ
теории упругости
 данном разделе собраны основные полевые õарактеристики, матери-
альные свойства è внешние воздействия, ââîдимые è используåìûå далее
â разделах 1.3 1.6. Â êîíöå описания êаждой величины привоäèòñÿ åå
размерность â междунароäíîé системе единиц Ñè, причем безразмерная
величина обозначаетсÿ символом ¾1¿.
Õàðактеристики механических, ýлектрических, тепловых, фильтрàöè-
онных è акустических ïîëåé
:
u
вектор перемещений, ì;
ε
тензор деформаций, 1;
14
Ãëàâà 1. Íåêоторые ìîäåëè связанных çàäà÷ ìåõаники
σ
тензор íàïðÿæåíèé, Í/ì2= Ïà;
φ
электрический потенциал, Â;
E
вектор íàïðÿæенности электрическîãî ïîëÿ, Â/ì;
D
вектор электрическîé индукции (электрическîãî смещения), Êë/ì2;
T
температура, K;
T0 температура естественного состоÿíèÿ, K;
θ
прирост температуры, K;
S
плотность энтропии (термодинамическîé энтропии), отчитываемой îò
естественного состоÿíèÿ, Äæ/(K·ì
3
) = Í/(ì2·
Ê) = Ïà/Ê;
q
вектор потокà тепла (вектор óдельного теплового потокà, вектор
плотности теплового потокà), Âò/ì2;
ϕ
пористость, 1;
v
ñêорость ôèëüтрации (â пороупругости), àêóстическàÿ ñêорость (â
àêóñòèêå), ì/ñ;
p
поровое давление (â пороупругости), избыточное àêóстическîå
давление (â àêóñòèêå), Í/ì2= Ïà;
ψ
потенциал ñêорости, ì2/ñ.
Материальные свойства
:
ρ
плотность, êã/ì3;
cE(c) тензор упругих ìîäóëåé, вычисленных ïðè постоянном
электрическîì ïîëå, Í/ì2= Ïà;
e
тензор пьезомоäóëåé, Êë/ì2;
ϵS тензор диэлектрических проницаемостей, вычисленных ïðè постоÿí-
íûõ деформациях, Ô/ì;
αd êоэффициент демпфирования (первый êоэффициент демпфирования
ïðè учете демпфирования ïî Ðåëåþ), 1/c;
βd êоэффициент демпфирования (второй êоэффициент демпфирования
ïðè учете демпфирования ïî Ðåëåþ), c;
γ
тензор êоэффициентов температурных íàïðÿæåíèé, Äæ/(K·ì3) =
Í/(ì2·
Ê) = Ïà/Ê;
cε óдельная теплоемкîñòü ïðè постоянной деформации, Äæ/(êã·Ê) =
ì2/(ñ2·
Ê);
k
тензор êоэффициентов теплопроводностей, Âò/(ì·Ê);
ρf плотность æèäêîñòè, êã/ì3;
b
тензор Áèî, 1;
N
ìîäóëü Áèî, ì2/Í = 1/Ïà;
K
тензор êоэффициентов ôèëüтрации, ì/ñ;
c0 ñêорость çâóêà â àêóстическîé среде, ì/ñ.
1.2. Общие ïîëîæåíèÿ
15
Внешние воздействия è связи
:
f
вектор плотности массовых ñèë, Í/êã = ì/ñ2;
σΩ объемная плотность электрических çàðÿäîâ, Êë/ì3;
W
интенсивность источникîâ тепла, Âò/ì3;
uΓ вектор перемещений íà границе, ì;
pΓ вектор íàïðÿæåíèé, Í/ì2= Ïà;
Vj электрический потенциал íà электроäå
Γφj, Â;
Qj суммарный электрический çàðÿä íà электроäå
Γφj, Êë;
σΓ поверхностная плотность электрических çàðÿäîâ, Êë/ì2;
ω
круговая частотà (óãловая частотà, радиальная частотà, частотà
вращения), ðàä/ñ = ðàä·Ãö;
f = ω/(2π)
частотà, 1/ñ = Ãö;
θΓ температура (прирост температуры) íà части границы, K;
qΓ поток тепла íà поверхности, Âò/ì2;
hf êоэффициент теплообмена íà поверхности, Âò/(ì2·
Ê);
θb температура (прирост температуры) внешней окружающей среды, K;
Z
импеданс границы, H·ñ/ì.
1.2. Общие ïîëîæåíèÿ
 классических çàäà÷àõ математическîé физики обычно рассматрива-
þòñÿ физические ïîëÿ определенной прироäû. Например, äëÿ деформи-
ðóåìûõ ñðåä â çàäà÷àõ теории упругости исследуютсÿ возникающие ïðè
ìåõанических внешних воздействиях ìåõаническиеïîëÿ, òàêèå êàê вектор-
íîå ïîëå перемещений
u = u(x, t)
, тензорные ïîëÿ деформаций
ε = ε(x, t)
,
íàïðÿæåíèé
σ = σ(x, t)
, è äð.  çàäà÷àõ теплопроводности изучаетсÿ, êàê
ïîä действием тепловых воздействий â телах изменяетсÿ ïîëå температур
θ = θ(x, t)
.  çàäà÷àõ электростатики èëè квазиэлектростатики диэлек-
òðèêîâ исследуютсÿ электрические ïîëÿ, òàêèå êàê ñêалярное ïîëå ýëåê-
трическîãî потенциала
φ = φ(x, t)
, вектор íàïðÿæенности электрическîãî
ïîëÿ
E = E(x, t)
è äð., возникающие â диэлектрикàõ ïðè электрических
внешних воздействиях. Примеры ïîдобных çàäà÷ ëåãêî ïðîдолжить.
Âî âñåõ приведенных случаях имеем çàäà÷è математическîé физики
определенного òèïà: íåñòационарные динамические çàäà÷è теории упруго-
ñòè описываютсÿ системами уравнений гиперболическîãî òèïà (предель-
íûé случай); íåñòационарные уравнения теплопроводности уравнени-
ÿìè параболическîãî òèïà; уравнения квазиэлектростатики диэлектри-
êîâ уравнениями эллиптическîãî òèïà. Ïðè ýòîì â случаях çàäà÷ ñ
16
Ãëàâà 1. Íåêоторые ìîäåëè связанных çàäà÷ ìåõаники
системами дифференциальных уравнений, êàê, например, äëÿ çàäà÷ òåî-
ðèè упругости, âñå уравнения обычно ñîäåðæàò произвоäíûå îдинакового
ïîðÿäêà ïî пространственным переменным è произвоäíûå îдинакового ïî-
ðÿäêà ïî времени.
Более ñëîжными ñ математическîé точки зрения являютсÿ связанные
çàäà÷è, â êоторых ïîëÿ различной прироäû зависимы äðóã îò äðóãà. Òàê,
ìîæíî рассматривать çàäà÷è термоупругости, â êоторых ìåõанические
è тепловые ïîëÿ связаны между собой.  çàäà÷àõ электроупругости
äëÿ пьезоэлектрических ñðåä связаны ìåõанические è электрические
ïîëÿ, â çàäà÷àõ термоэлектроупругости тепловые, ìåõанические è
электрические ïîëÿ, è ò.ä.
Взаимодействие полей различной прироäûотражàåòñÿ â фундаментàëü-
íûõ çàêîíàõ, ëåæàùèõ â основе теорий связанных физикî-ìåõанических
полей. Ýòà связанность многообразна è â различных ñèòóациях è â ðàç-
личных средах ïðîявляетсÿ существенно различным образом. Â ðåçóëü-
òàòå получаетсÿ большое число îòдельных важных äëÿ практики теорий
ìåõаники деформируемого òâåðäîãî òåëà ñ óñëîжненными свойствами, â
êоторых òàêæå могут рассматриватьсÿ åùå è различные ìåõанизмы ñâÿ-
занности полей. Например, â ðàìêàõ термоупругости существуют следую-
ùèå теории: теория температурных íàïðÿæåíèé, теория теплопроводности
ñ êонечной ñêоростью распространения тепла, теория терморазогрева ïðè
óñòановившихñÿ êолебаниях è ïð.
Ðасчеты çàäà÷ ñî связанными физикî-ìåõаническими полями являют-
ñÿ äîñòаточно ñëîжными, êàê â ñèëó увеличения êоличества неизвестных
полевых õарактеристик, òàê è èç-çà различных õарактерных масштàáîâ
изменения âî времени основных è ñîïðÿæенных полей. Наиболее эффек-
тивным численным ìåòîäîì, позволяющим ñ óñïåõîì провоäèòü анализ
çàäà÷ теории упругости ñ óñëîжненными свойствами, íà ñåãîдняшний äåíü
следуåò признать ìåòîä êонечных элементов (ÌÊÝ).
Существуåò ðÿä ¾òÿæåëûõ¿ êоммерческих êонечно-элементных (ÊÝ)
ïàêåòîâ (ANSYS, ABAQUS, COMSOL, MSC MARC è äð.), позволяющих
провоäèòü расчеты связанных çàäà÷, è íåêоторые специализированные ïà-
êåòû, ориентированные íà различные классы çàäà÷ теории упругости ñ
óñëîжненными физикî-ìåõаническими свойствами (например, ICEPACK
äëÿ çàäà÷ термоупругости, PZFlex, ATILA, ACELAN äëÿ çàäà÷ пьезоэлек-
тричества è äð.)
Естественно, ÷òî â ñèëó ñëîжности связанных çàäà÷ â ìåòîдологии è â
реализации êонечно-элементных расчетов ñîхраняетсÿ åùå обширное ïîëå
äëÿ исследований. Представляет интерес è сравнение различных êонечно-
1.2. Общие ïîëîæåíèÿ
17
элементных ìåòîäîâ è èõ реализаций ñ позиций точности, быстроäåé-
ствия è эффективности. Специфические особенности связанных физикî-
ìåõанических çàäà÷ делают àêòóальными êàê èõ математические исследо-
вания, òàê è разработку эффективных численных ìåòîäîâ, специальных
программных средств è ìîäóëåé äëÿ имеющихñÿ вычислительных êîì-
ïëåêñîâ, позволяющих автоматизировать íåêоторые важные ýòàïû анали-
çà связанных çàäà÷.
Дадим íåêоторую классификàöèþ связанных çàäà÷ íà примере äâóõ
полей различной прироäû, например, ïîëÿ перемещений
u(x, t)
è ïîëÿ
температур (точнее, приростà температуры)
θ(x, t)
. Систему связанных
дифференциальных уравнений äëÿ основного ïîëÿ
u(x, t)
è ñîïðÿæенного
ïîëÿ
θ(x, t)
ìîæíî â общем случае записать â форме
Luu(∇, ∂t)u + Luθ(∇, ∂t)θ = fu,
Lθu(∇, ∂t)u + Lθθ(∇, ∂t)θ = fθ,
ãäå
Luu,
Luθ,
Lθu,
Lθθ дифференциальные операторы, причем возмоæíî
нелинейные è зависÿùèå òàêæå îò функцийuèθ.
Äëÿ классических ïîñòановок ê ýòîé системе íàäî добавить соответ-
ствующие краевые è íàчальные óсловия.Äëÿ дальнейшего математическî-
ãî анализа è построения численных ìåòîäîâ óдобно перейти ê обобщенным
èëè слабым ïîñòановкàì çàäà÷, êоторые обычно являютсÿ вариационными
èëè энергетическими соотношениями, выражающими принципы равенства
возмоæíûõ работ è баланса энергии системы.
Ïðè применении ê слабой ïîñòановкå íàчально-краевой çàäà÷è â ñîîò-
ветствующем êонечномерном пространстве ïîëóдискретных аппрокñèìà-
öèé âèäà
u(x, t) ≈ N
∗
u
(x) ·U(t), θ(x, t) ≈ N
∗
θ
(x) ·T(t)
ñ матрицей базисных функций
Nu(x)
, вектором базисных функций
Nθ(x)
è векторами функций (êîíñòàíò) аппроксимаций
U
è
T
(â ìåòîäå
êонечных элементов узловых степеней свобоäû) áóäåì иметь систему
уравнений
Auu(∂t) ·U + Auθ(∂t) ·T = Fu,
(1.6)
Aθu(∂t) ·U + Aθθ(∂t) ·T = Fθ,
(1.7)
ãäå
Auu= 0;Aθθ= 0
.
Важнейшие òèïû связанных çàäà÷ ìîæíî õарактеризовать следующим
образом:
åñëè
Auθ= 0;Aθu= 0
, òî имеем çàäà÷è ñ полной матричной связностью;
18
Ãëàâà 1. Íåêоторые ìîäåëè связанных çàäà÷ ìåõаники
åñëè
Auθ= 0;Aθu= 0
, íî íåêоторые диагональные блоки (
Auuèëè
Aθθ)
зависÿò îò полей другой прироäû (например,
Auu= Auu(T)
) òî имеем
çàäà÷è ñ блочно-диагональной матричной связностью;
åñëè îäèí èç áëîêîâ
Auθèëè
Aθuравен íóëþ, òî имеем çàäà÷è ñ
частичной связанностью.
Òàêæå возмоæíû случаи, êîãäà â êàêèõ-òî èç матричных áëîêîâ
отсутствуют произвоäíûå ïî времени, à â других имеютсÿ.
Ê классам связанных физикî-ìåõанических çàäà÷ относÿòñÿ çàäà÷è
термоупругости, электроупругости, магнитоупругости, àêóстоупругости,
термоэлектроупругости, àêóстоэлектроупругости è ò.ä.
Ìåòîäû решения связанных çàäà÷ зависÿò îò òèïà связанности. Â çà-
äà÷àõ ñ полной матричной связанностью используютсÿ обычные, напри-
ìåð, êонечно-элементные алгоритмы äëÿ единого вектора неизвестных
a = {U, T}
. Äëÿ çàäà÷ ñ различными ïîðÿäêàìè произвоäíûõ ïî âðå-
ìåíè â системах уравнений более ïîäõîдящими могут îêазатьсÿ блочные
алгоритмы, использующие редукцию квазистатических степеней свобоäû.
 çàäà÷àõ электроупругости, например, â ðÿäå случаев óдобно редуциро-
âàòü степени свобоäû электрическîãî потенциала.
Çàäà÷è ñ блочно-диагональной матричной связанностью являютсÿ
обычно нелинейными çàäà÷àìè, äëÿ решений êоторых применимы ìåòîäû
НьютонаРафсона решения нелинейных çàäà÷.
 çàäà÷àõ ñ частичной связанностью, например, ïðè
Aθu= 0
,
дискретизованные çàäà÷è решаютсÿ â äâà ýòàïà. Ñíà÷àëà решаетсÿ çàäà÷à
äëÿ ñîïðÿæенного ïîëÿ
T
Aθθ(∂t) ·T = Fθ.
Затем найденные çíàченияTïîäñòавляютсÿ â уравнение äëÿ основного
ïîëÿU:
Auu(∂t) ·U = Fu− Auθ(∂t) ·T.
Ýòà çàäà÷à ïî существу являетсÿ обычной çàäà÷åé äëÿ основного ïîëÿ, íî
ñ дополнительной добавкîé â векторе правых частей.
Íàêîíåö, имеютсÿ связанные çàäà÷è, â êоторых векторы правых частей
зависÿò îò неизвестных функций, например,
Fu= Fu(U, T),Fθ=
Fθ(U, T)
. Òàêèå ñèòóàöèè возникàþò è ïðè решении çàäà÷ ñ полной
матричной связанностью ñ использованием итерационных алгоритмов.
Например, çàäà÷ó (1.6), (1.7) ñ полной матричной связанностью ìîæíî
записать â âèäå
Auu(∂t) ·U =˜Fu,
(1.8)
Aθθ(∂t) ·T =˜Fθ,
(1.9)
1.3. Ìîделирование çàäà÷ электроупругости
19
ñ˜Fu= Fu−Auθ(∂t) ·T
,˜Fθ= Fθ−Aθu(∂t) ·U
, à äëÿ åå решения применять
итерационные ìåòîäû.
 более общем случае, åñëè
Auu= Auu(U, T),Aθθ= Aθθ(U, T)
,˜Fu=
˜
Fu(U, T)
,˜Fθ=˜Fθ(U, T)
, òî çàäà÷à (1.8), (1.9) являетсÿ нелинейной, è äëÿ
åå решения требуютсÿ специальные итерационные ìåòîäû. Òàêàÿ çàäà÷à ïî
терминологии ANSYS [25] называетсÿ çàäà÷åé ñî слабой (секвенциальной)
связанностью.
1.3. Ìîделирование çàäà÷ электроупругости
Основными объектàìè исследований â ýòîì разделе áóäóò являтьсÿ
активные диэлектрики, обладающие пьезоэлектрическими свойствами.
Пьезоэффект состоит â линейной связи между электрическими è
ìåõаническими полями. История открытия этого явления описана âî
многих работàõ, например, â [11, 28] è äð. Здесь приведем ëèøü краткий
ýêскурс ïî истории пьезоэффектà. Â 1880 ã. Пьером è Æàêîì Êþðè áûëî
обнаружåíî, ÷òî ïðè ñæàòèè â определенных направлениях íåêоторых
кристаллов íà èõ поверхностÿõ ïîявляютсÿ электрические çàðÿäû,
пропорциональные прилоæенному давлению. Данное явление получило
название
прямого пьезоэôфекта
(îò греческîãî ãлагола piezein давить).
Сразу после этого открытия, â 1881 ãîäó, Ãабриэлем Липпманом, èñõîäÿ
èç термодинамических соотношений è èç своей теоремы îá обратимости
физических явлений, áûë предскàçàí
îáðатный пьезоэôôåêò
: кристàëëû,
обладающие пьезосвойствами, ïðè прилоæåíèè электрическîãî ïîëÿ
должны деформироватьсÿ ïî линейному çàêîíó. Â ýòîì æå ãîäó
Ïüåð è Æàê Êþðè ýêспериментально ïîдтверäèëè существование
обратного пьезоэффектà è óñòановили, ÷òî пьезомоäóëè (êоэффициенты
пропорциональности) ïðямого è обратного пьезоэффектов îдинакîâû.
Ïüåð Êþðè сформулировал òàêæå принципы, связывающие свойства
симметричности è несимметричности â явлениях è â ïîðîждающих èõ ïðè-
чинах [5]. Ïî принципам Пьера Êþðè явление обладает всеми элементàìè
симметрии вызывающих åãî причин è ìîæåò иметь более высокую симмет-
ðèþ, ÷åì причины. Асимметрия æå явления предопределена асимметрией
причин. Èíà÷å говорÿ, явление ìîæåò существовать толькî â системе, ÿâ-
ляющейсÿ ïîдгруппой симметрии явления.
Ñîãласно ýòèì принципам, â системе ¾кристàëë внешние воздей-
ствия¿ кристàëë изменяет ñâîþ симметрию òàêèì образом, ÷òî ñîхраня-
þòñÿ ëèøü элементы симметрии, общие ñ элементàìè воздействия. Следо-
вательно, ïîñêольку симметричное ñæàòèå обладает центром симметрии,
20
Ãëàâà 1. Íåêоторые ìîäåëè связанных çàäà÷ ìåõаники
òî äëÿ кристаллов ñ центром симметрии ïðè симметричном ñæàòèè öåí-
тральная симметрия должна ñîхранятьсÿ. Однакî, òàê êàê явление ýëåê-
трическîé поляризации íå обладает центральной симметрией, òî òàêàÿ
асимметрия должна áûòü предопределена асимметрией системы. Òàêèì
образом, èç принципа Êþðè следуåò âûâîä î òîì, ÷òî
пьезоэлектриче-
скими свойствами могут îáладать òîëüêî òå кристалëû, которые íå
имеют центрà симметрии
. Более äåòально связь явления пьезоэффектà
ñ кристаллическîé структурой исследовал â 1884 ã. Â. Фойхт. Êàê следуåò
èç предыдущих рассуждений, âñå ýòè классы кристаллов íå могут иметь
центра симметрии. Â ðåçóëüòàòå áûëî теоретически äîêазано, ÷òî пьезо-
электрические материалы îáязательно должны áûòü анизотропными.
 течение многих ëåò прироäíûå кристàëëû áûëè единственными äî-
ступными пьезоэлектрическими материалами, è íà èõ основе áûëè созда-
íû многие пьезоэлектрические óстройства. Âдальнейшем, приблизительно
ñ средины 60-õ ãîäîâ двадцатого âåêà, ñòàëè разрабатыватьсÿ èñêóсствен-
íûå пьезокерамические материалы. Áûëî обнаружåíî, ÷òî материалы íà
основе òèòàíàòà бария (BaTiO3) обладают äîñòаточно сильным пьезоэф-
фектом. Последующие разработки ïîêазали, ÷òî материалы ÖÒÑ èëè PZT
íà основе öèðêîíàòà-òèòàíàòà свинца обладают åùå большей чувствитель-
ностью è могут работàòü ïðè äîñòаточно больших температурах. Â итоге
возникла целая технология производства новых пьезокерамических ìàòå-
риалов è пьезоэлектрических óстройств íà èõ основе. Современная ïüå-
зоэлектрическàÿ êерамикà íà ïîðÿäêè чувствительнее ê электрическим è
ìåõаническим воздействиям, ÷åì прироäíûå пьезокристàëëû. Варьируÿ
èñõîäíûå ñîñòàâû пьезокерамики, ìîæíî создавать материалы ñ различ-
íûìè свойствами, íåîáõîдимыми потребителю. Пьезокерамикà äîñòаточно
прочна, химически инертна è относительно дешева â производстве. Кроме
òîãî, èç íåå ìîæíî изготавливать пьезоэлектрические элементы практи-
чески любой требуåìîé формы è размеров.
 настоÿùåå время íà эффекте связности ìåõанических è электри-
ческих полей работàþò многочисленные пьезоэлектрические óстройства,
выполненные èç различных специально разработанных ñîñòàâîâ пьезокå-
рамики. Современное пьезоэлектрическîå приборостроение имеет чрезвы-
чайно широкîå ïîëå применений.
Пьезоэлектрические преобразователи преобразуют электрическîå
внешнее воздействие (электрическîå íàïðÿæåíèå èëè òîê) â ìåõаниче-
ñêèå äâèæåíèÿ, êàê правило, â çâóêîâûå èëè óëüтразвукîâûå êолебания.
Пьезопреобразователи, генерирующие óëüтразвукîâûå àêóстические êîëå-
бания, используютсÿ â медицинскîé диагностикå è терапии, например, äëÿ
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]